Стохастические финансовые временные ряды в управлении стоимостью компании Текст научной статьи по специальности «Экономика и бизнес»

УДК 336.64

СТОХАСТИЧЕСКИЕ ФИНАНСОВЫЕ ВРЕМЕННЫЕ РЯДЫ В УПРАВЛЕНИИ СТОИМОСТЬЮ КОМПАНИИ

И.А. Астраханцева, С.Е. Дубова

Ивановский государственный химико-технологический университет

Разработана имитационная модель построения финансовых временных рядов, учитывающая тенденции роста инвестированного капитала, циклическое развитие компании, шумовые эффекты и инвестиционные толчки. В модель встроена авторская система стоимостных метрик компании.

Ключевые слова: управление стоимостью, имитационная модель, финансовая стратегия, финансовые временные ряды, стоимостные метрики.

Компанию можно рассматривать как ряд оттоков денежных средств в виде инвестиционных вложений и денежных притоков, генерируемых в результате этих проектов. Большинство исследователей (LA. Gordon, MM. Hamer, J.A. Kay, G. Kelly, M. Tippett) используют модель постоянных возрастающих инвестиционных вложений в компанию или стандартную модель экспоненциального роста.

Ft=F0-{l + g)\ где (1)

Fo - первоначальный уровень инвестированного капитала, t- 1, 2, 3,...,Т-года, Ft - инвестиции в t-м году; Т- величина периода моделирования, Ft - уровень инвестированного капитала в t-ом году,

g - темп прироста инвестированного капитала.

Эта модель предполагает постоянный рост величины инвестированного капитала в компанию, что является достаточно упрощенным подходом к моделированию финансовых рядов на долгосрочный период. Для повышения реальности финансовых расчетов к этой модели, описанной формулой (1), авторами предлагается добавить следующие факторы:

1. Цикличность развития экономики. Модель должна иметь экспоненциальный тренд с синусоидальным циклом, собст-

венной амплитудой и длиной цикла. Обозначим этот фактор со.

2. Нерегулярность изменений, возникающих в результате разного вида фрактальных шумов (белого, коричневого, черного или розового шумов). Обозначим этот фактор ф.

3. Шоковые (пиковые) инвестиционные вложения. Обозначим этот фактор т.

В результате добавления указанных факторов получим авторскую имитационную модель, в которой инвестиции генерируются мультипликативным процессом с экспоненциальным трендом, синусоидальным циклом, также нерегулярными изменениями и шоковой компонентой:

Р,=Р0-{\ + ё)-о)-ср-т, (2)

гдег= 1, ... ,Т, Т - период моделирования; Р[ - инвестиции в 1-м году; Ро - первоначальный уровень инвестированного капитала;

g - темп прироста инвестированного капитала;

со - фактор цикличного развития компании; ф - фактор шоковых инвестиций; т - фактор шоковых инвестиций.

Формула (2) предполагает, что компания создается в первый год. Период с первого до Т-0 года необходим компании для достижения непрерывности деятельности компании как одной из основополагающих допущений в бухгалтерском уче-

те. Год О - это период наблюдения (число лет для расчета стоимостных показателей). Оценивать стоимостные показатели компании и ее долгосрочную способность генерировать денежные потоки лучше после этого этапа. Поэтому фактический период наблюдений для определения системы стоимостных показателей в модели рекомендуется с Т-О+1 до Т года.

Первая часть формулы (2)

/*,', - (1 + #)' показывает постоянный экспоненциальный рост инвестиционных вложений в компанию (см. формулу (1)). Фактор со отражает синусоидальный цикл деловой активности компании. Для этого введем в модель показатели амплитуды (А), длительности цикла (С), а также техническую корректировку фазы цикла в зависимости от уровня шума и смещения цикла (к/С). Техническая корректировка цикла также необходима для смещения непрерывной синусоидальной кривой так, чтобы ее минимальные и максимальные значения совпадали с дискретным временем.

"'2л-

(й = А -ъ т

(3)

Преобразуем формулу (3) и полу-

чим:

со = А • эт

"^•а-о.5)

С

(4)

Сезонные колебания здесь не учитываются, так как модель построена с дискретным временем (интервал один год). Это означает, что для моделирования финансовых рядов используется годовая, а не квартальная отчетность. Колебания помогают найти оптимальный путь развития компании. Они благотворны, так как помогают компании двигаться вперед. Когда компания завершает стадию роста, она находится в динамическом покое, но в этот момент на нее действуют наибольшие силы, толкающие ее к тренду. Компания начинает двигаться к тренду, набирая скорость, однако силы, действующие на нее, уменьшаются. При достижении

линии экспоненциального тренда наступает мгновенное равновесие сил, равнодействующая сила - нулевая, зато скорость наибольшая. В точке равновесия компания набирает наибольшую скорость и движется в сторону от динамического равновесия. Но возникают силы, препятствующие этому движению и останавливающие движение в точке, находящейся ниже уровня тренда. В этот момент наступает мгновенный покой и возникает сила, толкающая в сторону равновесия. Компания в принципе не может двигаться по тренду. Компания замкнута в себе и может двигаться только колебаниями. Развитие глобализации нарушает замкнутость компаний и национальных экономик, однако остается замкнутой мировая экономика, поэтому колебания принимают глобальный характер.

Фактор ф представляет собой случайную составляющую. В качестве случайной составляющей можно использовать белый, розовый, коричневый или черный шумы. Вид шума зависит от того тренда, которому следует компания в настоящий момент времени. Эти шумы характеризуются спектральными функциями, которые описываются простыми однородными степенными законами вида

(квадраты амплитуд преобразования Фурье). Коэффициент масштабирования /? может изменяться в диапазоне от нуля до четырех.

Среди шумов широкой известностью пользуются следующие виды шумов. Белый шум (/У = 0), спектр мощности которого не зависит от амплитуды, позволяет моделировать бесчисленное множество процессов в широком диапазоне (статистика нормального распределения). Если 0 < /? < 0, то это розовый шум. Его еще называют процессом релаксации (форма динамического равновесия социально-экономической системы). Розовый шум характеризует антиперсистентный временной ряд. Если значения ряда возрастают в предыдущий момент времени, то

наиболее вероятно, что в следующий момент времени они будут снижаться и наоборот. Если ß = 2, то это коричневый шум. Примером коричневого шума являются «ценовой шум» биржевых котировок. Он обладает спектром мощности, обратно пропорциональным квадрату частоты. Если 2 < ß < 4, то это черный шум. Система является персистентной или трендоустойчивой. Если значения ряда возрастают в предыдущий момент времени, то наиболее вероятно, что они будут продолжать увеличиваться в следующий момент времени. Персистентный временной ряд имеет долговременную память, поэтому в нем наблюдаются долговременные корреляции между текущими и будущими событиями.

Чтобы охарактеризовать эти процессы, применим вместо обычного стандартного отклонения и ковариации новую меру расходимости, используемую для фрактальных процессов. Этот показатель был предложен Х.А. Херстом [1] и Б. Мандельбротом [2] и называется нормированным размахом (R/S). Эта величина представляет собой размах данных на временном интервале А t, деленный на стандартное отклонение выборки S(At). Показатель Херста, определяемый как

Н

является мерой устоичиво-

1п(Д0

сти статистического явления. Между показателем Херста Н и спектральной величиной [> существует следующая взаимосвязь:

р = 2-Н + \. (5)

Если при генерировании финансовых временных рядов решено не учитывать влияние шума, то ф = 1. В случае учета шумовых компонент фактор

<р = \ + НЬ, (6)

где Н - показатель Херста (устойчивости статистического явления); Ь - случайная величина 0 или 1 (стохастический процесс, подчиненный закону устойчивого распределения).

Последний фактор т учитывает инвестиционные нарушения, так называемую инвестиционную шоковую компоненту. Шоковые инвестиционные вложения связаны чаще всего с изменением в бизнес-культуре компании, со сменой высшего руководства, со сменой направления развития. Будем называть такие инвестиционные нерегулярности шоковыми инвестициями.

Для учета шоковой компоненты добавлены такие показатели как коэффициент шоковых инвестиций (о), номер года шоковых инвестиций (р) и дельту Кроне-кера (3 ). Инвестиционный пик является

источником внешних изменений, влияющих на эффективность возврата на вложенный капитал.

Если при генерировании финансовых временных рядов решено не учитывать влияние шоковых инвестиций, то т = 1. В случае учета шоковых инвестиций фактор

7 = 1 + ОА, (7)

где о - коэффициент шоковых инвестиций, который показывает, во сколько раз превышают инвестиции в пиковый год по сравнению с обычными периодами деятельности компании;

8!р - Дельта Кронекера1, 8!р =1, если / = р и 0, если

р - год шоковых инвестиций, в случае нешокового моделирования 8 = 0, тогда

т = 1.

Таким образом, формула (1) мультипликативным образом расширена, и в результате получился следующий вид:

2ж

Ft=F0-{l+g)'-а+лЦ—(/-Q5)

(\+НЬ)-(1+0-4) (8)

Все компоненты формулы (8) определяются по отношению к тренду уровня инвестиционных вложений. Отклонение случайных колебаний величин инвести-

1 Символ Кронекера (или дельта Кронекера) -функция двух целых переменных, которая равна

1, если они равны, и 0 в противном случае.

ций является гетероскедастическим, то есть не имеющим постоянной дисперсии. Кроме того, относительная амплитуда циклов деловой активности остается постоянной, тогда как абсолютная величина циклов деловой активности увеличивается с течением времени.

Включение в модель циклов деловой активности, шумовой компоненты, а также возможности учета инвестиционных потрясений делают модель финансовых временных рядов достаточно реалистичной.

Формула (8) позволяет моделировать финансовые временные ряды инвестиционных вложений в компанию. Для оценки эффективности этих вложений необходимо рассчитать денежные притоки, а также стоимостные характеристики компании на каждый год периода моделирования.

Инвестиции Рг вызывают последующие притоки денежных средств, которые могут быть определены относительными коэффициентами притоков денежных средств. Обозначим через к, относительный коэффициент притока денежных средств от инвестиций, сделанных / лет назад. Распределение притоков денежных средств создается индивидуальными коэффициентами в течение всего срока службы инвестиционных проектов.

Относительные коэффициенты создают шаблон (схему) притоков денежных средств от капитальных вложений. Распределение коэффициентов к, обусловливает внутреннюю ставку рентабельности (г). Распределение коэффициентов постоянно для всех последовательных вложений капитала, хотя уровень инвестиций метается с изменением делового цикла, как это определено формулой (2). Таким образом, внутренняя ставка рентабельности определяется денежными потоками от каждого вложения. Внутренняя ставка рентабельности, соответствующая данному распределению коэффициентов, определяется путем приравнивания первона-

чальных вложений с суммой будущих дисконтированных денежных притоков:

/>+■■■ _у кгр, _Е у К (9)

Сократив формулу (9), получаем

где г - внутренняя ставка рентабельности.

Внутренняя ставка рентабельности моделируемой компании г в формуле (10) является одной из мер оценки эффективности инвестиционного проекта. Однако следует отметить, что формулу (10) не рекомендуется использовать в качестве метода оценки долгосрочной прибыльности компании на основе реальных финансовых данных. Такая прямая оценка может быть даже невозможна по той простой причине, что в настоящее время нет адекватных методов нахождения распределения вклада инвестиций в денежные потоки компании.

При имитационном моделировании внутреннюю ставку рентабельности г, которая коррелирует с распределением вкладов, можно легко определить из формулы (10) аналитическим путем. Если денежные потоки в течение I лет метают знак более одного раза, то показатель г может иметь несколько значений. Однако этот вопрос не стоит при моделировании финансовых временных рядов компании, так как будем использовать традиционный шаблон распределения денежной наличности.

Доходность в результате моделирования определяется как ГОЛ от инвестиционных вложений. Вопросы финансирования этих вложений не являются основными в модели. Определение оптимального соотношения собственного и заемного капитала рассматриваются в трудах Миллера и Модильяни [7]. Вопросы финансирования инвестиций и их стоимость не возникают в нашем моделировании до тех пор, пока компания остается достаточно прибыльной, чтобы иметь возможность получать новое финансирование по мере

необходимости. Поэтому периодическое сокращение деловой активности, продажи активов или невозможность сочетания роста компании и прибыльности не будут рассматриваться в моделировании. Хотя в практике бизнеса эти вопросы в долгосрочной перспективе стали бы ограничениями доступности капитала для фирмы.

Таким образом, внутренняя ставка рентабельности (г) определяется по формуле (10) и является функцией распределения коэффициентов денежных потоков. Для того чтобы оценить влияние различных потенциальных схем распределения коэффициентов, рассмотрим три различных модели инвестиций. Возможны три различных типа потенциальных вкладов распределения:

1. Нейтральная модель инвестиций.

2. Модель жизненного цикла компании (рост, зрелость, упадок).

3. Снижающая модель инвестиций.

Для нейтральной модели выбирается равномерное распределение коэффициентов притоков денежных средств. Для жизненного цикла компании выбирается отрицательное биномиальное распределение коэффициентов. В случае снижающейся модели инвестиций выбирается линейно снижающееся распределение.

Типичный жизненный цикл продукции (компании) включает в себя стадии роста, зрелости и упадка. С таким циклом корреспондирует теория отрицательного биномиального распределения. Для целей моделирования такое распределение имеет два преимущества перед равномерным распределением вкладов. Оно не является постоянным и несимметрично. Общая формула для отрицательного биномиального распределения имеет следующий вид:

Р]=Ст+1_1-Чт-(\-Ч)\ =0,1,...,Ы, (11) где

_ (т + г-1)!

с] - параметр формы отрицательного биномиального распределения (вероятность «успеха»),

ш - параметр размещения отрицательного биномиального распределения (фиксированное число «успехов»).

При моделировании параметры д = 0,16 и т = 2 определяют типичный профиль жизненного цикла компании. Определения и свойства отрицательного биномиального распределения более подробно описаны у М [8]. Необходимо произвести две технические корректировки в общей формуле для отрицательного биномиального распределения. Во-первых, распределение необходимо ограничить справа на величину продолжительности жизни, не дав ему продолжаться до бесконечности. Во-вторых, распределение должно быть смещено влево, чтобы оно совпадало со сроком службы инвестиционных вложений.

к,=2-Рп, где/=1,2,...Д (12)

ъ - коэффициент масштабирования, отражающий желаемый уровень рентабельности.

При т=2 и д=0,16 формула (11) для коэффициентов вклада отрицательного биномиального распределения примет следующий вид:

кг=г(\ + 1) У-а-^У, /=1,2,3... N (13) Подставим значения к в формулу (12). В результате получим формулу для расчета коэффициента отражающего желаемый уровень рентабельности:

1 - • (14)

ы (1 -

С

Цт-1)!

+ г )

Величина прибыли за отчетный период определяется на основании отчета о прибылях и убытках как разность притока денежных средств, амортизации и процентов по кредитам:

Р{ =/, -йг -/ь (15)

где- величина денежного потока в /-год, б/, - величина годовых амортизационных отчислений в /-год, /г - проценты по кредитам в /-год.

Выбор метода начисления амортизации влияет на величину денежных потоков, а также на величину внеоборотных активов компании на конец периода. Поэтому в имитационную модель были встроены три альтернативных метода начисления амортизации: линейный, метод ускоренной амортизации и теоретический метод амортизации.

Важной особенностью моделирования финансовых рядов является возможность оценки корректности расчета IRR в реальных условиях. Первые два из альтернативных методов начисления амортизации преобладают в финансовом учете компании. Суть прямолинейного метода начисления амортизации заключается в том, чтобы равномерно распределять амортизационные расходы в течение ожидаемого срока службы актива. Методы ускоренной амортизации основаны на идее более эффективного использования оборудования на ранних стадиях жизни проекта. В моделировании был выбран метод ускоренной (удвоенной) амортизации. Теоретический метод начисления амортизации включен в модель в качестве одной из альтернатив, совсем по другой причине. Это чисто теоретическая концепция. Он был выбран для проверки адекватности моделирования и расчета DIR. Другие методы начисления амортизации также могут быть использованы при расчете величины прибыли. Однако, как и в случае с коэффициентами денежных потоков, они не окажут существенного влияния на числовые результаты модели.

Амортизационные отчисления, начисленные по линейному методу, определяются по формуле:

min(W.i) тр

dt= У — • (16)

"к N

Для целей моделирования предполагаем, что чистый оборотный капитал и

внеоборотные активы имеют одинаковую рентабельность. Поэтому под величиной активов компании будем понимать сумму внеоборотных активов и чистого оборотного капитала. Их величину можно определить по следующей формуле:

Гг = ¥и1+ Ъ-ф. (17)

Величину заемного капитала на конец отчетного периода (/),) можно определить как сумму заемного капитала на начало периода (А/) и новых заимствований (Л,), сделанных в течение года, за вычетом суммы погашенного долга (В,):

А =Б(-1-В( + и (18)

Возврат заемного капитала происходит равными долями:

гшп(М,С) т

В{= У (19)

' £ М

где М - срок погашения кредита, выраженный в годах.

Финансирование активов, выплата основной суммы долга и оплата процентов по кредиту осуществляются за счет притока денежных средств. В случае недостаточности денежных средств производятся новые заимствования. Поэтому, величина новых заимствований определяется следующим образом: ь = 1>,+/, + В,-/„если*; + /,+£,-/> 0, (20) ' [О, если^ + /( + -/( < 0.

Процентные платежи за отчетный период рассчитываются как произведение процентной ставки на сумму заемного капитала на начало периода:

К = и' А-1 > (21)

где и - ставка по кредиту.

Если компания генерирует достаточный приток денежных средств, то новых займов не потребуется. Кроме того, потенциально избыточный приток денежных средств выплачивается в качестве дивидендов ((?1):

ГО, еслиFt +lt+Bt -ft > 0Ft +lt +Bt -/„ если/; + /, +Bt -ft> 0, \ft-Ft -lt-Bt, если/; +lt+Bt-f< 0.

Величина нераспределенной прибыли (Rt) определяется следующим образом: Rt = Rt-i +Pt- Qt- (23)

Величина уставного капитала (Et ) компании остается неизменной при моделировании временных рядов, то есть предполагается, что дополнительные эмиссии акций отсутствуют:

Et = Et.i. (24)

Величина пассива бухгалтерского баланса на конец периода рассчитывается как сумма собственного и заемного капиталов компании:

Vt = Dt + Et + Rt. (25)

Финансовые временные ряды, генерируемые моделью, составляют первичные выходные параметры. В дальнейшем модель позволяет конструировать стоимостные финансовые показатели, которые являются выходными параметрами процесса моделирования. Выразим систему стоимостных метрик, разработанную авторами, в обозначениях имитационной модели.

Основным показателем фрактальной стоимостной метрики авторами была определена скорость изменения стоимости компании. В качестве скорости изменения стоимости компании принимается модель остаточной прибыли (RI residual model):

BIt=Pt+lt-crV„, (26)

где ct - средневзвешенная стоимость капитала компании.

Средневзвешенная стоимость капитала (ct) определяется исходя из стоимости заемного капитала (и) и стоимости собственного капитала (е). Формула для ct имеет следующий вид:

ct=e-^(e-u). (27)

* t-\

В финансовой литературе оценка стоимости капитала является одним из проблемных вопросов. В авторской имитационной модели для определения стоимости собственного капитала будут использоваться два альтернативных способа. В формулах (26) и (27) показатель ct при-

веден в качестве внешнего параметра. Однако этот показатель можно определить как внутреннюю ставку рентабельности компании. Так определяется стоимость собственного капитала у E.F. Fama и K.R. French [10]. DIR определяется в имитационной модели, поэтому ее можно использовать в качестве стоимости собственного капитала (внутренний параметр модели).

Стоимость компании определяется интегрированием остаточной прибыли:

^шах

W(t) = ^RItdt. (28)

^min

Модель позволяет определить традиционную величину стоимости компании как отношение денежного потока, увеличенного на темп роста, к разности между требуемой доходностью и темпом роста:

Wt = (29)

ct~g

Скорость изменения остаточной прибыли в единицу времени называется ускорением стоимости. Если за единицу времени взять один год, то величину ускорения можно определить как изменение остаточной прибыли:

а,=Остаточная прибыль4 -Остаточная прибыль^ (3 0) ИЛИ

а,=(Р, -Р,_,) + (/, -/,-i) +О?,-.-К-2(31)

Последним абсолютным показателем в стоимостной метрике является рывок стоимости компании:

jt= Остаточная прибыль^ - 2- Остаточная прибыль^ + + Остаточная прибыль t-2 (32)

или

+ (2 • ct~\' Vt_2 -ct ■ Vt_x -ct_2 ■ Vt_3) (33)

Внутренняя норма рентабельности (IRR) является одной из относительных стоимостных метрик. Задача заключается в определении этой нормы, исходя из внешней финансовой отчетности. J.A. Kay [11] представил альтернативный способ расчета IRR, которая в обозначе-

ниях авторской модели будет выглядеть следующим образом:

Р.

г =

(1 + г'У

t-Г-п^ + г'У

(34)

Рентабельность собственного капитала по остаточной прибыли определяется как отношение абсолютной величины остаточной прибыли к величине собственного капитала компании:

RRIt =

RI,

дами быстрой динамики изменения стоимостных показателей компании.

ЛИТЕРАТУРА

1. Hurst Н. Е., Black R.P., Simaika Y.M. Long term storage: an experimental study. L.: Constable, 1965.

2. Mandelbrot B.B. The fractal geometry of nature, updated and augmented. N.Y.: Freeman, 1983.

3. uuhela, R. A capital investment model of the growth and profitability of the firm, Acta Academiae Helsingiensis, Series A:8, Helsinki. - 1972.

4. Salamon, G.L. Cash recovery rates and measures of firm profitability, Accounting Review 57:2, 1982. -p..292-302.

5. Gordon, L.A. and M.M. Hamer, Rates of return and cash flow profiles: an extension, The Accounting Review 63:3, 1988.-p.514-521.

6. Levhari, D. and T. Shrinivasan (1969), Optimal savings under uncertainty, Review of economic studies 36:2, 1969.-p.153-163.

7. Modigliani, F.; Miller, M. (1958). "The Cost of Capital, Corporation Finance and the Theory of Investment". American Economic Review 48 (3): p.261-297.

8. Fisz, M. Probability Theory and Mathematical Statistics. 3rd ed. John Wiley & Sons, Inc., New York, N.Y.- 1967.

9. Holmes, G., Sugden, A. and Gee, P. (2002), Interpreting Company Reports and Accounts, 8th edition, Harlow: Prentice Hall.

10. Fama, E.F. French, K.R. The corporate cost of capital and the return on corporate investment. The Journal of Finance 54:6, - 1999.

11. Kay, J.A. (1976), Accountants, too, could be happy in a golden age: the accountants rate of profit and the internal rate of return, Oxford Economic Papers (New Series) 28:3, p.447-460.

Рукопись поступила в редакцию 06.10.2010.

STOCHASTIC FINANCIAL TIME SERIES IN THE COMPANY VALUE MANAGEMENT

I.Astrakhanceva, S. Dubova

The simulation model of financial time series construction that takes into account the invested capital growth tendencies, company cyclical development, sound effects and investment impulses is developed. The author's system of company cost metrics is integrated in the model.

(35)

Е<-г+К-г

Долгосрочная рентабельность компании базируется на возможности создавать и использовать инвестиционные вложения. Компании, как правило, имеют достаточно длительную фазу фиксированного уровня рентабельности. Поэтому стоимость компании может быть измерена для таких стабильных промежутков времени. Это периоды медленной динамики изменения стоимостных показателей. В жизни компании изменения и неоднородность в рентабельности часто совпадает со сменой высшего руководства. В такие моменты долгосрочная рентабельность изменяется и должна быть оценена заново. Такие периоды можно назвать перио-

Keywords: cost management, simulation model, financial strategy, financial time series, cost metrics.