CC BY
96
Структурная иерархия и механические свойства горных пород. Часть II. Структурная иерархия, размерный эффект и прочность
Чэнчжи Ци1,2, Минян Ван3, Циху Цянь3, Цзяньцзе Чень2
1 Пекинский архитектурно-строительный институт, Пекин, 100044, КНР
2 Московский государственный университет им. М.В. Ломоносова, Москва, 119992, Россия 3 Китайская инженерная академия, Пекин, 100859, КНР
Концепция структурной иерархии геосреды предлагает новый путь для объяснения размерного эффекта. Анализ, выполненный на основе этой концепции, показывает, что размерный эффект горных пород может быть сведен к существованию структурной иерархии в них. Показано, что зависимость прочности от скорости деформаций можно рассматривать как результат конкуренции между сосуществующими термоактивационным и макровязкостным механизмами, которые доминируют в разных областях скорости деформаций. Сравнение с экспериментальными данными показывает, что предлагаемая модель хорошо описывает зависимость прочности от скорости деформаций в широком интервале скоростей деформации. Влияние динамического нагружения на размер фрагмента породы заключается в возможности накопления большой энергии сдвиговых деформаций к моменту разрушения за счет повышения прочности, обусловленного высокой скоростью деформирования, изменением вида напряженного состояния и накоплением пластических деформаций. Предлагаемая зависимость качественно описывает закон фрагментации.
Structural hierarchy and mechanical properties of rocks.
Part II. Structural hierarchy, size effect and strength
Chengzhi Qi1,2, Mingyang Wang3, Qihu Qian3, and Jianjie Chen2
1 Beijing Institute of Civil Engineering and Architecture, Beijing, 100044, P.R. China
2 Lomonosov Moscow State University, Moscow, 119992, Russia
3 Chinese Engineering Academy, Beijing, 100859, P.R. China
The concept of the structural hierarchy of rock mass opens a new way to the interpretation of size effect. Analysis based on this concept shows that the size effect can be attributed to the existence of the structural hierarchy of rock mass. It is demonstrated that the strain rate sensitivity of rock mass strength can be considered as a result of competition between the coexisting thermoactivation and macroviscous mechanisms, which dominate at different strain rate values. Comparison with the experimental data shows that the suggested model describes very well the strain rate sensitivity of rock mass strength in a wide range of strain rates. The influence of dynamic loading on the fragmentation size of a rock mass is in that more shear strain energy can be accumulated prior to fracture due to strength increase induced by high strain rate, change of the stress state and plastic strain accumulation. The proposed relation qualitatively describes the fragmentation law.
1. Введение
Геосреда обладает сложной структурной иерархией, которая охватывает широкий диапазон масштабов — от масштаба атомов до тектонического масштаба и даже до планетарного масштаба [1, 2]. Подобное представление о геосреде в последние 20 лет получило убедительное подтверждение экспериментальными и теоретическими исследованиями в области геологии и геомеханики. Такая концепция о строении горных пород де-
лает утверждение о существовании так называемого элементарного объема и условие совместности деформации по Сен-Венану, используемые в механике сплошной среды, спорными [3]. Это связано с тем, что при исследовании процессов в геосреде, каким бы ни был выбран линейный масштаб, всегда найдется сравнимый с ним структурный элемент, такой, что использование осредненных по объему механических величин может привести к ошибкам порядка самой величины.
© Ци Чэнчжи, Ван Минян, Цянь Циху, Чень Цзяньцзе, 2006
Структура материалов влияет на их физико-механические характеристики. Типичными примерами служат алмаз и графит, которые обладают отличительными характеристиками из-за их различия в структуре. В то же время, внешние воздействия вызывают возникновение новых структур в материалах и далее влияют на их макроскопические характеристики. Например, экспериментальные исследования и натурные наблюдения показали, что при локализации пластической деформации [4], диссипации энергии на фронте деформационной волны [5] и отколе [6] возникают новые структуры.
Существование структурных поверхностей часто нарушает совместность деформации сред. Причем согласно результатам работы [2] отношение между величинами раскрытия трещин 8г- и диаметрами отделяемых ими блоков А г- в структурной иерархии массивов горных пород довольно устойчиво и описывается близкой к нормальной функцией статистического распределения:
М8) =А = 0-10 , (1)
А
где 0 — коэффициент, изменяющийся в интервале 1/2 ...2. Величина цА называется геомеханическим инвариантом [7].
В горных породах существует структурная иерархия, на каждом структурном уровне имеются структурные поверхности. Эти структурные поверхности являются ослабленными поверхностями, и деформации и разрушение горных пород главным образом концентрируются в этих поверхностях. Согласно соотношению (1), на каждом структурном уровне раскрытие таких структурных поверхностей пропорционально характерному размеру данного уровня. Естественно предположить, что чем меньше раскрытие структурных поверхностей, т.е. чем меньше характерный размер данного уровня, тем выше механические характеристики горных пород на этом уровне.
Например, в работе [8] показано, что такая механическая характеристика, как нормальная жесткость меж-блоковых границ Кп, уменьшается примерно пропорционально увеличению масштаба нарушения сплошности (в диапазоне от 10 м до 200 км):
Кп = 2 ^ (МПа/мм), (2)
где L — длина нарушения (м).
В лабораторном масштабе аналогичный результат получен в работе [9], где принято, что величина начальной нормальной жесткости межблоковых границ Кп1 снижается пропорционально максимальному раскрытию трещин Ут (в мм) Кп1 = 2.5/Ут МПа/мм. С учетом того, что между Ут и L имеется линейное соотношение, оба соотношения совместимы.
Другой важной механической характеристикой материалов является прочность, которая определяет процесс
деформирования и разрушения материалов. Для прочности горных пород проявляется размерный эффект, т.е. она зависит от размера образцов. Открытие структурной иерархии указало новый путь для объяснения этого эффекта. Другой важной чертой прочности материалов, включая горные породы, является зависимость от скорости деформации. Как показано в первой части статьи, для каждого структурного уровня существует характерная скорость деформации. Поэтому можно рассматривать зависимость прочности от скорости деформации как зависимость прочности от структурного уровня.
Из вышеизложенного видно, что внутренние структуры и макроскопические характеристики материалов взаимосвязаны, при исследовании процессов деформирования и разрушения материалов должна учитываться их связь. Поэтому данная часть посвящена исследованию связи между структурной иерархией, размерным эффектом и прочностью геосреды на разных структурных уровнях.
2. Структурная иерархия и размерный эффект в горных породах
Для прочности горных пород проявляется размерный эффект: с увеличением размеров образцов прочность уменьшается. Степень проявления размерного эффекта зависит от геолого-петрографических особенностей и, прежде всего, от трещиноватости и неоднородности строения горных пород. Например, в трещиноватом аргиллите степень выше, чем в плотном аргиллите. Слабое изменение прочности с изменением размеров наблюдается в однородном габбро, а сильное — в неоднородном граните [10].
Для объяснения механизма проявления размерного эффекта наибольшее распространение получили статистические теории. В основе статистических теорий лежит принцип, согласно которому прочность всего тела определяется прочностью самого слабого места.
Первой теоретической работой по изучению размерного эффекта является работа Гриффитса, посвященная явлению разрыва и текучести материалов. В ней содержится вывод о том, что разрывная нагрузка тонкой пластины стекла, имеющей достаточно длинную прямую трещину, нормальную к приложенному напряжению, обратно пропорциональна квадратному корню длины трещины.
В 1939 году Вейбулл предложил другую зависимость прочности от размера испытываемых образцов в условиях растяжения, кручения и изгиба:
а л =а0 /IV ~1а, (3)
где а0 и а — константы материала; I — константа для данного напряженного состояния; L — нормирующий коэффициент; V — рабочий объем образца. Величина а характеризует степень однородности материала: чем больше величина, тем меньше зависит прочность от объема тел.
Т. А. Конторова и Я.И. Френкель [10], использовав нормальный закон распределения дефектов по опасности их в отношении величины прочности, предложили формулы для образцов большого объема
аD = ^ -у/АЛ^У^В
(4)
и образцов малого размера
ст в = а + Ь/У, (5)
где А, В, а, Ь, Я0 — константы, зависящие от напряженного состояния и природы материала.
А.П. Александров и С.Н. Журков [10] для описания зависимости прочности стеклянных нитей от их диаметра предложили формулу:
Ь
R = а + -
(6)
где а, Ь — константы; d — диаметр нити.
Для одноосного сжатия кубиков угля различного размера Иванс, Померой и Биренбаум [10] получили следующую зависимость:
Я = Ad ~п, (7)
где А, п — константы; d — длина ребра кубика.
М.М. Протодьяконов [10] предложил следующее соотношение для описания размерного эффекта:
и а + тЬ
= Ям—т~, (8)
а + Ь
где Ям — прочность трещиноватого массива; т — коэффициент трещиноватости, показывающий, во сколько раз прочность плотного материала выше прочности трещиноватого массива; d — диаметр образца.
Основываясь на третьем предельном распределении наименьших значений вариационного ряда в соответствии со статистической теорией прочности, В.В. Болотин дает наиболее общие формулы зависимости среднего предела прочности от объема образца [11]:
ап = Rmm + р| Ґ ГІ1 + 1
тл I I - (9)
V ) I а
где а, в, ЯтМ — параметры функции распределения; У0 — некоторый эталонный объем образца;
Г(1 +1/ а) — гамма-функция.
Исследования Бажанта и других [12] показали, что для горных пород, бетона, хрупких волокнистых композиционных и других материалов статистические теории типа теории Вейбулла не раскрыли истинной природы размерного эффекта. В его основе лежит не статистика, а освобождение запасенной в материале энергии из-за большого повреждения. На основе приблизительного анализа освобождения энергии они вывели закон размерного эффекта квазихрупких материалов.
После того как Мандельброт открыл фрактальный характер поверхностей трещин в 1984 г., было проведено множество исследований по проблеме связей между фрактальностью и размерным эффектом. Но иссле-
дования показали [13], что фрактальность поверхностей не является причиной проявления размерного эффекта. Причина состоит в том, что в процессе деформирования и разрушения перед вершинами трещин образуются зоны процесса разрушения. В этих зонах энергия расходуется на развитие полос трещин, а не одной трещины. В конечном итоге, магистральная трещина образуется путем соединения лишь малой доли трещин и поверхностей скольжения. Это приводит к тому, что в зонах разрушения значительная часть энергии тратится на образование и развитие трещин, а не на образование фрактальной поверхности магистральной трещины.
Открытие существования структурной иерархии горных пород предлагает нам другой подход к пониманию размерного эффекта.
Для структурной иерархии естественно, что чем меньше раскрытие структурных поверхностей, т.е. чем меньше характерный размер данного уровня, тем выше прочность горных пород на этом уровне. Так, образец размером первого порядка должен разрушиться вдоль разломов первого порядка, которые имеют наименьшую прочность. Образец размером второго порядка должен разрушиться вдоль разломов второго порядка, имеющих более высокую прочность. Естественно, что чем меньше порядок иерархии, тем выше у него прочность. Именно такова интерпретация размерного эффекта с точки зрения иерархии структур горных пород.
Обычно для материалов прочность на сжатие ств выражается через размер образца D следующим образом [13]:
а п = а
1+
_п_
К
-12
(10)
где ст0, Б0 — константы.
Если заменим D в (7) на размер блоков г'-го порядка А г-, то получим
<■ . V-12
1 + -
А
пп
(11)
Видно из (11), что различные структурные порядки соответствуют различным прочностям. С уменьшением размеров геоблоков прочность увеличивается.
С другой стороны, если подставим выражение 8г-из (1) в (11), то получим соотношение между ств и 8г-:
(
1 +
п0
Л-1/2
(12)
по = поМ-д •
Выше обсуждалось влияние размеров геоблоков на их прочность. Сейчас исследуем влияние внешних нагрузок на средние размеры разрушенных осколков. Перепишем соотношение (11) следующим образом:
А,- =
а.
2
а
V у
-1
(13)
где величина ств заменена на ст, которая обозначает приложенное нагружение.
Соотношение (13) показывает, что с увеличением внешних нагрузок средние размеры фрагментов разрушенных горных пород уменьшаются. Такой вывод полностью подтвержден экспериментами статического и динамического нагружений [14].
При одноосном растяжении разрушение рассматривается как разрыв самого слабого места. Зависимость стр от объема образца может принять следующий вид:
сту =ст0 + , (14)
где ст0, А и п — константы.
Так как V ^ Р3, то из (11) получим:
/ \3п
стУ - ст0тт
(15)
Заменив внешние нагружения в (13), (15) на динамические прочности горных пород, получим средние размеры осколков при динамическом разрушении.
3. Механизм зависимости прочности горных пород от скорости деформаций
3.1. Особенности зависимости прочности горных пород от скорости деформаций
Одной из динамических характеристик материалов, в том числе горных пород, является зависимость прочности от скорости деформаций. Аттевелл [15] и Рейнхарт [16] экспериментально показали, что динамическая прочность горных пород увеличивается с ростом скорости деформаций. На рис. 1 показана зависимость прочности доломита, известняка, гранита, базальта (обобщенная Грэди и Холленбахом) и хрупкого алюминия (полученная Златиным и др.) от скорости деформаций [17]. Зависимость прочности бетона на сжатие и растяжение от скорости деформаций имеет аналогичный характер [18].
Общий вид подобной зависимости приведен на рис. 2. В диапазоне низких скоростей деформаций с увеличением скорости деформаций прочность материалов растет медленно (область I на рис. 2). Когда скорость деформаций превышает определенную величину, прочность материалов растет очень быстро (область II). Когда скорость деформаций очень высокая, зависимость прочности от скорости деформаций вновь становится слабой (область III).
Исследованию этого явления посвящено много работ, например [19-27 и др.].
Кумар [19] при изучении гранита и базальта пришел к выводу, что влияние скорости деформаций на прочность материалов сходно с влиянием понижения температуры и динамическое разрушение горных пород контролируется термоактивационным механизмом. Кембелл и Фергусон [20] исследовали динамическое поведение малоуглеродистой стали, и по степени зависимости
Рис. 1. Зависимость прочности доломита (1), известняка (2), гранита (3), базальта (4) и хрупкого алюминия (5) от скорости деформаций
прочности от скорости деформаций они разделили скорости на несколько областей. Термоактивационный механизм контролирует зависимость прочности от скорости деформаций при низких скоростях деформаций. При высоких скоростях деформаций доминирует макроскопический вязкостный механизм. В работе [20] вязкость рассматривали как постоянную величину. Но эксперименты показали, что вязкость зависит от амплитуды напряжения, т.е. от скорости деформаций. Линдхольм [21] при изучении базальта пришел к выводу, что процесс разрушения контролируется термоактивационным механизмом. Он получил логарифмический закон зависимости динамической прочности от скорости деформаций. Ланкфорд [23], Ханукаев [24] получили показательные функции зависимости динамической прочности горных пород от скорости деформаций. Используя формулу Журкова, Ставрогин и Протосеня создали динамическую теорию зависимости прочности от скоростей деформаций и экспериментально определили величины параметров для многих видов горных пород [25, 26]. Но область применимости их теории ограничена (для скоростей деформации не выше 102 с-1). Пержина [27] принял изменяющийся коэффициент вязкости, но согласно его модели прочность материалов увеличи-
/I /1 / 1 / 1 / 1 У і 1 Область III
Область 1 Область II і і і і
81 83 82 Скорость деформации 8, с-1
Рис. 2. Зависимость динамической прочности от скорости деформаций для хрупких материалов (£ 1 ~ 10...102 с-1, в8 ~ 103 с-1, £ 2 - 104 с-1)
вается неограниченно при росте скорости деформаций. Поэтому его модель не применима в области очень высоких скоростей деформаций.
Николаевский [28] предложил модель для объяснения запаздывания разрушения и высокой динамической прочности материалов. Согласно его модели скорость развития трещин конечна. Более высокие напряжения вызывают рост более мелких трещин. Обычно мелкие трещины возникают перед магистральной трещиной в моменты ее остановки. Движение фронта разрушения может состоять из остановок и проскоков, а скорость фронта разрушения является всего лишь средней величиной. Поэтому при распространении ударной волны от достижения предельного напряженного состояния в локальных областях материала до их разрушения проходит некоторое время и между фронтами упругого предвестника и разрушения материал испытывает кратковременные динамические перегрузки, которые и определяют величину динамической прочности.
Для объяснения динамического поведения хрупких материалов Грэди предложил модель, представленную на рис. 3 [29]. Нижняя поверхность является предельной поверхностью квазистатического разрушения. Ниже этой поверхности квазистатическое или ударное нагружение являются упругими. При динамическом разрушении нагрузки могут превысить этото уровень. Благодаря высокой скорости деформаций, сопровождающих динамическое нагружение, сформировавшийся в процессе ударного сжатия уровень напряжений, соответствующий верхнему пределу текучести (пределу упругости Гюгонио), может быть достигнут с пренебрежимыми повреждением и разрушением. Когда предел упругости достигнут, происходит переход к механизму сдвигового разрушения. Механизмы разрушения хрупких материалов показаны на рис. 4.
Согласно этой схеме при некоторой характерной скорости деформаций режим квазистатического разрушения переходит в новый режим, в котором адиабатическое, управляемое инерцией разрушение доминирует в динамическом процессе.
В области самых высоких скоростей деформаций, благодаря запаздыванию, вызванному кинетикой повреждения, хрупкое разрушение исключено. Грэди считает, что изменение динамического разрушения при переходе к области III (рис. 4) можно интерпретировать как зависящий от скорости деформаций переход от хрупкого деформирования к пластическому. Но механизм перехода в микроструктурном аспекте еще не выяснен полностью.
Необходимо добавить, что такое проявление зависимости прочности от скорости деформирования характерно не только для горных пород. У металлов, например алюминиевых сплавов [30, 31], наблюдается аналогичное поведение.
Рис. 3. Динамическое разрушение хрупких материалов
Из вышеизложенного видно, что несмотря на многочисленные исследования механизмы перехода между различными областями еще не полностью выяснены, математическое описание существующих моделей не совершенно. Необходимы дальнейшие исследования. Поэтому здесь поставлена задача исследовать механизмы перехода между различными областями с точки зрения зависимости прочности от скорости деформаций.
3.2. Физический механизм зависимости прочности горных пород от скорости деформаций
При умеренном одноосном растяжении ожидаемое время разрушения т можно определить по формуле Журкова [32]:
т = т 0 ехр
и0 -уст
(16)
где и0 — активационная энергия; ст — одноосное напряжение растяжения; у—активационный объем, около 10...1000 атомных объемов; k — константа Больцмана; Т — абсолютная температура; т0 — временный параметр порядка дебаевского периода колебания атомов (примерно 10-12 с).
Формула Журкова указывает на термоактивационную природу деформирования и разрушения.
Из формулы Журкова можно получить зависимость прочности от времени нагружения:
ст = У = 11
(17)
Рис. 4. Механизмы динамического разрушения хрупких материалов по Грэди
У
Допустим, что деформация в интервале времени т достигла предельной деформации є0. Тогда (17) можно переписать следующим образом:
( о V
а = У =
и 0 + кТ
1п є -1п—
Тл
т.е.
(
а = У = -
и 0 + кТ 1п-
(18)
(19)
где в0 = е<)/V
Для материалов при сдвиговом нагружении справедлива аналогичная формула:
Ут=-^
Ут
G0 + кТ 1п^&&-
У 0
(20)
Значения входящих в эту формулу параметров аналогичны соответствующим параметрам в (19).
В принципе, зависимость прочности материалов на сжатие аналогична зависимости прочности материалов на растяжение. Но значения входящих в эти формулы параметров будут отличаться. В данном разделе рассматривается только прочность на сжатие и на сдвиг.
Эксперименты Ставрогина и Протосени показывают [25, 26], что формулы (19), (20) могут хорошо описывать зависимость прочности горных пород на сжатие и на сдвиг от скорости деформаций при относительно невысоких скоростях деформаций (меньше 102 с-1). Это значит, что в этом случае термоактивационный механизм контролирует деформирование и разрушение горных пород. Как было показано в предыдущем параграфе, когда скорость деформаций превышает определенную величину, зависимость прочности от скорости деформирования переходит в новый режим, где зависимость прочности от скорости деформаций более сильная. Деформирование и разрушение носят больше адиабатический характер. Макроскопический вязкостный (фо-нонный) механизм играет доминирующую роль.
Никифоровский и Шемякин [33] с помощью формулы Журкова исследовали динамическое разрушение твердых тел. Они использовали ломаные линии в логарифмических координатах для описания зависимости динамической прочности от скорости в двух областях скорости деформаций. Т.е. они использовали разные значения параметров, входящих в формулу Журкова, для двух областей скорости деформаций. Это значит, что деформирование и разрушение во второй области еще носят некоторый термоактивацонный характер. В других работах, например [34], тоже использовались ломаные линии в логарифмических координатах для моделирования такой зависимости.
С учетом того, что переход от области I к области II происходит плавно, можно считать, что при таком переходе плавно изменяется роль разных механизмов. Термоактивационный механизм постепенно перестает доминировать, появляется фононный механизм и посте-
пенно начинает играть главную роль. Но оба механизма сосуществуют.
В области II поведение материалов тесно связано с вязкостью. Обычно вязкость определяется как перенос количества движения в направлении градиента скорости. При распространении устойчивой ударной волны вязкость можно рассматривать как диффузию количества движения или кинетической энергии вдоль направления распространения волны [29]. Вязкость обычно рассматривается как константа материалов, которая является коэффициентом пропорциональности между вязкостным компонентом напряжений и градиентом скорости или скорости деформаций. Но при ударном нагружении наблюдалось более сложное поведение.
Величину коэффициента вязкости п в стационарной ударной волне можно оценить с помощью параметров материалов, которые определяют вогнутость кривой Гюгонио и геометрию линии Релея в соответствии с конкретным ударным событием. Пусть 51 обозначает первую производную объемного модуля от давления, которая в линейном отношении скорости ударной волны и скорости частиц является безразмерной мерой вогнутости кривой Гюгонио и крутизны волны сжатия с конечной амплитудой. Далее с помощью ст, tг обозначим скачок амплитуды напряжений и время нарастания напряжений до максимума. Далее для стационарной ударной волны выведена следующая формула для вязкости [29]:
Str ст /"0 1\
п -—(21)
Если п является постоянной, то скачок напряжения ст будет обратно пропорционален t г. Но экспериментальные измерения показывают, что tr уменьшается быстрее с ростом ст, т.е. с ростом скорости деформаций. Это значит, что при высоких скоростях деформаций вязкость уменьшается с ростом скорости деформаций.
Уменьшение вязкости с ростом скорости деформаций исследовано в первой части статьи. Показано, что причиной уменьшения вязкости с ростом скорости деформаций служат активизация внутренних степеней свободы и скоррелированное движение мезочастиц.
Переход из области II в область III сопровождается ослаблением зависимости прочности от скорости деформаций (рис. 1). Авторы [22] определили критические напряжения для дискообразных трещин разных размеров при разных скоростях деформаций (рис. 5). Они показали, что с ростом скорости деформаций увеличиваются критические напряжения. При очень высоких скоростях деформаций критические напряжения фактически не зависят от скорости деформаций. В этом случае трещины разного размера активизируются одновременно под действием ударной волны, разрушение развивается путем роста множественных трещин и их соединений. Аналогичный результат получили Кalthoff и Shockey (1977) [29]. Это значит, что при переходе из
У
области II в область III исчезает локализация деформации и разрушения.
Грэди [29] рассматривал зависимость прочности от скорости деформаций. Он пришел к выводу, что при очень высоких скоростях деформаций запаздывание за счет кинетического развития повреждения исключает возможность хрупкого разрушения, а изменение динамического разрушения при переходе от области II в область III можно интерпретировать как зависящий от скорости деформаций переход от хрупкого деформирования к пластическому деформированию.
В работе [35] проводились опыты по внедрению ударников в хрупкие материалы в широком диапазоне скоростей взаимодействия от 10-4 до 103 м/с. Оказывается, что при увеличении скорости деформаций влияние скорости на сопротивление является двояким.
Во-первых, при низких скоростях взаимодействия увеличение скорости нагружения вызывает «охрупчивание» материала, т.е. зарождение и рост трещин. При превышении ударником скорости, соответствующей вязкохрупкому переходу, сопротивление внедрению определяется кинетикой разрушения материала преграды. Охрупчивание приводит к резкому снижению сопротивления внедрению.
Во-вторых, когда скорость внедрения превышает скорость роста разрушения Уг, происходит своего рода обратный «хрупковязкий» переход. В этих условиях материал вновь обретает высокое прочностное сопротивление внедрению.
Если при низких скоростях деформаций вязкохрупкий переход обусловлен зарождением и ростом трещин, то какой структурный аспект отвечает хрупковязкому переходу при высоких скоростях деформаций?
При низких скоростях деформаций поведение горных пород и металлов отличается. Для горных пород прочность сцепления границ зерен меньше прочности зерен. Для металлов, наоборот, прочность сцепления границ зерен выше прочности зерен. Когда скорость деформаций растет, ситуация для металлов изменяется.
Прочность зерен постепенно превышает прочность границ зерен [36]. Поэтому с точки зрения диссипации энергии при описании откола, вызванного ударной волной, разница между хрупкими и пластичными материалами несущественна. Причина заключается в следующем. Во-первых, при ударах сильно возрастает предел текучести, пластичные материалы ведут себя как хрупкие материалы. Во-вторых, при ударах, вызывающих откол, на пластическую деформацию затрачивается очень мало энергии. Поэтому поведение металлов и горных пород при высоких скоростях деформаций почти одинаково, как это показано в работе [37].
В работе [38] исследованы медь, титан и никель в субмикросекундном и микросекундном диапазоне долговечности. Так как в субмикросекундном и микросе-кундном диапазоне долговечность, вычисленная по формуле Журкова, намного выше реальных значений, а прочность намного меньше, для вычисления долговечности в таком диапазоне будем использовать формулу:
т = 0
1
ехр
и0 -Уа
14
(23)
Рис. 5. Критические напряжения для трещин разных размеров при разных скоростях деформаций
где 0 — период колебания атомов; ^ — атомный объем; ^ — скорость звука; V — скорость распространения вершины трещин в адиабатических условиях; у а — коэффициент концентрации локального напряжения; N тах — максимальная плотность трещин. Смысл других параметров аналогичен параметрам в выражении (16).
Экспериментальные данные показывают, что в таком диапазоне долговечности полученные значения и 0 в 2 раза меньше значений и0, полученных при малых напряжениях, а коэффициент концентрации локального напряжения у а на 1-2 порядка меньше у а при низких напряжениях.
Столь малое значение уа указывает на то, что в рассматриваемом диапазоне напряжений в этой модели разрушения становятся существенными зародыши трещин, образующиеся за счет термофлуктуационного разрыва одиночных межатомных связей во всем объеме вещества, а роль дефектов как концентраторов напряжений незначительна.
Уменьшение величины и0, по-видимому, связано с наличием дефектов в исследуемых материалах. Влияние этих дефектов может проявляться не в уменьшении высоты энергетических барьеров, а в локальном увеличении плотности энергии в области дефектов при высокоскоростном деформировании материала, аналогично тому, как это происходит при ударном инициировании детонации взрывчатых веществ согласно концепции «горячих точек».
Поэтому в отличие от разрушения при малых статических напряжениях, при высоких скоростях деформа-
ций одновременно с атермическим ростом трещин происходит существенное увеличение числа очагов за счет термофлуктуационных разрывов межатомных связей, возникающих без значительных локальных перенапряжений. Наличие дефектов структуры приводит к увеличению скорости образования этих разрывов за счет локального характера диссипации энергии при деформации материала. Последнее обстоятельство должно привести к слабой температурной зависимости прочности материалов в субмикросекундном диапазоне долговечности. Из-за одновременного инициирования повреждения во всем объеме материала при высоких скоростях деформаций размер осколков после разрушения материала очень мал.
Поэтому на основании анализа имеющихся экспериментальных данных можно прийти к следующему выводу о зависимости прочности материалов от скорости деформаций. При низких скоростях деформаций деформирование и разрушение горных пород контролируются термоактивационным механизмом, и зависимость прочности материалов от скорости деформаций может выражаться с помощью формул (19) и (20). При дальнейшем увеличении скорости деформаций появляется и постепенно начинает доминировать фононный (макроскопический вязкостный) механизм. Так как скорость развития трещин ограничена сверху скоростью Релея, коэффициент вязкости не является постоянным, а уменьшается с ростом скорости деформаций (напряжений). С точки зрения структурного уровня уменьшение вязкости с ростом скорости деформаций обусловлено активизацией внутренних степеней свободы и скоррелированным движением мезочастиц. При очень высоких скоростях деформаций достигнутое в среде напряжение приближается к теоретическому пределу прочности материала. В этом случае трещины различных размеров одновременно начинают развиваться в материале. В неповрежденных местах термоактивационный механизм вновь инициируется, происходят разрывы межатомных связей, которые далее являются атермически растущими очагами повреждения. Другими словами, теряется локальность деформирования и повреждения. Таким образом, термоактивационный механизм вновь выступает как главный механизм деформирования и разрушения в диапазоне высоких скоростей деформаций.
Таким образом, мы можем рассматривать зависимость прочности от скорости деформаций как результат конкуренции между термоактивационным механизмом и макроскопическим вязким механизмом, которые играют главную роль в различных диапазонах скоростей деформаций.
3.3. Предлагаемая модель
Из вышеизложенного можно выразить зависимость динамической прочности от скорости деформаций как
сумму двух слагаемых, которые являются вкладом от обоих механизмов:
- для прочности на сжатие
У = Ш + Уу(ё), (24)
- для прочности на сдвиг
Ут= У* (у) + У„(г), (25)
где первые слагаемые в правых частях (24) и (25) являются вкладом от термоактивационного механизма, а вторые члены — вклады от макроскопического вязкостного механизма.
Что касается вклада термоактивационного механизма, то при низких скоростях деформаций этот механизм функционирует на концентраторах напряжений и структурных поверхностях. Его вклад можно выражать с помощью формул (19) и (20).
При очень высоких скоростях деформаций термоактивационный механизм инициируется вновь. Из-за разницы температуры в областях низких и высоких скоростей деформаций параметры, входящие в эти формулы, неодинаковы. Параметры у, ут должны быть меньше в области высоких скоростей деформаций. Но с другой стороны, из-за слабой температурной зависимости при высоких скоростях деформаций параметры перед Т 1п е/е0 и Т 1пу/у0 стремятся остаться постоянными. Поэтому для удобства практического использования формулы (19) и (20) приняты как вклад от термоактивационного механизма в этих трех областях скорости деформаций, а Т принимает первоначальное значение.
Что касается вклада от макроскопического вязкостного механизма, то определение коэффициента вязкости является первоочередной задачей. В предыдущей главе авторы на основе анализа данных на макро-, мезо- и микроуровнях получили промежуточную асимптотическую аппроксимацию коэффициента вязкости. Воспользуемся здесь этим результатом.
Вклады прочности от макроскопического вязкостного механизма можно выразить следующим образом:
- для прочности на сжатие
^ ■ Ь(е/е 8)
Уу = еп =
(е/е8)п +1
- для прочности на сдвиг
=УП=-5) п
(26)
(27)
(у/у8)п +1
где Ь, Ь можно интерпретировать как максимальную величину вклада от макроскопического вязкостного механизма; е8, у8 — точки перегиба на кривой зависимости динамической прочности от скорости деформаций; п — параметр, контролирующий крутизну кривой зависимости динамической прочности от скорости деформаций. В этих формулах неявно учтено влияние температуры.
В конечном счете получим объединенную зависимость динамической прочности от скорости деформаций, которая учитывает термоактивационный механизм и макроскопический вязкостный механизм как два конкурирующих и сосуществующих механизма:
- для прочности на сжатие
У =-
1
и 0 + КГ 1п-
+
Ь(Ё/Ёв)П
(Ё/Ё 8) П +1
для прочности на сдвиг
Ут= —
Ут
G0 + КГ 1п—— У 0
ЬД У/У в)п (у/ув)п +1'
(28)
(29)
Температура, вызванная ударом, влияет на прочность материалов. Обычно для металлов, когда температура достигнет 85...90 % температуры плавления, прочность их значительно уменьшается. Температура плавления горных пород обычно выше, чем у металлов. Когда температура, вызванная ударом, далека от температуры плавления, то формулы (28), (29) применимы.
Для удобства практического использования формулы (28) и (29) можно переписать следующим образом:
ь (Ё/Ё в)п
У = С1 + С2Г 1п(Ё/Ё 0) +
Ут = Сз + СТ 1п(у/у 0) +
(Ё/Ё „) п +1 ^(у/у в)п
(30)
(31)
(у/ув)п +1
где С1, С2, С3 и С4 — константы материалов.
Для проверки эффективности данной аппроксимации авторы провели некоторые расчеты по формуле (30) и сравнили с экспериментальными результатами, цитированными в работе [29]. Участки кривых при низких скоростях, являющихся вкладом от термоактивационного механизма, почти прямые. Продлим эти прямые далее и выберем их как основу для суперпозиции вклада от макроскопического вязкостного механизма. При построении аппроксимационных кривых в расчет берем только третье слагаемое. Экспериментальные кривые для образцов карбида кремния, оксида алюминия, гра-нодиорита и доломита аппроксимировались с помощью выбранных значений параметров, указанных на рис. 6. Видно, что аппроксимация достаточно хорошая. Это доказывает, что эта модель физически хорошо обоснована, применима для широкого диапазона скоростей деформаций, проста и удобна для практического использования.
4. Размер осколка разрушенных горных пород
Из (13), (15) видно, что размер осколка разрушенных горных пород связан с прочностью при разрушении.
При статическом нагружении, после начала разрушения горных пород существование бокового подпора позволяет породам выдерживать нагрузки, которые выше, чем нагрузки в начале разрушения, т.е. возникает
явление упрочнения. Проведенные статические эксперименты показали, что деформации за пределом упругости приводят к множественной фрагментации, при которой не только уменьшается размер осколка, но и качественно меняется функция распределения частиц по размеру. С увеличением деформаций за пределом упругости экстремум функции распределения перемещается в область осколков с малым размером, а сама функция распределения становится узкой, т.е. дробление становится более однородным. Эксперименты свидетельствуют об отсутствии зависимости уменьшения размера фрагментов от бокового подпора, который влияет лишь на начальный размер фрагмента.
При динамическом нагружении одним из главных динамических эффектов является чувствительность прочности горных пород к скорости деформаций. Выше показано, что при низких скоростях деформаций зависимость динамической прочности горных пород контролируется термоактивационным механизмом. С ростом скоростей деформаций появляется и постепенно начи-
Скорость деформации, с 1
Скорость деформации, с 1
Рис. 6. Сравнение результата расчета по формуле (30) с экспериментальными данными: а и ■ — экспериментальные кривые; х — результаты расчета по формуле (30). Значения параметров в формуле (30): а — кривая 1 (оксид алюминия): Ь = 4.8, Ёв = 1039, п = 3.0; кривая 2 (карбид кремния): Ь = 8.0, Ёв = 1037, п = 2.5; б — кривая 3 (гранодиорит): Ь = 4.3, Ё8 = 1017, п = 1.5; кривая 4 (доломит): Ь = = 2.0, Ёч =1028, п = 1.0
у
нает доминировать макроскопический вязкостный механизм (фононный механизм). При высоких скоростях деформаций, деформации и разрушение переходят на микроскопический уровень, на котором термоактивационный механизм вновь появляется и вызывает разрыв атомных связей в первоначально неповрежденных местах. В этом случае рост дефектов различных размеров в материалах инициируется одновременно. Таким образом, ход зависимости прочности от скоростей деформаций можно рассматривать как результат конкуренции двух сосуществующих механизмов — термоактивационного и вязкостного, которые играют лидирующую роль в различных диапазонах скоростей деформаций.
Заменив напряжение а в (10) на выражение для прочности У (28), получим выражение для определения размера осколков разрушенных пород:
Л, = Л
а 0
\2
1
(32)
Такое соотношение вполне приемлемо. В работе [14] при изучении размера осколка на фронте дробления выяснено, что размер осколка В разрушенных пород на фронте дробления прямо связан с удельной энергией сдвиговых деформаций Е т, причем справедливо следующее соотношение:
(33)
1 + ц (а, -аф)
где ц — коэффициент Пуассона.
С помощью этого соотношения удается объединить разрушение сдвигом и отрывом на фронте дробления для описания среднего размера осколка. Причем при однократном разрушении, как в динамических, так и в статических условиях, между энергией сдвиговых деформаций и средним размером осколка наблюдается единая зависимость, общая для разрушения сдвигом и отрывом (рис. 7)
Если заменить (аг -аф) в (33) на 2Ут, то получим соотношение
(34)
которое совпадает с (32).
Изучение механизма разрушения при камфулетном взрыве показало, что в зоне, близкой к центру взрыва, горные породы разрушаются по механизму сдвига, а вдали — по механизму отрыва. В зоне разрушения сдвигом также наблюдаются две области, где фронт дробления совпадает с фронтом взрывной волны или отстает от него. Разрушение на динамическом фронте дробления не является окончательным. За фронтом дробления среда продолжает перемещаться от центра и деформируется. Значительное деформирование горных пород вблизи центра взрыва за фронтом дробления должно сопровождаться вторичным разрушением. Степень та-
Рис. 7. Зависимость удельной энергии сдвиговой деформации от размера осколка канифоли, построенная по результатам взрывных (1) (0.4 г) и статических экспериментов при а22 = 0 (2), 3.4 (3), 11.8(4) и 21.8 МПа (5) [14]
кого разрушения тем выше, чем больше деформация. На рис. 8 при г]а0 < 7.7 зависимость размера осколка от расстояния отклоняется от прямой линии. Эта область соответствует зоне вторичного разрушения. В предыдущем разделе при анализе механизма зависимости прочности от скорости деформации показано, что при приближении скорости деформации к области III разрушение постепенно переходит в режим образования множественных очагов разрушения, что соответствует вторичному разрушению. Для учета такого положения необходимо учесть вклад в повышение динамической прочности от пластического упрочнения и вида напряженного состояния:
Гт= (1 + БіУ р)Л
Go + кТ 1п-
ІЛ
У о
Ьі( у/у з)п
АС
(35)
(у/у зГ +1 _
где С = а3/а1 — параметр напряженного состояния; С = -^ соответствует одноосному растяжению, а С = = 1 — гидростатическому состоянию; А — константа; (1 + В1 ур)Я (Я, В1 — константы материала) — коэффициент деформационного упрочнения.
Так как пластические деформации, в основном, концентрируются в ближней зоне взрыва, выражение (32) с учетом (35) позволяет лучше описать закон изменения среднего размера осколков.
Поэтому влияние динамического нагружения на фрагментацию заключается в возможности накопления большей энергии сдвиговых деформаций к моменту раз-
х
х
+
рушения за счет повышения прочности, обусловленного изменением вида напряженного состояния и накоплением пластических деформаций и увеличения скорости деформаций.
Таким образом, разрушение происходит по следующему сценарию. С ростом нагрузки разрушение начинается на структурных поверхностях самого высокого уровня масштаба среды. Размер блоков является характерным размером данного структурного уровня. Дальнейший рост нагрузки приводит к разрушению следующего меньшего масштабного уровня с размером осколка, характерным для этого структурного уровня. С увеличением нагрузки размер осколка постепенно уменьшается. Повышение скорости деформаций, пластическое упрочнение, вид напряженного состояния могут повысить прочность среды. Следовательно, деформирование и разрушение могут переходить на меньший масштабный уровень, который определяется формулой (32) с учетом (35).
В физике симметрия является очень важным понятием. Наиболее распространенной симметрией являются однородность и изотропность пространства. В механике деформируемых твердых тел среда с изотропией обладает свойством симметрии. Механическое поведение такой среды описывается двумя параметрами упругости. При разрушении среды изотропия исчезает, симметрия нарушается. При увеличении внешней нагрузки разрушение происходит на последовательно уменьшающихся структурных уровнях. Вначале формируются блоки самого большого размера. В этом случае глобальная симметрия геосреды нарушается. Но вновь сформировавшиеся блоки могут рассматриваться как однородные и изотропные. В этом случае симметрия локализируется в блоках. С дальнейшим ростом нагрузки размеры последовательно сформировавшихся блоков постепенно уменьшаются, и размеры локальной симметрии постепенно уменьшаются. Поэтому процесс разрушения горных пород можно рассматривать как процесс последовательного нарушения и локализации симметрии среды. В таком случае для описания процесса разрушения можно применить дифференциальную геометрию и калибровочную теорию.
5. Выводы
Геосреда имеет сложную структурную иерархию, которая охватывает широкий диапазон масштабов — от масштаба атомов до тектонического масштаба. На каждом структурном уровне имеются структурные поверхности. Эти структурные поверхности являются ослабленными поверхностями, и деформации и разрушение горных пород главным образом локализуются на этих поверхностях. На каждом структурном уровне раскрытие таких структурных поверхностей пропорционально характерному размеру данного уровня. Чем меньше рас-
Рис. 8. Зависимость размера осколка от расстояния при взрыве заряда массой 0.4 г пентаэритриттетранитрата в канифоли [14]
крытие структурных поверхностей, т.е. чем меньше характерный размер данного уровня, тем выше механические характеристики горных пород на этом уровне. Поэтому размерный эффект в горных породах и других материалах может быть сведен к существованию структурной иерархии в них.
Что касается зависимости прочности материалов от скорости деформаций, то на основании анализа, проведенного в данной статье, можно сделать следующий вывод. При низких скоростях деформаций деформирование и разрушение горных пород контролируются термоактивационным механизмом. При дальнейшем увеличении скорости деформаций появляется фононный (макроскопический вязкостный) механизм, который постепенно начинает преобладать. Одновременно в материале начинается рост трещин различных размеров. В неповрежденных местах термоактивационный механизм вновь инициируется, происходят разрывы межатомных связей, которые далее являются атермически растущими очагами повреждения. Таким образом, термоактивационный механизм вновь выступает как главный механизм деформирования и разрушения в диапазоне высоких скоростей деформаций. Поэтому можно рассматривать зависимость прочности от скорости деформаций как результат сосуществования и конкуренции между термоактивационным и макровязкостным механизмами, которые доминируют в разных областях скорости деформаций. Сравнение с экспериментальными данными показывает, что данная модель хорошо описывает зависимость прочности от скорости деформаций в широком диапазоне скоростей деформаций. Это
свидетельствует о том, что модель физически хорошо обоснована, применима для широкого диапазона скоростей деформаций, проста и удобна для практического использования.
Влияние динамического нагружения на размер фрагмента заключается в возможности накопления большой энергии сдвиговых деформаций к моменту разрушения за счет повышения прочности, обусловленного высокой скоростью деформирования, изменением вида напряженного состояния и накоплением пластических деформаций. Предлагаемая зависимость качественно описывает закон фрагментации.
Работа выполнена при финансовой поддержке Китайского фонда естественных наук (NSFC) (ключевой проект № 50490275).
Авторы выражают сердечную благодарность академику Е.И. Шемякину и академику В.Е. Панину за поддержку данной работы и полезные консультации.
Литература
1. Садовский М.А., Болховитинов Л.Г., Писаренко В.Ф. Деформирование геофизической среды и сейсмический процесс. - М.: Наука, 1987. - 100 с.
2. Опарин В.Н., Юшкин В.Ф., Акинин А.А., Балмашнов Е.Г. О новой шкале структурно-иерархических представлений как паспортной характеристике объектов геосреды // ФТПРПИ. - 1998. - № 5. -С. 16-33.
3. Курленя М.В., Опарин В.Н. Проблемы нелинейной геомеханики. Часть I // ФТПРПИ. - 1998. - № 3. - С. 12-26.
4. Ревуженко А.Ф., Стажевский С.В., Шемякин Е.И. О механизме деформирования сыпучего материала при большом сдвиге // ФТПРПИ. - 1974. - № 3. - С. 130-133.
5. Мещеряков Ю.И., Диваков А.К. О влиянии процессов на фронте импульса сжатия на откольную прочность материалов и сопротивление высокоскоростному внедрению // ПМТФ. - 2003. - Т. 44. -№ 6. - С. 25-34.
6. Наймарк О.Б. Коллективные свойства ансамблей дефектов и неко-
торые нелинейные проблемы пластичности и разрушения // Физ. мезомех. - 2003. - Т. 6. - № 4. - С. 45-72.
7. Курленя М.В., Опарин В.Н., Еременко А.А. Об отношении линейных
размеров блоков пород к раскрытию трещин в структурной иерархии массивов // ФТПРПИ. - 1993. - № 3. - С. 3-10.
8. Костюченко В.Н., Кочарян Г.Г., Павлов Д.В. Деформационные характеристики межблоковых промежутков различного масштаба // Физ. мезомех. - 2002. - Т. 5. - № 5. - С. 23^2.
9. Кочарян Г.Г., Кулюкин А.М. Исследование закономерностей обрушения подземных выработок в горном массиве блочной структуры при динамическом воздействии. Часть II // ФТПРПИ. - 1994. -№ 5. - С. 27-37.
10. Свойства горных пород при разных видах и режимах нагружения / Под ред. А.И. Берона. - М.: Недра, 1983. - 275 с.
11. Болотин В.В. Статистические методы в строительной механике. -М.: Стройиздат, 1965. - 278 с.
12. Bazant Z.P., Ozbolt J., Eligehausen R. Fracture size effect: Review of evidence for concrete structures // J. of Struc. Engrg. - 1994. -V. 120. - No. 8. - P. 2377-2398.
13. Bazant Z.P. Scaling in nonlinear fracture mechanics // IUTAM Symposium on Nonlinear Analysis of Fracture: Proceedings of the IUTAM Symposium held in Cambridge, UK, 3-7 September 1995 / Ed. by J.R. Willis. - Dordrecht: Kluwer Academic Publishers, 1997. - P. 112.
14. Родионов В.Н., СизовИ.А., ЦветковВ.М. Основы геомеханики. -М.: Недра, 1986. - 300 с.
15. Attewell PB. Dynamic fracturing of rocks // Colliery Engineering. -1963. - V. 40. - No. 376. - P. I. - P. 203-210; P. II. - P. 248-252; P. III. - P. 289-294.
16. Rinehart J.S. Dynamic fracture strength of rock // Proceeding of 7th Symp. on Rock Mech. ALME. - 1965. - P. 205-208.
17. Nikolaevskii VN. Mechanics of Porous and Fractured Media. -Singapore: World Scientific, 1990. - 472 p.
18. Eibl J., Schmidt-Hurtienne B. Strain-rate-sensitive constitutive law for concrete // J. of Engineering Mechanics. - 1999. - V. 125. -No. 12.- P. 1411-1420.
19. Kumar A. The effect of stress rate and temperature on the strength of basalt and granite // Geophysics. - 1968. - V. 33. - No. 3. - P. 501510.
20. Cambell J.D., Furguson W.G. The temperature and stress rate dependence of shear strength of mild steel // Phil. Mag. - 1970. - V. 21. -No. 3. - P. 375-384.
21. Lindholm U.S., Yeakley L.M., Nagy A. The dynamic strength and fracture properties of dreser basalt // J. Rock Mech. Mining Sciences. -1974. - V. 11. - No. 5. - P. 181-191.
22. Kipp M.E., Grady D.E., Chen E.P. Strain-rate dependent fracture initiation // Int. J. Fracture. - 1980. - V. 16. - No. 5. - P. 471- 478.
23. Lankford J. The role of subcritical microfracture process in compressive failure of ceramics // Fracture Mechanics of Ceramics. - New York: Plenum Press, 1983. - V. 5. - No. 5. - P. 564-575.
24. Ханукаев А.Н. Физический процесс взрывов в горных породах. -Пекин: Изд-во Металлургии, 1989. - 215 c. (на китайском языке).
25. Ставрогин А.Н., Протосеня А.Г. Прочность горных пород и устойчивость выработок на больших глубинах. - М.: Недра, 1985. -270 c.
26. Ставрогин А.Н., Протосеня А.Г. Механика деформирования и разрушения горных пород. - М.: Недра, 1992. - 222 c.
27. Perzyna P. Constitutive Modeling of Dissipative Solid for Localization and Fracture // Localization and Fracture Phenomena in Inelastic Solids. - Wien - New York: Springer, 1998. - P. 99-241.
28. Николаевский В.Н. Динамическая прочность и скорость разрушения // Удар, взрыв и разрушение. - М.: Мир, 1981. - С. 166203.
29. Grady D.E. Shock wave properties of brittle solids // Shock Compression of Condensed Matters. - New York: AIP Press, 1996. - P. 9-20.
30. Батани Д., Вовченко В.И., Канель Г.И. и др. Механические свойства вещества при больших скоростях деформирования, вызванного действием лазерной ударной волны // Докл. РАН. Физика. - 2003. -Т. 389. - № 3. - С. 328-331.
31. Степанов Г.В., Харченко В.В. Особенности деформирования металлов при скоростях деформаций выше 104 с-1 // Проблемы прочности. - 1985. - № 8. - С. 59-64.
32. Регель В.Р., Слуцкер А.И., Томашевский Э.Е. Кинетическая природа прочности твердого тела. - М.: Наука, 1974. - 560 с.
33. Никифоровский В.С., Шемякин Е.И. Динамическое разрушение твердого тела. - Новосибирск: Наука, 1979. - 271 с.
34. Olsson W.A. The compressive strength of tuff as a function of strain rate from 10-6 to 103 s-1 // Int. J. Rock Mech. Min. Sci. - 1991. -V. 28.- No. 1. - P. 115-118.
35. Кожушко А.А., Синани А.Б. Скорость нагружения и хрупкость твердых тел // Физика твердого тела. - 2005. - Т. 47. - № 5. -С.812-815.
36. Meyers M.A. Dynamic deformation and failure // Mechanics and Materials: Fundamentals and Linkages / Ed. by M.A. Meyers et al. - New York: Wiley, 1999. - P. 489-594.
37. Иванов А.Г, Огородников В.А. Различаются ли хрупкие и пластичные материалы при отколе? // Прочность и ударные волны: Сб. научных трудов. - Саров: РФЯЦ-ВНИИЭФ, 1996. - С. 309-313.
38. Борин И.П., Новиков С.А., Погорелов А.П., Синицыгн В.А. О кинетике разрушения металлов в субмикросекундном диапазоне долговечности // Прочность и ударные волны: Сб. научных трудов. -Саров: РФЯЦ-ВНИИЭФ, 1996. - С. 356-361.
