CC BY
40
Формируя лагранжиан
Lt = -ItPR + P(M{y2 (t + d) | Ft} - Y2 (t + d)) +
+ p(u2(t) - U2) =
= -Фт(t + d)PT|(t)9(t + d) - (фт(t + d)H)2CTj? -
-a 2 +p((фT(t + d)0(t + d))2 + u р
+ Ф T (t + d)PT| (tMt + d) + (ф T (t + d)H)2 a2 +
+ a2 - Y2(t + d)) + p(u2(t) - U2(t)) =
UP
= (p- 1)(u2(t)Pm0 (t) + 2u(t)PT0, (t)y(t) +
+ ф T(t)P!(t)y(t) + u2(t)H?a2 +
+ 2u(t)H1HTy(t)a2 + (H2y(t))2 a\ +a2p ) +
+ p(u2 (t)m0 (t + d) + 2u(t)ino (t + d) x x F (t + d)y(t) + (F (t + d)y(t))2 -- Y2(t + d)) + p(u2(t) - U2(t))
и оптимизируя его по u(t) с помощью процедуры Эрроу - Гурвица - Удзавы, получаем закон управления
dNST(t) =
(P(t) - 1)(PrT0r' (t) +°§HiHT) + p(t)imo (t + d)F (t + d)
=-----------—--------2---------------------------y(t),
(p(t) - 1)(Pmo (t) +^2h2) + p(t)rn0 (t + d) + p(t)
■ p(t +1) = [P(t) + Гр (t + 1)((9T (t + d)0(t + d))2 +
+ 9T (t + d)PT| (t)ф(t + d) + (фT (t + d)H)2 a2 +
+ a2p - Y2(t + d))]+,
p(t +1) = [p(t) + Гр (t + 1)((dNST(t))2 - U2(t))]+,
совпадающий при X_1(t) = p(t), p(t) = 0 с (12) и работающий при p(t) = 0 в режиме акселерации, p(t) = 1 — стохастической эквивалентности, p(t) ^ да — осторожности, поддерживая при этом ограничения на управляющий сигнал, благодаря настраиваемому параметру p(t).
Таким образом, предлагаемый регулятор позволяет обеспечить активно-адаптивное управление существенно нестационарным стохастическим динамическим объектом, превосходя по качеству традиционные процедуры, основанные на стохастически эквивалентном подходе.
Литература: 1. Адонин О.В., Бодянский Е.В., Котляревс-кий С.В. Управление динамическими стохастическими нестационарными объектами в условиях неопределенности с активным накоплением информации. ЕДостоверно-эквивалентный подход //Радиоэлектроника и информатика. 1999. N4. С.-76-81. 2. Адонин О.В., Бодянский Е.В., Котляревский С.В Адаптивный регулятор с активным накоплением информации // Радиоэлектроника и информатика. 2000. N3. С. 57-60. 3. Chan S, Zarrop M. A suboptimal dual controller for stochastic systems with unknown parameters // Int.J.Contr. 1985. 41. N2. P.507-524. 4. Ishihara J, Abe K, Takeda H. Active adaptive control based on ARX model with randomly varying coefficients // Trans. Soc. Instrum. 1985. 21. N7. P.698-705. 5. Катковник В.Я., Хейсин В.Е. Итеративные алгоритмы оптимизации для отслеживания дрейфа экстремума // Автоматика и вычислительная техника. 1976. N6. С.34-40. 6. Бодянский Е.В. Адаптивное оценивание параметров нестационарных объектов // Автометрия. 1989. N1. С.63-74. 7. Бодянский Е.В., Котляревский С.В. Адаптивное управление динамическим существенно нестационарным объектом // Автоматика и телемеханика. 1995. N6. С. 111-116.
Поступила в редколлегию 10.10.2000
Рецензент: проф. Любчик Л. М.
Адонин Олег Валерьевич, аспирант кафедры искусственного интеллекта ХТУРЭ. Научные интересы: адаптивные системы управления. Адрес: Украина, 61166, Харьков, пр. Ленина, 14, тел.: 40-98-90
Бодянский Евгений Владимирович, д-р техн. наук, профессор кафедры искусственного интеллекта ХТУРЭ. Научные интересы: адаптивные системы, искусственные нейронные сети. Адрес: Украина, 61166, Харьков, пр. Ленина, 14, тел.: 40-98-90.
E-mail: bodya@kture.kharkov.ua
Котляревский Сергей Владимирович, канд. техн. наук, ведущий научный сотрудник ПНИЛ АСУ ХТУРЭ. Научные интересы: адаптивные системы управления. Адрес: Украина, 61166, Харьков, пр. Ленина, 14, тел.: 40-98-90
УДК 517.21
СТАБИЛИЗАЦИЯ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ НЕОДНОРОДНОЙ МАРКОВСКОЙ СИСТЕМЫ ПРИ ВЛИЯНИИ РАСПРЕДЕЛЕННЫХ СТАБИЛИЗИРУЮЩИХ ФАКТОРОВ
ГЕРАСИН С.Н, ГИБКИНА Н.В, ЛЕЗГИН В.А.
Рассматривается вопрос о приведении вероятностей состояний неоднородной марковской системы к заранее заданным значениям при воздействии на переходные характеристики системы непрерывно распределенных стабилизирующих возмущений
Как известно, стабилизация вероятностей состояний процесса обычно возникает из-за воздействия на него быстро изменяющихся факторов, локализованных на малых промежутках времени [1]. В модельной ситуации таким возмущениям подвергаются элементы переходной или инфинитезимальной матрицы системы. Довольно часто бывает, что эти факторы многократно воздействуют на процесс в течение некоторого промежутка времени и всякий раз вызывают сильные возмущения параметров процесса. Такое многократное повторение возмущений приводит к появлению на интервале времени множества точек стабилизации [2]. На практике приходится иметь дело с такими факторами, которые, непрерывно воздействуя на процесс, приводят к появлению на нем точек стабилизации, распределенных почти непрерывно, напри-
71
РИ, 2001, № 1
мер, при производстве различных фармакологических препаратов. Перемешивание ингредиентов лекарственного сырья осуществляется путем вибраций, которые можно считать непрерывно воздействующими возмущениями. Такие факторы будем называть стабилизирующими. В этом случае для любого интервала времени [ф t2) с [a, b] можно ввести меру стабилизации (процесс изучается на
интервале [a, b]). Обозначим через ц(й, t^ меру стабилизации:
й(й > ^) = sup (й, t2) - rj (й,^)}
j
Rj , t2) = suP Pij , t2) Tj (ti, t2) = inf Pj (ti, t2)
І ’ І ’
P = (py > t2^’j=i — матрица переходных вероятностей процесса.
Величина p(ti, 12) определяет суммарный стабилизирующий эффект, возникающий за счет всех точек стабилизации, “размазанных” на [ti, t^ [1].
Рассмотрим наиболее типичные случаи, когда стабилизирующие факторы оказывают влияние на переходные характеристики процесса. Пусть неоднородный марковский процесс ф) определяется своей инфинитезимальной матрицей A(t) = Х iJ(t), i, j = i,..., n . Наблюдение за переходными характеристиками ^ij{t) ведется на промежутке времени [о, i]. В течение этого времени на процесс, а значит и на параметры ^j(0 действуют возмущения, определяемые матрицей возмущений AA(t). Рассмотрим, как ведут себя решения системы Колмогорова для вероятностей состояний
|р(0 = P(t\Л(О +АЛ(0]
в случае стабилизирующих воздействий AA(t).
Для вычислительного эксперимента была выбрана следующая матрица A(t):
л(t)=
- 9
t
3 6
-1614 4t4
1,512 - 2,51
Возмущения задаются так, что возмущенный процесс может быть описан инфинитезимальной матрицей
A(t) +AA(t). (1)
Возмущающая матрица A\(t) имеет следующий вид: 9 i 8 "
ДЛ(t) = i4 -19 5 • f(t)
8 i0 - i8j
где f(t) — возмущение.
Будем оценивать величину отклонения значений вероятностей состояний процесса от их теоретичес-
ких значений в точке to = i:
Pi - Pi
i = i,..
4
2
n
здесь сті — i -я компонента вектора б отклонений; p* - і -я компонента нулевого левого собственного вектора P* матрицы AA(t) в точке to; Pi — значение i -й компоненты решения системы дифференциальных уравнений Колмогорова в точке to; n — число состояний рассматриваемого марковского процесса.
Вычисления будем проводить для начального распределения P0 = (0,7, 0,2, 0,1).
Для возмущённого процесса, описываемого матрицей (1), выполнены условия существования точек фокусировки и предельных вероятностей в этих точках, не зависящих от начального распределения вероятностей и момента времени, с которого начинается процесс [3].
Нулевой левый собственный вектор возмущающей матрицы A\(t) в точке to имеет вид:
P* = (0,533821, 0,179159, 0,287020).
1. Регулярные возмущения. Рассмотрим возмущения, действие которых задано на частичных отрез-
ках
i i +1 2Z ' 2z
i = o, i,..., 2z -1. На каждом из них
возмущения линейно нарастают от нуля до некого -рого значения a . Характер возмущений представлен на рис. 1.
ft
Рис. 1. Возмущение f{tj при z = 3 и A = io
На рис. 2 приведен график поведения первой компоненты решения системы дифференциальных уравнений Колмогорова с возмущенной матрицей (1); пунктиром на графике показано теоретическое предельное значение вероятности.
Pi t
Рис. 2. Поведение первой компоненты
72
РИ, 2001, № 1
Вектор значений решения системы дифференциальных уравнений Колмогорова в точке t0 имеет вид:
p = (0,520381, 0,180503, 0,299115).
Вектор 5 = (0,013439, 0,001344, 0,012095).
Замечено, что при увеличении числа всплесков с сохранением суммарной площади под кривой возмущения наблюдается более раннее приближение компонент решения системы к теоретическим предельным значениям. На рис. 3,а показано поведение первой компоненты решения для случая, когда количество возмущений увеличено в два раза по сравнению со случаем, изображенным на рис. 1, и равно шестнадцати. Компоненты вектора б в этом случае незначительно увеличиваются:
5 = (0,014217, 0,001705, 0,012513).
Увеличением мощности возмущения A также можно добиться более быстрого приближения вероятностей состояний к заданным значениям. На рис. 3,б приведен график поведения первой компоненты решения при увеличении мощности возмущения в 10 раз по сравнению со случаем, изображенным на рис.1. Кроме того, здесь можно существенно уменьшить величину отклонения б . В рассмат-
риваемом случае компоненты вектора б уменьшились приблизительно в 10 раз, вектор б = (0,001346, 0,000131, 0,001216).
Pi t
Pi t
t
t
б
Рис. 3. Графики поведения первой компоненты решения системы дифференциальных уравнений Колмогорова с возмущенной матрицей при z = 4 и A = 10 (а) и при z = 3 и A = 100 (б)
РИ, 2001, № 1
Далее рассмотрим регулярные возмущения, действующие, как и ранее, на частичных отрезках
i i + 1'
2z ’ 2z
каждом из этих отрезков по степенному закону f(t) = at4 , t є -Z, iiij , i = 0,1, .„,2z -1. Характер возмущений представлен на рис. 4.
ft
Рис. 4. Характер возмущения f[t)
t
График, отображающий поведение первой компоненты, приведен на рис. 5; как и ранее, пунктиром на графике показано теоретическое предельное значение вероятности.
Pi t
Рис. 5. График поведения первой компоненты решения системы дифференциальных уравнений Колмогорова с возмущенной матрицей (1)
Вектор значений решения системы дифференциальных уравнений Колмогорова в точке t0 имеет
вид: p = (0,528132, 0,179811, 0,292057). Вектор 5 = = (0,005689, 0,000652, 0,005036).
Из полученных результатов видно, что возмущениям, возрастающим по степенному закону, соответствует более широкая полоса локализации вероятностей состояний, чем в случае линейных возмущений, однако величина б по сравнению с линейными возмущениями для степенных возмущений в 2-2,5 раза меньше. Это можно объяснить тем, что при степенных возмущениях основное воздействие приходится на конец каждого из частичных отрезков, когда сила возмущения становится достаточно большой.
73
2. Возмущения, сгущающиеся к точке t0. Действие возмущений задается на частичных отрезках
, i = 0,1, 2,z , центры которых с
ростом i (здесь i - номер частичного отрезка) стремятся к точке to . На каждом из частичных отрезков возмущение линейно нарастает (начиная с нуля); площади под всеми возмущениями совпадают. Характер возмущений представлен на рис. 6.
ft
Рис. 6. Сгущающиеся к точке to возмущения f{t)
1 - —, 1---Ц
2' 2i+1
3. Возмущения, действующие в случайные моменты времени. Предположим, что в случайные моменты времени на рассматриваемый процесс действуют возмущения в виде прямоугольных импульсов. Площади под всеми импульсами одинаковы, однако из-за случайности времени действия эти импульсы имеют разную высоту; суммарная площадь возмущений такая же, как и в случаях 1, 2. Пример действия импульсов представлен на рис. 8.
ft
Рис. 8. Характер возмущений f(t)
На рис. 7 изображено поведение первой компоненты; пунктиром на графике показано теоретическое предельное значение вероятности.
Pi t
Рис. 7. График поведения первой компоненты решения системы дифференциальных уравнений Колмогорова с возмущенной матрицей (1)
Вектор значений решения системы дифференциальных уравнений Колмогорова в точке to имеет
вид: p = (0,529686, 0,179292, 0,291022). Вектор 5 = = (0,004135, 0,000133, 0,004001).
Сравнивая результаты, полученные в пунктах 1 и 2, можно сделать вывод о том, что при сгущающейся последовательности точек ст -фокусировки величина сг уменьшается, а полоса локализации вероятностей состояний сужается. Однако в этом случае вероятности состояний позже попадают в ст -окрестность предельного распределения. Это объясняется тем, что из-за уменьшения времени действия при одинаковых площадях под каждым всплеском сила воздействия на процесс в конце каждого частичного отрезка постоянно возрастает.
График сходимости первой компоненты показан на рис. 9; пунктиром на графике показано теоретическое предельное значение вероятности.
Pi t
Рис. 9. График сходимости первой компоненты решения системы дифференциальных уравнений Колмогорова с возмущенной матрицей (1)
Вектор значений решения системы дифференциальных уравнений Колмогорова в точке to имеет
вид: p = (0,503711, 0,188284, 0,308005). Вектор 5 = = (0,030110, 0,009125, 0,020985).
Из графиков видно, что в этом случае сходимость к предельному распределению имеет скачкообразный характер из-за нерегулярного действия возмущений и разной их силы. Поведение вероятностей состояний во многом определяется картиной распределения случайных воздействий на исследуемом интервале, поэтому для различных распределений величина б может быть как больше, так и меньше, чем в случаях 1, 2.
74
РИ, 2001, № 1
Вычисления во всех случаях были проведены для различных начальных распределений, заданных в точке s0 = 0 . Заметим, что выбор начального распределения в точке sq не влияет на значения предельных вероятностей исследуемого процесса [3].
В таблице приведены значения вектора 5 для различных видов возмущений.
Характер возмущения сті ст2 ст3
Линейные 0,013439 0,001344 0,012095
Степенные 0,005689 0,000652 0,005036
Сгущающиеся к точке to 0,004135 0,000133 0,004001
Возникающие в случайные моменты времени 0,030110 0,009125 0,020985
Анализируя результаты, полученные в пунктах 1-3, можно сделать следующие выводы. Наименьшие значения вектора отклонений ст были получены при сгущающихся к концу исследуемого интервала возмущениях. Этому же случаю соответствует самая узкая полоса локализации вероятностей состояний, при этом они изменяются наиболее плавно, однако позже, чем для регулярных возмущений, попадают в ст -окрестность предельного распределения. Хорошие результаты также дает стабилизация процесса регулярными степенными возмущениями. Возмущениям, возникающим в случайные моменты времени, соответствует наихудший вектор ст .
Как видно, каждый из рассмотренных видов возмущений имеет и достоинства, и недостатки. Выбирая на практике способ стабилизации процесса,
УДК 514.753
ОСОБЕННОСТИ ПОСТРОЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ ЗАДАЧИ ПОКРЫТИЯ В СИСТЕМАХ АВТОМАТИЧЕСКОЙ ПРОТИВОПОЖАРНОЙ ЗАЩИТЫ
АНТОШКИН А.А., КОМЯКВ.М.,
РОМАНОВА Т.Е., ШЕХОВЦОВ С.Б.______
Исследуются особенности размещения пожарных извещателей в защищаемом помещении. Рассматриваемая прикладная задача сводится к задаче покрытия произвольной двухмерной области кругами заданного радиуса. На основании анализа технологических ограничений задачи строится ее математическая модель.
нужно исходить из того, какую цель желает достичь исследователь: получить в точке ф минимальное отклонение вероятностей состояний от теоретических значений или же быстрее “загнать” вероятности состояний процесса в ст -окрестность предельного распределения.
Все вычисления были проведены с помощью пакета программ, разработанного авторами в системе символьной математики Mathematica 4©.
Литература: 1. Дикарев В.А. Фокусирующие факторы. Базисы фокусировки и стабилизации // Радиоэлектроника и информатика. 1998. №2(3). С.50-53. 2. Басманов А.Е., Дикарев В.А. Стабилизация марковского процесса в окрестности распределения, заданного на конечном временном промежутке // Доп. НАН України, 1999. №8. С.69-73. 3. Герасин С.Н. Проблемы стабилизации распределений неоднородных марковских систем. Харьков. Изд-во ХТУРЭ, 1999. 212 с.
Поступила в редколлегию 15.12.2000
Рецензент: д-р физ.-мат. наук, проф. Дикарев В.А.
Герасин Сергей Николаевич, канд. техн. наук, доцент кафедры высшей математики ХТУРЭ. Научные интересы: теория вероятностей и ее приложения, теория процессов Маркова. Адрес: Украина, 61166, Харьков, пр. Ленина, 14, e-mail: hm@kture.ua, тел: (0572)40-93-72 (раб.), (0572)72-12-38 (дом.).
Гибкина Надежда Валентиновна, инженер-стажер кафедры высшей математики ХТУРЭ. Научные интересы: теория вероятностей и ее приложения, программирование. Адрес: Украина, 61166, Харьков, пр. Ленина 14.
Лизгин Валерий Анатольевич, начальник отдела АСУ АО “Меркурий”. Научные интересы: теория вероятностей и ее приложения, теория неоднородных структур, программирование. Адрес: Россия, 357100, Карачаево-Черкесская республика, г. Черкесск, ул. Кавказ-кая, 126, тел.: (87822)511-51.
Эффективность решения задач оптимального управления в технических системах непосредственно связана с разработкой математических методов, позволяющих осуществить выбор рациональной, с точки зрения используемого критерия оптимальности, структуры технической системы. Задачи синтеза оптимальных структур возникают при разработке систем обнаружения и оповещения, одним из классов которых являются системы автоматической противопожарной защиты.
При решении таких задач необходимо учитывать реальные геометрические особенности элементов систем, их тип, количество, параметры размещения и т.п. Поэтому целесообразно преобразование информации о различных по своей физической природе составных элементах технических систем в единый вид геометрической информации. Это позволяет осуществить формализацию и решение
РИ, 2001, № 1
75
