CC BY
98
Математические
структуры и моделирование УДК 512.815.8
2015. №3(35). С. 4-20
спинорная структура и периодичность алгебр
клиффорда
В.В. Варламов
д.ф.-м.н., e-mail: varlamov@sibsiu.ru Сибирский государственный индустриальный университет
Аннотация. Исследуется периодичность Картана-Ботта спинорной структуры, ассоциированной с системой неприводимых конечномерных представлений группы Лоренца. Показывается, что периодичность по модулю 8 спинорной структуры генерирует периодические соотношения на системе представлений группы Лоренца, которые, в свою очередь, образуют фрактальную структуру с периодом, задаваемым циклом группы Брауэра-Уолла. Устанавливается, что периодическая симметрия спинорной структуры является прообразом суперсимметрии.
Ключевые слова: спинорная структура, группа Лоренца, периодичность Картана-Ботта, группа Брауэра-Уолла, суперсимметрия.
1. Введение
Фундаментальная двойственность природы, впервые обнаруженная в опыте Штерна-Герлаха, привела к введению спина в квантовой механике. В 1927г. Паули [1] дал строгий метод введения спина в квантовую механику посредством определения удвоенного гильбертова пространства Н2 ® Ите. Отсюда берет начало понятие спинорной структуры, как структуры подлежащей (более фундаментальной) по отношению ко всем явлениям физического мира. В теории физических структур Ю. И. Кулакова [2] аналогичную роль играет понятие бинарной структуры, которая определяется двумя множествами N и M, связанными парными отношениями. Спинорная структура понимается как фундаментальный уровень реальности, относительно которого классическое пространство-время, размерность, сигнатура, метрика, взаимодействия, частицы и поля являются производными конструкциями. Эта точка зрения, восходящая к философии Лейбница, впервые получила строгую математическую формулировку в твисторной программе Пенроуза [3,4]. Согласно Пенро-узу [3] пространственно-временной континуум является вторичным понятием относительно твисторной структуры*. Аналогичную концепцию развивает 1
1Твистор Za представляется парой 2-компонентных величин: спинором u>s и ковариантным спинором ns из сопряжённого пространства, т.е. Za = @s, ns) (или Za = (£м, ). Твисторы
можно рассматривать как «редуцированные спиноры» для псевдоунитарной группы SOo(2,4), действующей в шестимерном пространстве. В этой статье мы выбираем Spin+ (1, 3) ~ SL(2, C)
Математические структуры и моделирование. 2015. №3(35)
5
Ю. С. Владимиров в своей реляционной теории пространства-времени и взаимодействий [5], в которой ключевую роль играет теория физических структур Кулакова.
Другими словами, в реляционной концепции пространство-время утрачивает статус фундаментальной субстанции, превращаясь в абсолютно производную конструкцию (систему отношений), генерируемую подлежащей спинорной (бинарной) структурой. В данном контексте пространственно-временные дискретные симметрии P (инверсия пространства), T (обращение времени) следует рассматривать как проекции фундаментальных автоморфизмов спинорной структуры. Такое рассмотрение было проведено в работах [6-11]. Более того, наряду с симметриями P и T данный подход позволяет рассматривать на равных основаниях другую важную дискретную симметрию C (зарядовое сопряжение), не являющуюся, как известно, пространственно-временной симметрией. Представляет интерес дальнейшее исследование симметрий спинорной структуры, задающих прообразы пространственно-временных (или внутренних) симметрий теоретической физики.
В данной статье, следуя логике реляционной концепции, исследуется симметрия спинорной структуры, являющаяся прообразом так называемой суперсимметрии, т.е. симметрии, связывающей между собой Бозоны и фермионы. Эта симметрия непосредственно связана с периодичностью спинорной структуры (периодичность Картана-Ботта алгебр Клиффорда). Показывается, что группа Брауэра-Уолла BWR, связывающая между собой различные типы алгебр Клиффорда, индуцирует на системе спинтензорных представлений группы Лоренца действие, аналогичное действию суперсимметрии, т.е. действие, связывающее между собой бозонные и фермионные представления этой группы. При этом бозонные и фермионные представления понимаются как векторы абстрактного гильбертова пространства HS® HQ® Нте (это пространство является естественным обобщением пространства Паули Н2®Нте). Показывается, что периодичность по модулю 8 подлежащей спинорной структуры генерирует периодические (по модулю 2) соотношения на системе представлений (вещественных и кватернионных) группы Лоренца. Более того, действие группы Брауэра-Уолла BWR порождает на системе представлений группы Лоренца фракталоподобную структуру с периодом, задаваемым циклом группы BWR.
2. Периодичность алгебр Клиффорда
Как известно, для алгебры Клиффорда Cp,q над полем F = R имеются изоморфизмы Cp,q ~ EndK(Ip,q) ~ Mat2m(K), где m = (p + q)/2, Ip,q = Cp,qf — минимальный левый идеал алгебры Cp,q, K = fCp,qf — кольцо деления алгебры Cp,q. Примитивный идемпотент алгебры Cp,q имеет вид
в качестве генерирующего ядра спинорной структуры. Однако группа Spin+(2,4) ~ SU(2, 2) (универсальное накрытие конформной группы SOo(2,4)) также может быть выбрана в качестве такого ядра (в силу подобия комплексных оболочек групповых алгебр sl(2, C) и su(2,2)).
f
1
2
(1 ± е«х )2(1 ± е«2) ■ ■ ■ 2(1 ± e«k)’
1
2
6
В.В. Варламов, Спинорная структура и периодичность ...
где еа1,еа2,...,еак — коммутирующие элементы с квадратом 1 канонического базиса алгебры Cp,q, генерирующие конечную группу порядка 2k, т.е. (еа1, е„2,..., e„k) ~ (Z2)^k, где (Z2)®k = Z2 ® Z2 ® ■ ■ ■ ® Z2 (к раз) — абелева группа. Значения числа к определяются формулой k = q — rq-p, где гг — числа Радона-Гурвица, значения которых образуют цикл с периодом 8: гг+8 = гг + 4. Ниже приведены значения всех чисел Радона-Гурвица гг:
г 0 1 2 3 4 5 6 7 гг 01223333.
В терминах конечных групп мы имеем здесь идемпотентную группу Tp,q(f) ~ (Z2)®(k+1) порядка 2k+1 = 21+q-rq-p.
Алгебры Клиффорда Cp,q над полем F = R подразделяются на восемь различных типов со следующей структурой колец делений.
I. Центральные простые алгебры.
1. Два типа p — q = 0,2 (mod 8) с вещественным кольцом деления K ~ R.
2. Два типа p — q = 3,7 (mod 8) с комплексным кольцом деления K ~ C.
3. Два типа p — q = 4,6 (mod 8) с кватернионным кольцом деления K ~ H.
II. Полупростые алгебры.
4. Тип p—q = 1 (mod 8) с двойным вещественным кольцом деления K ~ RфR.
5. Тип p — q = 5 (mod 8) с двойным кватернионным кольцом деления
K ~ H ф H.
2.1. Периодичность по модулю 8
Спинорная шахматная доска [12] (см. рис. 1) является множеством, состоящим из 64 вещественных алгебр
№,q, 1 0 < p,q < 7},
где C?o,o ~ R.
Далее, алгебра С естественным образом Z2-градуирована. Пусть С+ (соответственно СЕ-) множество, состоящее из всех чётных (соответственно нечётных) элементов алгебры СЕ. Очевидно, что C = C+ ф C-, а также C+C+ С С+, СЕ+СЕ- С СЕ-, СЕ-СЕ+ С С-, С-СЕ- С С+. Степень deg а
чётного (соотв. нечётного) элемента а е С равна 0 (соотв. 1). Пусть A и B — две Z2-гpадyиpoванные алгебры над полем F, тогда умножение однородных элементов а' е A и b е B в градуированном тензорном произведении A®B определяется следующим образом: (а ® Ь)(а' ® b') = (—1)degbdegааа' ® bb'.
Математические структуры и моделирование. 2015. №3(35)
7
О 8,8
U&0J ЛЬ / bA S 4 °?2,7 ь ? °?3,7 S | ь ^ °?5,7 S 4 °?6,7 Ь ? 07,7 А,6 Ь
J * CO o' —c Op6 ь ? 02,6 s i «з,6 ь ? «4,6 S | «5,6 ь ? 0,6 S 4
О?0,5 О r О?1,5 S 4 02,5 ь ? Оз,5 S | О 4,5 ь ^ «5,5 S 4 0,5 Ь ? 07,5 А,4 ь
«0,4 A i «1,4 ь ? 02,4 S л «3,4 ь ^ О4,4 S 4 «5,4 ь ? о,А S 4
о r by? [О?2,3 «з,з| «4,3 Ьу? Аз О 7,3
S i ь ^ S 4 ь ? S 4 ь ? О 7,2 ь
Oo,2 A i &A Ь ? «2,2 S I Оз, 2 ь ^ О-4,2 S 4 &А «6,2 S 4
W ЛЬ / W S л ОдГ Ь ^ ОА S «4,1 ь W S «м Ь ? «7,1 «7,0
~«o,cT«i,o' '«2,0^«3,о' «4,о"«5,о' О 6,0
Рис. 1. Спинорная шахматная доска. Чётно- и нечётномерные алгебры Клиффорда Cp,q, 0 < p,q < 7 занимают, соответственно, чёрные и белые круги (клетки доски). Каждая вещественная алгебра Клиффорда может быть получена из алгебры на доске посредством движения вправо и вверх.
Теорема 1 (Шевалле [13]). Пусть V и V' — векторные пространства над полем F и пусть Q и Q' — квадратичные формы для V и V'. Тогда алгебра Клиффорда ОКу Ф V', Q ф Q') естественным образом изоморфна градуированному тензорному произведению 0(V,Q)<g>0(V',Q').
Далее, пусть Gt(V,Q) — алгебра Клиффорда над полем F = R, где V — векторное пространство, снабжённое квадратичной формой Q = = xf + ... + x^ — ... — x2p+q. Если p + q чётно и ш2 = 1, то 0(V, Q) называется положительной и, соответственно, отрицательной, если ш2 = —1, т.е. Op,q > 0, если p — q = 0, 4 (mod 8) и Op,q < 0, если p — q = 2,6 (mod 8).
Теорема 2 (Каруби [14]). 1) Если 0(V,Q) > 0 и dimV чётна, то
0{V Ф V',Q Ф Q') ~ a(V, Q) Ф a(V', Q').
2) Если 0(V,Q) < 0 и размерность dim V чётна, то
0(V Ф V',Q Ф Q') ~ 0(V, Q) Ф 0(V', —Q').
8
В.В. Варламов, Спинорная структура и периодичность ...
Вещественная алгебра Клиффорда Op,q является центрально-простой, если p—q = 1,5 (mod 8). Градуированное тензорное произведение двух градуированных центрально-простых алгебр также является градуированным центральнопростым [15, теорема 2]. Как известно, для алгебр Клиффорда нечётной размерности имеют место следующие изоморфизмы: O+q+1 — Op,q и O++1,q — Oq,p [16]. Таким образом, O+q+1 и O++1,q являются центрально-простыми алгебрами. Далее, в согласии с теоремой Шевалле для градуированного тензорного произведения имеет место изоморфизм Op,q®Op/,q/ — Op+p/,q+q/. Алгебры Op,q и dp/,q> являются алгебрами одного класса, если p + q1 = p + q (mod 8). Градуированные центрально-простые алгебры Клиффорда над полем F = R образуют восемь подобных классов, которые, как легко видеть, совпадают с восемью типами алгебр Op,q над R в зависимости от структуры колец делений. Множество этих восьми типов (классов) образует группу Брауэра-Уолла BWR [15,17]. Очевидно, что действие группы BWR имеет циклическую структуру, которая формально эквивалентна действию циклической группы Z8. Циклическая структура группы BWR может быть представлена на диаграмме Будинича-Траутмана
(«спинорные часы») [12] (рис. 2) посредством перехода O+q —A Op,q (обход на диаграмме реализуется по часовой стрелке). При этом тип алгебры определяется на диаграмме равенством q — p = h + 8r, где h e {1,..., 8}, r e Z. Очевидно, что групповая структура над Op,q, определяемая группой BWR, непосредственно связана с периодичностью Картана-Ботта [18].
p — q = 1 (mod 8)
R 0 R
p — q = 0 (mod 8) R
p — q = 2 (mod 8)
6
•c
C p — q = 7 (mod 8)
2
C
p — q = 3 (mod 8) C
5
3
H p — q = 6 (mod 8)
p — q = 4 (mod 8)
H _
^He h
p — q = 5 (mod 8)
Рис. 2. Спинорные часы. Диаграмма Будинича-Траутмана для группы Брауэра-Уолла BWR — Z8.
С другой стороны, градуированные центрально-простые алгебры Клиффорда над полем F = R образуют градуированную группу Брауэра G(Op,q,7,0) [15,19], циклическая структура которой описывается группой Брауэра-Уолла BWr — Z8 [17]. Следовательно, циклическая структура группы G(dpq, Y, о)
~ BWR задаётся переходом O+q —A Op,q, где тип алгебры Op,q определяется
Математические структуры и моделирование. 2015. №3(35)
9
формулой q — p = h + 8r, здесь h e {1,..., 8}, r e Z [12]. Рассмотрим подробно несколько циклов действия группы BWR — Z8. В силу изоморфизма СК+ — СК0,0
переход СК+ —Ч «0д приводит к переходу СК0,0 —Ч СК0,i, т.е. R —Ч C. При
этом h =1 и r = 0 (начальная точка первого цикла). Далее, в силу изоморфизма О?(+2 — СК0д переход «+2 —ч СК0,2 индуцирует переход СК0д —Ч СК0,2 (C —Ч H), при этом h = 2 и r = 0. Следующий шаг «+3 —ч СК0,3 (H —ч H®H) в силу О+3 — СК0,2 приводит к переходу СК0,2 —Ч О0,3. При этом переходе имеем h = 3 и r = 0. В силу изоморфизма «+4 — СК0,3 переход О+4 —Ч СК0,4 (H®H —Ч H) индуцирует СК0,3 —Ч СК0,4, при этом h = 4 и r = 0. Далее, в силу О+5 — СК0,4 переход О+5 —Ч СК0,5 (H —Ч C) индуцирует СК0,4 —Ч СК0,5. При этом переходе имеем h = 5 и r = 0. Следующий шаг —Ч СК0,6 (C —Ч R) в силу — СК0,5 индуцирует СК0,5 —Ч СК0,6, здесь имеем h = 6 и r = 0.
В свою очередь, переход О+7 —ч СК0,7 (R —ч R ф R) в силу «0+7 — СК0,6
7
индуцирует СК0,6 —Ч СК0,7. На этом шаге имеем h = 7 и r = 0. Наконец, переход О+8 —Ч СК0,8 (R ф R —Ч R) завершает первый цикл (h = 8, r = 0) и в
силу изоморфизма О+8 — СК0,7 индуцирует следующий переход СК0,7 —Ч СК0,8. Полный обход первого цикла показан на рис. 3. Первый цикл генерирует первые восемь клеток (C?0,q, q = 0,..., 7) спинорной шахматной доски (см. рис. 1). Следующие восемь клеток (C'1,q, q = 0,..., 7) также генерируются первым циклом (согласно правилу C'1,q — С'1,0 ® CK0,q, q = 0,..., 7) и т.д. (CK2,q — СК2,0 ® CK0,q, CK3,q — СК3,0 ® CK0,q, ..., CKg,q — СК6,0 ® CK0,q, q = 0,..., 7). Подобным образом
заполняются все остальные клетки спинорной шахматной доски, показанной на рис. 1.
R
R ф R,
«Of 6
C С'0,5
H
«•Ко
Рис. 3. Первый цикл группы BWr — Z8.
Второй цикл (h =1, r = 1) стартует с перехода СК+,9 —ч СК0,9 (СК0,8 —ч СК0,9) и так далее:
1) СК+9 —Ч СКо,9 (СКо,8 —Ч СКо,9), h =1, r =1, R —Ч C;
10
В.В. Варламов, Спинорная структура и периодичность ...
2) Я0+1(|
3) CP+11
4) СЕ+,2
5) CE+13
6) СЕ+Ы
7) CE+15
8) СЕ++
С^о;1о (СЕ0,9 -С^о,11 (С?о,1о СЕ0,12 (СЕо,11 СЕо,1з (СЕо,12
СЕо,14 (СЕо,13 СЕо,15 (СЕо,14 СЕо,16 (СЕо,15
СЕо,1о), h = 2, r = 1, C -
> СЕо>11), h = 3, r = 1, H
> СЕо.12), h = 4, r = 1, H i
> СЕо,1з), h = 5, r = 1, H
>■ СЕо,14), h = 6, r = 1, C
> СЕо,15), h = 7, r = 1, R
>■ СЕо,16), h = 8, r = 1, R (
H;
H
H (
4
C;
R;
R
H;
H;
R;
R.
Далее, восьмой цикл (r = 7) завершает построение первых восьми клеток новой спинорной шахматной доски (фрактальной самоподобной алгебраической структуры второго порядка):
1) СЕ+57
2) СЕ+58
3) СЕ+59
4) СЕ+бо
5) СЕ+6,
6) СЕ+62
7) СЕ+63
8) СЕ+64
СЕо,57 (СЕо,56 СЕо,58 (СЕо,57 СЕо,59 (СЕо,58 СЕо,6о (СЕо,59 СЕо,61 (СЕо,6о СЕо,62 (СЕо,61 СЕо,63 (СЕо,62 СЕо,64 (СЕо,63
h = 1 r = 7, R СЕо,58), h = 2, r = 7, C С^о^^ h = 3, r = 7 H СЕо,6о), h = 4, r = 7, H CV), h = 5, r = 7, H СЕо,62), h = 6, r = 7, C СЕо,63), h = 7, r = 7, R СЕо,64), h = 8, r = 7, R f
H
C; H; H (
4
C;
R;
R
H;
H;
R;
R.
Очевидно, что процесс, приведший к фрактальной алгебраической структуре второго порядка (см. рис. 4), может быть продолжен до бесконечности. Следовательно, мы приходим здесь к фрактальной структуре аналогичной ковру Сер-пинского [20]. Фрактальная размерность (размерность Безиковича-Хаусдорфа) этой структуры равна D = ln63/ ln8 « 1,9924.
3. Спинорная структура и группа Spin+(1,3)
Как известно [21,22], спинтензорные представления группы SL(2; C) ~ ~ Spin+(1,3) образуют основу всех конечномерных представлений группы Лоренца. Рассмотрим связь спинтензорных представлений с комплексными алгебрами Клиффорда. С каждой комплексной алгеброй Клиффорда Cn = = C ® CEp,q (n = p + q) ассоциировано спинпространство S2n/2, которое является комплексификацией минимального левого идеала вещественной подалгебры CEp,q: S2n/2 = C0lp,q = C0CEp,qfpq, где fpq — примитивный идемпотент подалгебры CEp,q. Далее, спинпространство, соответствующее бикватернионной алгебре C2, имеет вид §2 = C®/2)0 = CQCE^f^ или §2 = C®/1;1 = C®^^^^0/^ = = C®СЕо,2Д2). Следовательно, тензорное произведение k алгебр C2 индуцирует тензорное произведение k спинпространств §2:
§2 0 §2 0 ■ ■ ■ 0 §2 = S2fc.
Векторы спинпространства S2k (или элементы минимального левого идеала ал-
Математические структуры и моделирование. 2015. №3(35)
11
Рис. 4. Спинорная шахматная доска второго порядка. Чёрные и белые круги (клетки доски) представляют спинорные шахматные доски первого порядка (см. рис. 1). Эти шахматные доски отличаются друг от друга числом цикла (г = 0,..., 7) группы Брауэра-Уолла BWR ~ Z8.
гебры C2k) являются спинтензорами следующего вида:
saia2-ak = ^ s«i 0 s«2 0...0 s»k , (1)
где суммирование производится по всем наборам индексов (a .. .ak), а = 1,2.
*
Далее, пусть С2 — алгебра бикватернионов, коэффициенты которой ком*
плексно сопряжены коэффициентам алгебры C2. Тензорное произведение С2 ®
* * * *
® С2 ® ■ ■ ■ ® C2 ~ C2r r алгебр C2 индуцирует тензорное произведение r спинпространств S2:
S2 0 S2 0 ■ ■ ■ 0 S2 = S2Г.
Векторы спинпространства S2r имеют вид
sa ia 2^r = ^ sa 1 0 sa 2 0---0 sa r. (2)
12
В.В. Варламов, Спинорная структура и периодичность ...
В общем случае имеем тензорное произведение к алгебр С2 и r алгебр С2:
C2 ® C2 ® ■ ■ ■ ® C2 (S\) C2 ® C2 ® ■ ■ ■ ® C2 — C2k ® C2r
k раз r раз
которое индуцирует спинпространство
S2 ® §2 0 ■ ■ ■ 0 §2
3>2 0 §2 ® ' ' ' ® §2 — §2k+r
k раз
r раз
с векторами
S sala2...akfi1a2...<ir
^ Sai 0 Sa 0 ■ ■ ■ 0 Sak 0 sa 1 0 Sa2 0 ■ ■ ■ 0 8е5
(3)
(4)
(5)
Для каждого A Е SL(2, C) определим линейное преобразование спинтензора s посредством формулы
■*aia2...ak a 1а 2 ...a r
A«1^1 Aa 2в2 ... Aak вк Aa 1в1 Aa ■■■ A “г/вг s^1^2 ...вк /З1/З2.../ЗГ (6)
(в)(в)
r
где символы (в) и ^/3J означают въ в2, ..., вк и /?i, /32, ..., /Зг. Спинтензорные
представления группы SL(2,C), определяемые формулой (6), действуют в спинпространстве §2k+r размерности 2k+r. Как правило, каждое из этих представлений редуцируется на симметричную и антисимметричную части. Выделим подпространства Sym(k,r) с §2k+r симметрических спинтензоров. Представления группы SL(2, C) в пространствах Sym(kr) образуют полную систему неприводимых представлений этой группы. Итак, любая пара подстановок
a
1 2 ... k
ai a2 ... ak
в
12
a 1 a 2
r
a r
определяет преобразование (a,в), отображающее S в следующий полином:
р ^S _ sa(a 1)a(a2)...“(«к)в(« 1)в(«2)...в(ar)
Спинтензор S называется симметрическим спинтензором, если при любых a, в выполняется равенство
Pa в S _ S.
Пространство Sym(kr) симметрических спинтензоров имеет размерность
dim Sym(k,r) _ (k + 1)(r +1). (7)
Размерность пространства Sym(kr) называется степенью представления rH-группы SL(2, C). Легко видеть, что группа SL(2, C) имеет представления любой
Математические структуры и моделирование. 2015. №3(35)
13
степени. Это представление группы SL(2, C) обозначим как тk r = тц. Произведения (3) и (4) определяют комплексную спинорную структуру. Представления группы SL(2, C), генерируемые в рамках этой структуры, также являются комплексными. Каждое неприводимое конечномерное представление группы SL(2, C) эквивалентно одному из представлений тk/2,r/2.
Далее, любое неприводимое конечномерное представление тн- группы SL(2, C) ~ Spin+(1,3) соответствует частице спина s, где s = 1l — 11 (см. также [11]). Спин s принимает значения
— s, —s + 1, —s + 2, ..., s
или
— |l — l|, —|1 — 1| + 1, —|l — l| + 2, ..., |l — l|. (8)
Обычное определение спина следует при ограничении тн- ^ тг,0 (или тгг- ^ ^ т0/), т.е. при ограничении группы SL(2,C) на ее подгруппу SU(2). В этом случае последовательность значений (8) редуцируется к —l, —l + 1, —l + 2, ..., l (или —l , —l + 1, —l + 2, ..., l ). Все представления тн- могут быть сгруппированы в спиновые мультиплеты в гильбертовом пространстве Н^+1 ® Нте. H2s+1 ® Нте является подпространством более общего спин-зарядового гильбертова пространства Н2 ® HQ ® Нте [23]. Волновые уравнения для произвольных спиновых мультиплетов и их решения в виде рядов по гиперсферическим функциям даны в [24-28].
4. Периодичность по модулю 8 и представления группы
SPin+(1,3)
В этом параграфе дадим определение вещественной спинорной структуры. Очевидно, что вещественная спинорная структура является подструктурой комплексной спинорной структуры, определяемой произведениями (3) и (4). Легко видеть, что при редукции комплексных представлений тс группы SL(2, C) ~ Spin+(1, 3) на вещественные представления мы приходим к редукции Cn ^ Cp,q в тензорном произведении (3). Далее, как известно, над полем F = R при p + q = 0 (mod 2) существуют четыре типа вещественных подалгебр Cp,q: два типа p — q = 0, 2 (mod 8) с вещественным кольцом деления K ~ R и два типа p — q = 4,6 (mod 8) с кватернионным кольцом деления K ~ H. Следовательно, вещественная спинорная структура индуцирует следующие четыре класса вещественных представлений группы SL(2, C):
от Г о Cp,q, p — q = 0
2тГ о Cp,q, p — q = 2
4тq о CEp q, p — q = 4
6тq о CEp q, p — q = 6
(mod 8), K ~ R;
(mod 8), K ~ R; (mod 8), K ~ H; (mod 8), K ~ H.
(9)
14
В.В. Варламов, Спинорная структура и периодичность ...
Будем называть представления 4тq и 6т^ кватернионными представлениями группы SL(2, C). С другой стороны, над полем F = R при p + q = 1 (mod 2) существуют четыре типа вещественных подалгебр CEp,q: два типа p — q = 3, 7 (mod 8) с комплексным кольцом деления K — C, один тип p — q = 1 (mod 8) с двойным вещественным кольцом K — R ® R и один тип p — q = 5 (mod 8) с двойным кватернионным кольцом деления K — H ® H. Следовательно, имеем следующие четыре класса вещественных представлений группы Spin+(1, 3):
зтС о CEp,q, p — q = 3 (mod 8), K — C;
7тС о CEp,q, p — q = 7 (mod 8), K — C;
0,2TCl ф 0,2Тr о CEp,q, p — q = 1 (mod 8), K — R ® R;
4,6Tq ® 4,6T<qi о CEp,q, p — q = 5 (mod 8), K — H ® H. (10)
Здесь 0,2тCi ф 0,2т— itCi означает, что в силу изоморфизма CEp,q — CEp,q-1 ф ф CEp,q_1 (или CEp,q — CEq,p-1 ф CEq,p-1), где p — q = 1 (mod 8) и алгебры CEp,q-1 (или CEq,p-1) имеют тип p — q = 0 (mod 8) (или p — q = 2 (mod 8)), представление 1tc1- эквивалентно 0тсг- ф 0тг (или 2тг ф 2тсг-). Аналогично, имеем 4,6Тq ф 4,6Тq. — 5Тq для представлений группы Spin+(1,3) с двойным кватер-нионным кольцом K — H ф H. Следовательно, все вещественные представления группы Spin+(1, 3) разделяются на два множества: M+ (p — q = 0, 2,4,6 (mod 8)) и M_ (p — q = 1, 3,5, 7 (mod 8)), которые образуют полную систему M = M+ фM_ вещественных представлений группы Spin+(1, 3). Найдем связь числа l с размерностью вещественной алгебры Cp,q. Используя теорему Каруби, получим для алгебры CEp,q (p + q = 0 (mod 2)) следующую факторизацию:
Cp,q - C
Ч
Si,t
0 CE.
Si,t
0 CES
r раз
(11)
где sj,tj G {0,1, 2}. Алгебра (11) соответствует представлениям 0tq, 2Tq, 4тq., 6тq группы Spin+(1,3). Очевидно, что l = r/2 и n = 2r = p + q = 4l, следовательно, l = (p + q)/4. При p + q = 1 (mod 2) получим
Cp,q - CE.
Si.t'
0 CE.
Si,t
0 CEsi,tj ф CEsi,tJ- 0 CEsi,tJ- 0 ••• 0 CE.
r раз
r раз
i,tj
(12)
В свою очередь, алгебра (12) ассоциирована с двойными представлениями
0TCl ф 0ТГ/, 2ТГ/ ф 2ТГ. И 4тqi ф 4TJ, 6Тqi ф 6Тqi гРУппы Spin+ (1, 3).
4.1. Группа Брауэра-Уолла и вещественные представления группы
Spin+(1,3)
Теорема 3. Действие группы BWR — Z8 индуцирует периодические по модулю 2 соотношения на системе вещественных представлений группы Spin+(1,3) — SL(2, C).
Математические структуры и моделирование. 2015. №3(35)
15
Доказательство. Прежде всего, для алгебр типа Ot0,q (q = 1 (mod 2)) существует разложение Ot0>q ~ O?+q ® O?+q, где O?+q — четная подалгебра алгебры «0,q. В силу изоморфизма O+ ~ O?0,q-1 имеем O0,q ~ O0,q-1 ® O?0,q-1. Это
разложение может быть представлено следующей схемой:
«0,q-1® «0,q-1
Здесь центральные идемпотенты
А+
1 + 6162 ■ ■ ■ Eq
2
1
А
1 — 6162 ' ' ' 6q
2
удовлетворяют соотношениям (А+ )2 = А+, (А )2 = А , А+А = 0. Далее, имеется гомоморфное отображение
е :
«0,,
E«0,q- 1,
(13)
где
eO^0,q-1 ^ O&0,q/ Ker е
- фактор-алгебра, Ker е = {A1 — шА1} — ядро гомоморфизма е, A1 е O0,q-1
— произвольный элемент алгебры d?0,q-1, ш = 6162 ••• 6q е O0,q — максимальный базисный элемент алгебры Ot0>q. Следовательно, в силу гомоморфного отображения (13) мы можем заменить двойные представления группы Spin+(1,3) фактор-представлениями етr и етД где етr — вещественное факторпредставление, а erq — кватернионное фактор-представление. О подробной структуре фактор-представлений группы Spin+ (1,3) см. [6,7].
Следуя терминологии Вейля2, можно сказать, что тензорные произведения (11) и (12) являются субстратом вещественных представлений группы Spin+(1,3). В зависимости от числа r (чётное или нечётное) произведения (11) и (12) изоморфны вещественным алгебрам Клиффорда Op,q восьми различных типов, где r = (p+q)/2. В согласии с (9) и (10) имеем восемь различных типов вещественных представлений группы Spin+ (1,3). С другой стороны, группа Брауэра-Уолла BWr ~ Z8 действует на множестве алгебр Op,q посредством
перехода O+q —A Op,q, где h е {1,...,8}, r е Z. Следовательно, BWR ~ Z8 связывает различные типы вещественных алгебр Клиффорда. Отсюда непосредственно следует, что действие группы BWR на субстрате Op,q индуцирует циклические соотношения на множестве вещественных представлений группы Spin+(1,3) посредством следующих отображений:
«p,q —A EndK(S), u —A y(u), 7(u)s = us;
2Согласно Вейлю [29], симметрические и антисимметрические тензорные произведения являются субстратом всех представлений группы cn (cn — группа всех несингулярных линейных преобразований в n измерениях).
16
В.В. Варламов, Спинорная структура и периодичность ...
—0 EndK0i(S 0 S), u —0 y(u) Y(u)s = us,
где S = S2r (K) ~ Ip,q = Cp,qf — вещественное спинпространство, s = s«ia2...«r e S2r, r = , Ip,q — минимальный левый идеал алгебры Cp,q, f
— примитивный идемпотент алгебры Cp,q. Далее, после симметризации имеем S2r 0 Symr = Sym(0,r), где Symr — пространство симметрических спинтензоров sai«2...«r. Следовательно, действие группы BWR ~ Z8 связывает спинтензоры
sai«2...«r различного ранга.
На уровне спинорной структуры первый шаг O+i —0 C/д (C?0,0 —0 C/д)
группы Брауэра-Уолла BWR ~ Z8 генерирует переход т0,0 —10 ет0,0, где т0,0 — вещественное представление группы Spin+(1,3), ассоциированное с алгеброй Cf0,0 (p — q = 0 (mod 8), K ~ R), етr00 — вещественное фактор-представление группы Spin+(1,3), ассоциированное с фактор-алгеброй еО'0,0 ~ Q/д/Ker е, поскольку в силу изоморфизма Q0 ~ C?0,0 имеет место Q/д ~ C?0,0 0 iCf0,0.
Второй шаг Cf+2
а>0,2 («0,
C0,2) генерирует переход
0,0
т 0i,
0, 2
где т0i — кватернионное представление группы Spin+ (1, 3), ассоциированное
3
с алгеброй C0,2 (p — q = 6 (mod 8), K ~ H). Третий шаг C?0,2 —0 C?0,3 группы BWr ~ Z8 индуцирует переход т0 i -
ет q т 0 i, 0, 2
где eтq
0,2
кватернионное
фактор-представление, ассоциированное с фактор-алгеброй еd0,2 ~ C0,3/ Ker е. Следующий шаг C0,3 —0 C0,4 генерирует переход ет0 i —0 т0 1, где т0 1 — ква-тернионное представление, ассоциированное с алгеброй C0,4 (p—q = 4 (mod 8), K ~ H). Пятый шаг C?0,4 —0 Cf0,5 первого цикла группы BWR ~ Z8 приводит
к переходу т0 1
ет01, где ет01 — кватернионное фактор-представление,
ассоциированное с фактор-алгеброй eC'0,4 ~ C?0,5/Ker е. В свою очередь, шестой C0,5 —0 Cf0,6 и седьмой C0,6 —0 C0,7 шаги генерируют переходы ет0,1 —0 т0 з и т0 з —0 ет0 з, где т0 з — вещественное представление группы
’ 2
’ 2
Spin+(1,3), ассоциированное с алгеброй C0,6 (p — q = 2 (mod 8), K ~ R), ет0 3
— вещественное фактор-представление, ассоциированное с фактор-алгеброй
8
eC'0,6 ~ Cf0,7/ Ker е. Восьмой шаг C0,7 —0 C0,8 завершает первый цикл (г = 0) of BWR ~ Z8 и индуцирует переход ет0 з —0 т02, где тг02 — веществен-
ное представление, ассоциированное с алгеброй C0,8. Первый цикл генерирует первые восемь представлений (т00,
соответствующие первым восьми клеткам (C?0,q, q
r тq eтq тq eтq
0,0, т0,2, т0,2 , т0,1, т
0,1’
т r етг )
т 03 , т 0з ),
матной доски (см. рис. 1). Однако пары (т(
r
0,0,
0,0
0,..., 7) спинорной шах-\ (~q e_q \ /_q e_q \
), (т0 i, т0 i), (т0,1, т0,1),
(т
r e_r з, т з
) представляют частицы одинакового спина s, соответственно, s
0, 2, 1, 3. Частицы внутри пары существуют в состоянии квантовой суперпо-
зиции. Следовательно, пара (т
r
0,0,
0,0
) принадлежит линии спина 0, пара
(т 0
e_q
) принадлежит дуальной линии спина 1/2 и т.д. Следующие восемь
ет ri
_ r e_r _q т i i , т i i , т
представлений т\ 0:
2,0
же первым циклом посредством правила C'2,q ~ C'2,0 0 C?0,q, q = 0,..., 7, здесь
ет q
11, т 11,
2,1 2,1
тq з, етq з генерируются так-
1
2
i
0
Математические структуры и моделирование. 2015. №3(35)
17
CI?o,2 — тГ 0. Подобным образом (посредством действия первого цикла группы BWr ~ Z8) получаем первый блок представлений группы Spin+(1, 3) (см. рис. 5), ассоциированный со спинорной шахматной доской. Из рис. 5 следует,
Т
r
0,2
t r T 2 > 2
1 • 1
1 1 1 H ^toiw-0 to Tr 3 2 >2 • 1 1 1 1 1 1 1
T1>2 • t r T 3 3 2 > 2 • T 2 >1 • 1 1 1 1
T r — 2 2 > 2 • T 1 3 2 >2 • T — 3 1 >2 • t r T1 >1 • t r T 3 1 2 >1 • T 3 1 2 > 2 • T 2 1 2 >2 • 0 ^ <M~ • К
t r 0 3 0 > 2 • T 0>1 • T 2 >1 • T r T1 1 2 > 2 • T1 1 1 >2 • T1 > 0 • T q3 0 2 > 0 • 1 1 I 1 1 1 I
i 1 1 1 1 T 0 >2 • t r T 0 > 0 t r1 2> 0 • i 1 1 1 1 1 1 I 1 1
4*
Рис. 5. Первый блок представлений группы Spin+(1,3), ассоциированный со спинорной шахматной доской первого порядка (см. рис. 1). Этот блок генерируется первым циклом группы BWr ~ Z8.
что спиновые линии внутри блока разделяются на вещественные и кватерни-онные линии.
Второй цикл (г = 1) группы BWr ~ Z8 состоит из следующих восьми шагов:
1) h =1, г = 1, C0,8 —^ C0,9 — т02 —^ ет0 •
2) h = 2, г = 1, C$0,9 -
3) h = 3, г = 1, Co, 10
4) h = 4, г = 1, C0,ii
5) h = 5, г = 1, d?0,i2
6) h = 6, г = 1, C0,i3
7) h = 7, г = 1, d?0,i4
8) h = 8, г = 1, C0,i5
CE010 — етr
0,2
C0,ii - т0,5
C$0,i2
• т
0 2
C$0,i3 — т0,3 -C^0,i4 — £т0 3
0,2 ’
T 05 •
0, 2
eTq .
т 0 5'
0, 2
V T q • ^ т0,3’
eTq •
т 0,3’
C$0,i5 — тГ
• т 0 7 ’
0, 2
€т Г •
т 0 7 ’
2 0, 2
r
0,7 0,
C$0,i6 — ет0 7 » т04-
Далее, после восьмого цикла (г = 7), состоящего из последовательности шагов
1) h =1, г = 7, C$0,56 —> C$0,57 — т0 i4 —
2) h = 2, г = 7, С,
0,57
C$0,58
0,i4
0,i4>
.q •
0 29 ’ 0, 2
r
18
В.В. Варламов, Спинорная структура и периодичность ...
3) h = 3, г = 7, СО.о,58 —> СЛо,59
4) h = 4, г = 7, СОо,59 —^ СОо,бо
5) h = 5, r = 7, СОо,бо —> СОо,б1
6) h = 6, r = 7, СОо,61 --^ СОо,62
7) h = 7, r = 7, СОо,62 —^ Со,63
8) h = 8, r = 7, СОо,6з —> СОо,64
приходим к фрактальной структуре второго порядка, которая индуцирует на системе вещественных представлений группы Spin+ (1,3) периодическую по модулю 2 структуру. Таким образом, имеем блок представлений второго порядка, который, очевидно, может быть расширен до бесконечности (до Блоков любого порядка) посредством последовательных циклов группы BWR ~ Z8. Как Было показано выше, действие группы BWR ~ Z8 связывает спинтензоры sai"2...«r различного ранга, т.е., когда значения числа r различны (нечётно или чётно). Из соотношения l = r/2 имеем фермионное представление группы SL(2, C), когда r нечётно, а также бозонное представление, когда r чётно. Следовательно, действие группы BWR ~ Z8 связывает фермионные и бозонные представления группы SL(2, C) т.е. действие этой группы эквивалентно действию суперсимметрии. ■
1 о 29 ■
0, 2
wq
Т о 29 0, 2
Tq _ т о,15
ет q т о,15
e_q .
т о 29 •
0, 2
f то,15’
e_q •
т о,15’
о 31 ’
0, 2
о 31 0, 2
о 31’ 0, 2
о 31 0, 2
о,16
q
r
r
r
r
r
Литература
1. Pauli W. Zur Quantenmeehanik des magnetisehen Elektrons // Z. Phys. 1927. V. 43. P. 601-623.
2. Кулаков Ю.И. Теория физических структур. Новосибирск : Изд-во «Альфа Виста», 2004.
3. Penrose R. The twistor programme // Rep. Math. Phys. 1977. V. 12. P. 65-76.
4. Penrose R., MaeCallum M.A.H. Twistor theory: an approach to the quantization of fields and spaee-time // Physies Reports. 1972. V. 6. P. 241-316.
5. Владимиров Ю.С. Реляционная теория пространства-времени и взаимодействий. Ч. 2. Теория физических взаимодействий. М. : МГУ, 1998.
6. Варламов В.В. Дискретные симметрии на пространствах фактор-представлений группы Лоренца // Математические структуры и моделирование. 2001. Вып. 7.
C. 114-127.
7. Varlamov V.V. Universal Coverings of Orthogonal Groups // Adv. Appl. Clifford Algebras. 2004. V. 14. P. 81-168. arXiv:math-ph/0405040 (2004).
8. Varlamov V.V. Discrete Symmetries and Clifford Algebras // Int. J. Theor. Phys. 2001. V. 40. P. 769-805. arXiv:math-ph/0009026 (2000).
9. Varlamov V.V. The CPT Group in the de Sitter Spaee // Annales de la Fondation Louis de Broglie. 2004. V. 29. P. 969-987. arXiv:math-ph/0406060 (2004).
10. Varlamov V.V. CPT groups for spinor field in de Sitter spaee // Phys. Lett. B. 2005. V. 631. P. 187-191. arXiv:math-ph/0508050 (2005).
11. Varlamov V.V. CPT Groups of Higher Spin Fields // Int. J. Theor. Phys. 2012. V. 51. P. 1453-1481. arXiv: 1107.4156 [math-ph] (2011).
Математические структуры и моделирование. 2015. №3(35)
19
12. Budinieh Р., Trautman A. The Spinorial Chessboard. Springer, Berlin, 1988.
13. Chevalley C. The construction and study of certain important algebras. Publications of Mathematical Society of Japan № 1, Herald Printing, Tokyo, 1955.
14. Karoubi M. К-Theory. An Introduction. Springer-Verlag, Berlin, 1979.
15. Wall C.T.C. Graded Brauer Groups // J. Reine Angew. Math. 1964. V. 213. P. 187— 199.
16. Рашевский П.К. Теория спиноров // УМН. 1955. Т. 10. C. 3-110.
17. Lounesto Р. Scalar Produets of Spinors and an Extension of Brauer-Wall Groups // Found. Phys. 1981. V. 11. P. 721-740.
18. Atiyah M.F., Bott R., Shapiro A. Clifford modules // Topology 1964. V. 3. Suppl. 1. P. 3-38.
19. Varlamov V.V. Cyelie structures of Cliffordian supergroups and particle representations of Spin+(1,3) // Adv. Appl. Clifford Algebras. 2014. V. 24. P. 849874; arXiv: 1207.6162 [math-ph] (2012).
20. Мандельброт Б. Фрактальная геометрия природы. M. : Институт компьютерных исследований, 2002.
21. Гельфанд И.М., Минлос P.A., Шапиро З.Я. Представления группы вращений и группы Лоренца, их применения. M. : Физматлит, 1958.
22. Румер Ю.Б., Фет А.И. Теория групп и квантованные поля. M. : Наука, 1977.
23. Варламов В.В. Спинорная структура и SU(3)-cимметpия // Математические структуры и моделирование. 2015. № 1(33). C. 18-33.
24. Varlamov V.V. General Solutions of Relativistic Wave Equations // Int. J. Theor. Phys. 2003. V. 42. P. 583-633; arXiv:math-ph/0209036 (2002).
25. Varlamov V.V. Relativistic wavefunetions on the Poincare group // J. Phys. A: Math. Gen. 2004. V. 37. P. 5467-5476; arXiv:math-ph/0308038 (2003).
26. Варламов В.В. Точное решение для поля (1, 0) ® (0,1) в терминах функций на группе Пуанкаре // Математические структуры и моделирование. 2005. Вып. 15.
С. 74-91.
27. Varlamov V.V. Relativistic spherical functions on the Lorentz group // J. Phys. A: Math. Gen. 2006. V. 39. P. 805-822; arXiv:math-ph/0507056 (2005).
28. Varlamov V.V. General Solutions of Relativistic Wave Equations II: Arbitrary Spin Chains // Int. J. Theor. Phys. 2007. V. 46. P. 741-805; arXiv:math-ph/0503058 (2005).
29. Вейль Г. Теория групп и квантовая механика. M. : Наука, 1986.
20
В.В. Варламов, Спинорная структура и периодичность ...
spinor structure and periodicity of Clifford algebras
V.V. Varlamov
Dr.Se. (Phys.-Math,), e-mail: varlamov@sibsiu.ru Siberian State Industrial University
Abstract. Cartan-Bott periodicity of spinor structure, associated with the system of irreducible finite-dimensional representations of the Lorentz group, is studied. It is shown that modulo 8 periodicity of the real spinor structure generates periodic relations on the representation system of the Lorentz group, which, in turn, form a fractal structure with the period defined by the eyele of the Brauer-Wall group. It is proved that periodic symmetry of spinor structure is a pre-image of supersymmetry.
Keywords: spinor structure, Lorentz group, Cartan-Bott periodicity, Brauer-Wall group, supersymmetry.
