Сравнение значений числовых выражений Текст научной статьи по специальности «Математика»

ИНТЕГРАЦИЯ ОБРАЗОВАНИЯ

*► V V

«д ^

СРАВНЕНИЕ ЗНАЧЕНИЙ ЧИСЛОВЫХ ВЫРАЖЕНИЙ

З.Я. Якупов, доцент кафедры физики и математики Казанской

сельскохозяистеенной академии.

А.З. Якупов, студент кафедры ЛСОІТУ Л/ГУ им. Н П Огарева

Думаю, что и для других людей

На школьных факультативных занятиях, олимпиадах различного уровня, а также на вступительных экзаменах нередко используются задачи на сравнение действительнозначных числовых выражении без использования вычислительных средств (таблиц, калькуляторов. ПК и др.).

Сравниваемые выражения всегда связаны одним из отношений: больше»,

«меньше» или «равно», а сами выражения могут быть как однотипными, так и разнотипными по форме записи (в функциональном смысле). Например, выражения 2'' и З’оо буЛем считать однотипными, а выра-

жения^4 и ч 17 разнотипными.

Условно, по главной идее сравнения выражений, выделим следующие наиболее часто встречающиеся методы:

1) метод разности;

2) метод частного,

3) меюд вставки;

4) метод тождественных преобразовании,

5) фу нкционально-графическин метод;

6) метод «готовых» неравенств.

Условность названий предзагаемых

способов сравнения числовых выражений очевидна уже в силу того, что в «чистом» виде каждый из этих методов встречается очень редко Например, преобразования как таковые присутствуют всегда и везде, а использование основных свойств числовых неравенств просто необходимо при сравнении числовых выражений почти в любой ситуации. Скорее следовало бы говорить о комбинации указанных выше способов сравнения, но мы все же будем стараться придерживаться приведенной ранее у слов-ной систематизации, проиллюстрировав применение каждого из методов рядом примеров Подобное перечисление способов дока-

о кажете я

Лукиан

зательства неравенств приведено в книге И.С. Петракова (Математические кружки в 8-10 классах. М.. 1987. С. 89).

Вкратце охарактеризуем каждый из методов сравнения значений числовых выражений.

I. Суть первого метода заключается в установлении знака разности сравниваемых выражений. По этому знаку и делается соответствующий вывод.

Пример 1. Сравнить числа а = ^,3 н

Ь = !о^9.

Рассмотрим разность

а - b = log, 3 - log* 9 = log, 3 - log*

log, 9

log, 6

log; 3- log, 6 - 2 log, 3 log, 6

_ log; 3 (log, 6-2) log, 6

Значит, a > b Пример 2. Что больше:

>0.

%, 9978 + 79981 ИЛИ V 9979 + 79980 ?

Вычтем из первого числа второе; после перегруппировки каждую разность радикалов одновременно у множим и разделим на их сумму, а затем для числителей получившихся дробей используем формулу разности квадратов двух чисел:

(79978 + >, 9981) - (ч 9979 + 79980) =

(79981 - 79980)-(79979 + 79978) =

(79981

9980 К V 9981 + 79980)

79981 * % 9980

©З.Я Якупов, А.З. Якупов,2001

4, 2001?

(V9979 - л/9978Кл/9979 + л/9978)

л/9979 + л/9978

1

1

/9981 + л/9980 л/9979 + л/9978

В последнем выражении знаменатель первой дроби больше знаменателя второй дроби, поэтому исходная разность отрицательна; следовательно,

л/9978 + л/9981 < л/9979 + л/9980.

2. Для двух (чаще всего однотипных) выражений А и В рассматриваем, например,

отношение — > 0. Сравнивая его с едини-

В

цей, делаем соответствующий вывод о соотношении чисел А и В.

Пример 3. Доказать, что

1о&10>1к 11.

Рассмотрим дробь А

Igll

log, 10

Ясно, что А > 0. Нужно доказать, что А< I.

Для этого достаточно доказать,

Га <1. Используя свойство логарифмов при переходе к новому основанию и неравенство между средним арифметическим и средним геометрическим, получаем

что

л/Л

lgll

log, 10

л/lgll lg9

<

<

(lgl 1 + lg9)

lg 99 IglOO

2 <

1

Ja

тельно 1о^10> ^ 11.

3. Метод вставки, как правило, заключается в нахождении числа, раздел я юще-

Оба логарифма больше 1, но меньше 2. Подберем такое рациональное число ц, которое бы разделило данные числа, т.е. было бы больше одного из них и меньше другого числа. В качестве такого числа q

3

попробуем взять — Действительно.

log, 3 >

3 2;

3

так как 3 > 22. 3: >2

а

log з 5 < —. Так как 5: < З3.

Таким образом log,3 > log. 5.

; 127-

Пример 5. Что больше; 12": или 513 я? Очевидно, что

1212- < 128:,=2161 < 2|62= 512 * < 5 13

Пример 6. Сравнить числа 1о§,

и

1,1.

Имеем

log, 3 < log, 1 = 0 = log, 1 < log , 1.1

2

Пример 7. Доказать что

А = \15+ л/30 + \/50 <В= л/То \ 20+ л^60.

Сначала оценим каждое из слагаемых суммы А с точностью до единицы.

Имеем

2 < л/5 < 3, 5 < л/30 < 6, 7 < ч 50 < 8,

т.е.

14 < л/5 + л/30 + v 50 <17. Итак,

14 < Л < 17.

Теперь оценим каждое слагаемое из В также с точностью до единицы.

Имеем

3 < л/Т0 < 4. 4 < л/20 < 5. 7 < л 60 < 8.

т.е. 14 < л/10 + л/20 + % 60 <17.

Итак. 14 < В < 17.

Получили одни и те же оценки хля чи-

сравниваемых числа. При этом так- сел ^ и ^ что не позволяет сравнить эти

величины друг с другом. Поэтому учень-

частей. состав-

)щих то или иное выражение. Пример 4. Сравнить log

шим точность оценки каждого из слагаемых сумм А и В. Возьмем точность 0,1.

7Я

ИНТЕГРАЦИЯ ОБРАЗОВАНИЯ

И моем

2,2< \ 5 <2,3, 5,4 <v 30 <5.5. 50 <7.1.

Аналогично

т.п.). При этом также используются известные свойства числовых неравенств.

Сравнить числа

Пример

11

3,1 <ч 10<3,z 4,4<\ 20<4,5, 7,7<ч60<7.8

и 15,2 < В < 15,5.

Следовательно, А < В.

Пример 8. Сравнить числа log ,150 и

log,,290.

Имеем

log 150 < log,, 169 = logi}l 3: = 2 =

= log(717'=íogl7289<log 7290. Пример 9. Сравнить числа

А = >/26 + Л и 5 = \ 13 + V I7

Предположим, что.-1 > В. Тогда, используя свойства числовых неравенств (А, В > 0). получаем

(У26 + \ 6)" > (VI3 + V17)‘

32 + 2-\/l56 >30+ 2\ 221.

1 + VÍ56 > V 221,

log

1

\

/

Д15 + v2 j

и 1оВ

1

(1 + \/Ї56): > 221. vi56 >32.

80

Итак, А > /?<=> \ 156 > 32.

И м с е м

log

1

\

Д 5 + Л

> log

1

J

16

4

log

1

\

і

81

> log

1

і

80

Но 7156 <32 Значит, и исходные числа связаны тем же неравенством, т.е. А < В Пример 12. Что больше 1002 - 99-н- 98--97-+...+ 2:- 1; или 5000? Преобразуем исходное выражение:

1 00- - 99: + 982 - 97-’+...+ 2:- 12 = =( 1 00+99)( 1 00-99)+(98 + 97)(98-97)+ +...+(2+1)(2-1) — 100 + 99 + 98 +...+ 3 = = 5047 > 5000.

так как

15 + v;2 >16.

Пример

13

Сравнить число

Метод вставки также называют «ме- 0,99999100001 1.0001

0.99999

с единицей

тодом разделения», так как в процессе решения задачи находится величина, разделяющая данные два числа. Этот метод иногда реализуют и в другой форме: определяют та кое натуральное число п. при умножении на которое сравниваемых чисел 5 и / получают числа п.ч и ш такие, что меж-д\ ними находится хотя бы одно целое число Однако метод вставки реализуется с грузом, если сравниваемые числа очень близки др\ г к другу, как, в частности, в примере 3

Пример 10. Сравнить числа ^,4 и

1о&6.

Обозначим А = 0,00001. Тогда

0,99999

1.00001

• 1,0001°-99999

(1-Л)и4(1 + Л)

1-А

Пример

1 + Л

¡4

Сравнить число

+

л/Тз - д/7-V13 - Л

с нулем.

Имеем

Имеем: 5log.4

loe,729 = log,3‘=6

5log,4 и flogjó. Iog.45 = log, í 024 > log 56= log,4 и 5log<6.

+ yf\3 - v7 - vi3 - \Í2

Значит, iog,4 > ^,6.

4. Метод тождественных преобразовании подразумевает равносильное преобразование сравниваемых выражений или одного из них к некоторой «упрощенной» фор-

13 + 2у13 + 1

1

2>¡ñ +1

2

13 + l-v'l

-ч

->

1-2

множители

\ 2

о

2УУ у V "/V

’.4Г^^^^л7^^^ЛЛ^Л^г+4Г+ ♦ ♦.♦ ♦ ♦ ♦ ♦ ♦. ♦ ♦ ♦ ♦ ♦♦>♦♦*♦

Ш8&№ 4, 20011

При решении этого примера также можно было использовать формулу сложного радикала, справедливую для любых

А, В € Я, таких, что А > Л?, В > 0 :

•1а±у[в

А + у[Ж^В , ІА-УІА'-В

----------- 4-

2

Пример

15.

2

Сравнить число

+ \gtg2" +... + ^/#89° с нулем.

Поскольку (gA^íg

л

2

А

1 для

любого А є

0;

к

2

, то

^/^1° +1§/^2° + ... + 1в#89(’ =

= 1^1° #89° /£2° #88° ...

--^44°-^46°-^45°) = ^1=0.

Пример 16. Доказать, что 2,,8::+ 1 больше 1 ООО ООО.

Запишем

2',в-+ 1 = (2,,8: + 29Ч2+ I) - 2чч: = ((2991 +

+ 1) - 24%): = (2491 + 1 + 2446) (г4“” + 1 + 2^) >

> I ООО 1 ООО = 1 ООО ООО.

5. Функционально-графический метод основан на использовании функциональных (например, непрерывности, монотонности, выпуклости и т.п.) и геометрических свойств сравниваемых выражений. Пример 17.

доказать.

что

бш 20°

<

7

20

Разделим единичный круге центром

секторов

сектора

к

1

гг площади единичного круга, те. —

1 О I О

Рассмотрим ДАОВ. Его площадь равна

- • ОА ■ ОВ • біп /.АОВ = - - біг» 20°

И,

очевидно, меньше площади сектора АОВ

1 ^

Следовательно, — зіпіО < —

2 18

т.е

8Іп20° < —

9

тс 7

Поскольку — < —, получаем, что

$¡1120°

<

7

20

Рис. I

Пример

18.

Доказать.

что

8Іп20° >

I

3

График функции у = $¡11 .г на отрезке

0;

к

6

является выпуклым вверх, поэтому

при всех X е

0;

6

он расположен выше

3

графика прямой у = — х, проходящей че-

71

рез его концевые точки с координатами

п 1

(0; 0) и I Т’ "9 I (Рис- 2). Следовательно.

при всех х е

ж

0; — [выполняется неравен-

У

і

2

sin

і

З

►

3

ство sin x > — x. Полагая в этом неравен-

л

Рис. 2

л

стве х = —. получаем

9

* ллО ^ 3 Л 1

БШ 20 = БШ - >-----------= -

9 л 9 3

Пример 19. Что больше: 1 986

I 985'Эд6?

І чи

или

Сравним числа, полученные после извлечения корня (1 985 1 986)-й степени из

есь

данных чисел: |9®-У1986 V |9®-^1985. Зл

и далее значок « V » означает неопределенное неравенство. Заметим, что указанные

і

у = Xх прих = 1 985 их = I 986. Производ-

I

-2

ная этой функции у' = х* (1 - 1пх) отрицательна при х > е, так что на промежутке

I

Так как х > 0, то, логарифмируя обе части неравенства, получим: х>е-\пх,

, ^ е • 1п х „ „ ,

или 1 >--------. Действительно, функция

X

у = - * (х > 0) достигает наиболь-

X

шего значения (у = 1) в точке х - е (дока-

€ • 1п X

жите!). Поэтому 1 >----------- (х > 0) и

х

е* > хс (х> 0). Положив х = /г, получа-

< к

ем требуемое в условии примера неравен-

выше корни являются значениями функции СТВО.

Пример 21. Доказать, что

log3 3 log36

ІШШШшя .. чиї і # .

log3 5 log3 7

* • #

log3 80 1

log3 81 2

Функция /(х)

logjX

logj(x + l)

при X > 1

(е; + оо) функция у — х х убывает. Поэто- возрастает (почему?). Обозначим правую му ”^¡986 < ,98^1985, а значит,

часть исходного неравенства через А, А > 0.

1 986'985 < 1 985м*6.

Пример 20. Доказать, что е* > лс Сначала сравним две функции е1 и х*,

доказав, что е* > хе (х > 0).

Те

Пусть

В

log3 3 log3 5 logj4 Iog,6

log3 79 logj 80

Так как А > В, то А2 > ВА

log33

1

logj 81 4

и А >

1

2

6. Метод «готовых» неравенств (по главной идее, лежащей в основе) опирается на использование уже известных неравенств, доказанных ранее в общем виде, а также базируется на приеме усиления очевидных (числовых) неравенств.

С этой точки зрения взглянем на некоторые рассмотренные выше примеры.

В примере 3 можно было сразу использовать готовое неравенство

1оё„(а + 1) = 1ов„+|(с/ + 2).

справедливое при любом вещественном и > I.

В примере 19 можно было применить неравенство, верное при любых натуральных т ^ 3 ; (м + 1) < /я

В примере 20 мы предварительно доказали неравенство общего вида, опираясь на свойства функций, а потом использова-

ли его.

Иногда

полезно

неравенство

lg(n +1) >

3

Юл

любом натуральном п.

Пример 22. Какое число больше: 99! ил и 5 О94?

Используем известное неравенство между средним геометрическим и средним

арифметическим неотрицательных чисел. Тогда

99= (1 • 99) • (2 • 98) • (3 • 97)•(49 51) • 50 <

1+99-V 2+98V

2

2

'3+97

/

49+ 51

V

2

50=

502 • 502 ...-502-50 = 50

То есть 99! < 50" Пример

99

23.

Что

больше

1 3 5

2 4 6

• « I

99

100

1

или

10 '

Обозначим произведение дробей через А и рассмотрим усиление неравенства в выражении

А

1 13 3 5 5

■ • Ні • — • Ш* Ш • . ♦ »■«

2 2 4 4 6 6

99 99

100 100

<

1 2 3 4 5 6

99 100

1

2 3 4 5 6 7

100 100 100

т.е. А2 <

Значит, А <

100

10

+ lgw, справедливое при 0,01?

Пример 2-4. Что больше: - sin 22 или

Воспользуемся неравенством sin г < х. верным для любых г > 0. Кроме того.

22-0.01 <7 3.1415 < 1л < 7 3.142 <22

Значит,

-sin 22 = sin(22 - ln) < 22 -7,т < 0,01.