CC BY
35
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Ebbesen T.W.,Lezee H.J.,Ghaemi H.F. et al. Extraordinary optical transmission through subwavelength
hole arrays // Nature. 1998. 391. P. 667-669.
2. Wannamacher R. Plasmon-supported transmission of light through nanometric holes in metallic thin films // Opt. Commun. 2001. 195. P. 107-118.
3. D eg iron A., Lezec H. J., Y a ma mo to N., Ebbesen T. W. Optical transmission properties of a single subwavelength aperture in a real metal // Opt. Commun. 2004. 239. P. 61-66.
4. Yin L., Vlasko-Vlasov V.K., Rydh A. et al. Surface plasmons at single nanoholes in Au films // Appl. Phys. Lett. 2004. 85. N 3, P. 467-469.
5. Shuford K.L., Gray S.K., Ratner M. A., Schatz G. C. Substrate effects on surface plasmons in single nanoholes // Chem. Phys. Lett. 2007. 435. P. 123-126.
6. Olkkonen J., Kataja K., Howe D.G. Light transmission through a high index dielectric-filled subwavelength hole in a metal film // Opt. Express. 2005. 13. N 18, P. 6980-6989.
7. Еремин Ю. А., Свешников А. Г. Математические модели задач нанооптики и биофотоники на основе метода дискретных источников // ЖВМиМФ. 2007. 47. № 2. С. 269-287.
8. Гришина Н. В., Еремин Ю. А., Свешников А. Г. Математическая модель локального биосенсора// Вестн. Моск. ун-та. Сер. 15. Вычисл. матем. и киберн. 2005. № 4. С. 22-29.
9. Eremina Е., Grishina N., Eremin Yu. et al. Total internal reflection microscopy with multilayered interface: light scattering model based on discrete sources method //J. Opt. A: Pure Appl. Opt. 2006. 8. P. 999-1006.
10. Захаров E. В. О единственности и существовании решений интегральных уравнений электродинамики неоднородных сред // Вычислительные методы и программирование. Сер. 24. М.: Изд-во МГУ, 1975. С. 37-42.
11. Chew W. С. Waves and fields in inhomogeneous media. N.Y.: IEEE Press, 1995.
12. Дмитриев В.И. Поля в слоистых средах. М.: Изд-во МГУ, 1963.
Поступила в редакцию 29.11.07
УДК 519.65
Ж.Г. Ингтем
СПЛАЙН-ФУНКЦИЯ С МИНИМАЛЬНОЙ НОРМОЙ ПРОИЗВОДНОЙ В ЗАДАЧАХ ИНТЕРПОЛЯЦИИ И АППРОКСИМАЦИИ
(кафедра математической физики факультета ВМиК, e-mail: nmail2002@yandex.ru)
Настоящая работа посвящена использованию квадратичного сплайна с минимальной производной для приближения функции в задачах интерполяции и аппроксимации. Строится гладкий сплайн на сетке с равномерным шагом таким образом, чтобы норма его производной была минимальной. Узлы сплайна и узлы интерполяции совпадают. Такой подход позволяет получить сплайн по заданным на сетке значениям функции, обходясь без дополнительного задания значения производной функции в начальной точке, так как она находится из условия минимума нормы производной сплайна в L2.
Введение. В настоящее время наиболее часто при решении задач интерполяции и аппроксимации используется квадратичный сплайн [1, 2], который полностью определяется заданием функции на некоторой сетке и производной в начальной точке. Как правило, производная в начальной точке неизвестна, и обычно ее определяют как разностную производную по известным значениям функции в начальной и следующей точках. Однако при относительно большом шаге сетки такое определение производной имеет большую погрешность, что сказывается на устойчивости сплайна. В работе [3] было предложено искать производную в начальной точке из условия минимума нормы производной сплайна. В настоящей работе будет показано, как можно успешно решать задачи интерполяции и аппроксимации с использованием такого сплайна.
1. Использование сплайна в задачах интерполяции. Пусть нам известно N + 1 значений функции /(ж) на равномерной сетке с шагом h = ^jf-- По заданным значениям fn = f(xn) функции
/(ж) на сетке {хп}: (хп = а + п/г, п = 0,1,..., Л/") строится квадратичный сплайн Б(х) Е С1 [а, 6] по известным соотношениям [4], Б(х) = 8п(х) при х Е
с< / \ Рп / \ / \ , г (х — Хп) (жп_|_1 — ж)(жп_|_1 + ж — 2жп) = —(ж - Жп)(жгг + 1 - ж) + /п + 1-—- + /п-—-,
ж Е где рп = З'п(хп). Такое представление дает нам сплайн, проходящий через значения
функции /(ж) на сетке, а условие непрерывности производной дает соотношение между рп+1
и рп:
. 0 /п + 1 ~~ /п /-, ч ^п+1 = —Рп + 2---. (1)
Это означает, что все рп можно выразить через значение производной ро в начальной точке:
п
Рп = (-1 г (р0 +1 ~ h-j) ■
В результате мы получаем сплайн Б(х) = который зависит от значений / = (/0, Д,... , /дг)
и от производной в начальной точке. Обычно ро вычисляют в виде разностной производной:
/1 /о
Ро
h
Рис. 1. Сплайн-интерполяция для функции f(x): шаг интерполяции
h = 0,3 (а); 0,6 (tf)
Пример 1. Проведенные исследования сплайн-интерполяционной функции, когда производная в начальной точке задается как разностная производная, показали, что чем меньше шаг сетки, тем лучше ро — разностная производная — приближает точную производную в начальной точке (в силу того что -> /7(ж)), и тогда сплайн хорошо приближает интерполируемую функцию. Однако
если шаг интерполяции большой, то производная ро в начальной точке сильно отличается от точной производной и сплайн плохо описывает интерполируемую функцию. С другой стороны, даже если в сплайн подставить значение точной производной вместо разностной ро, т0 последующие вычисления рп будут накапливать ошибки. На рис. 1 приведен пример сплайн-интерполяции для функции
/ (я)
— 1+(31_ж)2 при разных разбиениях отрезка [а, Ь]. Как можно заметить, на рис. 1 ,а сплайн достаточно хорошо приближает функцию, если шаг интерполяции мелкий. На рис. 1,5 видно, что когда значение h достаточно большое, то сплайн отличается от интерполируемой функции и наращивается погрешность в конечных точках интерполяции.
Построим теперь такую сплайн-функцию, чтобы на отрезке [a, b] достигался минимум нормы ее производной в ¿2- Построение сплайна с минимальной производной состоит в том, что мы находим такое ро, для которого на [a, b] достигается min ||S"(a;)|| г , т. е.
Ро 2
Ъ N — 1 Хп+1
а/№>= / +,„ - +2(, - - ^ =
<2 Хп
я
Из того, что рп = (-1)п(ро + I X) С—1)/с(«А: - Л-1)^, следует, что = (-1)™, тогда подставляем выражение рп в полученную сумму (2) и решаем уравнение относительно
х; (-1)п ((-1)п (ро+1 ¿(-1)к(л - л-о) ь ~ (/п+1 - /„Л =
п=0 ^ ^ /с = 1 ' '
N-1
= р0НМ + £ ( (-1)га+1(/п+1 - /п) + 2 £(-1)*(Л - /к-1) ) = 0.
п=0 ^ /с=1 '
Окончательно получаем выражение для ро:
ЛГ-1. П X
РО = Ш £ ( " /») + 2 Е("1)к"1(Л " Л-1) • (3)
п=0 ^ /с = 1 '
Надо заметить, что ро линейно зависит от — значений функций /(ж) на сетке {а^}, я = 0,1,... ... , Л/". Если раскрыть сумму (3), то выражение для ро приобретает следующий вид:
= ((2ЛГ - 1)/0 - 4(ЛГ - 1)Л + 4(ЛГ - 2)/2 - 4(ЛГ - 3)/3 + ... + 4(-1)ЛГ"1/^-1 + (-1)"/*) ,
Из этих рассуждений вытекает, что данный интерполяционный параболический сплайн существует и определяется единственным образом.
Надо заметить, что тш ||5"(ж)||? достигается одновременно с
Ро 2
тш\\8'(х)-1'(х)\\12, ттЩх) - Цх)\\12 и шш ||5"(®)||ь2 ,
Ро 2 Ро 2 Ро 2
где Ь(х) — ломаная, соединяющая все /¿:
/г(^ + 1 /» + 1(Ж- Ж») Г 1 ■ п 1 АТ 1
^ = -^- + -^-? Ж ^ г = 0,1,..., ТУ - 1.
Это утверждение легко выводится с помощью простых вычислений.
Рис. 2. Приближение сплайном с минимальной нормой производной: шаг интерполяции к = 0,3 (а); 0,6 (б)
Пример 2. На рис. 2, а, б приведен пример приближения сплайном с минимальной нормой производной функции /(х) = при таких же значениях шага интерполяции /г, как в примере 1.
Поскольку производные в узлах интерполяции рп рекуррентно зависят друг от друга, то условие достижения минимума ппп Н^'Ц^ можно задавать в начальной точке ро? в конечной точке р^ и также в какой-нибудьр& ф ро, а все остальныерп находить из рекуррентной формулы рп+1 = -рп-\-2 +1н .
На рис. 2, а построенный интерполяционный сплайн фактически совпадает с интерполируемой функцией, когда значение шага интерполяции h небольшое.
Рисунок 2, б показывает, что даже при достаточно большом значении шага h сплайн с минимальной нормой производной хорошо приближает функцию. Сравнение с примером 1 показывает, что сплайн с минимальной нормой производной приближает функцию лучше, чем сплайн с разностной производной, особенно эта разница проявляется при больших значениях h. Надо заметить, что условие достижения min ||5'(o;)||¿ на отрезке [а, Ь] в р0 задает такую производную в начальной точке, которая не позволяет сплайну сильно колебаться.
Определение ро при условии, что достигается min , не обязательно проводить по всем
точкам, т.е. на всем отрезке [а,Ь]. Можно ограничиться М точками и взять производную на отрезке [а, хм], М < N.
Замечание. Если минимум взять на первом отрезке, т.е. min ||S"||¿2[Xo то ро получается в
виде разностной производной.
В таблице показано, как определяются значения р0 при разных М на равномерной сетке 0 = xq < < х\ < ... < жю = 1 на примере функции sin ж в точке х = 0:
Ро(М) = ро(/о, /i,..., fM) =
= --L ((2М - 1)/о - 2(М - l)/i + 4(М - 2)/з + ... + 4(—1)м_1/д/_1 + (-1)м/м) .
(smx)'\x=0 PO (2) Ро(3) Po (4) Po (5) Po (6) Po (7) Po (8) Po (9) Po (10)
1 0,9979 1,0041 0,9980 1,004 0,9981 1,0039 0,9982 1,0037 0,9984
При интерполяции, когда значения /п известны с высокой точностью, выгодно вычислять р0 по всем точкам, в то время как для аппроксимации можно ограничиться 4-6 точками для нахождения ро.
2. Вопрос о порядках приближения. На рис. 1, 2 было продемонстрировано, как сплайн приближает интерполируемую функцию. Ниже будут приведены некоторые оценки приближения функции сплайном с минимальной производной.
Теорема 1. Если /(ж) € С[а, Ь], то |<5(ж) — /(ж)| ^ К) для х € [ж*, #¿+1], г = 0,1,..., N — 1.
Доказательство. Рассмотрим \Б(х) — /(х)\ ^ \Б(х) — Ь(х) \ + \Ь(х) — /(ж)|. В [5] было показано, ЧТО 11{х) - /(ж)| < ы{},Ь) и |Бг{х) - ц{х)\ < |Рг - /(®<+1, ГД6 ¡(Хг+1,Хг) = — разделенная разность первого порядка. Если в формуле (1) прибавить и вычесть и /(Жг_|_1, Хг), то получается
Pi - f(Xi+l,Xi) =
Р о
/(жьж0) + 1 (f(Xk+Ъ,Хк) - f{xk,Xk-i))
к= 1
Подставляя в (2) такое выражение p¿, получаем
JV-l г
Po ~ f(Xi,Xo) = — и{хк+ъ,хк) - f{xk,Xk-i))
N - 1
i=0 к=1
JV-l i
\P0 - f(x 1,ж0)| <
N 1L-
г=0 k=1
h
h
следовательно,
N — 1 2 г N — 1
\Рг ~ f(xi+i,Xi)\ < —- ш(/, h) + —ш(/, h) < 3 w(f,h),
что позволяет окончательно получить: \S(x) — f(x)\ ^ ;(/, h) ^ Nu){f,K).
Теорема 2. ЕслиЦх) G С^Ь], mo |5'(ж) - /'(ж)| sC 3Nu(f',h) и \S(x) - f(x)\ sC 3(b-a)u(f',h), X € [Жг, Жг_|_1], г = 0, 1, . . . , iV — 1.
Доказательство. Пусть
,(x-xi)(xi+i-x) (xi+i-x)(xi+i+x-2xi) (x-xi)2 bf>{%) = Д-1--Ь Ji-n--r Ji+i-
и
к К2 К2 '
тогда |5'(ж) - /'(ж)| < Б'(ж) - Б'г (ж) + Б'г(ж) - /'(ж) . Из [5] следует Б'г(ж) - /'(ж) < 2
Б'(х) — Б'^,(х) ^ |Рг — /г'|; если в формуле (1) прибавить и вычесть /г'+1 и /г', то, следуя соображениям доказательства теоремы 1, получается
Рг-Я = (-1Г
РО
fc=l
/о + ¿(-1)fc ( foifk - fa-1) - fk~ fit
-1
JV-1
Po
/о = ^Е (Щг11 ~ + E^1)*-1 (f (л - Л-i) - Д - /¿-i
Отсюда мы имеем
г=0
JV —1
fc=l
(4)
(5)
ь -/¿к^Е - + Е - /¿i + " /¿-il
г=0
fc=l
IРг - Л | < |po - /ol + 2гЦ/', /г) < Ц/', h)N + 2(JV - 1)Ц/', /г) < Ц/', /г)(ЗЖ - 2),
следовательно, |<5'(ж) — f'(x)\ ^ 3Nu(f',h). Пусть д(ж) = S(ж) — /(ж). Так как 5(жг) = /(ж*), то д(ж) = д(ж) — g(xi), i = 0,1,..., N, а значит, согласно теореме Лагранжа, существует такое £ € (ж*, ж), что
5(ж) - /(ж) - (S(xi) - f(Xi)) = (S'(0 - /'(С)) (х - Xi). Окончательно получаем
\S(x)-f(x)\^ sup \S'(x)-f'(x)\h^3Nhu(f',h)^3(b-a)u(f',h).
xE[a,b]
Теорема 3. Если /(ж) € С2[а,Ь], то \S"(x)-f"(x)\^
h
b — a
mc[a,b] + №+lMf",h),
\S'(x)-f'(x)\^
h2
b_a"->' (X)\\c[a,b]+4(b^ a)u(f ,h),
IS{X) ~ /(Ж)| ^ 8J&a) W^ciaM + ^f^W»,
Ж € [жг, Жг_|_1], г = 0, 1, . . . , iV — 1.
Доказательство. Используя в (5) разложение по формуле Тейлора, получаем
Pi ~ fi = ( _ 1) ^
Po^fo + h E(^!)fc (/"(6-l) - /"(%-!))
fc=l
где е (xi,Xi+1), 7, = 0,1,... ,ЛГ - 1, следовательно, - /-| < |т0 - /¿| + /г(АГ - 1)ц;(/",/г). Таким же образом, используя разложение по формуле Тейлора в (5), получаем
Ро
1 JV_1 / h 1 \ /о = ^ Е ^тщ + ^Е^1)"-1 (/"(^-0 -/"(a-i)) ь
—n N 1 /
¿=0 4 к=1 где Сг-.Щ-Лг £ (жг,Жг+1). Раскрывая сумму и собирая вместе соседние члены, получим при четном Ж
л
РО - Л = Е (/"(€»-0 - А£И-2)) +
г=1
JV/2
+ 2¿)[(/"(C2i-l) - /"(Сзг-з)) - (f"(V2i-1) - f" {mi-2))] + f(V2i-2) ~ /"(C2Í-2))
г=1
и значит, |ро - /01 <
Поступая аналогично при ÍV нечетном, имеем
|Ро - /01 < ^Цг^Ц/", + max |/"(®)|,
2 2iV же[а,ь]
следовательно, получаем при любом ÍV
|Рг - Л1 < ^W(f",h) + ^ ||/"||с[в,Ц
Ясно, что 5"(ж) = + откуда, используя разложение по формуле Тейлора, выводим
1
\S"(x)-f"(x)\ =
-2J + 2J + f"&)-f"W
<W + iMf",h) + j¡\\f"\\c[aM.
Из того, что S(xi) = f(xi) и S(sj-i-i) = f(xi-|_i), согласно теореме Ролля, существует £ € такое, что <5'(£) = /'(С)- Следовательно, для любого ж € [ж*, Xi+1] выполняется равенство S'(x)—f'(x) = = S'(x) — f'(x) — (S'(£) — /'(С))- Тогда по теореме Лагранжа существует т] € (ж,£), такое, что S'(ж) - /'(ж) = (S"(rj) - f"(rj))(x - О [4]. Отсюда получаем
\S'(x)-f'(x)\^ sup \S"(x)-f"(x)\h,
xE[a,b]
и значит,
|5'(х) - f(x)\ < 4(Ь — a)w(f", h) + А ||/"||с[в>ч .
Пусть = /(z) — S(z) — R(z — Xi)(z — Xi+i), где R выбрано из условия g(ж) = 0. Так как g(xi) = О и g(xi+i) = 0, то, согласно теореме Ролля, существуют такие ¿л € (жг,ж) и € (ж, a^+i), для которых 5'(Ci) = 0; ^'(Сг) = 0 [4]. Учитывая, что узлы сплайна и узлы интерполяции совпадают, функция g'(z) имеет на отрезке [£1,^2] непрерывную производную, а значит, согласно теореме Ролля, существует
такое вг € (СьСг), что g"{0i) = 0. Это означает, что R = ^ Поскольку R = ;
то
над - /ИНс[а,ч < SUP I5» - /"(*)I 1(Жг^Ж)(ГЖг+1)1 < И5» - /»Ном] т ^
< ^(3N+lMf",h) + ^ \\f"\\c[a,b] < у 4ЛГа,(/",Л) + ^ ||/"||СМ]
и окончательно будем иметь
над -/(®)11с[в,ц < + ^г ||/"(®)11см]>
что и требовалось доказать.
Теорема 4. /(ж) € С3[а,Ь], то выполняются следующие неравенства:
\S"(x) - f"(x)I < (Ь - а)§Ц/'", /г) + 5h ||/"'||c[l
a,b] ' Kh
\S'{x) - f(x)I < (b - a)—w(/"', h) + 5/г2 ||/"'||c[e>4
- /(ж)I < (b - a)yW(/'", /г) + /г3 || Л1с[«,Ч ,
когда ж € , 1 ]? г = 0,1,..., iV — 1.
11 ВМУ, вычислительная математика и кибернетика, № 4
Доказательство. Пусть Д» = /¿+1 - ./', и Д' Д, - Д*_1 = /¿+1 - 2/* + Применяя
разложение по формуле Тейлора, получаем, что
л; = уЛ' + у(Г( со-/'"(%-!)), (6)
где £ (Жг+1,Жг).
Заменяя в (3) /¿+1 — /г на получаем
1 -/V—1 , г
г=0 ^ /г=1
Преобразовывая сумму в этом выражении, получаем при четном N
ж'
Ро = ж(А о+
+Д1 — 2Д1 + 2Д0+ +Д2 + 2Д0 - 2Д1 + ...
... + - 2Ддт-1 + 2Д0 - 2Д1 + ... + Длг-2),
следовательно,
,N/2-1 N-1
Р0 = Ш1 ( Е -1 - 2г)д^+1) + ЕА*
^ г=0 г=0
Окончательно получаем при четном N следующую формулу:
N /2 — 1
\ — п /
г=0
Для нечетного N рассуждения аналогичные, и
{N — 1)12
\ — п /
(7)
(8)
г=0
Далее будем рассматривать случай, когда Ж четное, для нечетного Ж рассуждения проводятся аналогично.
В формуле (7) заменяем Д^ на полученное выражение (6) и получаем
, N/2-1 з N/2 — 1
= (/*-/<>-2 ^ (Ж - 1 - - т ^ (^-1-20(/"'(Си+1)-/"'Ы)))-
^ г=0 г=0 '
Заметим, что - I - 2/) Ь - а - (2/ + 1 )к = Ь — жгг+ъ следовательно,
N/2 — 1 1 3 N/2 — 1
Ро =
iv л \
х г=0 г=0
Интегрируя по частям функцию (Ь — ж)/"(ж) и используя разложение по формуле Тейлора, получаем
Хц+2
, N/2-1 з N/2 — 1
\ —п 4 — П /
J (Ъ- ж)/"(ж) = 21г(Ь- Жзг+ОЛ'г+Г
ь2 ь,3 ьЗ
Т(Ь - Ж2,+ 1)(/'"(6,+ 1) - /'"№*)) - Т(Г(6г+1) + /'"№*)) + у (/"'(Сзг-ц) + Г'(Ы),
где € (жг,жг_|_1), откуда мы имеем следующее:
№/2-1 N/2 — 1 Ж2*+2 N/2 — 1 2
х; 2Л(ь-хи+1)/^+1= е / (&-*)/»- Е Yib^X2i+l)iriы+l)^riв2i))+
А — П »— П — п
г=0 г=0 г=0
№/2-1 з №/2-1 з
Е Е 1г(Г(С2г+1) + ГЫ))
i=0
i=0
г Н12~1 Ь2
(Ь-х)Г(х)~ Е у(Ь-®и+1)(/"'(€и+1)-/'"(<'и)) +
»— п
г=0
№/2-1 з №/2-1 з
Е у(/"'(С2г+1) + /"'№г)) - Е 1т(Г(С2г+1) + Г'(Ы).
г=0
г=0
Окончательно получаем №/2-1
№/2-1 , о
П
i=0
i=0
№/2-1 з №/2-1 з
Е у(/"'(6г+1) + /"'№г)) - Е 1т(Г(С2г+1) + /'"(^))- (9)
г=0
Подставляя полученное выражение (9) в (8), получаем
№/2-1
г=0
№/2-1
РО =
2 з
Е у(Ь-®И+1)(/"'(€и+1) -/"'(<»«))- Е у(/'"(С2г+1) + Г№г)) +
^ i=Q г=О
№/2-1 з з №/2-1
V —П V —п /
Это приводит к следующему соотношению:
№/2-1 2 N ¡2 — 1 з
= Е у(Ь-®И+1)(/"'(€и+1) -/"'(<»«))- Е у(/'"(С2г+1) + Г№г)) +
V ,--п г=0
г=0
№/2-1
№/2-1
Е у(/'"(Сгг-ы) + /'"(^г)) - у Е (^-1-20(/"'(С»+1)-/"'(Ч«)));
г=0 г=0 '
откуда получаем оценку
^Ь 9
Ьо - /¿| < (Ь- а)^ш(ГЛ) + |/г2 ||Г'||СМ]
Применяя к формуле (4) разложение по формуле Тейлора, получаем
^ " Л = (-1)
ро - л+Е(-1)* (I/"'(^-1) - т*'"^-^ к=1
Собирая попарно соседние члены, имеем при четном г
2 г/2
Рг — /г' = ( — 1) при нечетном г
Рг-Я = ("1Г
К
2 Ф
Р О
/о + Т Е("1)Л (/'"(Ь-1) - /'"(Ь-2)) - Т Е("1)Л (/"'(^-1) - /"'(^-2))
/г=1
к=1
г/ , **
(г+1)/2
РО ^ /о + у Е Ы)к(Г(Ы,-1)^Г(Ы,-2))
к= 1
,2 «+1)/2 ,2 А2
/г=1
Это позволяет получить оценку
5/г 3
\Рг ~ ЛI < (Ъ - а)—ш(/'", К) + -Ь2 ||/'"||с[в)Ч •
Далее, следуя тем же рассуждениям, что и в теореме 3, получаем
5 13/г 5
- /"(®)1 < ~ ^ + 11/"'11с[л,ь] < ^ ~ °М/'"> Ь,) + 5/г ||/'"|1см]
№) - /'(*)! < аМГ,Л) + ^ И/'"11с[а,ь] < " ' +
— Kv-U)WKJ --— HJ Пс[а,Ь] ^ - и!шК.1 ,т u/t lu ЦС[а)Ь]
с/,2 i ol3 1,2
1ЭД - /(х)| < — (Ь- а)и,(/'",Л) + — \\Г\\с[аД < Т(Ь- а)а;(/"',Л) + /г3 ||/'"|1оМ] ■
Итак, приходим к заключению, что для сплайна с минимальной нормой производной — /\\с ^ О при Л. —> 0, если /(ж) € Ск[а, Ь], к ^ 1.
3. Использование сплайна в задачах аппроксимации. В этом случае значения // . / 0.1----
... . Л/. функции /(ж) на сетке известны с большой погрешностью. Поэтому нахождение более точных значений и производной р0 в начальной точке производится из следующего условия:
mm f,Po
j||/* - S(x,f,pQ)\\2Rm + а ||5"(ж,/,ро)||^|, (10)
где под |Н|Кт понимается евклидова норма в т-мерном пространстве значении на равномерной сетке {^г} из т = М + 1 точек, / € ро = Ро(1) и сплайн 5(жо, /,ро) определяется так же, как в п. 1.
Второе слагаемое — это стабилизатор в соответствии с теорией Тихонова [6] о решении неустойчивых задач. Параметр регуляризации а выбирается из условия ||/* — <5||^то = З2, где 5 — ошибка измерения функции /(ж). Вариационная задача (10) представляется в следующем виде:
М N-l ^j"1
mm
/
s 1V1 iV — 1 p x
- f*\\im + a||S"||^2} = miJ X \S(zn,f) ~ fnf + « X / (5'(®>/))2[
f ^n=0 i=0 '
где Л/ + I — число измеренных с погрешностью 8 значений f* функции /(ж) в точках zn, п = 0,1,... ... ,М,
G [Xj,Xj+ij.
Индекс j(n) обозначает такое j, что zn € [xj,xj+i\. Итак,
М N-l Xi+1
£
kn=0
м
= min<
/
II — u
2 N-l Xi+1
г IV! 1\ — 1 к >
f 1„_П г=0
( М /
I ( е* Рз{п) г _ \( _ \ •>3(п) + 1 ( _
11 / ^ I •>п и хз(п))\х](п)+1 гп) ,2 х](п))
^ \ 2 ^ — 1 ^ А х
—- *п)(хЛп)+1 + ^п - 2жЛп)) | / {3'{х,[))2 (1х\.
г=0 >
При применении условия минимума производные по Д приравниваются к нулю, что дает
А1 N— 1
°1к \=о i=о I '
Поскольку S(x) € С1 [а, Ь) и S(x, /) линейно зависит от всех /¿, i = 0,1,..., N, то можно дифференцировать (S'(x, /))2 под знаком интеграла. Отсюда получаем
£№»,/) -+ «Е [ S'{xj)d-^f±dx = о.
п=О к г=0 к
Подставляя в полученную формулу выражение сплайна и учитывая, что = ^ ^ и рп линейно зависит от всех /¿, т. е. рп = Pmfi-, а значит, = рпк, получаем окончательно
г=О
М /
Ef^T"^« ~ ЖЛ"))(ЖЛ")+1 - +
»1 —п V
/j(ra)+l / _ \2 | fj(n) , _ w _ ^ ч _ <>*\
^2 V-^w Xj(n)) т + 1 т ¿п ^xj(n)) Jn\
pj{n)k , _ W (Zn ^ Xj(n))2 dfj(n) + 1
^ {¿n ¿Jin) )\Xj(n)+l ^/ ¿)Д ^
, (®j(n)+l - zn)(Xj(n)+1 + ¿n - ^Xj(n)) dfj(n)
n=0
h2 dfk
N — 1 Xi+1
«Е 1 I + Ж,; - 2X) + 2(X Ж; ) * ' ~ „ " [ X
¿=0
jV — 1
Xi
* • - + Щр1^ - * = (11)
Таким образом, получается система из N + 1 линейных уравнений с N + 1 неизвестными. Для примера: при М = 2/У система (11) имеет следующий вид, если к = 0:
N ~ №-1
E^n — /2п)^д(/п — Î2n) + Е + ^/и + ^Р» — /гп+1^ ^/п+1 + ^/п + ^Рп — /гп+1^ +
'4 4 1 N JV_1 /j, ^ 1 JV_1 1 JV_1 \
з^/о - 3^/1 + 3 Ерад^' + E 3 E pnjPnofj + 3 E fap^ - 3 E /«+IÎ>«O) = 0.
4 j=0 n=0 j=0 n=0 n=0 '
Окончательно получаем
/25 4a /6/1 2a \ 2 A2 ah\\ ( 3 4a\
+ Ш + [ш + Y ) PQQ + {ï6 + T))+fl{ï6^3h) +
n=Q
N-1 rJV-1
Ev-л I h2 a/A f 3h a\ f h a\ f 3h a\
i=i U [E Pn3PnO + -у J + ^^ + 3 ) P0J + [~ 3 J Pi-Ю + + 3 J PjO
, / v-^' /"/12 a/гД f h a\ (3h a\ \ 3 h _
+ /JV I PnNPnQ I + у J + I YT - 3 J PJV-10 + ( ^ + 3 J POiV J = /0 + + J Pnofin+l-\n=0 ^ / \ / \ / / n=Q
Теперь при к = 1,..., iV — 1 имеем Jv , 4 Jv-i
/гп) ^д + + 4/n + ^Pw /гп+l^ gд (4/n+l + 4/n + ^Pn /
- ¿л-i - |д+1+^ E л- № +/г E +^ E p^fa - ^ E Pnfc/n+i):
Ч о — П ч n —n / n —n n—n /
Окончательно получаем
N — 1
к2 ка\ /3/г а"
I РпОРпк + ( — + - | РОк
16
N — 1
3 = 1
3 )
га=О
16 3
4а\
16
3/г /
Д-1
3/г а 16 + 3
26 8а 16 + 3/г
РкО 4 1'к
к а
к а 16 ~ 3
_3_ _ 4а
16 ~ т
/г а
Р/г-Ю
Д+1
/о+
/г2 ак
N-1
Если к = N. то
/г а \ / 3/г а\ / 3/г а\ / /г- а \ / /г- а/1 \ ■т—\
1б - з) рз~1к+Ы+ з) Рзк+{ш+ з; (1б - з; (1б+ т) ¿>0 РпзРпк_
N-1
£ РпМРпк
га=О
N — 1
= |/г/г+1 + + Ьк + ^ Е Рпк-?2п+1-
га=О
к а\ /3/г а
16" з;РЛГ-1/г + 1Тб + з,ЛЛГ
/г а 16 ~ 3
Рк-1И
к2 ак 16 + ~3~
N
9
(/га /гга) <ле (/га /гга) га=0 ^
+ Е + ^/га + ^Рга /гга+1^ ^^ ^/га+1 + ^/га + ^Рга /гга+1^ +
^ ^ № ^ ЛГ-1 N ^ ЛГ-1 ^ ЛГ-1
3/г 3/г В итоге имеем
¿=0 га=0 ¿=0 га=0 га=0
= 0.
3/г 16
а
■77 I Рол^
ЛГ-1
к а
16" з ,РЛГ"10
N — 1
— + — | Е РпОРпК
га=О
ЛЯ 16
/га ~3
/о+
¿=1
к_ 16
Рз-\м
к_ 16
3 4а".
16 " Ж 1
17 16
4а Зк
Рм-\з
к
3/г 16
а
Рзп
а
16" з ]рм~ш
/гЯ 16
а/г
/га
Л-1
Е РпзРпН
га=О
/гЯ 16 "
1
— 7/2ЛГ-1 + ./1'Л
ЛГ-1 га=О
/г ЛГ~1
^ Еу ^иЛГ/2га+1'
га=О
Итак, мы получили Ж+ 1 уравнение с 1 неизвестными (/0, /1,..., /дг), что позволяет найти все /п, п € [О, Ж], по которым теперь можно построить сплайн. Задачу (10) можно упростить, если взять р0 из определения по 3-5 точкам, как было показано выше, что дает достаточно хорошее приближение.
Пример 3. На рис. 3, а-г приведен пример аппроксимации функции /(ж) = 1_(-31_ж-)2, заданной на
отрезке [0, 6] с погрешностью ¿к ^ квадратичным сплайном с минимальной производной. В случае рис. 3, а, б неточные значения функции /(ж) известны в 33 точках, а приближенные значения находятся в 17 точках. Штрихом обозначена точная функция, а сплайн-функция обозначается сплошной линией; крестиком обозначены значения функции /(ж), измеренные с погрешностью; жирными точками обозначены приближенные значения /(ж), полученные после вычислений.
На рис. 3, а изображен аппроксимационный сплайн, для которого параметр регуляризации равен нулю. Проделанные исследования такого сплайна показали, что сплайн неплохо описывает точную функцию /(ж), хотя присутствуют помехи и в некоторых случаях необходимо проводить регуляризацию. На рис. 3, б параметр регуляризации равен 0,2; в данном случае сплайн хорошо приближает функцию и не имеет резких изменений в промежутках между узлами.
Рис. 3. Пример аппроксимации функции: а = 0 (а); а = 0,2 (б); а = О, с погрешностью 8 задано 81 значение функции /(ж), находится 41 значение (в); а = 0, с погрешностью 6 задано 81 значение функции /(ж), находится 16 значений (г)
На рис. 3, в изображена аппроксимация функции /(ж), когда значения заданы в 81 точке и находятся значения в 41 точке. Параметр регуляризации равен нулю. Большое количество точек влияет на сплайн и заставляет его колебаться, тем не менее приближение функции сплайном с минимальной производной достаточно хорошее.
На рис. 3, г значения с погрешностью задаются в 81 точке, параметр регуляризации равен нулю, значения функции находятся в 16 точках. В сравнении с предыдущим рисунком видно, что, несмотря на большое количество неточных значений, сплайн получается гладким за счет того, что он строится по небольшому числу найденных значений. Исследования показали, что если задается очень много значений с погрешностью, то число значений, по которым будет строиться сплайн, лучше взять меньше не в 2 раза, а в 4-5 раз, чем число заданных значений. В таком случае сплайн получается гладким, почти совпадает с точной функцией и не требует регуляризации.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Morozov V. A.,Grebennikov A. I. Methods for solution of ill-posed problem: algorithmic aspect. M.: Moscow Univ. Press, 2005.
2. Nürnberger G. Approximation by spline functions. Berlin: Springer, 1989.
3. Дмитриев В. И., Инг тем Ж. Использование сплайн-аппроксимации при решении интегрального уравнения первого рода // Прикладная математика и информатика. № 14. М.: Изд. отдел ф-та ВМиК, 2003. С. 5-10.
4. Стечкин С.В., Субботин Ю.Н. Сплайны в вычислительной математике. М.: Наука, 1976.
5. Mettke Н., Pfeifer Е., Neuman Е. Quadratic spline interpolation with coinciding interpolation and spline grids // J. of Comput. and Appl. Math. 8. N 1. 1982. P. 57-62.
6. Тихонов A.H., Арсенин В.Я. Методы решения некорректных задач. М.: Наука, 1979.
Поступила в редакцию 17.01.08
