CC BY
60
и_
Калмыков И.А., Чипига А.Ф.
«Структура нейронной сети для реализации цифровой обработки сигналов...»
Шиши
СТРУКТУРА НЕЙРОННОЙ СЕТИ ДЛЯ РЕАЛИЗАЦИИ ЦИФРОВОЙ ОБРАБОТКИ СИГНАЛОВ ПОВЫШЕННОЙ РАЗРЯДНОСТИ
И.А. Калмыков, А.Ф. Чипига
THE NEURONET STRUCTURE FOR DIGITAL PROCESSING OF SIGNALS OF ADVANCED PRECISION
Kalmykov I.A., Chipiga A.F.
The paper considers the problems of advanced precision data digital processing while realising digital processing of advanced precision signals (DPS). The algorithm of dynamic range extension of deduction class polynomial system (PSDC) in the Galua field GF(pv) is suggested. The neuronet realisation is shown.
Рассмотрены вопросы обеспечения обработки данных повышенной разрядности при реализации методов цифровой обработки сигналов (ЦОС). Представлен алгоритм расширения динамического диапазона полиномиальной системы класса вычетов (ПСИВ) в поле Галуа GF(pv). Показана нейросетевая реализация.
УДК 681.3
Применение полиномиальной системы класса вычетов (ПСКВ) в расширенных полях Галуа СР(ру) предопределяет параллельно-конвейерную организацию ортогональных преобразований сигналов [1, 2, 3]. Обладая модульной структурой, данная алгебраическая система относительно легко обеспечивает высокую производительность специализированного процессора (СП) цифровой обработки сигналов (ЦОС), необходимую точность и разрешающую способность.
Базовой основой целесообразности применения арифметики конечных полей Галуа для ортогональных преобразований сигналов является процедура квантования физических сигналов ), принадлежащих пространству действительных чисел Я. В этом случае выборочные значения х(п) сигналов х(^) можно рассматривать как функции, заданные на циклической группе Ом порядка N и принимающие некоторые значения в некотором конечном поле СР(р). Именно это обстоятельство дает возможность воспользоваться ПСКВ при реализации ортогональных преобразований сигналов.
Если в качестве оснований новой алгебраической системы выбрать минимальные многочлены рi (г) поля СР(ру), то любой сигнал х(п), представленный в полиномиальной форме X(г), удовлетворяющий условию
38/2004
Вестник Ставропольского государственного университета
X(г) 6 Рпол, где РпоЛ = ГГа (г) = гр"-1
(1)
можно пред-
ставить в виде п-мерного вектора
X (г) = (а&( г),а2( г),..., а„ (г)), (2)
где а7 (г) = га^ I
А( г)7
7 = 1,2,...,„ .
(г) У
Так как сравнения по одному и тому же модулю можно почленно складывать, вычитать и умножать, то для суммы, разности и произведения двух полиномов А(г) и В(г), имеющих соответственно модулярные коды
(а&( г ),а ((г),..., а п (г))
и
(АГг^ГгЛ-^пГг;)
справедливы соотношения:
|А( г) + В( г) + г) = (а&( г) + Д( г)|
Р( г )
'1^2( г )'
I а 2 (г) + в 2 (г) I (г),..., | а п (г) + в„ (г )|
+
Р1( г Г +
р„(г)
|А( г) - В( г)+(г) = (а&( г) - Д( г )|
Р ( г ) '112 ( г )'
+
II( г )'
|а2 (г) - в2 (г^ 1 (г) 1«„ (г) - в„ (г)
+
Р„ ( г )
+
11( г Г
А( г) • В( г)+(г) = (а&( г) • Д( г)|
|а2 (г) • в2 (г)| +,(г),..., 1«„ (г) • в„ (г) +„(г)
(3)
(4)
(5)
Таким образом, выполнение операций над операндами в расширенном поле Галуа (ру) производятся независимо по каждому из модулей рi(г), что указывает на параллелизм данной алгебраической системы.
Отсутствие переносов между цифрами а:(г) позволяет обрабатывать их параллельно и независимо друг от друга, что повышает скорость обработки сигнала. В работе [1] представлен алгоритм организации ортогональных преобразований сигналов в расширенных полях Галуа (ру) с использованием ПСКВ. Там же приведена структура нейронной сети, реализующей данную процедуру ЦОС.
Однако при решении целого ряда задач ЦОС возникают проблемы, связанные с
точностью вычислений [4, 5]. Они обусловлены большим количеством последовательных операций, выполняемых над каждым элементом входных матриц. Кроме того, любая матрица представляет собой целостный математический объект, в котором все входящие в него элементы взаимосвязаны. Ошибки арифметических операций над элементами матрицы, вызванные необходимостью округления операндов из-за ограничения разрядной сетки, приводят к искажению матрицы в целом. При этом накопление ошибок вычислений происходит очень быстро.
Исходя из условия, что входные данные, представляемые с некоторой конечной точностью, можно рассматривать как целые числа, ограниченные сверху определенным модулем Р, то наложение ограничения на максимальную амплитуду входного сигнала х(„) согласно (6)
N-1
Мшах 2|ВД| ^ Р/2, (6)
„=0
где |Л(„)| - абсолютное значение импульсной характеристики; N - количество отсчетов, позволяет получить одинаковые результаты при вычислении свертки в кольце целых чисел с операциями по модулю Рис обычной арифметикой. Данное условие (6) аналогично ограничению на отсутствие переполнения при обработке данных, представленных в формате с фиксированной запятой.
Для того чтобы ортогональные преобразования сигналов были более привлекательными с точки зрения обеспечения высокой точности результата, необходимо увеличивать рабочий диапазон Р в первую очередь за счет расширения числа оснований модулярного кода. Задача расширения оснований заключается в нахождении остатка а!+1 по модулю р.+1 числа
А = (а1, а2, ..., ак ), представленного
в модулярном коде в системе оснований
Л,Р2, -5^к ПРиэтом
а
к+1
= А шod р
к+1
(7)
7=1
i:I_IjI
Калмыков И.А., Чипига А.Ф.
«Структура нейронной сети для реализации цифровой обработки сигналов.»
Вопросам расширения оснований в последнее время уделялось довольно значительное внимание [6, 7]. В работе [7] представлен алгоритм определения остатка ак+1
по заданному входному вектору А = (а1, а2, ..., ак), обладающий параллельно-конвейерной организацией вычисления, а также предложена его нейросетевая реализация.
Для заданного числа А в системе оснований р,р2,...,Рк согласно китайской теореме об остатках (КТО) справедливо
А = X ^ • Вг - Га • Р, (8)
¿=1
где Р - диапазон представления, т.е.
к-1
Р = Пр ; Вi - ортогональные базисы;
¿=1
ранг числа А .
При этом ранг га определяется
к +
Га -
Г =
i=1
(9)
Рк
где #i =
-1
miPi
Рк
, $i - вес ортогонально-
го базиса: i = 1,2,..., к - 1.
= Рк - Р
Рк
Подставив (9) в (8), получаем
ак+1 =
к-1 / I Pp. + 'Л
+ + Га \pk+1 - |Р|+
Рк+1 а \ к+1 1 'Рк+Н
(10)
Рк+1
Таким образом, для расширения системы оснований необходимо:
1. Вычислить значение ранга числа Га в системе оснований p,р,...,р согласно (8).
2. Найти остаток ак+1 = A mod р.+1 согласно (9).
Для предложенного метода расширения системы оснований модулярного представления числа характерны вычисления по малым основаниям: по модулю pk, при вычислении ранга га (см. выражение (8)) и по модулю р+1 при вычислении значения числа по расширяемому основанию (см. выра-
жение (9)). Применение данного метода в значительной степени упрощает вычисления по сравнению с прямым методом, согласно которому вначале осуществляется определение числа А при помощи (9), а затем вычисление ак+1 по модулю р+1.
Рассмотрим вопрос применения данного алгоритма для модулярного представления полинома А(г) в ПСКВ расширенного поля СР(ру).
Пример. Пусть задано расширенное поле СР(28). В данном поле определены основания р( г) = г +1; р( г) = г2 + г +1; р (г) = г8 + г3 + г2 + г +1; р (г) = г8 + г3 +1. Исходный полином А(г) = г6 + г8 + г2 представлен в модулярном коде (1, 0, г3 +1, г). Необходимо вычислить остаток а5(г) полинома А(г) по модулю р9 (г) = г8 + г +1.
Диапазон представления Р(г) определяется основаниями р(г), р(г), р(г) и составляет Р(г) = г7 + г6 + г5 + г2 + г +1. Тогда ортогональные базисы и их веса соответственно равны:
В1(г) = г6 + г8 + г3 + г2 +1, $1(г) = 1.
В2 (г) = г6 + г5 + г +1, $2 (г) = г +1.
В3( г) = г5 + г8 + г3 + г2 + г +1,
$3 (г) = г2 + г +1. Определим значения # (г), ¿' = 1,2,3,4 : 1
#( ^) =
#2 (z) = #3(z)=
Z + 1 Z + 1
= Z
Z + Z3+1 +
Z + Z + 1 z8+z3 +1
z2 + Z + 1
8 , 3 . 2 . Z + Z + Z + Z + 1
= Z3 + Z + 1,
= Z2 + 1,
Z8+Z3+1
+
+
i
i=1
+
38/2004 ЯШ
Вестник Ставропольского государственного университета
Структура нейронной сети, реализующая данный алгоритм расширения оснований представлена на рисунке. Основу такого устройства составляют модулярные НС. При этом константы выражений (4) и (5) вычисляются заранее и образуют матрицу синаптических весов, связывающих первый и второй слои НС.
На вход нейронной сети поступают модулярные значения
(а (г),а 2 (г), «з (г), аА (г)).
На первом этапе НС осуществляет вычисление ранга га (г), используя взвешенное суммирование а1 (г) и (г), где 7 = 1, 2,3, 4 . При этом осуществляется вычисление значения
к-1 3
У а% (г)В% (г) = У а% (г)В% (г) .
1=1 } -1
Затем полученные значения поступают с выходов 2-го слоя НС на выходной, где и осуществляется вычисление
а5(г) = |А(г)р (г) согласно (10).
Для оценки эффективности функционирования предложенного способа расширения системы оснований в полиномиальной системе класса вычетов в полях Галуа была разработана математическая модель. Для
Рис. Структура НС расширения системы оснований ПСКВ в поле С^ (24).
# 4 (г) = г 4 + г3 +1 -1
7 , 6 . 5 . 2 . .1
г + г + г + г + г +1
г 4+г3 +1
г 4+г3 +1
= г + г.
Тогда значение ранга определяется согласно (9):
га (г) = г3 -1 + (г3 + г +1) • 0 +
+ (г2 +1) • (г3 +1) + (г2 + г) • г 4 3 = г.
г4 + г3 +1
Подставив полученное значение в равенство (5), получаем
а5(г) =
1 6 . 4 . 3 . 2.1
1- г + г + г + г +11
+
+ 0 - г6 + г5 + г + 1Г
г 4+г+1
+ (г3 +1) -
• г5 + г4 + г3 + г2 + г +1
+
г 4+г+1
+ г • (г4 + г +1) +
+ г7 + г6 + г5 + г2 + г +1
г4+г+1
= г3 + г +1.
Таким образом, полином А(г) в расширенной системе оснований представляется А(г) = (1, 0, г3 +1, г, г3 + г +1).
т
+
4
+
4
111111
Калмыков И.А., Чипига А.Ф.
«Структура нейронной сети для реализации цифровой обработки сигналов.»
имитационной модели была выбрана НС, функционирующая в расширенном поле
СР(28). Проведенные исследования показали, что использование разработанного алгоритма позволяет расширить динамический диапазон системы на четыре порядка. Причем нейронная сеть имеет двухступенчатую организацию и осуществляет вычисление остатка по дополнительному основанию, согласно выражения (10) за две итерации.
ЛИТЕРАТУРА
7. (е*вя-ов ../., 0алмы-ов /.4., Щел-уно-ваЮ.0., Бережной >.>. Мздаемадаичес-ая .модель нейронных сетей для исследования ортогональных и*еоб*азований сигналов е *ас^и*енных иолях Калуа // .ей*о-омиьюдае*ы: *аз*абода-а и и*именение. - 2005. - .^6. - С. 67-68. 2. (е*вя-ов../., 0алмы-ов/4., Щел-уно-ваЮ.0., Бережной 5.5. Мздаемадаичес-ая модель нейронной се@и для -о**е-^ии о^ибо- в неиози^ионном -оде *ас^и*енного иоля Калуа // .ей*о-омиьюдае*ы: *аз*абода-а и и*именение. -2005. -.№8-9. - С. 7 0-7 6.
5. 0алмы-ов /.4., Щел-унова 9.0., Кахов >.Р. Яовы^ение устойчивости фун-^иони*ования биоме@*ичес-их систем за[и@ы на основе изменения иолиномиальной системы -ласса вычетов // /звесдаия 7Р7У. 7емадаичес-ий выиус-. Материалы К Международной научно-и*а-даичес-ой -онфе*ен^ии _/нфо*ма^ионная
безоиасносдаь». - Таганрог: /зд-во 7Р7У, 2005. -С.726-729.
Рабине* Л., Коулд 7ео*ия и и*именение ^иф*овой об*абода-и сигналов /Яе* с англ.; иод *ед. Ю.Я. 4ле-санд*ова -М.: .Ми*, 7978. - 8&8 с.
5. \ехничес-ое обесиечение цифровой об*а-бо@-и сигналов: Си*авочни- / 0уи*иянов М.С. и д* - СЯб.: Фо*@, 2000. - 752 с
6. 4-у^с-ий /.е., Юди^-ий Д./. Машинная а*ифмедаи-а в осдаадаочных классах. - М: Сов. *адио, 7.968. - &&0 с.
7. (е*вя-ов ../., Сахню- Я.4., Шаио^ни-ов 4.5, Ряднов С4. Модулярные иа*аллельные вычислительные сда*у-дау*ы ней*ои*о^ессо*ных систем. - М: Физмадалида, 2005. - 288 с.
Об авторах
Калмыков Игорь Анатольевич, кандидат технических наук, заместитель начальника кафедры информатики и информационных технологий в системах управления филиала Ростовского военного института Ракетных войск (г. Ставрополь). Чипига Александр Федорович, кандидат технических наук, доцент, доцент кафедры прикладной математики и информатики СГУ. Область научных интересов - сжатие данных, искусственный интеллект, нейронные сети, генетические алгоритмы, математическое моделирование.
