Субиерархический метод решения задачи дифракции электромагнитной волны на теле, расположенном в свободном пространстве Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.3, 519.6

М. Ю. Медведик

СУБИЕРАРХИЧЕСКИЙ МЕТОД РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ ДИФРАКЦИИ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОЙ ВОЛНЫ НА ТЕЛЕ, РАСПОЛОЖЕННОМ В СВОБОДНОМ ПРОСТРАНСТВЕ

Аннотация. Рассмотрена задача дифракции электромагнитной волны на неоднородном теле, расположенном в свободном пространстве. Задача сведена к интегральному уравнению. Рассмотрено применение субиерархического метода для решения интегрального уравнения. Представлены численные результаты. Ключевые слова: задача дифракции, интегральное уравнение, субиерархиче-ский метод, численные результаты.

Abstract. The article considers a problem of diffraction of an electromagnetic wave on inhomogeneous body located in free space. The problem is reduced to an integral equation. The application of the subhierarchical method for solving integral equations is considered. The numerical results are presented.

Key words: problem of diffraction, integral equation, subhierarchical method, numerical results.

Введение

Одной из актуальных задач электродинамики является определение рассеянного поля неоднородных диэлектрических телах. Рассмотрим рассеяние электромагнитной волны на трехмерных неоднородных телах. В подобных задачах иногда удается получить аналитические решения для фигур простой геометрической формы [1, 2], но в большинстве случаев удается получить только численные решения. Существующие на сегодня пакеты математических программ (такие как Ansis, Quikwave и т.д.) не позволяют получить решение с достаточной точностью. Основным недостатком рассматриваемых математических пакетов является использование в них методов конечных элементов, которые не могут обеспечить требуемую точность в резонансном диапазоне частот. Поэтому приходится разрабатывать программное обеспечение, использующее иные подходы для решения задачи. Одним из перспективных методов является метод объемных сингулярных интегральных уравнений [3, 4]. С помощью него краевая задача сводится к решению объемного сингулярного интегрального уравнения. Решение получающегося интегрального уравнения в общем случае возможно лишь численными методами, но благодаря сокращению области решения задачи за счет сведения к интегралу по телу происходит значительное упрощение численных расчетов. Решение таких задач с приемлемой для практики точностью требует большого объема вычислений.

Поскольку численные решения подобных задач дифракции могут быть получены лишь для ограниченного числа тел правильной геометрии, большое значение для практических приложений представляет развитие различных приближенных и численных методов, справедливых для тел произвольной формы. Таким образом, возникает необходимость разработки новых методов решения подобных задач. Представленный в статье метод позволяет решать подобные задачи на телах сложной геометрической формы, опираясь на ре-

зультаты, полученные при решении задачи на теле базовой (канонической) формы [5-16].

Постановка задачи

Пусть тело Q є Я , расположенное в свободном пространстве, имеет диэлектрическую проницаемость, характеризующеюся функцией е(х), и кусочно-гладкую границу дQ. Рассмотрим задачу дифракции электромагнитного поля на теле Q . Вне тела Q диэлектрическая проницаемость е = Єо , где £о - диэлектрическая проницаемость свободного пространства. Источник

0 3 — —

поля є Я / Q находится за пределами Q . Падающее поле выражается через ток ^ [3].

Данная задача описывается системой уравнений Максвелла:

rotH = ЧшЁ + jE ; rot E = 7'юц0Н. (1)

Для Ё, H должны выполняться краевые условия на границе тела:

[Ет ]|» = 0 H ]|» = 0 (2)

где [] - скачок предельных значений.

Для Ё, H должны выполняться краевые условия излучения на бесконечности:

Рассматриваемая задача (1)-(3) является векторной и может быть сведена к объемному сингулярному интегральному уравнению [3] следующего вида:

Е0 (х ) = £,(х )У (х)- к01О (г )3 (у )ёу - graddiv | О (г )1 (у )ёу, х є Q . (4)

Q Q

Здесь G (x, у) - функция Грина вида

eik\x-у|

G (х y ) = ■

у\

E0 (x) - падающее поле; J(x) - токи поляризации внутри тела;

е(х) _ 1

Eq

ч_1

и J (х) =

е(х) _ 1

Eq

,_1

Е(х).

Требуется определить электромагнитное поле Е, Н е ¿2 (0). Ядро уравнения (4) имеет особенность и является гиперсингулярным. Для задачи (1)-(2) справедливо следующее утверждение о единственности.

Утверждение [5]. Пусть однородное уравнение (4) имеет только тривиальное решение и тензор диэлектрической проницаемости таков, что

-1

1 го 1_ 1 < [і]

1 0 1 V 2 V ’ J

ess sup

xeQ

тогда уравнение (4) однозначно разрешимо для любой правой части.

Метод коллокации

Пусть тело П = {x: oj < xj <02, b <2 < ¿2, C < x3 < C2} является прямоугольным параллелепипедом. Построим на П равномерную сетку, т.е. разобьем П на элементарные подобласти Пг- с кусочно-гладкими границами

ЭПг- так, чтобы выполнялись условия Пг- пПj = 0 при i Ф j и П=иП

i

(рис. 2). Будем использовать трехиндексную нумерацию подобластей:

Пklm = {x : x1,k < x1 < x1,k+1, x2,l < xl < x2,l+1, x3,m < x3 < x3,m+1} ,

°2 - a1 1 и b2 - hi c2 - C1

x1,k = a1 +—-----1 k, x2,l = b1 +—---11, x3, m = C1 +—----1 m,

n n n

где k, l, m = 0,..., n -1.

Выберем в каждой подобласти Пг- точку (узел) коллокации x1. Рассмотрим базисные функции:

Г1, x еП1,

I Q, х йП,.

(5)

Пусть подпространства Хп являются линейными оболочками базисных функций: Хп = 8рап{у/, ...,Уп} . Потребуем, чтобы для выбранных базисных функций выполнялось условие аппроксимации

Ух є X lim inf х _ х = Q.

хєХИ

vi =

б

Рис. 2. Тело П, разбитое на элементарные параллелепипеды

Для уравнения Аф = / (ф, / е X) с линейным ограниченным оператором А : X ^ X в гильбертовом пространстве X рассмотрим метод коллока-ции, который формулируется следующим образом. Приближенное решение фи е Xn определяется из уравнения РпАфп = Гп/ . Здесь фп е Xn (Xn есть п -мерное подпространство пространства X), Рп : X ^ Xn - оператор проектирования на конечномерное подпространство, который определяется ниже. Уравнение РпАфп = Рп/ эквивалентно следующему:

( АФп )(X) = / (X), у = 1,..., п.

Представим приближенное решение в виде линейной комбинации ба-

п

зисных функций: фп = 2 . Подставив это представление в схему метода

к=1

коллокации, получим систему линейных алгебраических уравнений для отыскания неизвестных коэффициентов Ск :

2 Ск (АУк)(X) = /(х]), ] = 1, ., п.

к=1

(6)

Расширенную матрицу, полученную из метода коллокации, удобно представить в блочной форме:

(7)

А11 А13 В1Л

А А22 А23 В2

А32 А33 В3 )

Элементы Вк и А^1 определяются из соотношений:

Вк = 4 ^);

Ам = ^kifj (xs)-5k/ko jG(xs,y)fj(y)dy-dx“jdTG(xs’у)fJ(y)dy (9)

Q Xk Q Xl

Здесь xs - координаты точки коллокации:

xs = (xsbxs2’xs3 ) xs1 = (s1 + 0,5)) xs2 =(s2 + 0,5)h2’ xs3 = (s3 + 0,5)

k, l = 1,2,3; sb S2, S3, Ji, j2, J3 = 0, —, n -1.

Продифференцировав выражение (9), можно расписать отдельно формулы для диагональных и недиагональных блоков матрицы (7).

В случае s Ф J и k = l матричные элементы принимают вид

All =^llfj (xs ) - k0 j G(xs,У)fJ (xs )dy -Q

-J G (, y)

Q

f (xi- yi )2 f _2. - 3ik - k21+iko L 1

r2 r J r r2

f] (xs )dy, (10)

где r = |xs - y\.

Для s Ф j и k Ф l матричные элементы принимают вид

<x-yi )(Xk-yk Ч"-ko21f'(xs l (11)

Аы =ш] (ху)-1в(,у)

б

где г = X - у\.

Для совпадающих носителей можно применить следующую формулу [3] выделения особенности:

Ак/=^к//] (ху )-а/5к/-5к/1 ков (ху, у) 1 -( У1 )хк Ук) /У (ху ) +

б I г ;

+

к 2 f к0

3Ф

( <(xl -yi <xk -Ук) ф( 0 rl¡ \d (12)

(r)-------- 2-------- -Ф(Г) fj (xj )dy • ( )

ек - ¡кГе1кг -1

Здесь Ф (г) =---------------- - всюду дифференцируемая функция, а

' ' 2/2 г к

а/ = 1/3 - в случае, если / = ^ = /3.

Численные результаты

Пусть фигура П имеет форму прямоугольного параллелепипеда (см. рис. 2), будем ее называть фигурой канонической формы. Построим расчетную сетку для фигуры П. Алгоритм построения расчетной сетки описан в [6]. Метод расчета электромагнитного поля внутри прямоугольного параллелепипеда представлен выше. Используем субиерархический метод для полу-

чения решения интегрального уравнения на теле сложной геометрической формы б (рис. 3).

Для этого создадим вектор геометрии Ж для фигуры б [6]. Воспользуемся матрицей, полученной методом коллокации для фигуры канонической формы. Для решения задачи дифракции на теле сложной геометрической формы б необходимо, чтобы б целиком вмещалось в прямоугольный параллелепипед П и состояло из элементов сетки Пг-. Справедлива следующая теорема.

Теорема [6]. Пусть и - решение интегрального уравнения (1) на фигуре канонической формы П={0 < х1 < А1, ...,0 < хп < Ап} . Пусть

т

б = п\

2 П I - фигура канонической формы, не содержащая т -носите-

к=1

лей П I . Опишем геометрию этой фигуры с помощью вектора Ж и

найдем решения интегрального уравнения (1), применив субиерархический алгоритм. Найденное решение будет являться решением интегрального уравнения на фигуре б .

Субиерархический метод позволяет составить подматрицу для определения электромагнитных полей внутри тела сложной формы при использовании матрицы, вычисленной для фигуры канонической формы. При помощи вектора Ж описываем геометрию фигуры б сложной формы, тем самым строим новую сетку. Используя построенный вектор, решаем задачу на фигуре сложной геометрической формы. Решая систему линейных алгебраических уравнений для матрицы, составленной с использованием новой сетки, находим значения поля внутри фигуры сложной формы. Скорость построения новой матрицы будет напрямую зависеть от размера фигуры и размера сетки.

Рассматриваемый метод позволил избежать повторных расчетов, связанных с вычислением матричных элементов. Особенно хорошо данный метод проявляет себя при расчете серии задач на телах различной формы.

Таким образом, представлен субиерархический метод для решения задачи дифракции на диэлектрическом теле произвольной формы (расположен-

ном в свободном пространстве), реализованный с использованием суперком-пьютерных вычислений.

Приведем результаты решения интегрального уравнения на кубе с размерной сеткой 12^12x12. Волна падает вдоль оси Оу. Для решения рассматриваемой задачи использовался суперкомпьютерный комплекс Московского государственного университета имени М. В. Ломоносова (рис. 4).

Г у і м і К

У' / А V \ \

А

/ / \ Ь

\ \ А /

\ /

л, Р г /

л / < Ґ

Рис. 4. Первое и второе сечение куба, сетка 12x12x12, £ = 2,1, волна Е0 = (0,1,0)

Список литературы

1. Гурина, Е. Е. Численное и аналитическое решение задачи дифракции электромагнитного поля на диэлектрическом параллелепипеде, расположенном в прямоугольном волноводе / Е. Е. Гурина, М. Ю. Медведик, Ю. Г. Смирнов // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки. - 2010. - № 2. - С. 44-53.

2. Гришина, Е. Е. Численное и аналитическое решение задачи дифракции электромагнитного поля на двух секциях с разной диэлектрической проницаемостью, расположенных в прямоугольном волноводе / Е. Е. Гришина, Е. Д. Деревянчук, М. Ю. Медведик, Ю. Г. Смирнов // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки. - 2010. - № 4. - С. 73-81.

3. Самохин, А. Б. Интегральные уравнения и итерационные методы в электромагнитном рассеянии / А. Б. Самохин. - М. : Радио и связь, 1998. - 160 с.

4. Ильинский, А. С. Дифракция электромагнитных волн на проводящих тонких экранах / А. С. Ильинский, Ю. Г. Смирнов. - М. : Радиотехника, 1996. - 176 с.

5. Смирнов, Ю. Г. Применение ГРИД-технологий для решения нелинейного объемного сингулярного интегрального уравнения для определения эффективной диэлектрической проницаемости наноматериалов / Ю. Г. Смирнов // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки. -

2008. - № 3. - С. 39-55.

6. Медведик, М. Ю. Применение субиерархического метода в задачах электродинамики / М. Ю. Медведик // Вычислительные методы и программирование. -2012. - Т. 13. - С. 87-97.

7. Медведик, М. Ю. Параллельный алгоритм расчета поверхностных токов в электромагнитной задаче дифракции на экране / М. Ю. Медведик, Ю. Г. Смирнов, С. И. Соболев // Вычислительные методы и программирование. - 2005. - Т. 6. -С. 99-108.

S. Медведик, М. Ю. Субиерархический параллельный вычислительный алгоритм для решения задач дифракции электромагнитных волн на плоских экранах / М. Ю. Медведик, Ю. Г. Смирнов // Радиотехника и электроника. - 200S. - Т. 53, № 4. - С. 441-44б.

9. Медведик, М. Ю. Применение ГРИД-технологий для решения объемного сингулярного интегрального уравнения для задачи дифракции на диэлектрическом теле субиерархическим методом / М. Ю. Медведик, Ю. Г Смирнов // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки. -200S. - № 2. - С. 2-14.

10. Васюнин, Д. И. Метод коллокации решения объемного сингулярного интегрального уравнения в задаче определения диэлектрической проницаемости материала / Д. И. Васюнин, М. Ю. Медведик, Ю. Г. Смирнов // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки. - 2009. -№ 3. - С. 71-S7.

11. Медведик, М . Ю . Численное решение объемного сингулярного интегрального уравнения методом коллокации / М. Ю. Медведик, Ю. Г. Смирнов // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки. -

2009. - № 4. - С. 54-б9.

12. Медведик, М. Ю. Субиерархический подход для решения объемного сингулярного интегрального уравнения задачи дифракции на диэлектрическом теле в волноводе методом коллокации / М. Ю. Медведик, Д. А. Миронов, Ю. Г. Смирнов // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физикоматематические науки. - 2010. - № 2. - С. 32-43.

13. Медведик, М. Ю. Субиерархический метод решения интегрального уравнения Липпмана-Швингера / М. Ю. Медведик // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки. - 2010. - № 4. -

14. Медведик, М. Ю. Субиерархический метод решения задачи дифракции электромагнитных вол на диэлектрическом теле в прямоугольном волноводе / М. Ю. Медведик, Ю. Г. Смирнов // Радиотехника и электроника. - 2011. - Т. 5б, № S. - С. 940-945.

15. Медведик, М . Ю . Метод коллокации для решения задачи дифракции электромагнитных волн на диэлектрическом теле, расположенном в резонаторе / М. Ю. Медведик // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки. - 2011. - № 2. - С. 2S-40.

16. Медведик, М. Ю. Численное решение задачи дифракции электромагнитных волн на диэлектрическом теле, расположенном в прямоугольном резонаторе / М. Ю. Медведик // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки. - 2011. - № 3. - С. 22-31.

Медведик Михаил Юрьевич

кандидат физико-математических наук, доцент, кафедра математики и суперкомпьютерного моделирования, Пензенский государственный университет

E-mail: _medv@mail.ru

Medvedik Mikhail Yuryevich Candidate of physical and mathematical sciences, associate professor, sub-department of mathematics and supercomputer modeling, Penza State University

УДК 517.3, 519.6 Медведик, М. Ю.

Субиерархический метод решения задачи дифракции электромагнитной волны на теле, расположенном в свободном пространстве /

М. Ю. Медведик // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки. - 2012. - № 1 (21). - С. S3-91.