Стабилизация программных движений твердого тела на подвижной платформе Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 62.534(031)

СТАБИЛИЗАЦИЯ ПРОГРАММНЫХ ДВИЖЕНИЙ ТВЕРДОГО ТЕЛА НА ПОДВИЖНОЙ ПЛАТФОРМЕ

С.П. Безгласный, О.А. Мысина

Самарский государственный аэрокосмический университет,

кафедра теоретической механики

E-mail: bezglasnsp@rambler.ru, olgamysina@yandex.ru

Решена задача о построении асимптотически устойчивых произвольных программных движений твердого тела, закрепленного на подвижной платформе. Управление получено в виде точного аналитического решения в классе непрерывных функций. Задача решена на основе прямого метода Ляпунова и метода предельных систем, позволяющего использовать функции Ляпунова со знакопостоянными производными.

Ключевые слова: механическая система, стабилизация, программное движение, функция Ляпунова, предельныефункции, твердое тело.

The Stabilization of Program Motions of Firm Body on a Moving Platform S.P. Bezglasnyi, O.A. Mysina

We considerfirm body with fixed point on a moving platform. We solve the problem of construction asimptotically stability programm motion. The programm motion can be any function. Control is received in the form the analytical solution. We solve the problem of stabilization by the direct Lyapunov’s method and the method of limiting functions and systems. In this case we can use the Lyapunov’s functions having constant signs derivatives.

Key words: mechanical system, stabilization, program motion, Lyapunov’s function, limiting functions, rigid body.

ВВЕДЕНИЕ

Задачи об управляемых программных движениях твердого тела на подвижном основании являются актуальными и привлекают внимание многих исследователей в связи с проблемой конструирования приборов на движущихся объектах (летательных аппаратах, кораблях и др.). Проблема построения и исследования свойств и условий устойчивости таких движений рассматривалась в работах многих ученых, например [1-3].

В данной работе ставится и решается задача об определении двухуровневого управления, реализующего и стабилизирующего произвольные заданные движения твердого тела на подвижной платформе при заданном движении платформы. Решение задачи сводится к исследованию нулевого решения неавтономной системы и проводится на основе прямого метода Ляпунова [4]. Метод предельных систем [5] и его модификация [6] позволяют при использовании функций Ляпунова со знакопостоянными производными строить искомое управление в замкнутой аналитической форме в классе непрерывных функций.

1. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ

Рассмотрим движение платформы относительно неподвижной системы координат О1^пС, при котором оси жестко связанной с платформой подвижной системы координат 0XYZ остаются параллельными осям абсолютной системы 01 ^пС при произвольном заданном законе движения

'«=«м

< п = п(*)

. С = С(*)

точки О платформы. Пусть на платформе в точке О закреплено твердое тело массы т, имеющее одну неподвижную относительно платформы точку. Введем жестко связанную с телом систему координат Охух таким образом, чтобы центр масс тела С лежал на оси Ох и имел координату г = а > 0. Предположим, что Ох — главная центральная ось инерции тела, а оси Ох и Оу параллельны двум другим главным осям инерции. Поставим задачу о реализации управляющими силами, прикладываемыми к телу, произвольных заданных (программных) движений твердого тела и стабилизации этих движений.

© С.П. Безгласный, О.А. Мысина, 2008

Программным (желаемым) движением системы назовем пару (r(t),r(t)), где r(t) — ограниченная, дважды кусочно-непрерывно дифференцируемая вектор-функция, описывающая некоторое заданное движение механической систем.

Уравнения движения для рассматриваемого тела составим в форме уравнений Лагранжа второго рода в подвижной системе координат Oxyz, считая силу тяжести F = mg и силы инерции Fi = — m£, F2 = — mn, F3 = — m£, возникающие из-за движения платформы, внешними силами, приложенными к центру масс тела. Составив вектор обобщенных координат qT = (9, ф,0) из переменных Эйлера (символ ()T обозначает транспонирование), запишем кинетическую энергию тела в виде

T = Т2 = 1 qT A(q)q = 1A1 (0 cos 9 + ф sin 0 sin ^)2 + 1B1 (—0 sin 9 + ф cos 9 sin 0)2 + 1C1 (9 + ф cos 0)2,

где A1 = /1 + ma2, B1 = /2 + ma2 и C1 = /3, /1,2,3 — центральные осевые моменты инерции тела; квадратичная по скоростям форма Т2 определяется симметричной положительно-определенной ограниченной матрицей A = (aj} с элементами

ац = C1, a12 = a21 = C1 cos 0, a13 = аз1 = 0,

а22 = (A1 sin2 9 + B1 cos2 9) sin2 0 + C1 cos2 0, a23 = a32 = G sin 29 sin 0,

a33 = A1 cos2 9 + B1 sin2 9,

где G = 2(A1 — B1).

Тогда уравнения Лагранжа

— dh = Q dt \ dq у dq

можно переписать в виде

Aq + M = Qe + Qc, (1)

где через M = M(q, q) обозначен вектор-столбец с компонентами

M =qT wq—1 qT %q (!^ (2)

вычисляемыми по формуле

Mi = ¿ ^ qk *—2 ¿ ^qk qj (i=T73)-

j,k = 1 j,k = 1

Вектор обобщенных сил Q = Qe + Qc в правой части уравнений Лагранжа представляет собой сумму внешних сил Qe, действующих на механическую систему, и управляющих воздействий Qc, определяемых в дальнейшем.

В общем случае функция r(t), описывающая программное движение тела, может не являться решением системы (1). Поэтому реализацию программных движений будем рассматривать как задачу

о двухуровневом управлении, разделив управляющие воздействия на две группы:

Qc = Qp + Qs,

где Qp — силы, реализующие программное движение, Qs — стабилизирующие его.

2. УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ В ОТКЛОНЕНИЯХ

Пусть необходимо, чтобы система совершала некоторое программное движение (r(t),r(t)). Прямой подстановкой функции r(t) в уравнения (1) определим управляющие силы, реализующие это движение:

Qp = A(r)r + M (r, r) — Qe (t,r, r), (3)

где координаты вектора M = M(r, r) вычисляются по формулам, получающимся из формул (2) заменой величин q и q на r и r соответственно.

Сведем решение задачи о стабилизации программных движений к задаче стабилизации нулевого решения неавтономной лагранжевой системы. Это позволит применить к задаче о стабилизации программных движений методы и результаты, разработанные для исследования устойчивости и стабилизации нулевого положения равновесия неавтономных систем.

Введем новые обобщенные координаты (отклонения) по правилу х = q — г(£). В силу линейности замены и линейности оператора дифференцирования структура уравнений Лагранжа при переходе к уравнениям в отклонениях не изменится. Кинетическая энергия системы примет вид

Т = - Хт А(х + г)Х + гт А(х + г)Х + ^ Гт А(х + г)г.

Вычислив производные

й.д^, /дА дА . дА Л. ... /дА дА . дА \

л(ах ) = Ах+( + дхтг + ахт х]х + ^ + д?г + дхт х)г'

дТ 1 т дА т дА 1 т дА

тт- = тх -гг-х + г — х + -г — г, дх 2 дх дх 2 дх

получим уравнения движения в отклонениях:

ах + м + м' + м" + аг = де + дс, (4)

где де = де(^,г + х,г + х), М = М(х,х) обозначает вектор-столбец, компоненты которого М^ определены равенствами

м ^ ^хгхкх— 2 ^ ^х“хкх ('=^

= 1. = 1

М' — вектор-столбец с компонентами

3 3 3

= Е dXkXk- 5 £ axfXk^ dXkr‘x - 5 E axfX (i = -3)'

j,k=1 k j,k=1 * j,k=1 k j,k=1 г

M" — вектор-столбец с компонентами

M" = E dxkr -1 E fxf(i=^

—1 —1

3. ПОСТРОЕНИЕ СТАБИЛИЗИРУЮЩЕГО УПРАВЛЕНИЯ

Пусть C — диагональная матрица, удовлетворяющая условию:

c0E < C = const < c1 E, (0 < со < c1 — const), (5)

где E — единичная матрица.

Рассмотрим положительно-определенную по отклонениям x и скоростям X, допускающую бесконечно-малый высший предел функцию Ляпунова

V (t, x, X) = 2 xT Cx + - XTAX. (6)

Тогда ее полная производная по времени будет иметь вид

—V dV . /6>V\T. . /6>V\T.. .T .T 1 ,T/дА . дА . дА

1Т = эТ+ UxJ X+ UxJ x = x Cx + x AX + 5X vэГ + dXTr + aXT^X’

и в силу системы (4) получим

—V 1 / дА \ 1 / дА \

—^ = XTCx + XT (—M — M' — M" — Ar + Qe + Qc) + -XT ( —) X + -XT ( —^X ) X.

—t 2 \ dx1 / 2 \ dx1 /

Пусть

,т,, 1 .т ( dA Л . 1 .т.

1 -xT - - ' - - ™т

—x 1 M +— x 1 —-=■ x x = - x 1 N,

2 \dxT J 2

где символом N обозначен вектор-столбец с компонентами

3 п 3 п

AT kj • • j • • 1—9A

N = Z. ^^Xfcx — 2_. d^Xfcx (i = 3)-

r\ ^ k ^ j / ГЧ

dx* dxk

j,k = 1 * j,k = 1 k

Учтя, что

/ dA \ 1 T dA ( dA \ 1 T dA ( dA \ ( dA \ T dA

M = —Tx r — -x — r + —Tr x — -r — x = —-Tx r + тг^r x — r — x,

\ dx1 / 2 dx \ dx1 ) 2 dx \ dx1 ) \ dx1 ) dx

перепишем полученное выражение для производной следующим образом:

—V T ( dA Д . 1 . T / dA Д . .T(.T dA\ . . T/^ ,,„ ,.. ^r4 1 .T,r /„x

—— = — xT ( —-=■x)r — xT ( ——=pr)x + xT ( rT —— )x + xT (Cx — M — Ar + Qe + Qc) + -xTN. (7)

—t \ dx1 / 2 \ dx1 у \ dx J 2

Пусть существует положительно определенная диагональная матрица D такая, что выполняется условие

1 dA dA Л

r — rT— + L + D > —оE (—о > 0 — const), (8)

2 дхт дх

где Ь — матрица, задающая квадратичную форму хт ^^ г, т.е. матрица с элементами {¿^}, вычисляемыми через элементы матрицы А по правилу:

3 да __________________

^ =£ дх“г“ (',к=-,3).

г=1

Выберем стабилизирующее управление согласно равенству

д* = —Сх — Бх + М '' + Аг — де — др. (9)

При управлении (9) уравнения движения (4) будут иметь вид

Ах + М + М ' + Бх + Сх = 0, (10)

а полная производная (7) от функции (6) по времени в силу системы (10)

¿V ,т /1 дА . ,т дА г \ . 1 ,тдг

Ш = —х (25хтг — г дх + Ь + Vх +2х ^

где последнее слагаемое является функцией третьего порядка малости относительно скоростей х,

при выполнении условия (10) и при указанном управлении и малых скоростях (т.е. в окрестности

тривиального решения х = х = 0) будет иметь оценку

¿V ,т /1 дА . ,тдА г \ . , ,, .||2 Л

—— = — хт -=■ г — гт ——+ Ь + Б х < —¿о ||х|| < 0

а£ \ 2 дх1 дх у

и тем самым будет определенно-отрицательной по скоростям функцией. Пусть вектор-функции М и М' в уравнении (10) удовлетворяют условию Липшица равномерно по х относительно £, тогда предельная система к системе уравнений (10) существует [5], имеет аналогичный ей вид, и множество {х = 0} не содержит решений предельной системы, кроме х = х = 0. Тогда на основе теоремы из [6] об асимптотической устойчивости нулевого решения неавтономной системы можно сделать вывод, что управление (9) при выполнении условия (8) решает задачу стабилизации программного движения х = х = 0 системы (4). При этом устойчивость равномерная асимптотическая.

Полученный результат развивает и обобщает соответствующие результаты из [2, 7, 8] и может быть использован при построении заданных движений твердого тела на движущихся объектах.

4. СКАЛЯРНЫЕ УРАВНЕНИЯ И ИХ ИНТЕГРИРОВАНИЕ

В выбранных переменных для вектора М в системе (1) согласно формулам (2) получим выражение компонент

23

,, 1 ? 2 da22 1 ¿2 da33 . ¿if da12 да

M1 = — 2ф "99 — 2*? + 0ф{-эГ —

да12 da23 \ . ¿ ? da22 + —------- I + 0ф—Г—.

д9 /

да12 ^ . л

где -ггтт = — C1 sin 0 90

1 ; 2 da22 /V да12 , da23^ , л • да33

M3 = — 2ф ^ + ф9 (—-дГ +

да да

22 = 2G sin 29 sin2 0, 22 = (A1 sin2 9 + B1 cos2 9 — C1) sin 20,

да23 0 . й да23 n . 0 й да33 n . 0

—— = 2G cos 29 sin 0, = G sin 29 cos 0, —— = —G sin 29.

д^ д0 д^

Действие сил инерции и силы тяжести описываются обобщенными силами Qe, вычисляемыми в

подвижной системе координат Oxyz согласно равенствам

Q1 =0, Q2 = — am¿ cos ф sin 0 — amn sin ф sin 0,

Q3 = —amí; sin ф cos 0 + amn cos ф cos 0 + a(m; + mg) sin 0.

Тогда уравнения управляемых движений (1) твердого тела можно записать в виде

C19 + C1 ф cos 0 — ф 0(2G cos 29 + C1) sin 0 — ф2 G sin2 0 sin 29 — 02 G sin 29 = Q1 + Qp,

9C1 cos 0 + ф ((A1 sin2 9 + B1 cos2 9) sin2 0 + C1 cos2 0) + 0G sin 0 sin 29 + 9?ф2G sin 29 sin2 0+

+9?0 (2G cos 29 — C1) sin 0 + ф0 (A1 sin2 9 + B1 cos2 9 — C1) sin 20 + 02G cos 0 sin 29 =

= —amí cos ф sin 0 — amn sin ф sin 0 + Q2 + Qp,

p^G sin 0 sin 29 + 0 (A1 sin2 9 + B1 cos2 9 + ^Á^G cos 29 + C1) sin 0 — 9?02G sin 29—

— 2ф2 ((A1 sin2 9 + B1 cos2 9) — C1) sin 20 = — amí sin ф cos 0 + amn cos ф cos 0+

+a(m; + mg) sin 0 + Q3 + Qp.

Зная заданное программное движение как функции времени

r(t) =

Í 9* (t) ф*(*)

V 0* (t) у

r(t) =

( 9* (t) ф *(t)

V 0* (t) у

(11)

и введя новые обобщенные координаты (отклонения) x = q — r(t),

9 = X1 + 9* ф = X2 + ф* ,

0 = X3 + 0*

вычислим в переменных X, X кинетическую энергию

T = 1A1 ((X3 + 0*) cos(x1 + 9*) + (X2 + ф*) sin(x3 + 0*) sin(x1 + 9*))2 + 1£1 (— (X3 + 0*) sin(x1 + 9*)+

1

+ (X2 + ф*) cos(x1 + 9*) sin(x3 + 0*)) + 2C1(X 1 + X2 cos(x3 + 0*) + 99* + ф * cos(x3 + 0*)) ,

координаты векторов M, M', MA

Л/г 1 -2 9A22 1 .2 dA33

M1 = — 2 x 3-gXT — 2 x 3-gXT

+ X 2 X 3

dA

12

9x3

9A^)

dx1 / ,

Л/Г .2 dA23

М = х з-áxT

+ X 2Х1

дА22

dxi

+ х i:¿ з

dAi2 + д^2з\ dx3 dx1 J

+ X 2 X 3

dA.22

дхз ’

1 .2 dA22 . / dAi2 д4гз\ . . дАзз

Мз = _-x2 —-------+ XзX1 ( dX + ) + x 1xз-

2 2 дхз

дхз

dxi

Mi = _X 2 ф

•dA°2 — x з 0* dA21 + X 2 Г

dx1

dxi

dA

i2

dx3

дАзЛ

dx1 J

+ X зф*

dA

i2

dx3

дА2з\ dx1 J

М2 = X 1 ( ф

dA2

* ~- -22 + 0*

dx1 +X3 ( 2é

dA12 + dA23

* dA23

дхз

дхз + ф

dx1

dA

dx

22 + é*

dA22

дхз

+

* dA22 дхз

dA12 dA23

+ 9 I —------+

дхз

dx1

M/ • I . * dA22 , . * ( dA12 , dA23

М3 = X 2 _ф + 9------“-------+

dx3

dx3

dx1

, • 1 é* dA33 , . * ( dA12 , dA23

+ xc1 ( é —-----+ ф _ —---------------+

M1/=—2(ф*)2 iAf

dxi

1 dA23

dA22

dxi

+ é* ф *

,dAi

dx3

dxi

; dA33

dx1

dA

12

дхз

dA23

m2/ = (é*)2^23 + 9 * ф * ^p2 + é* 9 *(^° + ^£±) + 0*ф:

дхз

dxi

дхз

dxi

M3/ = _ V )2 dA22 ■ -•■ *•■ ^ dA12

dx1 dA23 \

dA22

дхз ’

+ ф * 9 * __^ + + é*9

у дхз dx1 y

,* dA33 dxi

где

dA

12

дхз

dA22

дхз

= _C1 sin(é* + x3) ,

dA

22

= 2G sin 2(9* + x1) sin2(é* + x3) ,

dx1

= (A1 sin2(9 + x1) + B1 cos2(9 + x1) _ C1) sin2(é* + x3),

2*

dA23 = 2G cos 2(9* +x1) sin(x3+é*), dA^ = g sin 2(9* +x1)cos(x5+é*) , є^33 = _G sin 2(9* +x1) ,

dx1 dx3

и обобщенные внешние силы, действующие на систему

dx1

Q1 = 0,

Q2 = _am¿; cos(ф* + х2) sin(é* + х3) _ amn sin(ф* + х2) sin(é* + х2),

Q3 = _am¿; sin(ф* + х2) cos(é* + х3) + amfjcos(é* + х3) cos(ф* + х2) + a(mj + mg) sin(é* + х3). Тогда, учитывая (9), управление Qc = Qp + Qs с компонентами

Q1 = _ c11x1 _ duX 1 + C19* + ф;*С1 cos(é* + х3) _ ^ф^ G sin 2(9* + х1) sin (é* + х3)_

_ ф.*é*(2Gcos 2(9* + х1) sin(é* + х3) + C1 sin(é* + х3)) + (é*)2Gsin2(^* + x1),

Q2 = _ C22X2 _ d22X2 + 9*C1 cos(é* + X3) + pj* ((A1 sin2(9* + X1) + B1 cos2(9* + X1)) sin2(é* + X3) + + C1 cos2(é* + x3)) + é1'*G sin 2(9* + x1) sin(x3 + é*) + 9*ф*2G sin 2(9* + x1) sin2(é* + x3)+

+ 9*é*(2G cos 2(9* + x1) sin(é* + x3) _ C1 sin(é* + x3)) + ф*<?* (A1 sin2(^* + x1)+

+ B1 cos2(9* + x1) _ C1) sin 2(é* + x3) + (é*)2G sin 2(9* + x1) cos(x3 + é*)+

+ am( sin(ф* + x2) cos(é* + x3) _ amfjcos(é* + x3) cos^* + x2) _ a(mZj + mg) sin(é* + x3),

Q3 = _ сззхз _ ^ззххз + ф*Gsin2(9* + X1 )sin(x3 + é*) + é*(A1 cos2(^* + X1) + B1 sin2(9* + X1))+ + 9*ф*(2G cos 2(9* + x1) sin(x3 + é*) + C1 sin(x3 + é*)) + +9.*é*2G sin 2(9 * +x1)_

_ (ф*)2G sin 2(9* + x1) sin(x3 + é*) + am¿ sin(ф* + x2) cos(é* + x3)_

_ amfj cos(é* + x3) cos(ф* + x2) _ a(mj + mg) sin(é* + x3)

*

1

2

реализует асимптотически устойчивое программное движение (11), и при этом управлении уравнения (10) движения в отклонениях имеют вид

C1X1 + X2C1 cos(0* + x3) — X2Gsin2(9* + x1) sin2(0* + x3) — X2X3 ^2Gcos2(9* + x1) sin(0* + x3)+ +C1 sin(0* + x3)j + X3Gsin2(9* + x1) — X2 ^0*(2Gcos 2(9* + x1) + C1) sin(0* + x3)+

+ф*2G sin 2(9* + x1) sin2(0* + x3) j — X3 ^ф*(2Gcos 2(9* + x1) sin(0* + x3) + C1 sin(0* + x3))+

+0* 2G sin 2(9* + x1 )j + c11x1 + dnX 1 = 0,

X1C1 cos(0* + x3) + X2 ^(A1 sin2(9* + x1) + B1 cos2(9* + x1)) sin2(0* + x3) + C1 cos2(0* + x3) j + +X3G sin 2(9* + x1) sin(x3 + 0*) + X 1:¿22G sin 2(9* + x1) sin2(x3 + 0*)+

+X 1:¿3 ^2Gcos2(9* + x1) sin(0* + x3) — C1 sin(0* + x3)j + X2X3 ^(A1 sin2(9* + x1)+

+B1 cos2(9* + x1) — C-^j sin 2(0* + x3) + X2G sin 2(9* + x1) cos(x3 + 0*)+

+X 1^0*(2G cos 2(9* + x1) — C1)sin(0* + x3) + ф * 2G sin2(9* + x1)sin2(0* + x3 )j +

+X2 (0* (A1 sin2(9* + x1) + B1 cos2(9* + x1) — C1) sin 2(0* + x3) + 9*2G sin 2(9* + x1) sin2(0* + x3) j + +X3 ^0*2G sin 2(9 * +x1) cos(0* + x3) + 9* (2G cos 2(9* + x1) — C1) sin(0* + x3)+

+ф* ^A1 sin2(9* + X1) + B1 cos2(9* + X1) — C^ sin 2(0* + X3) j + C22X2 + ¿22X2 = 0,

X2Gsin 2(9* + x1) sin(x3 + 0*) + X3 ^A1 cos2(9* + x1) + B1 sin2(9* + x1 )j +

+X 1X2 sin(x3 + 0*)(2G cos 2(9* + x1) + C1) — X1X32G sin(9* + x1 )—

— 2X2(A1 sin2(9* + x1) + B1 cos2(9* + x1) — C1) sin 2(x3 + 0*)+

+X 1 ^ф*(2Gcos 2(9* + x1) + C1) sin(x3 + 0*) — 0*2Gsin2(9* + x1^ +

+X2 ^9*(2Gcos 2(9* + x1) + C1) sin(x3 + 0*) — ф*(A1 sin2(9* + x1)+

+B1 cos2(9* + X1) — C1) sin 2(0* + X3) j — X39*2G sin(9* + X1) + C33X3 + ¿33X3 = 0.

В качестве иллюстрации численно проинтегрируем и представим графики величин x, X для следующего примера. Пусть твердое тело — маятник (рис. 1) в виде однородного диска радиуса

r = 0,1 м, массы m = 1 кг на невесомом стержне длины l = 1 м. Конец стержня O шарнирно закреплен на подвижной платформе. Платформа движется по закону

С = cos(t)

< n = sin(t) .

, Z = 5t2

В качестве программного движения зададим равномерное вращение оси маятника вокруг вертикали с постоянным углом наклона:

9* (t) = 20t ф* (t) = 0 .

^ 0* (t) = п/6

Матрицы C и D — единичные матрицы.

На рис. 2-4 изображены зависмости отклонений х1 ,х2,х3 от времени при следующих начальных условиях: х1 (0) = 0.01, х 1 (0) = 0.02, х2(0) = 0.05, х2(0) = 0.03, х3(0) = 0.05, х3(0) = 0.01.

На рис. 5-7 изображены зависмости скоростей отклонений х 1,х2, х3 от времени при тех же начальных условиях.

*1, рад

хз, рад

x2, рад

Рис. 3. График поведения отклонения x2(t) Х1, рад/c

Х2, рад/c

Библиографический список

1. Афанасьев В.Н., Колмановский В.Б., Носов В.Р. Математическая теория конструирования систем управления. М.: Высш. шк., 1989. 447 с.

Х3, рад/с

2. Галиуллин А.С., Мухаметзянов И.А., Мухарля-мов Р.Г., Фурасов В.Д. Построение систем программного движения. М.: Наука, 1971. 352 с.

3. Зубов В.И. Проблема устойчивости процессов управления. Л.: Судостроение, 1980. 375 с.

4. Руш Н., Абетс Р., Лалуа М. Прямой метод Ляпунова в теории устойчивости. М.: Мир, 1980. 301 с.

5. Artstein Z. Topological dynamics of an ordinary equations // J. Differ. Equat. 1977. V. 23. P. 216-223.

6. Андреев А.С. Об асимптотической устойчивости и неустойчивости нулевого решения неавтономной си-

стемы // ПММ. 1984. T. 48, вып. 2. С. 225-232.

7. Смирнов Е.Я., Павликов И.Ю., Щербаков П.П., Юрков А.В. Управление движением механических систем. Л.: Изд-во ЛГУ, 1985. 347 с.

8. Bezglasnyi S.P. The stabilization of program motions of controlled nonlinear mechanical systems // Korean J. Comput. and Appl. Math. 2004. V. 14, № 1-2. P. 251266.

УДК 531.38,575

ПОСТРОЕНИЕ ОСНОВНЫХ СООТНОШЕНИЙ ОДНОМЕРНОЙ МИКРОПОЛЯРНОЙ ТЕОРИИ УПРУГИХ СТЕРЖНЕЙ

А.А. Илюхин, Д.В. Тимошенко

Таганрогский государственный педагогический институт, кафедра математического анализа,

E-mail: stab@tgpi.org.ru, dmitrytim@yandex.ru

Осуществлена редукция от трёхмерной задачи несимметричной теории упругости к одномерной посредством расщепления трёхмерной задачи на совокупность двумерной и одномерной задач. Указаны кинематические параметры, которые нужно привлечь, чтобы вместе с системой дифференциальных уравнений Кирхгофа получить замкнутую систему уравнений одномерной микрополярной теории стержней. Остальные геометрические величины найдены из определяющих их соотношений. Получены условия, которым должны удовлетворять коэффициенты в замыкающих соотношениях. Оценён вклад в эти соотношения, который привносит учёт моментных напряжений. Для одномерной теории указано общее решение при наличии жесткостной симметрии.

Ключевые слова: упругий стержень, несимметричная теория упругости, редукция, замыкающие соотношения, моментные напряжения.

The One-Dimensional Micropolar Theory of Elastic Rods Basic Parities Construction

A.A. Ilyukhin, D.V. Timoshenko

The reduction from a three-dimensional problem of the asymmetrical theory of elasticity to one-dimensional by means of splitting a threedimensional problem on set of two-dimentional and one-dimensional problems is carried out. Kinematic parameters with which it is necessary to involve are specified that together with system Kirchoff differential equations to receive the closed system of the equations of the one-dimensional micropolar theory of cores. Other geometrical sizes are found from parities defining them. Conditions with which should satisfy factors in closing parities are received. The contribution to these parities which introduces the account moment pressure is estimated. For the one-dimensional theory the common decision at presence stiffnesse is specified to symmetry.

Key words: elastic rod, asymmetrical theory of elasticity, reduction, closing parities, moment pressures.

Развитие механики сплошной среды тесно связано с появлением обобщенных математических моделей, рассматривающих частицу материала не как материальную точку, а как более сложный объект, наделенный дополнительными свойствами, описывающими микроструктуру материала. Классическая теория упругости описывает свойства тел, у которых между частицами действуют центральные силы. Эта теория не всеобъемлющая: она, в частности, не в состоянии корректно описать закономерности распространения коротких акустических волн, в особенности в жидких кристаллах, и (в некоторых случаях) законы пьезоэлектрических явлений, а также аномалии динамической упругости пластиков и тонких тел [1, 2]. В связи с этим в работах [1-5] была развита теория упругости сплошных сред, учитывающая моментное (вращательное) взаимодействие частиц — моментная теория упругости. В значительной степени выдающимся этапом в развитии механики сплошной среды в данном направлении явилась работа братьев Коссера [3], в которой описана модель, впоследствии получившая название континуума Коссера, или микрополярной среды. В рамках этой модели каждая «микрочастица», образующая тело, представляет собой абсолютно твердое тело. Другими словами, учитывается не только изменение центров тяжести «микрочастиц», но и их ориентации. Поскольку частицы вещества представляют собой не точки, а пространственные образования, расположенные на расстояниях, сравнимых с их размерами, действие одной частицы на другую определяется целой системой сил и моментов. Известно, что даже система одних сил в общем случае не может быть сведена к одной лишь равнодействующей, необходимо введение ещё и результирующего момента [1].

© А.А. Илюхин, Д.В. Тимошенко, 2008