Способ построения плоской квазистатической траектории точки с кулоновым трением Текст научной статьи по специальности «Физика»

№ 2

УДК 539.67

СПОСОБ ПОСТРОЕНИЯ ПЛОСКОЙ КВАЗИСТАТИЧЕСКОЙ ТРАЕКТОРИИ ТОЧКИ С КУЛОНОВЫМ ТРЕНИЕМ

В. П. Тимохин

Получены аналитические зависимости для двумерной квазиста-тической траектории точки, находящейся под действием внешней силы постоянного направления, сил упругости и сил кулонова трения.

Актуальность вопроса расчета упругих конструкций с учетом сил трения не вызывает сомнений (см., например, [1—3]). К настоящему времени получены аналитические решения различных одномерных задач такого типа (например, [4, 5]). В [6] показано, что в двумерном случае работа конструкции с кулоновым трением описывается (в квазистатической постановке) системой нелинейных дифференциальных уравнений с переменной структурой. Там же приводится один из возможных алгоритмов численного метода решения. Аналитические решения двумерных задач в опубликованных работах не приводятся.

В настоящей работе изложен способ получения решения для простейшей двумерной задачи с кулоновым трением.

Пусть необходимо определить квазистатическую траекторию точки А (фиг. 1)

при действии на нее внешней силы Р, силы упругого сопротивления Я, силы -+- —»-

кулонова трения Р (с предельной величиной силы трения ] Р | = X = сопэ!). Внеш-

№ 2

УДК 539.67

СПОСОБ ПОСТРОЕНИЯ ПЛОСКОЙ КВАЗИСТАТИЧЕСКОЙ ТРАЕКТОРИИ ТОЧКИ С КУЛОНОВЫМ ТРЕНИЕМ

В. П. Тимохин

Получены аналитические зависимости для двумерной квазиста-тической траектории точки, находящейся под действием внешней силы постоянного направления, сил упругости и сил кулонова трения.

Актуальность вопроса расчета упругих конструкций с учетом сил трения не вызывает сомнений (см., например, [1—3]). К настоящему времени получены аналитические решения различных одномерных задач такого типа (например, [4, 5]). В [6] показано, что в двумерном случае работа конструкции с кулоновым трением описывается (в квазистатической постановке) системой нелинейных дифференциальных уравнений с переменной структурой. Там же приводится один из возможных алгоритмов численного метода решения. Аналитические решения двумерных задач в опубликованных работах не приводятся.

В настоящей работе изложен способ получения решения для простейшей двумерной задачи с кулоновым трением.

Пусть необходимо определить квазистатическую траекторию точки А (фиг. 1)

при действии на нее внешней силы Р, силы упругого сопротивления R, силы кулонова трения F (с предельной величиной силы трения | F \ = X = const). Внеш-

няя сила Р постоянна по направлению, модуль ее изменяется от Р0 до Ят> Ро-Полагаем Р0 = X, жесткости упругих связей в направлении осей Ох и Оу равными Кх и Ку соответственно.

Очевидно, в квазистатической постановке, т. е. при пренебрежении инерционными силами, справедливо равенство

р+Я + ? = 0, (1)

описывающее последовательность равновесных положений точки—ее траекторию.

Вектор F полагаем направленным по касательной к траектории.

Основные особенности траектории можно установить, анализируя равенство (1). Обозначим через а угол между Ох и касательной к траектории. Проектируя (1) на координатные оси, получим

где х, у — текущие координаты точки; Рх, Ру — проекции вектора Р на координатные оси.

В начальный момент загружения |.Р| = Р0, х = у = 0.

^я=я0=-^- = ^, (3>

гх

т. е. квазистатическое движение точки начинается по направлению Р. Если Рт > X, то при I Р | = Рт в (1) можно пренебречь слагаемым F, тогда

. G КУ где tg Р = .

Сопоставление соотношений (3) и (4) показывает, что в общем случае траектория точки криволинейна. Для ее построения определим диапазон изменения угла а. Положим

| Р | = at + Р0,

где а — скорость изменения внешней силы; t — монотонный параметр загружения (0 Из равенства (1) в проекциях на оси х, у получаем

(atf+Po)cosy — Кх х — X cos а = 0; ■)

(at -f- Р0) sin 9 — К у у — X sin а = 0. J

(Подчеркнем, что в рассматриваемой координатной системе любая из координат

х, у точки является функцией Р, F).

Диференцируя (5), устанавливаем

da a (sin ф — tg р tg о cos ср) cos а

dt X (tg (3 sin2 а + cos2 а) ( '

откуда нетрудно получить условия, при которых траектория точки прямоли-' da \

-щ- = 01. Используя (3), а также учитывая то обстоятельство, что зна--

менатель выражения (G) положителен при любых а, условие прямолинейности траектории запишем в виде:

sin 2ср (1 — tg Р) = 0. (7)

Следовательно, имеется два типа решений

лтс те • л

9 —"2“* Р = -4- » л = 0, 1. 2, , (8)

т. е. траектория точки — прямая, если нагрузка действует вдоль одной из осей [первое из решений (8)], либо КХ = КУ (второе решение).

Покажем, что в остальных случаях при любых сочетаниях ? и р диапазон изменений угла а ограничен величинами <р и 0;

*8 Ф

в = агс‘81р.

Пусть О^ерС-^. Из (6) получаем

Ж* . Л >0.

<и

<=о

й<х

Предположим, что при каком-то а = «* происходит смена знака . Тогда из (6) следует, что

<Р

^2 “А ^ ^ р > ак

Однако, принимая во внимание невозможность точного выполнения [см. (4)] равенства а = 0 и то, что

Нш а = агс12-1^| = 0;

<->оо *8 Р

Нш-*_______О,

<*-►8 (И

заключаем, что <р<а<0.

Проводя такой же анализ для любых других комбинаций <р и р, окончательно получаем:

<«<<

при

їв р

) < а < ср при ІІГ «р > ІІ1,

(9)

Установленные ограничения (9) позволяют перейти непосредственно к построению траектории.

С этой целью воспользуемся координатной системой XI Оух. Ось Ох 1 (фиг. 2) лримем совпадающей с направлением движения точки при X = 0, т. е. |_ хОх!=0. Пусть матрица взаимных перемещений в координатной системе Оух имеет вид:

■*1 х, X\ у,

У і у д У і

Отличительная особенность выбранной системы координат состоит в том,

что координата уг точки определяется только вектором Т7; это позволяет установить простую зависимость между Уі и -р

-Уі = — ^ (вУі ^ сое 7 -+- В>,1 8іп -г), (10)

где 7 — угол между осью Охг и касательной к траектории точки ~( = а — 0.

Примем в качестве независимой переменной координату точки по оси Ох|.

Лу\

Дифференцируя (10) по х1 и используя равенство 7, имеем:

‘8 7 = “ Х (-Йі V Уі С08 7 - ЧТХ ЬУ. *г8ІП ТГ) '

Интегрируя полученную дифференциальную зависимость между 7 и .*1, находим:

(П)

где 7о = '

Г / , Ко \1

/

Хі = X Ьуі Хі (8ІП 7 - віп 7о) + ауі у, 1 сое 7о — сое 7 + 1п е 2 1

Зависимости (10), (11) определяют связь между координатами хь у\ и углом 7, интервал изменения которого [см. (9)] ограничен неравенствами

7о<7<0 при

0<7<То при ігч» >

(12)

Соотношения (10) — (12) устанавливают однозначное соответствие между хь Уи 7> т' е- полностью определяют траекторию точки. Переход к переменным

х, у, а, | Р | очевиден, поэтому останавливаться на этом не будем.

На фиг. 3 показана типичная траектория точки, построенная по (10) — (12). При этом принято <р = 30‘; р = 30°; Кх = 1! /Су = 0,57735; X = 1. Для сравнения тем же знаком „+• показаны результаты, полученные путем численного интегрирования общих уравнений движения материальной точки при инерционных силах.

(IV I

На фиг. 4 показано семейство кривых, соответствующих траекториям точки при различных р и фиксированных <р,

К, X (т = 45°; К = УК2Х + К2У = 1; Х=1).

Результаты настоящей работы могут быть использованы при анализе гисте-резисных явлений в задачах рассмотренного типа, а также при проверке правильности алгоритмов численных методов расчета упругих систем с кулоновым трением.

ЛИТЕРАТУРА

1. Дар ков А. В., Мага лиф В. Я., Шапиро Е. Е. Работа стержневой системы с трением на скользящей опоре при статическом нагружении. Труды ВЗПИ. Серия: «Сопротивление материалов и строительная механика', вып. 81, 1973.

2. М а г а л и ф В. Я., Я к о б с о н Л. С. Расчеты трубопроводов

на вычислительных машинах. М., .Энергия", 1969.

3. Костовецкий Д. Л. Прочность трубопроводных систем энергетических установок. М., .Энергия", 1973.

4. Панов ко Я. Г. Впутреннее трение при колебаниях упругих •систем. М., Физматгиз, 1960.

5. Феодосьев В. И. Избранные задачи и вопросы по сопротивлению материалов. М., „Наука", 1967.

6. М а г а л и ф В. Я., Ш а п и р о Е. Е. Компенсирующая способ-

ность трубопровода с учетом сил трения на скользящих опорах. „Строительство трубопроводов", № 1, 1976.

Рукопись поступила 11IV 1977 Переработанный вариант поступил 2/IX 1977