CC BY
24
т
СПОСОБ СНИЖЕНИЯ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ СЛОЖНОСТИ АЛГОРИТМА МКВС (МЕТОД МИНИМАЛЬНОЙ КОРРЕЛЯЦИИ
ВИРТУАЛЬНЫХ СИГНАЛОВ)
Душин Сергей Викторович,
МТУСИ, Москва, Россия, S.Dushin@inbox.ru
Ключевые слова: эхокомпенсатор, уравнение Винера-Хопфа, адаптивный фильтр, корреляционный алгоритм, фильтр Винера.
Компенсация эхосигналов в телекоммуникационных каналах связи является одной из важнейших прикладных задач современной теории адаптивной фильтрации. В рамках этой довольно разносторонней задачи успешно применяются многие широко известные рекурсивные алгоритмы оценивания неизвестной линейной системы, такие как: нормализованный метод наименьших средних квадратов (НМНСК), пропорционально нормализованный МНСК, быстрый алгоритм аффинных проекций (FAP), быстрый трансверсальный фильтр (FTF^ т.д.
Предложен оригинальный способ снижения вычислительной сложности алгоритма МКВС (метод минимальной корреляции виртуальных сигналов). В первой части статьи производится анализ вычислительной сложности алгоритма МКВС. В том числе, определяется, что основная вычислительная нагрузка алгоритма определяется процедурой оценки вектора взаимной корреляции виртуального остаточного эхосигнала и активного сигнала. Вторая часть статьи посвящена описанию предлагаемого способа. Способ основывается на представлении вектора взаимной корреляции виртуального остаточного эхосигнала и активного сигнала как разницы двух векторов. Первый вектор - это вектор корреляции эхосигнала и активного сигнала. Второй вектор - это произведение автокорреляционной матрицы активного сигнала и текущей оценки импульсной характеристики эхотракта. В таком представлении алгоритма основной вычислительной нагрузкой является второй вектор. Для его быстрого вычисления предлагается использовать алгоритм быстрого умножения матрицы Теплица на вектор, основанный на быстром преобразовании Фурье, поскольку для стационарного случайного процесса автокорреляционная матрица является теплицевой матрицей. Сама же автокорреляционная матрица может быть оценена рекурсивно. Учитывая все её свойства, можно произвести оценку её членов, затратив на это не более N операций умножения на одну итерацию, где N - порядок матрицы.
Информация об авторе:
Душин Сергей Викторович, аспирант, инженер, Московский технический университет связи и информатики (МТУСИ), Москва, Россия
Для цитирования:
Душин С.В. Способ снижения вычислительной сложности алгоритма МКВС (метод минимальной корреляции виртуальных сигналов) // T-Comm: Телекоммуникации и транспорт. 2017. Том 11. №10. С. 51-54.
For citation:
Dushin S.V. (2017). The way to reduce computational complexity of the MCVS algorithm (the minimal correlation of virtual signals). T-Comm, vol. 11, no.10, рр. 51-54. (in Russian)
7TT
У
ИНФОРМАТИКА
Несмотря на успешный опыт применения современной техники компенсации эхосигналов, она продолжает сове развитие. Данный процесс во многом обусловлен интенсивным развитием телекоммуникационных технологий, в рамках которых формируются новые задачи для техники компенсации эхосигналов, при этом требования к качественным характеристикам эхокомпенсаторов постоянно повышаются. Это, в свою очередь, мотивирует исследователей на разработку оригинальных алгоритмов адаптивной филырации. Примером таких алгоритмов является предложенный в [3] и подробно исследованный в [4] рекурсивный алгоритм, получивший название метод корреляции виртуальных сигналов, сокращенно «МКВС». Отличительными особенностями алгоритма являются быстрая сходимость и высокая помехоустойчивость. С другой стороны, алгоритм обладает довольно высокой вычислительной сложностью, что, естественно, является его существенным недостатком. Таким образом, решение задачи снижения вычислительной сложности алгоритма МКВС может повысить его конкурные преимущества и расширить область его применения.
Настоящая статья посвящена рассмотрению вопроса снижения вычислительной сложности алгоритма МКВС, Алгоритм может быть записан в вектор но-матричной форме в следующем виде:
Я^Я^х^ ,,, + ЖГ'х^ (О
М-1
, "*-X<*£, X * *;-,)} (2)
где Ху I, ~ вектор значений активного сигнала, р - вектор взаимной корреляции, 2 - виртуальный остаточный эхосигнал, 3— малая величина, Е — единичная матрица, дбш . - автокорреляционная матрица белого шума эквивалентной мощности, е,- эхосигнал, - параметр адаптации, М-количество отсчетов оценки ВКФ, дг-количество коэффициентов фильтра.
Согласно |4|, суммарная вычислительная сложность алгоритма МКВС составляет 2хЛгхА/ + Лг + 1 операций умножения и 2х/УхА/ + ЗхД' операций сложения на одну итерацию адаптации. Анализируя вычислительную сложность алгоритма МКВС, можно обратить внимание, что она в основном определяется выражением (2), которое описывает процедуру оценки вектора взаимной корреляции виртуального остаточного эхосигнала и активного сигнала р . Так,
процедура формирования М отсчетов виртуального остаточного эхосигнала X требует Nх м операций умножений. Дальнейшее вычисление корреляции этого сигнала и активного сигнала хк, требует также Л'х М операций умножения. Поэтому, задаваясь вопросом снижения вычислительной сложности алгоритма МКВС, вполне логично сконцентрироваться на снижении вычислительных затрат при расчете вектора р , так как эта процедура наиболее вычислительно трудоемкая. Очевидно, что (2) можно переписать в следующем виде (представлена запись для неограниченной выборки сигналов):
/>хг. - Е {Хю хе,}-Е х (.И1,, х Хю)} (3)
Усчитывая, что -=Х^,х.Нги и используя свой-
ства ассоциативности умножения матриц, можно записать
вектор р в виде:
хг^
Рхг. =Е{ХЮ х е,} - Е {(Х^ х XI,,) х Ню)
(4)
Первый член выражения (4) является вектором взаимной корреляции активного сигнала и эхосигнала. То есть:
Е {Х„х4) = Р (5)
л -
Можно заметить, что для очередной итерации второй член выражения (4) ЕКХ^хА^хЯ*,} " это автокоРРеля"
пиоиная матрица активного сигнала, умноженная на вектор текущих значений коэффициентов фильтра. То есть можно записать:
= (6) Таким образом, выражение для р можно записать:
Выражение (7) представляет альтернативную интерпретацию вектора р . Обращаясь к вопросу вычислительной
сложности такой интерпретации можно увидеть, что вектор Р может быть вычислен рекурсивно и, очевидно, не является масштабной вычислительной задачей. Его рекурсивное вычисление требует всего N операций умножения на итерацию:
Р =Р +Х„,хе,
(8)
С другой стороны, расчет на каждой итерации Д хЯЖ(
является задачей довольно ресурсоемкой и в общем случае
требует /V" операций умножения. Однако вычислительную сложность можно уменьшить, учитывая, что для стационарного сигнала автокорреляционная матица в является теп-
лицевой, то есть элементы, составляющие её диагонали, равны. Для этого, первым шагом, необходимо вычислять рекурсивно автокорреляционную матрицу Д :
Я,,- - (9)
Нетрудно показать, что каждая новая матрица Х„ хХ1
содержит в себе N новых членов по отношению к матрице Хк , хХтк -,- Это иллюстрирует нижеследующая матрица:
Хн, * Xмл ~
х.
X.
Х-хтХХ; X}_\г X X:
X; ■ X Х;_
х.
(10)
Все произведения, не содержащие текущего отсчета хр
уже вычислялись па предыдущих этапах адаптации, поэтому их вычислять нет необходимости. Нетрудно заметить, что Хы 1 х, имеет N уникальных членов с отсчетом х{ (всего
таких членов 2х/У-1, они являются членами первой строки и первого столбца). Поэтому рекурсивное вычисление
требует N операций умножения.
Т-Сотт Том 11. #10-2017
т
Вторым шагом необходимо вычислить вектор Ry хHh . ■ Учитывая, что r является матрицей Теплица, для быстрого вычисления можно воспользоваться представленным в [1] алгоритмом быстрого умножения теплицевой матрицы на вектор. Этот алгоритм заключается в достраивании матрицы rn, до циркулянтной матрицы С порядка К > 2хN-].
Далее матрица С диагонализируется с помощью БПФ по
формуле —xFhxCxFK = diag(FK хс)- гДе FK ~ матри ца К
Фурье, с - первый столбец матрицы С. Данный алгоритм позволяет умножать матрицу лv на вектор Нv • затратив
на это A'xlog,^ операций умножения.
Описанный выше алгоритм расчета вектора р и выражение (1) представляют собой быстрый алгоритм МКВС, вычислительная сложность которого представлена в табл. 2.
Таблица 1
Вычислительная сложность быстрою МКВС
Операция Умножение Сложение/вычитание
Рекурсивное
вычисление
Л'л'/ х Х^ N 0
Рекурсивное
вычисление
«v, 0 N
Рекурсивное
вычисление
Р хёл., N N
Вычисление
дисперсии 0 (берется из П (берется из
активного сигнала матрицы R) матрицы R)
Вычисление
вектора
^ДГ ^ ^ Н, J N у. log, N N х log, N
Формирование
остаточного
эхосигнала N N
Суммарная
вычислительная сложность А? х log, N + 3х N N х log, N + 3xN
ИНФОРМАТИКА
В заключение можно сказать, что предложенный способ снижения вычислительной сложности МКВС, основывающийся на быстром алгоритме вычисления умножения матрицы Тёплица на вектор, позволяет значительно снизить его вычислительную сложность.
Так, итоговый быстрый алгоритм МКВС требует ДГ х log, N + 3 х N Операций умножения на итерацию, тогда как исходный алгоритм алгоритма МКВС требует 2xNxM + N + \ операций умножения па итерацию.
При этом для стационарных активных сигналов алгоритм МКВС и быстрый алгоритм МКВС математически эквивалентны, поэтому стоит ожидать, что они будут иметь схожую скорость сходимости. С другой стороны, помехоустойчивость алгоритма МКВС, согласно [4], определяется, в том числе, ограниченностью интервала оценки ВКФ (М). В тоже время для быстрого МКВС ограничение выборки должно осуществляться при помощи иных механизмов, например, коэффициента забывания при расчете автокорреляционной матрицы.
Таким образом, помехоустойчивость МКВС и быстрого МКВС на практике может значительно отличаться.
Литература
1. Воеводин В,В.. Тыртыишиков Е.Е. Вычислительные процессы с теплице вы ми матрицам. М,: Наука, 1987. 320с.
2. Джиган В.И. Адаптивная фильтрация: теория и алгоритмы. М.: Техносфера, 2013. 528 с.
3. Дуиаш С.В.. Шаврин С. С. Скорость сходимости корреляционного алгоритма адаптации // Вестник Связи, 2013, №1. С. 24-26.
4 Душин С В. Новый рекурсивный алгоритм адаптивной па-стройки механизмов компенсации эхосигналов: минимальная корреляция виртуальных сигналов // DSPA. 2017, С, 126-131.
5. Кузнецов ЕЛ. Методы и алгоритмы адаптивной эхо-компенсации: сравнительный анализ эффективности применения II Цифровая обработка сигналов. 2007. №2. С. 26-34.
6. Уидроу Б.. Страз С. Адаптивная обработка: пер. с анг. М.: Радио и связь, 1989. 440 с.
7. Haykin S. Adaptive filter theory (5-tli edition). Prentice Hall, 2014. 936 p.
T-Comm Vol.11. #10-2017
T
COMPUTER SCIENCE
THE WAY TO REDUCE COMPUTATIONAL COMPLEXITY OF THE MCVS ALGORITHM (THE MINIMAL CORRELATION OF VIRTUAL SIGNALS)
Sergey V. Dushin, Moscow technical university of communications and informatics (MTUCI), Moscow, Russia, S.Dushin@inbox.ru Abstract
This paper proposes the way to reduce computational complexity of the MCVS (the minimal correlation of virtual signal) echo cancellation algorithm. The first part of the paper presents the results of the analysis of the algorithm computational complexity. According to the results of this analysis, calculation of the cross-correlation vector of virtual residual echo and active signal is the main computational problem. The second part of this paper is aimed to describe the proposed way to reduce computational complexity of the MCVS algorithm. It is based on cross-correlation vector of virtual residual echo and active signal formal expression as a difference between two vectors. The first vector is the cross-correlation vector of virtual echo and active signal. The second vector is the product of autocorrelation matrix and actual estimation of the impulse response of the echo path multiplication. In this case the main computational load volume forms the second vector. As soon as the autocorrelation matrix of stationary random processes is Toeplitz matrixes, using of fast algorithm of multiplication of Toeplitz matrix by vector, based on the fast Fourier transform to accelerate the processing of this vector is proposed. Besides, the autocorrelation matrix can be estimated recursively. This operation requires no more than N multiplications per iteration, where N is the order of the matrix.
Keywords: echo canceller, Wiener-Hopf method, adaptive filter, correlation algorithm, Wiener filter. References
1. Voevodin V.V., Tirtishnikov E.E. (1987). Vichislitelnie processi c tioplitsivimi matrizami [Computing processes with Teoplitz matrixes]. Moscow. Nauka.
2. Djigan V.I. (2013). Adaptivnie filtri: teortia i algoritmi [Adaptive filtering: theory and algorithms]. Moscow. Technosfera.
3. Dushin S.V., Shavrin S.S. (2013). The speed of convergence of correlation algorithm. Vestnik svyazi. No. 1. pp 24-26.
4. Dushin S.V. (2017), The new recursive algorithm of adaptive filtering: minimal correlation of virtual signals. DSPA. Pp. 126-131.
5. Kuznetsov E.P. (2007). Methods and algorithms of adaptive echo cancelation: comparative analysis of efficiency of implementation. Tsifrovaya obrabotka signalov. Vol. 2. Pp 26-34.
6. Widrow B., Stearns S. (1989). Adaptive signal processing. Prentice-Hall. New Jersey. USA.
7. Haykin S. (2014). Adaptive filter theory (5-th edition). Prentice Hall. Hamilton. Ontario. Canada.
Information about author:
Sergey V. Dushin, Moscow technical university of communications and informatics (MTUCI), Graduate student, engineer, Moscow, Russia
T-Comm Tom 11. #10-2017
