CC BY
112
О.М. Булгаков, М.В. Таравков
доктор технических наук, профессор
СТАТИСТИЧЕСКИЙ КРИТЕРИЙ ОЦЕНКИ НАДЕЖНОСТИ ПОЛУПРОВОДНИКОВЫХ ПРИБОРОВ И ИНТЕГРАЛЬНЫХ МИКРОСХЕМ НА ОСНОВЕ ХАРАКТЕРИСТИК НИЗКОЧАСТОТНОГО ШУМА
SEMICONDUCTOR DEVICES AND INTEGRATED CIRCUITS STATISTICAL RELIABILITY INDEX BASED ON CHARACTERISTICS OF LOW-FREQUENCY NOISE
Проведен статистический анализ результатов измерения среднеквадратичного значения напряжения низкочастотного шума полупроводниковых приборов и интегральных микросхем различных типов и рассчитанных на их основе характеристик с учетом погрешности измерений и функциональной зависимости от напряжения низкочастотного шума. Предложен способ классификации полупроводниковых изделий по надежности на основе двумерного критерия без проведения ускоренных испытаний.
The statistical analysis of measurements results a voltage root-mean-square value of semiconductor devices low-frequency noise and various types integrated circuits and calculated characteristics based on their with taking into account a measurements lapses andfunc-tional dependence on low-frequency noise voltage is carried out. The way of solid-state electronic units classification on reliability based on two-dimensional criterion without conducting of accelerated tests is offered.
Корректные оценки надежности изделий полупроводниковой электроники и микроэлектроники требуют построения адекватных аналитических моделей. При их отсутствии достоверный прогноз таких характеристик, как время наработки до отказа или вероятность отказа, возможен на основе статистической обработки результатов, полученных в ходе эксперимента.
Очевидно, что в испытании полупроводниковых приборов (ППП) и интегральных микросхем (ИМС) следует воспроизводить реальные условия их эксплуатации, что требует значительных материальных и временных затрат. Для формирования достоверной статистики отказов и вычисления их вероятности при соблюдении предусмотренных техническими условиями (ТУ) параметров режима эксплуатации требуется существенное превышение гарантируемого производителем среднего времени наработки на отказ, т.е. не один десяток тысяч часов непрерывной работы изделий. В связи с этим изделия подвергаются ускоренным испытаниям с повышенными нагрузками, когда из партии отбирается некоторый процент образцов с последующим анализом характеристик. Но и такие испытания сопровождаются значительными издержками ресурсов и времени (сотни и тысячи часов), требуют специальных испытательных стендов. По этой причине возникает потребность в применении оперативных, менее затратных и не уступающих по эффективности и достоверности методов выявления скрытых дефектов. В последнее время получили широкое распространение методы неразрушающего контроля, основанные на выявлении дефектов под воздействием стимулирующих факторов. Разновидностью таких методов являются методы диагностики полупроводниковых приборов на основе характеристик низкочастот-
ного шума. В [1—4] получены среднеквадратичные значения напряжения низкочастотного шума (СКЗНШ) иск3ш некоторых типов полупроводниковых приборов (интегральных схем, транзисторов), часть из которых представлена в табл. 1.
Таблица 1
№ ППП или ИМС Uск¡ш, мВ, при токе, мА ис кош^ мВ, при напряжении питания, В Цскзш,, мкВ Цскзш, мкВ, начальное и после 10 термоциклов Цсузт, мкВ, начальное (1), после ЭСР (2) и отжига (3)
6 мА 10 мА 2 В 5 В 0 °С 25 ° С 100 °С 0 ТЦ 10 ТЦ (1) (2) (3)
200 Гц 1 кГц 200Гц 1 кГц 200Гц 1кГц
1 22 30 52 130 644,7 79,6 439,9 68 853,7 97,9 2,50 2,88 3,07 5,0 3,47
2 34 70 50 190 836,3 96,8 553,8 79 1334,2 123,2 2,69 3,28 3,25 5,18 4,01
3 30 37 77 148 245,2 44,5 203,3 42 310,6 50,4 2,49 2,89 2,77 4,53 3,32
4 15 15 63 95 568,9 74,9 394,5 64 783,7 92,2 2,54 2,93 2,64 4,66 2,65
5 21 22 52 110 1322,7 124, 786 97 1974,6 163 2,31 2,49 3,10 4,64 3,64
6 23 34 52 142 615,6 78,4 419,7 67 875 96,5 2,53 2,99 2,62 4,34 3,06
7 23 34 55 143 259,2 45,6 201,6 43 310,7 51,6 2,51 2,86 3,42 5,34 4,22
8 21 30 48 128 1294 125, 833,4 98 2062,8 164,6 3,13 3,88 3,00 4,73 3,17
9 21 25 59 112 417,3 62,4 303,5 56 534,8 73,9 2,71 3,16 2,68 4,56 2,68
10 22 29 53 129 832,8 91,9 534,3 75 1209,7 117 2,41 2,72 3,26 4,92 3,63
11 24 35 58 147 2,61 3,06 3,08 5,08 3,08
12 21 28 55 122 2,53 2,91 2,98 4,83 3,43
13 20 25 53 112
14 25 30 68 127
15 27 33 78 141
16 18 22 63 111
17 17 18 59 97
18 24 32 56 140
19 21 30 50 128
20 25 41 58 164
В экспериментах были использованы такие стимулирующие факторы, как воздействие температуры (в том числе циклическое), электростатического разряда, пониженное напряжение питания, изменение силы входного тока.
В табл. 1 курсивом выделены значения, соответствующие отбракованным образцам. По значениям СКЗНШ были вычислены характеристики (табл. 2, значения характеристик отказавших изделий выделены курсивом) [1—4], превышение которых свидетельствует о потенциальной ненадежности изделия.
Таблица 2
№° ППП или ИМС Характеристика
и скзш 10 и 5 ту скзш 5 1 / и скзш 1 •, / 'в( и ,>/ скзш 2 / ' / / / 'в/ / /1 У иааш10ТЦ (искзш ОТЖ и скзшНАЧ ) (искзш ЭСР и скзшНАЧ )
К — 1 и скзш 6 К3 3 и скзш 2 К4 — и скзшНАЧ
1 1,36 2,50 1,16 1,27 1,15 0,21
2 2,06 3,80 1,21 1,34 1,22 0,40
3 1,23 1,92 0,98 1,06 1,16 0,31
4 1,00 1,51 1,13 1,24 1,15 0
5 1,05 2,12 1,3 1,44 1,08 0,35
6 1,48 2,73 1,14 1,26 1,18 0,25
7 1,48 2,60 0,96 1,05 1,14 0,41
8 1,43 2,67 1,33 1,45 1,24 0,10
9 1,19 1,90 1,05 1,15 1,16 0
10 1,32 2,43 1,22 1,35 1,13 0,22
11 1,46 2,53 1,17 0
12 1,33 2,22 1,15 0,24
13 1,25 2,11
14 1,20 1,87
15 1,22 1,81
16 1,22 1,76
17 1,06 1,64
18 1,33 2,50
19 1,43 2,56
20 1,64 2,83
Из табл. 2 видно, что образцам, не прошедшим отбраковочные испытания, соответствуют максимальные или близкие к максимальным значения характеристик. Это позволяет сделать вывод о возможности отбраковки изделий не по абсолютным значениям соответствующих характеристик, а по относительным величинам, например по относительному (в единицах среднеквадратичного отклонения (СКО) или нормированного на среднее значение) отклонению от среднего, то есть по двумерному критерию т(х,а), в предположении, что априорно выборка содержит малое количество некачественных изделий. В этом случае знание строгой функциональной зависимости между степенью активирующего дефекты воздействия и его проявлением вовсе не обязательно. Необходимо лишь обеспечить постоянство величины воздействия для всех изделий партии, в том числе потенциально ненадежных. При отсутствии дефекта СКЗНШ слабо флуктуирует относительно средней величины искзш, а наличие дефекта проявляется в
отклонении ип,,.. от и
скзш I
Отклонения характеристик от среднего значения 8 =
скзш -скзш вследствие определенного воздействия.
х - х
выраженные в еди-
ницах СКО £
1
^-, 2 х - х
- .. (х{ — х) , а также отклонения Д =---------
нормированные на
\п — 1 х
среднее значение, приведены в табл. 3 (серым цветом выделены ячейки, содержащие отрицательные значения).
Таблица 3
£
х
№ ППП или ИМС 8К1 А к 1 8к 3 А к 3 8. 8, 8К 4 А К 4 8К 5 А К 5
1 0,098 0,017 0,379 0,087 0,098 0,010 0,065 0,007 0,268 0,009 0,013 0,012
2 3,089 0,541 2,841 0,652 0,508 0,054 0,572 0,063 1,439 0,051 1,263 0,928
3 0,457 0,080 0,720 0,165 1,377 0,146 1,457 0,159 0,024 0,001 0,671 0,494
4 1,440 0,252 1,496 0,344 0,148 0,016 0,152 0,017 0,268 0,009 1,368 1
5 1,227 0,215 0,341 0,078 1,246 0,132 1,297 0,142 1,976 0,070 0,934 0,687
6 0,611 0,107 0,814 0,187 0,066 0,007 0,007 0,001 0,463 0,017 0,276 0,205
7 0,611 0,107 0,568 0,130 1,541 0,164 1,53 0,167 0,512 0,018 1,329 0,976
8 0,397 0,070 0,701 0,161 1,492 0,159 1,370 0,150 1,927 0,068 0,711 0,518
9 0,628 0,110 0,758 0,174 0,803 0,085 0,804 0,088 0,024 0,001 1,368 1
10 0,073 0,013 0,246 0,056 0,590 0,063 0,645 0,071 0,756 0,027 0,079 0,060
11 0,526 0,092 0,437 0,100 0,220 0,008 1,368 1
12 0,03 0,005 0,152 0,035 0,268 0,009 0,211 0,157
13 0,372 0,065 0,360 0,083
14 0,586 0,102 0,814 0,187
15 0,5 0,088 0,928 0,213
16 0,5 0,088 1,023 0,235
17 1,184 0,207 1,250 0,287
18 0,03 0,005 0,379 0,087
19 0,397 0,070 0,492 0,113
20 1,295 0,227 1,004 0,230
В приведенных данных прослеживается закономерность — для всех бракованных изделий отклонения характеристик от среднего значения превышают одно СКО. Поэтому, как вариант, величина отклонения в одно СКО может быть принята за пороговое значение. Достоверность такой классификации будет тем выше, чем большее число бракованных изделий удовлетворяет этому критерию и чем больше объем выборки, так как с его ростом увеличивается вероятность больших отклонений. Сказанное подтверждается простым примером. Допустим, случайная величина, соответствующая выборке, имеет стандартное нормальное распределение. Для первого элемента выборки при доверительной вероятности Р справедлива доверительная оценка [5]:
|х — а £ иРа, (1)
где иР — квантиль стандартного нормального распределения при доверительной вероятности Р; а и а — среднее значение и СКО генеральной совокупности соответственно.
Для п элементов:
|х — а £ и^а, (2)
т.е. с увеличением объема выборки вероятными становятся и большие отклонения.
Полученные выше оценки основаны на том, что характеристики, приведенные в табл. 2, являются независимыми прямо измеренными величинами. Однако, по сути, измеряемым параметром является искзш, поэтому необходимо учитывать функциональную зависимость характеристик, приведенных в табл. 2, от искзш.
Если случайная величина X связана с измеряемыми аргументами х1,х2,...,хп известной функциональной зависимостью % = в(хг, х2 ..., хп), то среднее значение косвенного измерения ах [5]:
ах=в(ах, 02,..., ап), (3)
где а1 — генеральные средние значения аргументов х1, а его дисперсия:
= (|^)! + (|^)Ч! + к + (|^)! ¡1 (4)
Сх1 дх2 дхп
Средние значения и дисперсии характеристик с учетом их функциональной зависимости от результатов прямых измерений и без такого учета представлены в табл. 4.
Таблица 4
Характеристика
Кі Къ 7 7 К 4 К5
Без учета функциональной зависимости
X 1,337 2,30 1,148 1,261 1,161 0,208
2 £. і 0,055 0,279 0,015 0,019 0,0017 0,023
С учетом функциональной зависимости
ах 1,365 2,257 1,187 1,316 1,163 0,202
2 з? 0,309 0,2574 0,1135 0,0521 0,0259 0,083
Вычисление среднего и дисперсии косвенного измерения обеспечивает коррекцию выбранного порогового значения т(х,&) .
Погрешности измерений включают в себя систематическую и случайную составляющую, а также промахи или грубые ошибки [6]. Проведенная проверка всего ряда значений на предмет выбросов по наиболее часто применяемым критериям (Шовене, Романовского, Райта, Стьюдента, Смирнова, вариационного размаха) дала отрицательный результат.
Абсолютная погрешность косвенного измерения величины, связанной с аргументами зависимостью /(гх, г2,...,гп) , вычисляется как полный дифференциал [6]:
АУ
э/
дz,
Аг1 +
Э/
Эzn
Аz2 + к +
Э/
Эz„
Аz„
(5)
где — абсолютная погрешность измерения аргумента.
Проведенные измерения являются многократными, равноточными в совокупности для всех изделий выборки и единичными для каждого, что не позволяет определить случайную составляющую погрешности отдельного измерения. В предположении идентичности распределения величины погрешности измерения и напряжения НЧ шума данная составляющая была вычислена по всему ансамблю значений по выражению:
Агі = ± ¡— Ч- р /2 ,
\П
(6)
где S — выборочное СКО по всему ансамблю значений напряжения для выборки изделий одного типа, р/2 — квантиль распределения Стьюдента при уровне значимости р, п — количество изделий. По этим же соображениям было вычислено выборочное среднее значение.
При проведении эксперимента [4] использовалось высокоточное измерительное оборудование (квадратичный детектор в интегральном исполнении А0637, вольтметр В2-39), из его метрологических характеристик были определены систематические погрешности измерений, которые во всех рассматриваемых случаях оказались гораздо меньше случайных погрешностей и были исключены из рассмотрения. Случайная составляющая погрешности была рассчитана для уровня значимости р = 0,05 (табл. 5).
Таблица 5
К1 К3 7 7 К 4 К5
± 0,3494 ± 0,3349 ± 0,3921 ± 0,3504 ± 0,1410 ± 0,2619
Для уменьшения количества ошибочно отбракованных или признанных годными изделий полученные и скорректированные с учетом функциональной зависимости
критические значения /и(*, О) должны быть смещены соответственно в большую или меньшую сторону, как минимум, на величину абсолютной погрешности.
При проверке на принадлежность значений характеристик НЧ шума к нормальному распределению ввиду малого объема выборки использование критериев Пирсона, Колмогорова — Смирнова неэффективно и дает неоднозначный результат. Поэтому был применен критерий, оперирующий асимметрией (А) и эксцессом (Е) распределения. Для выборки из п элементов [5]:
1 п 1 п
А = — 2 (Х - Х)3, Е =— 2 (хг - *)4 - 3. (7)
т г=1 ^ г=1
Так как выборочные асимметрия и эксцесс являются случайными величинами и могут отличаться от нуля даже для нормального распределения, необходимо производить оценку значимости этих различий. В качестве меры используются дисперсии:
д(А) = 6(п -1> , П( Е) = 24п("-2)(П - 3) ,
(п + 1)(п + 3) (п +1) (п + 3)(п + 5)
а критерии значимости отличия от нуля значений А и Е
|а| < 3у//..)(А), |е| < 5^1 /..)(Е) . (9)
Коэффициенты 3 и 5 в выражении (9) соответствуют уровню значимости р = 0,05 . Значения рассчитанных асимметрии и эксцесса, а также их дисперсий приведены в табл. 6.
Таблица 6
Характеристика А »( А) 3у1 Б( А) Е Б(Е ) У Д Е)
0,0677 0,2360 1,4574 -2,8541 0,5792 3,8053
1,2082 0,2360 1,4574 1,9193 0,5792 3,8053
7 -0,0497 0,3776 1,8435 -2,9578 0,5696 3,7736
7 -0,3069 0,3776 1,8435 -2,6073 0,5696 3,7736
К 4 0,0004 0,3385 1,7454 -2,9882 0,6015 3,8778
К -0,0152 0,3385 1,7454 -2,8893 0,6015 3,8778
Полученные данные подтверждают гипотезу о нормальном законе распределения, что позволяет вычислять точечные и интервальные оценки т(х, О) статистическими методами с определенной вероятностью ошибок первого и второго рода.
Теоретически возможно попадание в выборку большинства потенциально ненадежных изделий с малым относительным отклонением характеристик от среднего значения, но превышающим критическое значение по абсолютной величине. Очевидно, что классификация в этом случае будет ошибочной. С целью исключения подобных ситуаций необходимо проводить дополнительную проверку отбракованных по двумерному критерию изделий, например, проводя ускоренные испытания. Так как X и О являются случайными величинами и не остаются постоянными от партии к партии, каждый раз необходимо проверять значимость этих различий, то есть проверять постоянство генерального среднего и СКО. Если генеральные параметры остаются постоянными, то пороговые значения предыдущей партии могут быть использованы для следующей. Значимое же различие выборочных параметров свидетельствует о неслучайности какого-либо события, повлиявшего на эти значения. Причиной этого может явиться нару-
шение технологического процесса или низкое качество исходного материала. В качестве критерия значимости для дисперсии обычно используется распределение Фишера (Б-распределение) случайной величины:
2 2
Р = —2: —, (10)
О2 —22
где 5 и О — выборочное и генеральное СКО соответственно.
Выражению (10) соответствует двусторонний критерий [5]:
2
Р\-р/2С/2, Я *2
где Е1- /2 — квантиль распределения Фишера, 51 и 52 — выборочные СКО 1 и 2 выборок, /х и /2 — степени свободы СКО 51 и 52 соответственно, р — принятый уровень значимости.
В случае невыполнения выражения (11) различие между выборочными СКО является значимым.
Полученное ранее подтверждение о нормальном законе распределения напряжения НЧ шума при выполнении критерия (11) для дисперсии позволяет использовать в качестве критерия значимости для среднего значения выражение [5]:
(п1 -1)512 + (п2 -1)52
I* - У і ',-„2 • (".-'»+ *
* п, + «2 - 2 V
' + (12)
2
где х и У — выборочные средние, п1 и п2 — объемы выборок. Величина '1-р/2 соответствует / = п1 + «2 — 2 степеням свободы.
В случае невыполнения неравенства (12) проверка значимости различия выборочных средних может быть осуществлена по приближенному критерию [5]:
X — У > Т, (13)
гр U'''-р/2(./') + и2^1-р / 2 (/2) 51 52
где Т =-----£----, р-----, и1 = —, и2 = -^.
лМ +^2 «1 «2
Гипотеза о равенстве генеральных средних отклоняется при выполнении неравенства (13).
Событие, заключающееся в отказе полупроводникового изделия в процессе отбраковочных испытаний, очевидно, является случайным, хотя и прогнозируемым по характеристикам НЧ шума. В соответствии с теоремой Бернулли [5] при любом наперед заданном положительном £ вероятность того, что частота события отличается от его вероятности больше, чем на £ , стремится к нулю при неограниченном увеличении числа испытаний. В качестве события, например, можно принять превышение выбранного критического значения /и(Х,&) с учетом функциональной зависимости контролируемой характеристики от напряжения НЧ шума и погрешности косвенного измерения. Из линейности нормального распределения следует, что распределение частоты будет
г а & Р(1- Р) гг,
приближенно нормальным с параметрами: аО= — = р и &О = — = ->-------------- . Тогда при
п п V п
доверительной вероятности 1 - р0 частоте О соответствует интервальная оценка:
О-"-,4^ < Р <О + Щ.ро/2^ , (14)
где р — вероятность случайного события, р0 — уровень значимости.
Наличие в левой и правой части выражения величины р затрудняет получение точных оценок. Для упрощения вычислений вместо р используют найденную из опытных данных частоту О, однако это приводит к тому, что среднее и дисперсия ста-
Формулы для расчета дисперсии (4) позволяют перейти к такой случайной величине О, дисперсия которой постоянна и не зависит от аО. В случае использования в
ную 1. Распределение О в силу линейности нормального распределения по-прежнему остается нормальным. Произведя необходимые расчеты для величины О, используя функцию перехода, можно получить окончательные результаты для величины О.
Таким образом, используя результаты измерений СКЗНШ полупроводниковых приборов и выбранное на их основе пороговое значение двумерного критерия т(х,—), можно с определенной вероятностью ошибки осуществлять классификацию изделий по надежности, а также получать интервальную оценку вероятности отказа.
Данный подход применим к классификации объектов по случайному параметру в целом, а также к выявлению наиболее вероятных отказов в многокомпонентных системах с неравномерным распределением фактора отказа.
Авторы выражают благодарность Д.Ю. Смирнову за предоставленные экспериментальные данные.
1. Методы диагностики полупроводниковых изделий с использованием электростатических разрядов / М.И. Горлов, В. А. Емельянов, И. И. Рубцевич, Д.Ю. Смирнов // Микроэлектроника. — 2005. — Т. 34. — N° 3. — С. 27—36.
2. Использование уровня шумов для контроля полупроводниковых изделий при термоциклировании / М.И. Горлов, Д.Ю. Смирнов, Ю.Е. Сегал, А.В. Емельянов // Известия вузов. Электроника. — 2005. — № 6. — С. 89—92.
3. Горлов М.И., Смирнов Д.Ю., Ануфриев Д.Л. Классификация надежности интегральных схем с использованием показателя формы спектра у // Известия вузов. Электроника. — 2006. — № 5. — С. 78—82.
4. Горлов М.И., Смирнов Д.Ю., Ануфриев Д.Л. Измерение шумовых параметров полупроводниковых изделий // Измерительная техника. — 2006. — №12. — С.46—49.
5. Пустыльник Е. И. Статистические методы анализа и обработки наблюдений.
— М.: Наука, 1968. — 288 с.
6. Сергеев А.Г., Терегеря В.В. Метрология, стандартизация и сертификация: учебник. — М.: Юрайт, 2010. — 820 с.
новятся зависимыми друг от друга: sw
качестве функции перехода y(x) = 24n arcsin -JW величина w имеет дисперсию, рав
ЛИТЕРАТУРА
