Структура стационарных классов функций трехзначной логики Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 519.7

А. А. Мазуров1

СТРУКТУРА СТАЦИОНАРНЫХ КЛАССОВ ФУНКЦИЙ ТРЕХЗНАЧНОЙ ЛОГИКИ*

В статье изучаются свойства преобразования вектора значений функций трехзначной логики в вектор коэффициентов их полиномов. Аналогичное преобразование булевых функций применяется в криптологии, и его свойства подробно изучены. Введены стационарные классы функций трехзначной логики, получена их иерархия и точные значения количества функций в них. Описана полная структура таких классов.

Ключевые слова: функции многозначных логик, полиномы, преобразование Мёбиуса.

1. Введение. Булевы и fc-значные функции широко применяются в криптографии и кибернетике. В работах [1] и [2] исследовано преобразование между двумя представлениями булевых функций — в виде вектора значений и в виде полинома Жегалкина. Это преобразование линейно, и оно порождает классы функций, которые являются его собственными векторами. В этих работах установлены мощности таких классов функций, а также их иерархия и связь функций из них с другими важными свойствами.

В настоящей работе представлено обобщение полученных в [1] и [2] результатов на случай трехзначной логики. Данная статья является продолжением ранее опубликованной статьи [3].

2. Основные понятия. Пусть к — натуральное число, />• > 2. Множество всех натуральных чисел от 0 до к — 1 обозначается через /•-'/,: Е^ = {0,..., к — 1}. Функцией fc-значной логики от п переменных называется отображение /: Е^. Множество всех функций fc-значной логики от п переменных обозначается Рк(п). Множество всех функций fc-значной логики (от любого количества переменных) обозначается Р^.

Вектором значений функции /, зависящей от переменных х\,... ,хп, называется последовательность значений функции на всех наборах от (0,..., 0) до (к — 1,..., к — 1) в лексикографическом порядке, т. е. на наборах, обозначающих числа от 0 до кп — 1 в fc-ичной системе счисления в порядке возрастания.

Полиномом в fc-значной логике называется формула вида

/(ж 1,..., хп) = ^ ^ caXi1 2 ... хпп (mod к),

где

•Г" {,-.,•.'.'....г. '•» * ^ й=(«1,...,а„).

а

Числа са называются коэффициентами полинома. Здесь и далее сложение и умножение элементов из /•,'/,. (а именно значений переменых и значений функций, коэффициентов полинома) ведется по модулю к. Вектором коэффициентов полинома функции называется последовательность с(о,...,о)? ■ ■ ■ 1 c(fc-i,...,fc-i)! гДе индексы расположены в лексикографическом порядке.

Для любого простого числа к и любой функции / € Рк существует и единственно представление этой функции в виде полинома с точностью до перестановки слагаемых [4].

Преобразование Мёбиуса — это отображение, переводящее вектор значений функции в вектор коэффициентов соответствующего ей полинома. Это отображение в дальнейшем будем обозначать //(/).

Утверждение 1 [5]. Преобразование Мёбиуса — это линейное преобразование в пространстве векторов размерности кп.

Теорема 1 [4, 5]. BP% преобразование Мёбиуса обратимо, если к простое, причем в i'j

/х-ЧЯ = /*(/)•

1 Факультет ВМК МГУ, асп., e-mail: anat-mazurovQmail.ru

* Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ, грант № 12-01-00706а.

Теорема 2 [1]. Количество функций от п переменных в Р->. таклщ что //(/) = /, в точности

Пусть А и В — прямоугольные матрицы порядков т х п и р х д соответственно. Кронекеровым произведением А х В матриц А и В называется матрица С размера тр х пц следующего блочного строения:

Известны следующие свойства кронекерова произведения матриц. Свойство 1 [6]. (А х В)(С х Б) = {АС) х (ВБ). Свойство 2. (А х А)(В х В) = (АВ) х (АВ). Свойство 3. (АВ)№ = А^В№. Свойство 4. (Ат)М = (АМ)т.

Говорят, что линейное пространство X есть прямая сумма своих подпространств М1,..., Мп:

если каждый вектор х € X представляется в виде суммы х = т\ + ... + тп, т% € Л/,. и притом единственным образом.

Функцию / € Рк назовем стационарной функцией относительно р ^ 1, с константой т, если

Стационарным классом (функций п переменных) с константой т относительно назовем множество всех стационарных функций &-значной логики (зависящих от п переменных) с константой т относительно рА.

Введем следующее обозначение: С^гП(п) = {/ е Рз(п)\ ¿¿р(/) = т • /}. Верхний индекс р = 1 будем для простоты опускать.

3. Известные ранее результаты.

Теорема 3 [3]. В случае трехзначной логики матрица преобразования Мёбиуса для функций от п переменных Тп строится следуют,им образом:

равно 22 .

Кронекеровой к-й степенью квадратной матрицы А будем называть выражение

Х = М1ф...фМ1

1 О О

Тг = 0 2 1 , ТП=Т[П],

2 2 2

Теорема 4 [3]. Для любой функции / из Р3 //(/) = /. Теорема 5 [3]. В Р3 выполняются следующие соотношения:

д?(п) = р3(п), д|(п) = 0,

<г1(п) = д?(п) = д5(п) = д!(п),

Я2(П) = Я32(П) = Я52(П) = Я1(П), Я\{п) = Я\{п), Я1{п) = Я%{п).

Теорема 6 [3]. В Р3 выполняются соотношения:

«21 (п) с д?(п) С <2$(п) с <21(п) = р3(п),

д2(п)сд?(п), д|(п)сд!(п), «#(«) с д?(п) = р3(п).

Утверждение 2 [3]. В Р3 матрица преобразования /¿4 строится следуют,им образом:

ТП = (Т14)Н,

Т4 =

1 О о

2 2 0 1 0 2

Теорема 7 [3]. Верны следующие соотношения:

= ззп_1 х |д|(п-1)|, |д4(п)| = 33" Следствие 1 [3]. В трехзначной логике

х|«#(п-1)|.

ч§(зп-1)

если п нечетное, если п четное,

если п четное, если п нечетное.

Шп) | ^¡.т'-П

Утверждение 3 [3]. В Р3 матрица преобразования /¿2 строится следуют,им образом:

Т2 = (Т2)М п^ 2.

Т( =

1 О о

2 0 1 0 2 0

Шп)\ =

Шп)\ =

если п нечетное, если п четное,

если п нечетное, если п четное.

Теорема 8 [3]. В трехзначной логике для любого натурального числа п

= \Qtin - 1)1 X \Я\{п - 1)|.

Теорема 9 [3]. В трехзначной логике для любого натурального числа п

Следствие 2 [3]. В трехзначной логике

Зж(зп+з);

'3*(з»-з)?

.зК3"-1),

Теорема 10. В трехзначной логике выполняются соотношения

Р^) = Я\{п)®Я1{п)„ Яип) = (Ц(п)ф(1ип), Я21(п) = (]11(п)ф(112(п).

Доказательство. Докажем первое равенство, остальные доказываются таким же образом почти дословно. Нужно доказать, что любая функция из Р3{п) единственным образом раскладывается в сумму двух функций из и £?КП)- Рассмотрим = 2/х4(/) + 2/ и /2 = ¿¿4(Я + 2/. Очевидно,

/1 + /2 = / и, кроме того, //(Л) = /1, /¿4(/г) = 2/2. Осталось показать единственность. Пусть существует второе разложение / = Ц + /|, где Ц € Я\{п), /| € Я\{п). Тогда ¡\ - Ц = /| - /2 = д. Отсюда видно, что ¿¿4(д) = д, с одной стороны, как разность функций из (2|(п), и ¿¿4(д) = 2д — с другой. Вычитая одно равенство из другого, получаем д = 0. Теорема доказана.

4. Стационарные относительно //. классы. Аналогичные результаты получены для классов, стационарных относительно /х. Для их обоснования потребуется несколько предварительных фактов. Введем следующее обозначение:

Щ(п) = {/ € Р3(п) : м2(/) + »' КЛ = /}, » = 1, 2-

Лемма 1. Если функция / € Р3(п) такова, что / принадлежит хотя бы одному из классов Й1(п) шш -Кэ, "го / € <3|(п).

Доказательство. Пусть сначала / принадлежит Д1 (п). Тогда

/*2(Я + МЯ = /,

2(/*2(Я + МЯ) + М/ЛЯ + МЯ) = /, /ЛЯ + 2/х3(Я + /ЛЯ = /,

/ЛЯ = /ЛЯ + 2/х3(Я + 2/х2 (/) + //(/) + /х2(Я = / + /х2(Я + /х(Я = 2/.

Случай, когда / € Д2(п), рассматривается полностью аналогично, и лемма доказана. Теорема 11. Верно следующее соотношение:

дЦп) = Я1(п)ед2(п).

Доказательство. Необходимо доказать, что для любой функции / € <Э2(п) существуют Д € -Й1 (п) и /2 € Д2(и), такие, что / = /1 + /2, и что такая пара Д, /2 единственна.

Поскольку Д € -Й1 (п), то по предыдущей лемме /х4 (/1) = 2Д. Будем искать выражение для Д вида

Д = VI/) + Я/*2(Я + С/х(/) + £>/,

где Л. И. ('. I). /•,' € #3. Тогда выражение для /2 имеет вид

/2 = / - /1 = 2А/х3(Я + 2В/х2(Я + 2С/х(Я + (21) + 1)/.

По условию Д € -Й1 (п), /2 € Д2(п), и, воспользовавшись методом неопределенных коэффициентов, получаем 8 уравнений для 4 неизвестных:

'2А + 2В = I), 2.Л + /> Г. (7 + 1) = В, С+ В = А, ' А = С + 2В, 2Г + /.) + 2 П. 2Л + 2/.)+! С. 2/Л-Л /.> + 2.

ч

Эта система совместна, и, решив ее, получаем выражения для Д и Д:

/1 = /ЛЯ + МЯ + 2/, /2 = 2^3(/) + 2/х(Я + 2/.

Осталось показать единственность. Пусть существуют два разложения:

1 = П + П = 1? + И

Тогда Д1 — ¡1 = /| — /з1 = д. Поскольку /х — линейное преобразование, то сумма или разность пары функций из (п) (или Д2(п)) находится также в Я\{п) (или в Д2(п)). Следовательно, 5 € Д1 (п), д € Д2(и). Это значит (по определению Д1 и Д2), что р2(д)+^(д) = д и одновременно /х2(д)+ 2/х(д) = д, откуда /х(д) = 0 и 5 = 0, т. е. такие Д и /2 единственны. Теорема 12. Выполняются следующие равенства:

|Д1(п)| = |Д1(п - 1)1 х |С?2(п - 1)1 х - 1)|2,

|Дз(п)| = |Д2(п - 1)| х \Qlin - 1)| х \Q\in - 1)|2.

Доказательство. Рассмотрим систему уравнений для функции / € Р3(п) :

/^2(/) + МЯ = /} и будем считать, что вектор значений этой функции имеет вид (/о,/1,/2), /0,/1,/г е Рз(п- 1):

М2(/о)+/х(/о) = /о,

2м2(/о) + 2/х(Д) + (/х2(Д) + МД)) = /ь

2/х(/0) + 2(/х2(Д) + /х(Д)) + 2М(/2) = /2.

Сначала установим количество возможных вариантов выбора Д. Рассмотрим первое уравнение и будем считать, что ограничения на Д задает только оно. Вариантов выбора Д получается (?г— 1) |.

Получим теперь ограничения на Д. Для этого ко второму уравнению прибавим третье, к которому перед этим применим преобразование /х:

/х2(/о) + 2/х3(Д) + 2/х2(Д) + 2/х(Д) = Д,

(1)

Преобразование (¿¿4 + 2/)(/1) — это проекция Д на Представим Д в соответствии с теоремой 10 в виде /1 + /| + /2? где Е — 1), ^ = 1,2, Е (З^77, ~~ !)• Тогда после подстановки такого

Отсюда следует, что /| можно выбирать произвольным образом, а Д2 — из условия (/х + = 0. Поскольку Е — 1), то = /ц + /12, Е — 1), г = 1,2, и из условия вытекает, что

/и — 0, а /12 можно выбирать произвольно.

Таким образом, получаем, что для выбора Д имеется |(3|(п — 1)| х ¡(^К77, ~~ 1)1 вариантов.

Для завершения доказательства осталось найти Д. Перенесем во втором уравнении системы все члены, зависящие от /0 и Д, направо. Докажем, что такое уравнение имеет ровно \QKri — 1)| решений относительно Д. Сначала покажем, что оно вообще имеет решение. Рассмотрим вектор

т. е. в качестве решения подходит, например, вектор к.

Теперь пусть ^(дг) + ^(31) = ^2{д2) + МЫ- Отсюда - д2) = 2/х(з1 д2), или д2 = д 1 + д',

д' Е С^2(п — 1). Отсюда следует, что прибавление любого вектора из С^2(п — 1) к /г дает новое решение последнего уравнения системы.

Всего различных решений системы получается \(^2(п — 1)| х \Я2{п~ 1)12 х 1^1 (п ~~ 1)1-

Для Я2(п) = {/ : ¿¿2(/)+2/х(/) = /} можно провести аналогичные рассуждения. Теорема доказана.

Таким образом, с учетом того, что = 1^1 (0)1 = |^?2(0)| = 1, ^(О)! = мощности множеств

Д].(п), Я2(п), (3].(п), (¿2(п) можно посчитать рекурсивно.

5. Заключение. В результате исследования установлено, что множество всех функций из Рз(п) имеет структуру, показанную на рисунке, где линиями соединены множества функций, одно из которых (находящееся на уровень выше) является прямой суммой двух других.

Найдены формулы для вычисления точного количества функций в каждом множестве, а также явные способы построения всех функций из этих множеств.

1. Pieprzyk J., Zhang X.-M. Computing Möbius transforms of boolean functions and characterising coincident boolean functions // Boolean Functions: Cryptography and Applications. Rouen, France: Publications des Universités de Rouen et du Havre, 2007. P. 135-151.

2. P ieprzy k J., Wang H., Zhang X.-M. Möbius-a commutative functions and partially coincident functions // Boolean Functions: Cryptography and Applications. Rouen, France: Publications des Universités de Rouen et du Havre, 2008. P. 135-150.

^ = M_1(/i)+M2(/o). Тогда

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

38

ВЕСТН. МОСК. УН-ТА. СЕР. 15. ВЫЧИСЛ. МАТЕМ. И КИБЕРН. 2013. № 2

3. Мазуров A.A. О стационарных классах функций трехзначной логики // Вестн. Моск. ун-та. Сер. 15. Вычисл. матем. и киберн. 2012. № 2. С. 37-43.

4. Яблонский C.B. Введение в дискретную математику. М.: Наука, 1986.

Б.Логачев O.A., Сальников A.A., Ященко В. В. Булевы функции в кодировании и криптологии. М.: МЦНМО, 2004.

6. Воеводин В. В., Кузнецов Ю. А. Матрицы и вычисления. М.: Наука, 1984.

Поступила в редакцию 31.10.12

A STRUCTURE OF STATIONARY CLASSES OF THREE-VALUED FUNCTIONS Mazurov A. A.

In this paper the properties of a transform of three-valued functions are examined. This is the transform between two representations of multi-valued function: from vector of values to vector of polynomial coefficients of the function. A similar transform of boolean functions has been studied in details, and its properties are well-known in cryptology. The stationary classes of functions for this transform are introduced in the article, their hierarchy is achieved and exact numbers of functions in all of these classes are given. A full structure of these classes is described.

Keywords: multivalued functions, polynomials, Mobius transform.