Структурное разделение процессов в трехфазной четырехпроводной цепи и компенсация тока нейтрали Текст научной статьи по специальности «Электротехника, электронная техника, информационные технологии»

Електричні станції, мережі і системи

УДК 621.31 Ю.А. Сиротин

СТРУКТУРНОЕ РАЗДЕЛЕНИЕ ПРОЦЕССОВ В ТРЕХФАЗНОЙ ЧЕТЫРЕХПРОВОДНОЙ ЦЕПИ И КОМПЕНСАЦИЯ ТОКА НЕЙТРАЛИ

Проведено аналіз 0-складової струму і напруги в чотирьохпровідному колі. Показано як виділити частину кола без 0-складових струму і напруги, еквівалентну вихідному колу по миттєвій потужності без 0-складової Для синусоїдальних процесів з несиметричною напругою запропоновано алгоритм визначення провідностей ЬС елементів компенсатора струму нейтралі. При симетричній напрузі викладена методика розрахунку реактивних провідностей 0-компенсатора по провідністям навантаження. Розібрані прикладирозрахунків.

Проведен анализ 0-составляющей тока и напряжения в четырехпроводной цепи. Показано как выделить часть цепи без 0-составляющих тока и напряжения, эквивалентную исходной цепи по мгновенной мощности без 0-составляющей. Для синусоидальных процессов с несимметричным напряжением предложен алгоритм определения проводимостей ЬС элементов компенсатора тока нейтрали. При симметричном напряжении изложена методика расчетареактивных проводимостей 0-компенсатора по проводимостям нагрузки. Разобраны примеры расчетов.

ВСТУПЛЕНИЕ

В 3-проводной цепи (в силу 1 закона Кирхгофа) сумма трех линейных токов равна нулю (трехфазный ток не содержит 0-последовательность). Поэтому мгновенная мощность (ММ) инвариантна к выбору точки отсчета (ТО) напряжений трех фаз сечения < А,В,С >. Сумма трех фазных напряжений, измеренных относительно «искусственного заземления» (ИЗ), равна нулю (трехфазное напряжение не содержит 0-последовательность). ИЗ определено центром симметричной звезды с произвольными, но одинаковыми сопротивлениями, которые подключены в сечение <АВ,С>. Тем самым энергетические процессы в

3-проводной цепи с ИЗ не содержат 0-последовательность тока и напряжения. Это позволяет считать их двумерными.

Наличие нейтрали в 4-проводной цепи при несимметричной нагрузке приводит к появлению 0-последовательности тока. Однако мгновенная мощность

4-проводной цепи инвариантна к выбору точки отсчета (ТО) четырех напряжений (трех фазных напряжений и напряжения нейтрали), что позволяет в качестве ТО напряжений выбрать нулевой провод (не изменяя величину ММ) и в каждый момент времени энергетические процессы в 4-проводной цепи считать трехмерными.

Если в 4-х проводной цепи исключить (скомпенсировать ) 0-последовательность тока и выбрать «искусственное заземление» в качестве ТО, то такая цепь математически становится эквивалентной 3-х проводной цепи с двумерными процессами, что упрощает анализ энергетических процессов [1].

Компенсация 0-последовательности тока позволяет в точке подключения 4-проводной нагрузки отключить ее нейтральный провод от нейтрали 4-х проводной сети и замкнуть его на нейтраль компенсатора 0-последовательности. Это позволяет уменьшить нагрузку на нейтраль всей сети.

Тем самым задача компенсации 0-последовательности тока имеет самостоятельный как научный так и практический смысл.

ТОК И НАПРЯЖЕНИЕ 0-П0СЛЕД0ВАТЕЛЬН0СТИ

4-ПРОВОДНОЙ ЦЕПИ Орт 0-последовательности

е, = (1/л/3)[1, 1, 1]х, Ы= 1 (1)

трех фаз (сечения <АВ,С>) позволяет произвольный З^вектор столбец х=(ха, хъ, х) разложить на ортогональные составляющие (здесь и дальше т - операция транспонирования):

х = х0 + (х - х0) = х0 + хд; х0 ± хд . (2.а)

В разложении (1) компонента

Т

х0 = (XХе0)е0 =

ха + хъ + хс

3

(2.6)

является проекцией вектора х=(ха, хъ, хс)х на орт 0-последовательности и равна 0-составляющей этого вектора. Прямыми вычислениями можно проверить, что вторая компонента разложения (2.а) равна

2ха _ хЪ ~ хс

X,. = X - Ха =

2хЪ - ха - хс 2хп ~ ха ~ хЪ

(2. в)

Составляющая (2.в) является ортогональным дополнением составляющей (2.6) до полного вектора и не содержит 0-составляющей.

При измерении напряжения в сечении <4ДС> относительно нейтрали 4-проводной системы ММ

р(Ґ) = иа (ґ)1а (?) + иъ (0*Ъ (0 + ис (0*с (0) = и'і (3)

в каждый момент времени равна скалярному произведению 3-х мерных векторов мгновенных значений (м.з.) тока и напряжения трех фаз

и = (иа (4 иъ (0, ис (0)Х , і = Оа (0,ІЪ (0, ¡с (О)* . (4)

В силу ортогональности разложения (2.а) в каждый момент времени для 3 ^кривых тока и напряжения

І = іо + Ід , и = ио + ид (5)

скалярное произведение (3) представляется как

иХІ = Ио\ + , р(0 = Ро(0 + Рд(Ї). (6)

Ро(ґ) Рд(ґ )

Вектор напряжений иА= и - (ихео)ео не содержит 0-последовательности. Тем самым, три напряжения, которые в него входят, измерены относительно ИЗ.

Все три координаты вектора напряжений 0-последовательности

ио = (ихео)ео = (и

~)х

(7)

одинаковы

и = и(/) = (иа (/) + иъ (0 + ис (0)/3

и равны разности напряжений между нейтралью и фиктивной точкой отсчета для сечения <А,В,С>.

последовательности равна нулю р0(?)=0. Такая 4-проводная схема с компенсированным током 0-последовательности эквивалентна 3-проводной схеме, в которой напряжения фаз измеряются относительно ИЗ для трех фаз (а не относительно нейтрального провода). Нулевой провод можно отключить, так как ток в нем равен нулю. Если 0-последовательность напряжения 4-проводной системы равна нулю и0(/)=0, то мощность р0(/)=0, а результаты измерения напряжения относительно нейтрали и искусственной ТО совпадают.

В матричном виде компонента (2.в) записывается как

1

X Д = -д 3

"2 -1 -1" ха

-1 2 -1 хЪ , ХД = ^Ах . (10)

-1 -1 2 _ Щ _

Матрица

2 -1 -1 2

-1 -1

-1 -1

2

(11а)

нейтраль

Рис. 1. Структурное представление 4-проводной цепи

В моменты времени ґ, когда полный ток не содержит 0-компоненту (і0(ґ) = 0):

- ток в нейтрали іп(1) 4-проводной системы отсутствует:

Іп (ґ) = л/3г'о(ґ) = 0; (8.а)

- полная ММ не содержит 0-последовательности ММ

Ро(ґ) = іо(ґ )ио(ґ); (8.6)

- мгновенная мощность

и ХІ = (иД)Х Ід, Р(ґ) = Рд (ґ) (8. в)

определена компонентой тока ід без 0-последовательносги и компонентой напряжения иА измеренного относительно ИЗ.

0-последовательность тока однозначно связана с током в нейтрали. 0-последовательность напряжения однозначно связана с выбором точки отсчета напряжения. Таким образом, вычитание в каждой фазе из полного тока величины

Іп (ґ)/3 = (Іа (ґ) + Ъ (ґ) + Іс (ґ))/3 (9)

приводит к компенсации тока 0-компоненты и тем самым к удалению тока нейтрали. Если ток нейтрали (тождественно) равен нулю, то мощность 0-

обладает свойством

Вд- 4= Вд . (11.6)

Вектор напряжений

Ид = В д и (12)

не содержит 0-последовательности и равен вектору фазных напряжений, измеренному относительно ИЗ.

Алгоритм (12) позволят измерять фазное напряжение и относительно произвольной ТО и переводить его в напряжение относительно искусственного заземления. Если исходное напряжение не содержит 0-последовательности, то в силу (11.6) и = и .

КОМПЕНСАЦИЯ ТОКА НЕЙТРАЛИ В СИНУСОИДАЛЬНОМ РЕЖИМЕ В трёхпроводном сечении <А,В,С> трехфазной системы с синусоидальными процессами

Рис. 2. 3-фазная 4-проводная схема

м.з. напряжения и тока

и = (и а (ґ), иЪ (ґ), ис (ґ))х = тІ2Ке[ие]Ш ], (13)

і = (Іа (ґ), Ъ (ґ), Іс (ґ))х = л/2 Яе[ 1е^ы ] (14)

однозначно определены трехмерными комплексными векторами (3 - комплексами) напряжения и тока

и = (ЦІ а ,(!ъ ,йс )Х , I = (1а, 1ъ , І с )Х .

3-комплексы (вектора комплексных действующих величин) определяются как

2 5+Т

Ы2 1i (/)в~, (15)

2S+T U = — Ju(t)e~Jatdt,

T

I = -

T

где Т - период (Т<В=2л), 5 - произвольное число > 0. В частности, м.з. токов и напряжений 0-

последовательности в синусоидальном режиме

н0(Г) ^л/2Яе[^0е]Ш],

*0(t) = V2Re[ 10 е^ш ]

U = U 0 + U Д:

I = І0 +1A,

4 = YaU a

ib = YhUh , I = YU .

lbub

(17)

І0 = 10*0 = 3(faU a +YbU b + YU c )

оценивается комплексной величинои

I„

(18.a)

Ik = (Іка,Ikb,Ik,)T

(19)

1 <3 1 BkaU a

ikb = j BkbU b

1 О •й- 1 Bk,U c

Ik = jBK U.

(20)

(16.a)

(16.6)

однозначно определены 3-комплексами напряжения и тока 0-последовательности

U 0 = (U ЧМ), I0 = (I ЧМ). (16.В)

Из (5) следует разложение 3-комплексов

(16.Г)

где ид= Іди, Iд= І)дI - 3-комплексы напряжения и тока без 0-последовательности. В синусоидальном режиме 3-комплексы напряжений и токов в нагрузке цепи (рис. 2) связаны тремя законами Ома

0-последовательность тока компенсатора

1^0 = Л 0 е0 = (^х е0)е0 (21)

¡к0

должна быть в противофазе с 0-последовательностью тока нагрузки

Щ =-10 (к =-¿0). (22.а)

Условие (22.а) равносильно равенству

Вка]а + Вкьиь + Вкс\]с = . (22.б)

Комплекс тока нейтрали измеряется или, если нагрузка известна, вычисляется согласно (18.в). В уравнении (22.6) с комплексными коэффициентами неизвестны три вещественные величины (Вка, Вкь, Вкс). Алгебраическая форма комплексов тока и напряжения

~]'а+ ]]"а

1„ = !’„+ ]!"„ , и =

u'b+ jU'b

U’+ jUC

(23)

Матрица комплексных проводимостей фаз нагрузки - диагональная Y = diag{ Ya, Yb, Yc } . В общем случае нагрузка несимметрична Ya Ф Yb Ф Yc.

0-последовательность тока трехфазной нагрузки

"1"

разделяет уравнение (22.6) на вещественную и мнимую части и дает систему двух вещественных уравнений с тремя неизвестными. Система неопределенна и имеет бесконечное множество решений. Одно неизвестное можно выбрать произвольно. Полагаем Вкс=0, что приводит к системе уравнений с двумя неизвестными (Вка, Вкъ)

\вкаи’а + вкьи’ь=- І’П вкаиа,+вкъииъ= і'„ ,

К U'b 1 a 1 - i”n

U'a U'b_ _ Bkb _ _ i'n _

(24.а) (24.6)

к = 10 е0 =~^ (У,а]а +^'ь11 Ь + № ). (18.6)

Комплекс тока нейтрали и тока 0-последовательности удовлетворяют условию

1„ =,¡310 = *ай а + № +1,си с . (18.в)

Ток 0-последовательности можно скомпенсировать реактивными элементами, которые подключают фазы к нулевому проводу. Компенсатор 0-последовательности - полностью задан диагональной матрицей ВК = diag{ Вка, Вкь, Вкс } реактивных проводимостей. 3-комплекс тока 0-компенсатора

Система (24) однозначно разрешается, если

Д = U'aЩ- U''aUb Ф 0.

Матрица

U =

имеет обратную

U-1 -- 1-

U'a Ub U’a Ub

U'b - Ub

- U’a U’a

(25)

(26.a)

и 3-комплекс напряжения (15) связаны матричным законом Ома

При несимметричном синусоидальном напряжении получим явные формулы

(26.6)

для вычисления реактивных проводимостей компенсатора 0-последовательности (0-компенсатора).

1 a Qq _ 1 ' U'b - U'b i'n

_ Bkb _ _ Д U'a U'a _ _ i'n

СИММЕТРИЧНОЕ НАПРЯЖЕНИЕ.

МЕТОД СИММЕТРИЧНЫХ КООРДИНАТ

Если напряжение симметрично прямой последовательности и = йв\, то вектор тока нагрузки (17) определен проводимостями нагрузки, как

т и * т

I = [1а, 1Ь, 1С ]х=-= [Уа, ¥ъ а, Ус а]х . (27) л/3

Здесь и дальше

1 * X 1 * X

е, =—¡= [1, а , а] , е2 = —:= [1, а, а ]

1 Тз Тз

- орты прямой и обратной последовательностей (а=е120). Фазоры (комплексы) токов симметричных последовательностей нагрузки вычисляются согласно [1, 2]

А = IЧ = ( (Уа + Уь + Ус )/3

/2 = Г ^ = и(7а + Гьа + 7са*)/3 . (28)

4 = I Хео = ( (7а + 7ьа* + 7са^3

Фазоры токов симметричных последовательностей компенсатора равны

/К1 = ^ е2 = и (ВКа + ВКЬ + ВКс V3 1К0 = 1 Ке0 = и(ВКа + ВКЬа + ВКс“V3 . (29)

¡К2 = 1К е1 = и(ВКа + ВКЬа + ВКса V3

Введем обозначения для проводимостей 0, 1, 2 -последовательностей компенсатора

ВК1 = (ВК а + ВКЬ + ВКс V3

ВК0 = (ВКа + ВКЬа + ВКса)/3 • (30.а)

ВК 2 = (ВК а + ВКЬ а + ВК са V3

Обозначим [1, 2]

70 = (1^а + 7>ь«* + 7>с«^3 (30.6)

- проводимость 0-последовательности нагрузки. Дополнительно к условию /&0 + /0 = 0 потребуем, чтобы 0-компенсатор не изменял ток прямой последовательности (= 0). Тогда будем иметь два уравнения для определения трех неизвестных

(ВКа + ВКЬ + ВКс V3 = 0

(ВК а + ВКЬ а + ВК са)/3 = /70

Так как проводимости обратной и нулевой последовательностей компенсатора комплексно сопряжены Вк2 = (Вк0)*, то 2-последовательность тока компенсатора невозможно выбрать произвольно (в частности, сделать равной нулю). Поэтому уравнения (31. а) дополним уравнением, комплексно сопряженным ко второму уравнению (31. а)

* / *

(ВКа + Вкь^ + ВКса V3 = ОТ,) (31.6)

Запишем систему уравнений (31) в матричном виде

(31а)

1 1 1 " 'ВКа' " 0 "

1 * а а ВКЬ = 43 /7>0

1 а * а _ ВК с _ * _(/70) _

(32)

Матричное уравнение (32) однозначно разрешается, так как модифицированная матрица Фортексью [1, 2]

"1 1 1

л *

1 а 1

а

а

*

а

(33.а)

имеет обратную матрицу (равную комплексносопряженной)

"1 1 1

л * 1 а 1 а

а

*

а

(33.6)

Умножая слева матричное уравнение (32) на матрицу

Ё 1 получим явные формулы

1 <3 1

ВКЬ =

1 о К В 1

2Яе( Д0)

2Яе(еу2100 70) 2Яе(е_ ■/30° 70)

(34)

для вычисления проводимостей 0-компенсатора по проводимости 0-последовательности нагрузки.

После компенсации суммарный трехфазный ток в фазах равен

1ъ= 7^и. (35)

Диагональная матрица 7£ = 7 + /Вк равна сумме диагональных матриц нагрузки и компенсатора.

Связь фазных и симметричных координат суммарного трехфазного тока

I£ = (Ьа,Ьь,ЬС)Х , ~ = (¡1.0,Ы,^2)Х (36)

обеспечивается модифицированной матрицей Фортексью (33.а)

~Е= ¿I£ .

ПРИМЕРЫ РАСЧЕТА КОМПЕНСАТОРА ТОКА НЕЙТРАЛИ Расчет проводился для синусоидального режима при симметричном напряжении. В рассматриваемых ниже примерах использованы базовые величины: проводимости 7з, напряжения (б, тока /б, которые удовлетворяют соотношению иб=7б/б. Величина (б= | и| равна действующему значению трехфазного напряжения.

Расчет выполнялся для цепи (см. табл.1) с:

1. однофазной чисто активной нагрузкой;

2. однофазной активно-индуктивной нагрузкой;

3. чисто активной несимметричной нагрузкой;

4. разнородной по фазам (с одинаковыми модулями импедансов фаз) нагрузкой.

Таблица 1

Проводимости нагрузки

№ 1 2 3 4

Ya Y6 Y6e-j30 2Y6 Y6

Yb 0 0 Y6 -jY6

Yc 0 0 Y6 jY6

Проводимости 0-компенсатора вычислялись согласно (34) . Результаты сведены в табл. 2.

Таблица 2

Проводимости 0-компенсатора

№ 1 2 3 4

BKa 0 Y6/3 0 0

BKb -Y6/V3 -2Yg/3 -Y/V3 Y6(1-1/V3)

BKc Y6/V3 Y6/3 Y6/V3 Y6(1/V3-1)

Результаты расчета симметричных координат токов до и после компенсации сведены в табл. 3.

Таблица 3

Симметричные координаты токов

№ 1 2 3 4

О |I| z6/V3 /бЛ/3 V2 /6 /б

І0 /e /3 /б e-30 /3 /б /3 /6(1-V3) /3

/e /3 /б e-30 /3 /б /3 /6(1+V3) /3

/1 /б /3 /б e-30 /3 /б 4/3 /б/3

После 0 0 0 0

h2 /б 2/3 /бЛ/3 /б 2/3 /б2/3

^1 /б /3 /б e-30 /3 /б 4/3 /б/3

1111 /6V5/3 /б 2/3 /б2^5/3 /6V5/3

После компенсации суммарный ток (нагрузка + компенсатор) не содержит 0-последовательность (и следовательно ток нейтрали равен 0). Ток 1-последовательности (который содержит активный ток) не изменился. Возрос ток 2-последовательности и, следовательно, полный трехфазный ток также возрос. Процессы становятся двумерными и представляются токами прямой и обратной последовательности. Компенсация 2-последовательности вместе с компенсацией реактивного тока 1-последовательности выполняется на следующем этапе в рамках эквивалентной трехпроводной системы, например, методом Фризе [2, 3].

ВЫВОДЫ

Для 4-проводной схемы проведенный анализ выявил особую роль 0-последовательности тока и напряжения. Показано как выделить 3-проводную цепь, эквивалентную 4-проводной схеме с компенсированным током 0-последовательности. Такая эквивалентная 4-проводной схема поставляет в нагрузку ММ без нулевой последовательности. Алгоритм определения реактивных проводимостей 0-компенсатора позволяет оценить его работу для синусоидальных процессов при симметричном и несимметричном напряжении.

СПИСОК ЛІТЕРАТУРИ

1. Сиротин Ю.А. Анализ энергетических процессов в трехпроводной схеме // Вісник НТУ "ХПІ". - 2011. - № 41.

- С. 118-133.

2. Сиротин Ю.А. Схема симметризации Штейнметца как частный случай оптимального компенсатора Фризе // Электрика. - № 1. - 2011. - С. 16-21.

3. Sirotin. Iu.A. Fryze’s compensator and Fortescue transformation . "Przeglad Elektrotechniczny"(Electrical Review). -2011. - Vol. 1. - 101-106.

Bibliography (transliterated): 1. Sirotin Yu.A. Analiz 'energeticheskih processov v trehprovodnoj sheme // Visnik NTU "HPI". - 2011. - № 41.

- S. 118-133. 2. Sirotin Yu.A. Shema simmetrizacii Shtejnmetca kak chastnyj sluchaj optimal'nogo kompensatora Frize // 'Elektrika. - № 1. -2011. - S. 16-21. 3. Sirotin. Iu.A. Fryze's compensator and Fortescue transformation . "Przeglad Elektrotechniczny"(Electrical Review). -2011. - Vol. 1. - 101-106.

Поступила 31.10.2012

Сиротин Юрий Александрович, к.т.н, доц.

Національний технічний університет "Харківський політехнічний інститут" кафедра "Автоматизація енергосистем"

61002, Харків, вул. Фрунзе, 21

тел. (057) 343-36-82, e-mail: yuri_sirotin@ukr.net

Sirotin Y.A.

Structural separation of processes in a three-phase four-wire circuit and neutral current compensation.

Analysis of current and voltage 0-components in a three-phase four-wire circuit is made. It is shown how to select part of the circuit without the current and voltage 0-components which is equivalent to the original circuit in terms of instant power without the 0-component. For sinusoidal processes with asymmetric voltage, a computation algorithm for neutral current compensator LC elements conductivity is proposed. For symmetrical voltage, a 0-compensator susceptance calculation methodology based on load conductance is presented. Example calculations are analyzed.

Key words - three-phase four-wire circuit, null susceptance, neutral current compensation.