CC BY
28УДК 622.002.5
Статистическое моделирование погрешностей сегментных
цилиндрических оболочек
А.В. Вальтер, доц., к.т.н.
Юргинский технологический институт
Национального исследовательского Томского политехнического университета 652055 Россия, Кемеровская область, г. Юрга, ул. Ленинградская д.26
a vwalter@rambler.ru
В статье приведены методика и результаты статистического моделирования погрешностей изделий, относящихся к сегментным цилиндрическим оболочкам. Продемонстрированы конструктивные и технологические особенности подобных изделий, сформулирована задача разработки и исследования трехмерной статистической модели формирования погрешностей. Даны расчетные схемы к составлению модели и соответствующие математические выражения, указаны основные допущения, принятые при создании модели. Приведено описание методики статистического моделирования для условий оболочки стабилизирующей секции геохода. Приведены результаты расчетов, выявлены основные факторы, влияющие на погрешности, проведено сравнение результатов с результатами, полученными посредством других моделей. Ключевые слова: сегментные цилиндрические оболочки, метод Монте-Карло, геоход, моделирование, погрешность.
The deviations of the stabilizing section shell of geokhod
A.V. Walter, Candidate of Science (Engineering) Yurga Institute of Technology, TPU affiliate. Russia, Yurga, Leningradskaya str., 26
avwalter@tpu.ru
The paper presents the methodology and results of the error's statistical modeling of products related to the segmental cylindrical shell. There were showcased design and technological features of similar products, formulated the aim of research and development of three-dimensional statistical model oferrors formation. There was scheme for the making of the model and the corresponding mathematical expressions, showed the main assumptions made in creating the model. There was the description of the methods of statistical modeling for stabilizing section conditions of geokhod section. The calculation results, the main factors affecting the accuracy of the results were compared with results obtained by other models were presented. Keywords: segmental cylindrical shell, Monte Carlo method, Geokhod, modeling, error.
Введение
В конструкциях различных машин используются сборочные единицы с наружной цилиндрической поверхностью, имеющие плоскости разъема. К ним относятся некоторые корпуса (коды по классификатору ЕСКД301121 и301141 ), а также ряд роторов (код 304143) и барабанов (код 304146). Подобные изделия характерны для крупной транспортной и грузоподъемной техники, энергетических машин, некоторых двигателей и горных машин. Характерным примером их применения является конструкция геохода [1], в состав которого входит, по меньшей мере, пять сборочных единиц данного типа, имеющих значительную долю в общей себестоимости машины [2, 3]: корпус и внешний корпус модуля сопряжения, корпус головной секции, корпус стабилизирующей секции, ротор погрузочной системы.
Как отмечено в ряде работ [4-6], одной из основных особенностей изделий данного типа является то, что точность ответственных поверхностей полностью или частично определяется точностью сборки сегментов и точностью их изготовления. Другая часть погрешностей определяется деформациями, связанными с усадкой сварных швов, которые могут быть смоделированы при помощи методик, аналогичных приведенной в [7]. В случае необрабатываемых механически поверхностей погрешности напрямую формируются в процессе сборки [8], а в случае
обрабатываемых формируются опосредовано через величины припусков и механизм технологической наследственности [9]. Таким образом, анализ и синтез технологических решений в области обеспечения точности сегментных цилиндрических оболочек требует создания методики, позволяющей оценивать возникающие погрешности и обосновывать схемы и параметры реализации технологии сборки.
В работах [10, 11] на основе экспериментальных данных показано, что значительная часть погрешностей может быть смоделирована через некоторые геометрические преобразования, учитывающие изменения положений отдельных сегментов цилиндрических оболочек. В работе [12] приведена аналитическая модель, реализующая данный подход. Анализ модели выявил ряд ее недостатков:
1. В модели рассматривается двумерный случай, в то время как реальная оболочка является трехмерным объектом и обладает большим количеством степеней свободы. В результате не учитывается эллиптичность поперечного сечения оболочки в случае отклонения положения секторов относительно вертикальной оси.
2. Модель построена на анализе размерных связей по методу максимума-минимума, что сводит процедуру к расчету характеристик крайних случаев, которые не отражают общие тенденции формирования погрешностей.
На основании выше изложенного поставлена задача исследования: разработать и исследовать трехмерную модель формирования погрешностей сегментных цилиндрических оболочек, основанную на вероятностном подходе к определению размерных связей [13].
Статистическая модель. На рисунке 1 приведена схема к разработанной статистической модели. Модель основана на геометрическом образе обечайки в виде цилиндрической поверхности заданного радиуса гэ, положение которой в пространстве определяют четыре точки Р1...Р4, принадлежащие поверхности. Точки являются образами опор, по которым базируется сегмент, или, что эквивалентно, точек, по которым выверяется положение сегментов при сборке. Ось Ъ является общей осью всех сегментов оболочки, т. е. имеет такое положение, что:
где р(в,2) - расстояния от точек на оболочках до оси Ъ; М [р] - математическое ожидание расстояния от точек на оболочках до оси Ъ.
Точки положения опор
' 2 £(я (в, х)-М [р]) ^ ш1и
п
(1)
Рис. 1. Схема к модели формирования погрешностей сегментных цилиндрических
оболочек
Принято, что точки P1...P4 лежат попарно на одном уровне относительно плоскости XOY и симметрично относительно плоскости ZOX. Положение точек P1...P4 задано расстояниями L1 и L2 от базовой плоскости XOY, расстояниями между парами точек в одном уровне A1 и A2, а также расстояниями гьь..гь4 от оси Z. Цилиндрическая поверхность ограничена участком сегмента:
ве
2' 2
ъ е
[0; Ь ];
(2)
где ф - протяженность сегмента в угловых единицах; L - высота сегмента.
В модели гы...гь4 и^ являются непрерывными случайными величинами с математическими ожиданиями:
М (гы ) = Гъ; М {г8 ) = гм;
(2)
где гь - номинальное расстояние до опор или номинальный размер выверки; т -номинальный радиус обечайки.
Распределение случайных величин определяется величиной допусков Tb и Ts на расстояния гь и N соответственно, а также принятым законом распределения. В дальнейшем в работе принималось нормальное распределение случайных величин гь1 ■■ гь4 и^ с дисперсиями:
Я(гЪ1) = (6Тъ ) ; ) = (6Т5 );
(3)
(4)
Данным образом моделируется влияние допусков на параметры модели. Изменение расстояний гы...гы и ^ вызывает изменение положения сектора относительно базовой системы координат, выражаемое координатами направляющего вектора оси цилиндра Zs и радиус-вектором точки Ов, через которую проходит ось (рис. 2). Для каждого отдельного случая положение обечайки может быть определено путем решения системы векторных уравнений:
|( Рх - Ро )Х - Г = 0
|( Р2 - Ро )Х - Г = 0
|( Рз - Ро )Х - Г = 0
|( Р4 - Ро )Х - Г = 0
(5)
где направляющий вектор оси сектора; p1 ... p4 - радиус-векторы точек Р1...Р4, po -радиус-вектор точки Ов; po - радиус-вектор точки Ов^ - единичный направляющий вектор оси цилиндра Zs.
<
Рис. 2. Схема к определению положения обечайки Радиус-векторы р1 ... р4определяются выражениями:
Pi = - y 1+J гы2 - j+
P2 = y 1 + 1\rb22 - j + Llk;
2
4
. I 2 A-, . T
Рз = -y 1 + J rb3 + L2k;
(6)
P4 = 4 1 + A\rb42 - ^^j + L2k;
2
4
где I, 1 к - орты системы координат XYZ.
Векторы ро и гэ в совокупности с величиной гэ описывают цилиндрическую поверхность обечайки. Погрешность оболочки для каждой из ее точек определяется выражением:
5(eS,zS ) = Ir (0S ,ZS )\ - rN ;
(7)
где r(0s, zs) - радиус-вектор точки на поверхности обечайки в системе координат XYZ, который может быть определен из уравнения поворота Родрига в комбинации с преобразованием трансляции (см. [14]):
r (0s>zs) = Ро +(® • rs (0s>zs))(7-cosa)e + (exrs (0s>zs))sina + rs (0S, z5)cosa; (8)
где e - направляющий вектор оси поворота; rs(0s, zs) - радиус-вектор точки на поверхности обечайки в системе координат XsYsZs, связанной с осью обечайки; а -угол поворота оси обечайки. Из схемы на рисунке 2:
e = - zsxi+zy j;
rs (0s> zs ) = rs cos 0S1 + rs sin 0S j + zsk;
"s V si"s. a = arccos (z5z);
(9)
где гвх, гву , гвЕ - компоненты вектора zs.
УравненияОшибка! Закладка не определена. - (9) позволяют статистически моделировать погрешности сегментной цилиндрической оболочки при заданных параметрах распределения случайных величин гы...гь4 иа также параметрах модели N A1, A2, L1, L2.
В модели приняты следующие основные допущения, способствующие её экономичности:
1. Расстояния A1, A2, L1, L2 - величины постоянные. Возможность данного допущения показывают результаты работы [15], согласно которым изменения данных расстояний в пределах обычных допусков крайне слабо влияют на величину погрешностей.
2. Обечайка идеализирована цилиндрической поверхностью.
Методика статистического эксперимента. Моделирование выполнялось методом статистических испытаний математической модели [16]. Целью являлось выявление влияния на возникающие погрешности расстояния между опорами, а также допусков Tb и Ts. Моделирование выполнялось для случая, когда A1 = A2 = A.
Численный эксперимент проводился в пространстве множеств варьируемых параметров:
А = {1000,1300,1600,1900,2200}, 1 1 ; Ть = {4,8,12,..., 32}, 11; Т ={4,8,12,..., 32}, 11;
(10)
где A - множество расстояний между опорами; ^ - множество допусков на расстояния гь; Ts - множество допусков на радиус обечайки.
Матрица планирования эксперимента может быть выражена декартовым произведением множеств:
Е = Ах(Ть хТ8).
(11)
Для каждого кортежа {А/, Ть/, Tsi} выполнялось п = 5000 вычислений погрешностей оболочки 5(вs, zs) на сетке координат:
С = 0 8 х Ъ,;
_ \ ж ж ж ж ж
08 =1—;—+—;—+—. 8 [ 4 4 128 4 64
Ъ ={0; 89,5; 179;...; 1790}.
ж
'4
(12)
Пределы координат вs и zs в выражении (12) назначены в соответствии с размерами стабилизирующей секции геохода [17].
Пространство варьируемых данных при вычислениях для каждого кортежа {А/, Ты, Tsi} задавалось матрицей:
V = (КЬ1 КЬ2 КЬ3 КЬ4 К );
(ТЬ + х^
Я,
V
гь + X.
гЬ1
{гъ + х^
; к.
V
Г + х
гЬ2
(гъ + х!ъзЛ
; К
V
ГЬ + х
гЬ3
Гть + х?4^
; К
V
ГЬ + х
гЬ4
Ч + х^
; К
г + х„
Ошибка! Закладка не определена.
где Км, Рь2, Кьз, Рь4 - векторы-столбцы, задающие значения расстояний до соответствующих опор; Кэ - вектор-столбец, задающий значения радиуса обечайки; гь и гэ - номинальные значения расстояний опор и радиуса обечайки соответственно; х^Ь1, х^ь2, х^Ь3, х^Ь4 - непрерывные случайные величины с математическим ожиданием, равным нулю и дисперсией, соответствующей выражению (3); х° - непрерывная случайная величина с математическим
ожиданием, равным нулю и дисперсией, соответствующей выражению (4).
Номинальные значения расстояний опор и радиуса обечайки задавались равными номинальному радиусу оболочки: гь = гэ = 1600 мм.
Результатами эксперимента являлись рассчитанные для каждого кортежа {А, Ты, Та} значения стандартного отклонения погрешностей<5) и математического ожидания М(5) в узлах сетки координат С.
Результаты и обсуждение. На рисунке 3 приведены примеры результатов расчета стандартного отклонения погрешностей 5. Как показывает анализ совокупности результатов, значения исходных данных и их сочетаний радикально влияют на величины погрешностей и картину их распределения по оболочке. Как следует из выражений (5), распределение обладает центральной симметрией, что подтверждается результатами расчетов. Максимальные значения стандартного отклонения наблюдаются для точек с наибольшими и наименьшими координатами гэ в середине или по краям оболочки в направлении координаты в. Наименьшие значения стандартного отклонения при любых сочетаниях исходных параметров находятся в точках с координатой ^ = (Ц + Ь2)/2. В точках установки опор погрешности совпадают с допусками на расстояние до опор Ть, т.е.:
<(*) - -л. (13)
6
В целом результаты моделирования хорошо согласуются с результатами, полученными на двумерной модели в работах [12; 18]. Подобные расчеты позволяют решать обратную задачу технологического проектирования сборки секций -прогнозировать погрешности оболочек по известным параметрам технологических наладок.
в5, град град
а) б)
Рис. 3. Примеры результатов расчета стандартного отклонения погрешностей 5 для различных точек оболочки: а) А = 1900мм; Те = 24мм; Ть = 8мм; б) А = 1000 мм; Те =
16 мм; Ть = 16мм.
На рисунке 4 показаны зависимости стандартного отклонения погрешностей 5 от допусков ТэиТь для различных расстояний А. Как видно из графиков влияние допусков неравнозначно. Допуск Ть оказывает большее влияние на возникающие
погрешности, чем Ts. Это позволяет подтвердить вывод, полученный в работе [15], что могут быть выбраны такие параметры технологической наладки, при которых погрешность оболочки будет меньше, чем погрешности собираемых секторов.
в) г)
Рис. 4. Зависимости стандартного отклонения погрешностей бот допусков:
а) А = 1300мм; б) А = 1600 мм; в) А = 1900 мм; г) А = 2200 мм Интенсивность влияния на погрешности допусков зависит от расстояния между опорами А. Чем больше данное расстояние, тем сильнее влияние допуска на радиус сектора Ts. Вместе с тем с увеличением расстояния А уменьшаются значения стандартного отклонения. В целом, данные результаты близки к результатам, полученным на двумерной модели [18], однако полученные картины характеризуются большей нелинейностью. Как следует ожидать, основываясь на результатах, полученных при исследовании двумерной модели, расстояние А, обеспечивающее наименьшие значения отклонений находится вблизи максимального значения, но не равно ему и, в общем случае, зависит от допусков Ts и Ть.
Выводы
1. Разработана статистическая модель формирования погрешностей оболочек вследствие неточностей исходных секторов и погрешности их позиционирования при сборке. Состоятельность модели подтверждается соответствием характера результатов исследования результатам, полученным на основе ранее созданных моделей.
2. Допуски на радиус сектора и расстояние до опор, выражаемые через непрерывные случайные величины, значимо влияют на величину погрешностей. Значимость влияния неравнозначна и зависит от расстояния между опорами.
3. Величина расстояния между опорами непосредственно влияет на величину погрешностей, что означает важность постановки задачи определения оптимального расстояния между опорами при разработке технологических решений по сборке сегментных цилиндрических оболочек.
Список литературы
1. Аксенов В В., Хорешок А.А., Ефременков А.Б., Казанцев А.А., Бегляков В.Ю. Создание нового инструментария для формирования подземного пространства // Горная техника. - 2015. - №1 (15). - С. 24-26.
2. Aksenov V.V., Walter A.V., Gordeyev A.A., Kosovets A.V. Classification of geokhod units and systems based on product cost analysis and estimation for a prototype model production // IOP Conference Series: Materials Science and Engineering. - 2015. -Vol. 91. - pp. 12088.
3. Ласуков А.А., Громыко П.С. Классификатор маршрутных технологических процессов изготовления деталей геохода // Обработка металлов (Технология, оборудование, инструменты). - 2015. - №3 (68). - С. 23-30.
4. Straight-build assembly optimization: A method to minimize stage-by-stage eccentricity error in the assembly of axisymmetric rigid components (two-dimensional case study) / T. Hussain [et al.] // Journal of Manufacturing Science and Engineering, Transactions of the ASME. - 2011. - Vol. 133. - №3. - Article number 031014.
5. Вальтер А.В., Аксенов В.В. Варианты обеспечения точности оболочек и собираемости корпусов геохода // Механики XXI веку. - 2015. - №14. - С. 89-92.
6. Аксенов В.В., Вальтер А.В., Лагунов С.Е. Настройка положения опор методом триангуляции при сборке секций геохода // Технологии и материалы. -2015. - №1. - С. 31-36.
7. Баскаков В.Д., Купервар М.В. Анализ деформаций в цилиндрической обечайке при наложении продольного сварного шва // Известия высших учебных заведений. Машиностроение. - 2012. - №7. - С. 38-41.
8. Вальтер А.В., Аксенов В.В., Чернухин Р.В. Определение величины и характера геометрических погрешностей оболочки модуля сопряжения опытного образца геохода // Актуальные проблемы в машиностроении. - 2016. - №3. - С. 4247.
9. Вальтер А.В., Лагунов С.Е. Определение припуска на поверхности вращения сборных корпусных изделий геохода // Актуальные проблемы в машиностроении. - 2015. - №2. - С. 152-157.
10. Lowth S., Axinte D.A. An assessment of «variation conscious» precision fixturing methodologies for the control of circularity within large multi-segment annular assemblies // Precision Engineering. - 2014. - Vol. 38. - P. 379-390.
11. Вальтер А.В., Аксенов В.В., Бегляков В.Ю., Чазов П.А. Определение погрешности расположения секторов стабилизирующей секции геохода на основе данных координатного контроля // Обработка металлов (технология, оборудование, инструменты). - 2015. - № 4 (69). - С. 31 -42.
12. Walter A.V., Aksenov V.V. Determining deviations in geometry of the geokhod shells // Applied Mechanics and Materials. - 2015. - Vol. 770. - pp. 439-444.
13. Колыбенко Е.Н. Определение структуры размерной цепи связей в технологической системе // СТИН. - 2007. - № 8. - С. 31-35.
14. Филиппов А.В., Вальтер А.В., Шамарин Н.Н., Подгорных О.А., Чазов П.А. Анализ геометрии косоугольного растачивания безвершинными радиусными
резцами в статической и кинематической системах координат // Известия высших учебных заведений. Машиностроение. - 2016. - №4 (673). - С. 82-91.
15. Вальтер А.В., Аксенов В.В. Определение отклонений геометрической формы оболочек корпусных изделий геохода // Актуальные проблемы современного машиностроения: сборник трудов Международной научно-практической конференции. - Томск: ТПУ, 2014. - С. 165-170.
16. Колчков В.И. Метод Монте-Карло для решения задач функциональной взаимозаменяемости // Инновации в науке. - 2013. - №26. - С. 39-46.
17. Вальтер А.В., Аксенов В.В., Чазов П.А. Математическое обеспечение обработки данных координатного контроля оболочки геохода // Технологии и материалы. - 2015. - №3. - С. 4-9.
18. Аксенов В.В., Вальтер А.В., Бегляков В.Ю. Обеспечение геометрической точности оболочки при сборке секций геохода // Обработка металлов (технология, оборудование, инструменты). - 2014. - №4 (65). - С. 19-28.
