CC BY
104
Расчет и конструирование
УДК 621.01
СТРУКТУРНЫЙ СИНТЕЗ И КОНСТРУИРОВАНИЕ РЫЧАЖНЫХ И ПЛАНЕТАРНЫХ САМОУСТАНАВЛИВАЮЩИХСЯ МЕХАНИЗМОВ ПО УРАВНЕНИЯМ И ТАБЛИЦАМ БЕЗЫЗБЫТОЧНЫХ СТРУКТУР
В.И. Пожбелко
STRUCTURAL SYNTHESIS AND DESIGN LINKAGES AND PLANETARY SELF-ADJUSTMENT MESHANISMS BY EQUATIONS AND TABLES OF STATIC DEFINED MECHANICAL SYSTEMS
V.J. Pozhbelko
На основе решения уравнений единой теории структуры разнообразных механических систем без избыточных связей составлена полная расчетная таблица с кодами правильного строения синтезируемых 4-12-звенных рычажных механизмов, а также определено оптимальное число равномерно нагруженных сателлитов и рассчитан предпочтительный ряд передаточных отношений и чисел зубьев колес для конструирования самоустанавливаю-щихся планетарных механизмов.
Ключевые слова: структурный синтез, коды правильного строения механизмов, рычажные и планетарные механизмы, избыточные связи, оптимальное число сателлитов.
The paper presents generalized equations structural synthesis of various mechanisms without redundant constraints as well as static defined mechanical systems. Make up full calculate tables content the project parameters for designing self-adjustment linkages and planetary mechanisms.
Keywords: design mechanical systems, linkages and planetary mechanisms, redundant constraints.
Механической системой будем называть систему взаимосвязанных (взаимодействующих между собой) твердых тел - звеньев (открытые приводы роботов, замкнутые контуры одно- и многоподвижных механизмов, структурные группы с особыми свойствами, фермы и т. д.) [1-4].
В структуре неправильно спроектированного механизма могут содержаться избыточные связи кинематических пар, дополнительно ограничивающие свободное движение звеньев в составе данного механизма и потому являющиеся вредными. Поэтому в разных областях техники возникает задача проектирования механических систем без избыточных связей, представляющих собой самоустанавливающиеся механизмы, нечувствительные к погрешностям изготовления, сборки и деформациям звеньев.
Структурный синтез - первый шаг в создании конструкции механизма, где основной критерий - исключение избыточных связей. Структурный синтез таких статически определимых механизмов представляет многовариантную задачу поиска набора звеньев и связей (в виде кинематических пар определенной подвижности, гибких и динамических связей) и построения из них проектируемой системы с требуемой степенью подвижности W.
1. Единая теория структуры механических систем
Разработанная автором [2-4] единая теория структуры охватывает разнообразные механические системы с кинематическими, гибкими и динамическими связями, простыми и сложными (совмещенными) шарнирами. Данная теория [3, 4] содержит следующие новые понятия, анали-
тические структурные зависимости и 2 теоремы о закономерностях строения безызбыточных структур различного уровня сложности, которые являются основанием для структурного синтеза и анализа при создании надежно работающих механизмов.
1. Главная геометрическая зависимость механических систем - получена на основе выполненного анализа строения разнообразных открытых и замкнутых кинематических цепей и представляет собой соотношение между их структурными параметрами вида
(Р + ё + Л) — п = (/ — 2) +1, (!)
где р - число кинематических пар; ё - число гибких связей; Л - число динамических связей; п -общее число звеньев системы; / - связность цепи, равная наибольшему числу элементов связей (кинематических, гибких, динамических), принадлежащих одному звену системы; ^ - безразмерный параметр, задающий строение цепи (^ > 0 - замкнутые цепи, ^ < 0 - открытые цепи). Величина определяет наиболее сложное звено системы и указывает наибольшее количество присоединяемых к нему в данной цепи других звеньев.
2. Универсальная формула для расчета уровня сложности механической системы
у = ( р + ё + л ) - п, (2)
где для характеристики сложности строения произвольной механической системы вводится новое понятие - уровень сложности цепи У, равный разности между общим числом связей и числом звеньев цепи п (включая стойку), где п = п — 1 - число подвижных звеньев.
Отметим, что величина У однозначно предопределяет (задает) число возникающих в механической системе независимых замкнутых контуров К, наиболее сложное звено системы и предельную связность цепи (/ = /тах) и предельное приведенное число сложных шарниров V :
К = У + 1; /тах = у + 2 = К + 1; Vmax = 2 У = 2( К — 1); (3)
V = V2 + 2^3 + 3^4 + — = Х (у — 1) VV, (4)
где V - приведенное число многократных подвижных соединений звеньев (например, сложных шарниров); V2, v3, ..., V - число двойных, тройных,у'-кратных сложных шарниров.
3. Универсальная формула для расчета числа независимых замкнутых контуров - получается подстановкой (2) в (3):
К = (р + ё + Л) — п. (5)
4. Универсальные формулы для раздельного определения числа связей и числа звеньев синтезируемой кинематической цепи заданного уровня сложности У - получены из формул (2) и (3) с учетом того, что каждому звену цепи формально принадлежит связи, а каждый сложный шарнир добавляет число кинематических пар, равное его кратности у:
(Р + ё + Л) = 2 [ + 2п2 + 3п 3 + -- - + (У + 2) • пУ+2 + V], (6)
п = п1 + п2 + п3 +-+ пУ+2. (7)
Здесь приняты обозначения: пь п2, п3, ..., п/ - соответственно число односвязных, двухсвязных (линейных), трехсвязных (треугольных), /-связных звеньев механизма.
5. Уравнение баланса подвижностей произвольной механической системы
X (Н • К„) + Ж = Х (Н • РН) + д, (8)
согласно которому необходимая для замыкания всех контуров системы подвижность звеньев X (Н • Кн) и подвижность всей системы Ж достигаются только за счет имеющейся свободной
подвижности всех используемых кинематических пар X (Н • Рн ) и натягов из-за избыточных
кинематических связей, число которых равно д. Принятые обозначения: Н = 1...6 - указывает подвижность пространства, в котором существует проектируемый механизм; ЪКН = К - общее число замкнутых контуров (5); рН - число кинематических пар подвижности Н = 1.5.
6. Универсальная структурная формула степени подвижности механических систем -получается из формулы (8) при д = 0:
Ж = Х (Н • Рн ) — X (Н • Кн). (9)
Универсальность предлагаемой структурной формулы (9) доказывается [4] путем получения из нее всех известных отдельных формул Чебышева, Сомова, Малышева, Добровольского, Озола
и возможностью ее применения (в отличие от указанных частных формул) для расчета степени подвижности любых механических систем произвольной структуры, содержащих как кинематические, так и динамические связи; как однородных, так и неоднородных систем (расчет Ж неоднородного рычажно-клинового механизма с гибкими связями дан в работе [4]).
7. Условие статической и кинематической определимости произвольных кинематических цепей (групп Ассура) - получается из формулы (9) при Ж = 0:
X (Н • рн) = Х & • К). (10)
8. Уравнение динамического равновесия механической системы
N - ^о - = °. (11)
Согласно (11) для обеспечения устойчивой работы любой механической системы необходимо соблюдать баланс между числом степеней ее свободы N, числом ограничивающих движение условий связи 50 и числом связей 5(, приводящих звенья в движение (неравенство < 0 дает избыточные связи, а неравенство > 0 - лишние подвижности). Решение уравнения (11) показано на рис. 1, а и в разд. 5.
ИИ А А
«2 = 4
и3 = 2
Рис. 1. Структурный синтез и кодирование механизмов
9. Код строения механизма - представляет номенклатуру звеньев (7) и шарниров (4):
(п2 п3 п4 ...)/у. (12)
Информативность кода строения (12) определяет общее число П звеньев системы и их номенклатуру (7), число замкнутых контуров К (это число цифр кода), уровень сложности цепи У = К - 1 и даже число кинематических пар в ней р = К + п - 1. В общем случае код строения (12) представляет собой структурную матрицу вида
(13)
для воспроизведения по ней механических систем заданного уровня сложности У (см. п. 3 и 4) с требуемым числом замкнутых контуров К.
10. Универсальная структурная математическая модель механизмов без избыточных связей -это система (14) алгебраических выражений (2)-(9):
У = (р + g + й) - п = -1; 0; 1; 2; 3;...;
п = пх + п2 + п3 +--+ пУ+2;
п1 V п1 V Р
п2 к2 п2 к2 Р1
^У = п3 к3 ; ^К = п3 к3 Р2
пУ +2 к2У пК +1 к2( К-1) Рн
(Р + g + й) = 1 [ + 2п2 + 3п3 +------------+ (У + 2) х пУ+2 + к];
V = V.
2 + 2к3 + 3к4
+ < 2У; і < У + 2; і < К +1;
Ж = Х(Н • рн)-X(Л• К); XРн = Р; IК = К = У +1;^ весь набор найденных целочисленных решений, который приведен в разд. 3 (в виде сводной табл. 1 с кодами правильного строения механизмов).
(14)
11. Теоремы о структуре механических систем без избыточных связей (рассматривается задача выявления причин возникновения и путей устранения избыточных связей).
ТЕОРЕМА 1. Кинематические цепи без избыточных связей должны содержать не более Ктах независимых замкнутых контуров:
Ктах = 1 [X (Н • PH ) - Ж]. (15)
СЛЕДСТВИЕ. Выполнение цепи с увеличенным числом замкнутых контуров К > Ктах приводит к ее сборке с натягами и возникновению в ней избыточных связей
91 = * (К - Ктах). (16)
ТЕОРЕМА 2. Кинематические цепи без избыточных связей должны содержать не менее п2тт двухсвязных (линейных) звеньев, рассчитываемых по формуле
П2тт = 3 + Ж + У + Х К* (И - 3) + & + () + (П4 + 2п5 + 3^...)-X (Н -1) Рн, (17)
которая для однородных механизмов с одноподвижными кинематическими парами примет более простой вид (I < 3):
п2тЬ = 3 + Ж + ^ + (И - 3)(Р1 - п); Р1 - п = У + 1 (18)
СЛЕДСТВИЕ 1. Выполнение цепи с уменьшенным количеством двухсвязных (линейных) звеньев п2 < п2т!п приводит к возникновению в ней избыточных связей 91,
91 = п2тт - п2. (19)
СЛЕДСТВИЕ 2. Согласно (18) простейший плоский механизм без избыточных связей (Ж = 1, одноконтурный И = 3) должен быть четырехзвенным, а простейший пространственный механизм (Ж = 1, одноконтурный И = 6) - семизвенным.
СЛЕДСТВИЕ 3. При сохранении заданной степени подвижности Ж и числа независимых замкнутых контуров К механической системы - многоподвижная кинематическая пара подвижностью Н может быть заменена двухпарными звеньями числом (Н - 1) с одноподвижными кинематическими парами (это условие эквивалентной замены кулачковых и зубчатых механизмов на рычажные).
Примечание. Выражение (17) - это базовое уравнение строения безызбыточных механических систем, устанавливающее требуемое соотношение между разными многопарными звеньями и их связями в любых структурах без избыточных связей (механизмы, фермы).
12. Универсальная формула для расчета количества избыточных связей в проектируемой механической системе (механизме) - получена на основании теорем 1 и 2, а также зависимостей (5) и (8)
9 = 90 + 91; 9! = п2тт - п2 = И ( - Ктах ); 90 =Х( 6 - И) КИ =(6 - И)(Р - п )• (20)
Примечания:
1. Алгоритм и примеры направленного структурного синтеза самоустанавливающихся рычажных и планетарных механизмов рассмотрены ниже в разд. 2-5.
2. Устранение избыточных связей может выполняться путем изменения кода строения механизма и его матрицы (13) и/или путем увеличения (в каждом из замкнутых контуров с Ж = 0) суммарной подвижности применяемых кинематических пар из условия (10):
X(Н • РН) = Р + 2 Р2 + 3 Р3 + 4 Р4 + 5 Р5 = *. (21)
2. Области существования и закономерности образования кинематических цепей
Для перехода к рассмотрению механических систем произвольной структуры сначала установим взаимосвязь между возможными областями существования разнообразных кинематических цепей и закономерностями их строения. Решая совместно (1) и (2), получаем аналитическую зависимость вида (22), которая графически наглядно охватывает все возможные области существования кинематических цепей (рис. 2):
У = (I - 2) + г. (22)
Используя график (см. рис. 2), устанавливаем следующие закономерности образования цепей в зависимости от расположения их ячеек в координатах У-г.
1.Число возникающих в цепи независимых замкнутых контуров и связность цепи однозначно предопределены уровнем ее сложности:
К = У +1 = (Р + я + ё) - п; К = (I -1) + г; I < У + 2; ^ = К +1. (23)
2. Между разделительной прямой I и вертикальной прямой Щвключая эти прямые) расположены замкнутые цепи, используемые для создания механизмов (механические системы с подвижностью Ж> 1) и ферм (Ж = 0), в которых I < У + 2; I < К +1.
3. Между разделительной прямой I и горизонтальной прямой III расположены открытые цепи без замкнутых контуров.
4. Цепи, содержащие только простые шарниры, расположены на разделительной прямой I (г = 0) и имеют наибольшую для данного уровня У связность: /тах = У + 2 = К +1.
5. Перемещение на графике по горизонтали влево от разделительной прямой I (область г > 0)
приводит к увеличению в цепи числа сложных шарниров до максимума (на прямой II): утах = 2У = 2(К -1), а перемещение вправо от разделительной прямой I (область г < 0) приводит
к увеличению в цепи числа свободных концов звеньев до величины к = г .
Отметим, что число ячеек на рассматриваемом уровне сложности цепи (см. рис. 2) указывает конкретное число решений задачи структурного синтеза. Например, на нулевом уровне (У = 0) данная задача имеет только одно решение - I = 2, т. е. цепь должна состоять только из двухсвязных звеньев и (соответственно К = У + 1 = 1) быть одноконтурной.
Предлагаемая на основе графика главной геометрической зависимости кинематических цепей (см. рис. 2) стратегия направленного структурного синтеза механических систем заключается в последовательном заполнении для данного уровня сложности проектируемой системы У (по горизонтали) всех ячеек (У, /) конкретными цепями из различных по сложности многопарных звеньев и совмещенных шарниров (от птп = п2, утах = 2У на прямой II до птах = пУ+2, ^тт = 0 на прямой I) для построения из них безызбыточных механизмов.
3. Расчет параметров строения и составления полной расчетной таблицы безызбыточных рычажных механизмов
Совместное решение универсальной математической модели (14) и базового уравнения строения безызбыточных структур (17) (см. теорему 2) производилось с помощью соответствующей программы на ЭВМ и заключалось в поиске всех целочисленных решений в виде искомых наборов структурных параметров (п2, п3, п4, п5, п6, V), реализующих весь массив ячеек на рис. 2 (набор полученных решений представлен в табл. 1).
Полученные результаты приведены в полной расчетной таблице 1 и представляют собой все возможные коды правильного строения плоских и сферических 4-, 6-, 8-, 10- и 12-звенных механизмов с Ж = 1, Р = Р\, содержащих замкнутые контуры с трехподвижными звеньями (И = 3) и представляющих системы разного уровня сложности (У = 0; 1; 2; 3; 4) с разным количеством контуров (К = У + 1 = 1; 2; 3; 4; 5) и кинематических пар (р = Р\ = У + п = 4; 7; 10; 13; 16).
Согласно данным табл. 1 можно утверждать, что существуют: 3 варианта кодов строения (типов структуры) шестизвенных механизмов; 9 типов - восьмизвенных механизмов; 23 типа -десятизвенных механизмов; 53 типа - двенадцатизвенных рычажных механизмов.
Использование полной расчетной таблицы безызбыточных структур (см. табл. 1) позволяет конструктору осуществить следующий алгоритм направленного синтеза механизма по заданному уровню его сложности У = 0; 1; 2; 3; 4 (т. е. допускаемому числу его звеньев, кинематических пар и замкнутых контуров) и требуемой степени подвижности Ж с учетом:
Рис. 2. Области существования кинематических цепей
- назначаемого конструктором наиболее сложного многопарного звена механизма щ, где 1 < У + 2 (выбирается горизонтальная строка в табл. 1);
- назначаемого конструктором числа сложных (совмещенных) шарниров V (выбирается вертикальная строка в табл. 1).
В итоге пересечение выбранных в табл. 1 горизонтальной и вертикальной строк указывает конкретный набор многопарных звеньев, простых и сложных шарниров для построения структурной схемы синтезируемого многозвенного механизма заданного уровня сложности (и заполнения всего массива ячеек на графике рис. 2).
Таблица 1
Универсальная структурная таблица механических систем
= 1 к = 3, Н = 1
У = 0 У = У II 2
(Й = 4) (Й =6) (9 типов структуры п =8)
V 0 0 1 2 0 0 0 1 1 2 2 3 4
Й2 4 4 5 6 4 5 6 5 6 6 7 7 8
Й3 - 2 1 0 4 2 0 3 1 2 0 1 0
Й4 - - - - 0 1 2 0 1 0 1 0 0
У = 3 (23 типа структуры п = 10)
V 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 2 2 2 2 3 3 3 4 4 5 6
Й2 4 5 6 6 7 7 8 5 6 7 7 8 6 7 8 8 7 8 9 8 9 9 1
Й3 6 4 2 3 0 1 0 5 3 1 2 0 4 2 0 1 3 1 0 2 0 1 0
Й4 0 1 2 0 3 1 0 0 1 2 0 1 0 1 2 0 0 1 0 0 1 0 0
Й5 0 0 0 1 0 1 2 0 0 0 1 1 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0
ш= 1, к = 3, Н = 1
У 3 (5 4 = типа структуры п = 12)
V 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
Й2 4 5 6 6 7 7 7 8 8 8 8 9 9 9 1 5 6 7 7 8 8 8 9 9 9 1
Й3 8 6 4 5 2 3 4 0 1 2 2 0 0 1 0 7 5 3 4 1 2 3 0 1 1 0
й4 0 1 2 0 3 1 0 4 2 0 1 1 2 0 0 0 1 2 0 3 1 0 2 0 1 0
Й5 0 0 0 1 0 1 0 0 1 2 0 2 0 1 0 0 0 0 1 0 1 0 1 2 0 1
Й6 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 1 1 2 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 1
У = 4 (продолжение)
2 2 2 2 2 2 2 2 2 3 3 3 3 3 3 4 4 4 4 4 5 5 5 6 6 7 8
6 7 8 8 9 9 9 1 1 7 8 9 9 1 1 8 9 1 1 1 9 1 1 1 1 1 1
6 4 2 3 0 1 2 0 0 5 3 1 2 0 1 4 2 0 1 0 3 1 0 2 0 1 0
0 1 2 0 3 1 0 0 1 0 1 2 0 1 0 0 1 2 0 0 0 1 0 0 1 0 0
0 0 0 1 0 1 0 2 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0
4. Структурный синтез самоустанавливающихся рычажных механизмов
Рассмотрим некоторые задачи структурного синтеза рычажных механизмов и пути их решения на основе расчетных кодов (см. табл. 1) и аналитических зависимостей теоремы 2 (о строении безызбыточных механических систем).
Пример 1. Структурный синтез кривошипно-ползунного механизма нулевого уровня сложности (Ж = 1, У = 0)
К системам нулевого уровня сложности (У = р - ~ = 0, р = ~) относятся простейшие (одноконтурные К = У + 1 = 1) механизмы, их отличительный признак - число звеньев равно числу кинематических пар (см. разд. 2) - выполняется как в пространственных, так и плоских схемах.
Согласно выражению (18) простейший рычажный механизм (У = 0, Н = 3) должен быть четырехзвенным (рис. 3, а), однако в его пространственной схеме (Н = 6) согласно (20) возникают вредные избыточные связи (д0 = 3). Для их устранения согласно формулам (17) и (18) теоремы 2 возможны две стратегии перестройки пространственного механизма:
1. В четырехзвенном механизме для получения «2тт = 4 нужно применить двух- и трехподвижные пары (см. рис. 3, б), количество которых определяется из уравнения (17):
2тт
= 3 + Ж + (Н - 3) - (р2 + 2р3) = 3 +1 + (6 - 3) - (р2 + 2р3) = 4 ^ р2 = 1, р3 = 1.
Рис. 3. Устранение дефектов структуры, приводящих к избыточным связям в рычажном механизме
2. В механизме со всеми одноподвижными кинематическими парами нужно увеличить число двухпарных звеньев (см. рис. 3, в) до величины, определяемой из выражения (17):
«2 = «2тш = (3 + Ж) + (Н - 3) = (3 + 1) + (6 - 3) = 7.
Пример 2. Синтез шарнирного механизма для передачи вращения на два ведомых вала (Ж = 1, У = 1)
Формально такой механизм может быть сконструирован путем шарнирного соединения одним звеном ведущего и двух ведомых звеньев. Однако созданный таким образом пятизвенный механизм (рис.4, а) имеет код строения 32/0 («2 = 3, п3 = 2, V = 0; У=р-п = 6-5 = 1), который отсутствует в перечне допустимых кодов табл. 1. Это означает наличие в таком механизме (32/0) особо вредных избыточных связей: 91 = п2тт - «2 = 4 - 3 = 1, возникающих из-за дефектов его структуры, нарушающих теорему 2 («2 < «2тт). Согласно рассчитанным в полной табл. 1 кодам правильного строения механизмов, для устранения этих дефектов (т. е. достижения 91 = 0) нужно выполнить перестройку механизма путем увеличения двухпарных звеньев до величины, требуемой по выражению (18) для реализации кодов 42/0, 51/1, 60/2 (см. рис. 4, б-г).
,5
•77^777^777^
0(5)
, У ' 1. Л' 2, Цу —
б) код 42 (2 варианта сборки
замкнутой кинематической цепи я’ = 6, и2 = 4, Я3 =? 2, V = 0; = 0)
в) код 51/1 (и = 6, п2 = 5,
V = V? - 1,
«з = 1; Ч\ = °)
г) код 60/2 (7Г =6, «2=* V = у2 = 2; Ч\ =°)
Рис. 4. Структурный синтез двухконтурного механизма без избыточных связей
Пример 3. Синтез механизма второго уровня сложности (Ж = 1, У = 2)
Согласно табл. 1 устанавливаем, что для реализации простейшего из 9 возможных кода строения 440/0 (с минимально возможным в безызбыточных механизмах числом двухпарных звеньев п2 = 4) нужно в кинематическую цепь рассмотренного выше шестизвенного механизма (код 42/0 на рис. 4, б) добавить два трехпарных звена, образовав из полученного набора звеньев (п2 = 4, п3 = 4, п4 = 0) восьмизвенный трехконтурный (К = У + 1 = 3) механизм.
Пример 4. Синтез механизма четвертого уровня сложности (Ж = 1, У = 4)
Задавая наиболее сложное звено цепи - например, четырехпарное (горизонтальная строка табл. 1 - п4), и применяя простые шарниры (вертикальная строка табл. 1 - V = 0), определяем на их пересечении 4 кода строения (56100/0, 64200/0, 72300/0, 80400/0) для построения из указанных наборов звеньев (например, п2 = 5, п3 = 6, п4 = 1, п5 = 0, п6 = 0) двенадцатизвенного пятиконтурного (К = У + 1 = 5) механизма. Синтезированный рычажный механизм (код 56100/0) показан на рис. 5, а.
Рис. 5. Структурный синтез многоконтурных механизмов: а - код 56100/0 ^=1); б - код8110/3 ^=1^2=3); в - код 8301/0 ^=3)
Пример 5. Синтез механизма третьего уровня сложности с совмещенными шарнирами (Ж = 1, У = 3)
Задавая наиболее сложное звено цепи - например, четырехпарное (горизонтальная строка табл. 1 - п4), и применяя 3 совмещенных (двойных) шарнира (вертикальная строка табл. 1 -
V = v2 = 3), определяем на их пересечении единственно возможный код строения безызбыточной структуры (8110/3) для построения из найденного набора звеньев (п2 = 8, п3 = 1, п4 = 1, п5 = 0) десятизвенного четырехконтурного (К = У + 1 = 3 + 1 = 4) механизма. Синтезированный механизм показан на рис. 5, б (применяется в приводе трикотажной машины).
Пример 6. Синтез многоподвижного механизма третьего уровня сложности (Ж = 3, У = 3)
Для синтеза многоподвижного механизма с Ж = 3, У = 3 достаточно из табл. 1 для заданного уровня сложности выбрать код строения одноподвижного механизма (Ж = 1, У = 3), например 6301/0, и согласно зависимости (18) соответственно требуемому увеличению Ж - увеличить на две единицы (3 - 1 = 2) число его двухпарных звеньев (с п2 = п2тт = 6 до п2 = п2тт = 8). Тогда получаем искомый новый код (8301/0) для построения из полученного набора звеньев (п2 = 8, п3 = 3, п4 = 0, п5 = 1; К = У + 1 = 4) двенадцатизвенного трехподвижного механизма - результат на рис. 5, в (применяется в приводе основовязальной машины).
5. Структурный синтез и конструирование самоустанавливающихся планетарных механизмов
Синтезируемые планетарные механизмы представляют собой механические системы с многоподвижными кинематическими парами в виде зубчатых зацеплений (IV класса - в плоской схеме и II класса - в пространственной схеме). Возникающие в нерациональных конструкциях планетарных передач избыточные связи являются вредными, так как приводят к неравномерному распределению потоков передаваемой мощности между сателлитами. Выражая в уравнении (8) число возникающих в схеме на рис. 6, а избыточных связей (д) через число сателлитов (к), получаем формулы расчета д в плоской (д = дпл) и пространственной (д = дпр) схемах:
= к -1;
іпр
= (к -1) + 2 к,
(24)
где величина к - 1 определяет неравномерность распределения потоков мощности в плоскости между сателлитами, а величина 2к - неравномерность распределения нагрузки по длине зуба.
Для уменьшения д следует выполнить центральную шестерню и сателлиты самоустанавли-вающимися (рис. 6, б) за счет выполнения этой шестерни плавающей и ее двухподвижного соединения с ведущим валом, а также установки сателлитов на сферических подшипниках (трехподвижные пары) - ниже в табл. 2 приведены рекомендуемые (из расчетов) проектные параметры планетарного механизма.
Предложим следующий 2-этапный алгоритм оптимизации проектных параметров планетарных механизмов:
I этап. Рассмотрим обратную конструкторскую задачу - определить, сколько равномерно нагруженных сателлитов (к = к0) можно установить в планетарном механизме с безопорным (плавающим) центральным колесом.
Используя уравнение динамического равновесия любой механической системы вида (11), выражаем все слагаемые через искомое число сателлитов к0 (применительно к пространственной схеме механизма на рис. 6, б, где п = 3 + к0; Р11 = 2к0; Рш = к0; Р1м = 1; Рм = 2): а) N = 6 п = 6 • (3 + к0);
б) Б0 = 2Рп + 3РШ + 4Р1У + 5р = 4к0 + 3к0 + 4 + 5 • 2 = 14 + 7к0;
'Sd = 1.
Решаем полученное уравнение: 6(3 + к0) - (14 + 7к0) - 1 = 3 - к0 = 0 относительно к0 и на основе найденного единственного решения (к0 = 3) делаем практический вывод для конструкторов: для равномерного распределения передаваемой нагрузки между всеми установленными сателлитами за счет плавающего центрального колеса нужно рациональный (безызбыточный) планетарный механизм конструировать с 3 сателлитами (к = к0= 3).
Рис. 6. Структурный синтез самоустанавливающихся многосателлитных планетарных механизмов
II этап. Определение передаточных отношений и числа зубьев колес трехсателлитных планетарных механизмов с равномерным распределением нагрузки между сателлитами.
Решение этой обратной задачи конструирования рациональных механизмов является многовариантным и определяется путем совместного рассмотрения системы известных уравнений соосности, сборки и передаточного отношения однорядного планетарного механизма [1]. Полученный набор целочисленных значений чисел зубьев колес и отвечающих им передаточных отношений однорядных планетарных механизмов (в диапазоне от 3 до 8 с шагом в пределах 5 %) приведен в табл. 2 и представляет собой готовый для конструктора предпочтительный ряд проектных параметров самоустанавливающихся однорядных планетарных механизмов с плавающим
центральным звеном (см. рис. 6, б). Обозначения в табл. 2: икн - рекомендуемое передаточное отношение проектируемого планетарного механизма; zk, zn, zc - числа зубьев подвижного (гк) и неподвижного ^„) центральных колес и сателлитов ^с).
Таблица 2
Предпочтительный ряд проектных параметров трехсателлитных планетарных механизмов
ипкн Число зубьев 0Пш Число зубьев и"*» Число зубьев и"^ Число зубьев
2К 2П 2К 2П 2С ' 2„
з;14 42 90 24 4,15 39 123 42 5,11 27 111 45 6,25 24 126 51
3,2 15 33 9 4,17 36 114 39 5,14 21 87 33 6,29 21 111 45
3,23 39 87 24 4,19 33 105 36 5,2 15 63 24 6,33 18 96 39
3,28 42 96 27 4,2 30 96 33 5,2 30 126 48 6,4 15 81 33
3,38 39 93 27 4,23 27 87 30 5,25 24 102 39 6,5 12 66 27
3,42 42 102 30 4,34 36 120 42 5,33 9 39 15 6,58 21 117 48
3,5 36 90 27 4,37 33 111 39 5,33 18 78 30 6,67 9 51 21
3,54 39 99 30 4,4 15 51 18 5,43 21 93 36 6,67 18 102 42
3,56 42 108 30 4,4 30 102 36 5,5 12 54 21 6,8 15 87 36
3,6 15 39 12 4,45 27 93 33 5,5 24 108 42 6,87 21 123 51
3,64 33 87 27 4,5 12 42 15 5,55 27 123 48 7 12 72 30
3,67 36 96 30 4,5 36 126 45 5,6 15 69 27 7 18 108 45
3,7 39 105 33 4,55 33 117 42 5,72 21 99 39 7,2 15 93 39
3,72 42 114 36 4,6 30 108 39 5,75 24 114 45 7,33 9 57 24
3,82 33 93 30 4,67 9 33 12 6 9 45 18 7,33 18 114 48
3,84 36 102 33 4,67 27 99 36 6 12 60 24 7,5 12 78 33
3,85 39 111 36 4,74 33 123 45 6 15 75 30 7,6 15 99 42
3,86 42 120 39 4,75 24 90 33 6 18 90 36 7,66 18 120 51
4 12 36 12 4,8 15 57 21 6 21 105 42 8 9 63 27
4 15 45 15 4,8 30 114 42 6 24 120 48 8 12 84 36
4 30 90 30 4,89 27 105 39 8 15 105 45
4 33 99 33 5 12 48 18 8 18 126 54
4 36 108 36 5 24 96 36
4 39 117 39 5 30 120 45
4 42 126 42
Заключение
1. Составленная полная расчетная таблица кодов (см. табл. 1) является универсальной, так как охватывает все возможные коды правильного строения 4-, 6-, 8-, 10- и 12-звенных механических систем без избыточных связей (при Ж = 1 всего 89 кодов) и позволяет выполнить направленный структурный синтез рычажных механизмов из указанных в этой таблице математически рассчитанных наборов многопарных звеньев, простых и совмещенных шарниров.
Предлагаемый начальный этап структурного анализа механизма должен включать составление его кода строения (12) и матрицы в форме (13). Несовпадение с табл. 1 кода строения проек-
тируемого рычажного, а также зубчатого или кулачкового механизмов (преобразованных по теореме 2 тоже в рычажный механизм) означает наличие в них избыточных связей и указывает пути их устранения по формулам (17), (20) и (21).
2. Рассчитанное из уравнения динамического равновесия (11) оптимальное число равномерно нагруженных сателлитов, равное трем, является единственным решением задачи структурного синтеза безызбыточных планетарных механизмов с плавающим центральным звеном. Соответствующая этому решению табл. 2 содержит готовый для конструктора предпочтительный ряд передаточных отношений и чисел зубьев всех колес самоустанавливающихся планетарных механизмов.
3. Интересно отметить, что из зависимостей (17) и (18) теоремы 2 можно получить необычные (через код строения механизма) универсальные структурные формулы подвижности W любой механической системы (с учетом стойки) как в общем случае
W = n2 - (n4 + 2n5 + 3n6 ...) -v-X Kh (h - 3) - (g + d) - 3 + (p2 + 2 p3 + 3 p4 + 4 p5) + q, (25)
так и в частном случае (h = 3, p = pi, q = 0)
W = n2 - [n4 + 2n5 + 3n6 +-+ (K - 2)nK+1 ]-v - 3 . (26)
Структурные формулы (25) и (26) устанавливают взаимосвязь между W, q и кодом строения проектируемого механизма (12) и могут быть использованы при структурном синтезе механизма для определения матрицы его строения (13), обеспечивающей требуемое число подвижностей W, замкнутых контуров K и звеньев n . Применимость новых формул (25), (26) для структурного синтеза и анализа проверена автором на разнообразных схемах рычажных, кулачковых и зубчатых механизмов, представляющих [1] различные области машиностроения. Например, все коды 4-12-звенных рычажных механизмов из табл. 1 дают по формуле (25) правильный результат W = 1 (q = 0).
4. Совместный анализ взаимосвязи формул (см. разд. 1), графика на рис. 2 и системы стандартных кодов в расчетной табл. 1 приводит к следующему выводу:
* Общие свойства строения кинематических цепей предопределены их «Уровнем сложности Y» (т. е. разностью между числом подвижных соединений звеньев и общим числом этих звеньев в цепях как открытых: Y = -1, так и замкнутых: Y = 0; Y = 1; Y = 2;...) и устанавливают следующие области существования замкнутых кинематических цепей без избыточных связей, ограниченные необходимым минимумом двупарных звеньев (n2min = 3 + W + v + E(Y - 1)nY+2) и предельным максимумом: а) сложности звеньев (zmax = Y + 2) и числа различных многопарных звеньев (n2max = 2Y + W + 3; n3max = 2Y; n4max = Y; nt>5 < Y; б) общего числа звеньев цепи (n = 2Y + W + 3) и их соединений (p = 3Y + W + 3); в) числа образуемых ими независимых замкнутых изменяемых контуров цепи (K = Y +1); г) числа и кратности сложных (т. е. совмещенных) шарниров (vmax = 2Y; jmax = Y +1), используемых для соединения звеньев цепи с заданным W.
Литература
1. Крайнев, А.Ф. Механика (искусство построения) машин. Фундаментальный словарь /
A.Ф. Крайнев. - М.: Машиностроение, 2000. - 904 с.
2. Пожбелко, В.И. Инерционно-импульсные приводы машин с динамическими связями /
B.И. Пожбелко. - М. : Машиностроение, 1989. - 136 с.
3. Пожбелко, В.И. Единая теория структуры механических систем // Методы решения задач синтеза механизмов: учеб. пособие /В.И. Пожбелко. - Челябинск: ЧГТУ, 1993. - С. 19-56.
4. Пожбелко, В.И. Универсальная структурная формула и классификация механических систем любой структуры / В.И. Пожбелко //Известия вузов. Машиностроение. - 2000. - № 1-2. - С. 3-10.
Поступила в редакцию 20 сентября 2010 г.
Пожбелко Владимир Иванович. Доктор технических наук, профессор кафедры «Теоретическая механика и основы проектирования машин», заслуженный работник высшей школы Российской Федерации, Южно-Уральский государственный университет. Область научных интересов -теория механизмов и машин, вибротехника, трибология и биомеханика.
Vladimir Y. Pozhbelko. Doctor engineering science, professor of the Teoretical Mechanics and Desigh Machine department. Professional interests - theory of machines and mechanisms, vibrotechnics and biomechanics.
