Специализированный вычислитель для извлечения корня квадратного из суммы квадратов Текст научной статьи по специальности «Электротехника, электронная техника, информационные технологии»

УДК681.325(088.8)

СПЕЦИАЛИЗИРОВАННЫЙ ВЫЧИСЛИТЕЛЬ ДЛЯ ИЗВЛЕЧЕНИЯ КОРНЯ КВАДРАТНОГО ИЗ СУММЫ КВАДРАТОВ

ЛАРЧЕНКО Л. В., ХАХАНОВА А.В._______________

В настоящее время в специализированных цифровых вычислителях операцию извлечения корня квадратного из суммы квадратов чисел, представленных числоимпульсным кодом, осуществляют последовательно во времени в два этапа: на первом - накапливают сумму квадратов чисел, на втором - из полученной суммы извлекают корень квадратный. Предлагается устройство, позволяющее совместить во времени выполнение названных операций, сократив при этом время вычисления и упростив его техническую реализацию.

1. Введение

В [1] был предложен метод формирования приращений ступенчатых функций

у = [f(x) + |8max |], (1)

ограниченных условиями: х, у > 0, у; > \ j } у < х, функция у = f(х) имеет обратную x = v|/(y). где 0, 5 £ | Smax | < 1 - заданное предельное значение абсолютной погрешности воспроизведения соответствующих непрерывных функций у* = f(х*) В (1) квадратные скобки обозначают целую часть числа.

Было показано, что процесс воспроизведения функции (1) с числоимпульсной формой представления аргумента может быть сведен к выборке определенной части импульсов из исходной последовательности х, номера которых вычисляют по формуле

ху =[v|/(y)-|8max|] + l, (2)

где у=1,2,3,.... Такой метод обеспечивает непрерывный процесс воспроизведения функции (1) в реальном времени в темпе поступления разрядов аргумента х.

Названным ограничениям удовлетворяет и функция y = [^SxM8lraax ||+|62maX II. (3)

| 1 " 2 v _

так как J ~ Lxi < xj - где \j - выборочное V n i=i i=l

значение аргумента; п-количество выборок; | 51тах |-предельное значение абсолютной погрешности делеД 2

ния величины 2,х, на п; 15 2 тах | - предельное значе-

Ы

ние абсолютной погрешности извлечения корня квадратного.

В частном случае при | 5lmax | = | 52тах | = 0,5 обеспечивается минимально возможная погрешность вос-

произведения функции (3), так как и результат деления, и результат извлечения корня округляется до ближайшего целого числа.

В специализированных цифровых вычислителях [2], [3] функцию (3) реализуют соответственно в анализаторах спектра частотно-модулированных сигналов для определения модуля комплексных спектральных составляющих, в цифровых амперметрах и вольтметрах - для определения действующих значений несинусоидальных периодических токов и напряжений.

В области низких и инфранизких частоттакие вычислители, как правило, работают с запасом по скорости. Поэтому в данном диапазоне частот в подавляющем большинстве случаев выборочные значения х; представляют числоимпульсным кодом, что существенно у прощает их техническую реализацию.

В каждом цикле работы таких устройств квадрат числа, полученного при i-й выборке, прибавляют к уже накопленной за i-1 предшествующих выборок сумме квадратов с последующим делением накопленной по всем выборкам суммы на коэффициет деления п и извлечением квадратного корня. Этот же алгоритм вычислений используют и в микропроцессорах [4].

Несмотря на названное преимущество представления выборочных значений х; числоимпульсным кодом, такие устройств а имеют два существенных недостатка, одним из которых является необходимость в боль-

V -2

шой памяти для хранения суммы z_, xi при большом

" i=l

числе выборок п и большой разрядности чисел х;, а другим - разнесение во времени операций возведения чисел в квадрат и их суммирования с одной стороны, деления и извлечения корня - с другой, что во многих случаях не обеспечиваетвыполнение предъявляемых требований к измерительным системам, в которых используются такие устройства [5].

Цель исследования — обеспечить время вычисления функции (3) за время ввода аргумента при более простой технической реализации вычислителя.

Задача исследования - на основе разработанного в [1] метода обработки единичных кодов добиться поставленной целина базе известных унифицированных у стройств посредством введения новых связей между ними.

2. Структурно - функциональная схема вычислителя с низкочастотным входным сигналом

Анализ функции (3) показывает, что возможен такой способ ее реализации в специализированном вычислителе, при котором устраняются названные выше недостатки.

На рис. 1 приведена структурно-функциональная схема устройства, которое реализует этот способ.

Рис. 1 Структурно-функциональная схема вычислителя с низкочастотным входным сигналом

В его состав входят:

- квадратор, содержащий суммирующий счетчик (АС), группу элементов И(&) и элемент задержки (DE);

- делитель чисел, содержащий накапливающий сумматор параллельного Tnna(PS) и элемент задержки;

-устройство для извлечения квадратного корня (УИК), содержащее суммирующий счетчик, счетчик результата (RC). группу логических элементов И и элемент задержки. Счетчик результататакже работает в режиме суммирования. В нем образуется результат вычисления функции (3).

В процессе функционирования вычислителя каждый его входной импульс, с одной стороны, посредством группы элементов И квадратора заносит число, хранящееся в его счетчике, в сумматор делителя со сдвигом на один разряд в сторону старших разрядов, а с другой - пройдя элемент задержки, поступает на счетный вход второго триггера счетчика со стороны младших разрядов. В результате каждым входным импульсом вычислителя в сумматор заносится удвоенное значение числа, хранящегося в счетчике, а в счетчик - число 2.

После поступления навход квадратора каждой пачки импульсов xj импульсом сброса триггеры счетчика устанавливаются в исходное состояние (на рис. эта связь не показана).

Выход сумматора делителя через элемент задержки соединен со счетными входами тех его триггеров, чтобы каждым выходным импульсом сумматора по

I

цепи обратной связи в него заносилось число 214 -2п, где к - число триггеров сумматора. Этим обеспечивается деление непрерывно накапливаемой суммы

2V х2 -

■'j . заносимой в сумматор со стороны счетчика

i=i '

квадратора, на коэффициент деления 2п, определяемый числом выборок в выражении (3). В результате такого деления на выходе сумматора формируется

1 п 2 .

пачка импульсов с числом [ — Xxi +0-5] импуль-

’ ni=i '

сов в ней.

В УИК посредством группы элементов И число, записанное в счетчике результата, заносится в суммирующий счетчик в обратном коде со сдвигом на один разряд в сторону старших разрядов. В результате в суммирующий счетчик заносится дополнительный код числа 2(N + 1), т.е. число 21 -2(N + 1), где i -число его триггеров. N - число, записанное в счетчике результата.

Рассмотрим принцип действия вычислителя.

В исходном состоянии в счетчике квадратора записано число 1, в накапливающем сумматоре делителя -число 2k - п, в суммирующем счетчике УИК - число 21 -1, а показания счетчика результата нулевые.

Первый импульс из пачки xj, посту пивший на вход квадратора, посредством группы элементов И заносит удвоенное число, хранящееся в его счетчике, в сумматор делителя. В результате в сумматоре образуется число 21 -п + 2. Этот же импульс, пройдя элемент задержки, записываете счетчик квадратора число 2. В результате в нем образуется число 3.

В дальнейшем с поступлением очередных импульсов пачки Х| описанные процессы в этой части схемы буд\ т циклически повторяться. За время поступления в квадратор х | импульсов со стороны счетчика квадратора в сумматор делителя будет введено число 2xf.

Действительно, для квадратов чисел нату рального ряда 1,4,9,16,25,... арифметические ряды разностей первого и второго порядков соответственно будут такими:

3. 5. 7. 9. 11. .

2. 2. 2. 2. . . .

Так как каждый входной импульс квадратора заносит в счетчик постоянное число 2, соответствующее постоянному7 члену7 арифметического ряда разностей второго порядка, в счетчике бу дут последовательно образовываться члены арифметического ряда разностей первого порядка, а в су мматор будут записываться ихудвоенные значения. Так как после посту'пления на вход вычислителя пачки импу льсов х | импульсом сброса триггеры счетчика устанавливаются в исходное состояние, описанные процессы в устройстве в этой части схемы будут циклически повторяться при поступлении на его вход каждой очередной пачки импульсов х;. Нетрудно видеть, что за время ввода в вычислитель и пачек импульсов со стороны счетчика квадратора в сумматор делителя будет введено число

2£xi . А так как коэффициент деления делителя

i=i

равен 2п, на его выходе за это же время появится ровно I — Xxi + 0, 5] импульсов переполнения. По-

11 i=i '

стоянная 0,5, которая фигурирует в этом выражении,

обусловлена тем. что в исходном состоянии в сумма-

-.к ’

торе записано число 2 - п .

При поступлении первого выходного импульса сумматора на вход УИК суммирующий счетчик переполняется, и его показания станут равными нулю. Импульс переполнения посредством группы элементов И заносит число, хранящееся в счетчике результата, в суммирующий счетчик и, пройдя через элемент задержки, поступает на вход счетчика результата. В результате в суммирующем счетчике будет записано число 2 - 2 , а в счетчике результата - число 1.

Второй импульс переполнения на выходе суммирующего счетчика появится при поступлении на его вход очередных двух импульсов с выхода сумматора,

после чего его показания станут равными 21 - 4 , а счетчика результата - равными двум. В дальнейшем с поступлением очередных импульсов на вход су ммирующего счетчика описанные процессы в УИК будут циклически повторяться. В результате из пачки импульсов, поступивших на вход суммирующего счетчика, на выходе вычислителя в канал у будут выбраны импульсы с номерами 1, 3, 7, 13, 21, . . ., что полностью совпадает с расчетами по формуле (2), которая в случае извлечения квадратного корня принимает вид

ху =[(у-0,5)2] + 1 = у2 -у+1, где у = 1. 2. 3, . . .

Нетрудно видеть, что дополнительные коды чисел 2,4, 6, 8, ... , заносимые в суммирующий счетчик со стороны счетчика результата УИК, являются дополнительными кодами членов арифметического ряда разностей первого порядка числовой последовательности 1, 3, 7, 13, 21....

В заключительнойчастиописаниярабо гы вычислителя целесообразно более подробно остановиться на анализе операции деления чисел в сумматоре, поскольку время ее выполнения предъявляеттребования кчастоте следования импульсов в пачках х, входного сигнала.

Исходным при таком анализе является число 2 х - -1, которое образуется в счетчике квадратора при поступлении на его вход х; -1 импульсов каждой пачки. С приходом же импульса с номером х j у двоенное

значение 2(2х; -1) этого числа посредством гру ппы элементов И заносится в сумматор, где суммируется с записанным в нем числом д < п. В результате на выходе сумматора должно появиться ровно

2(2х; -1) + А

I------------| импульсов переполнения, на что зат-

r2(2xi-l) + A,

рачивается время i = 1----------| т. где т - вре-

2п

мя, определяемое временем суммирования параллельных кодов в сумматоре и временем задержки в цепи его обратной связи.

Если 2(2х; — 1) + Д 2п — импульс переполнения на

выходе сумматора отсутствует. Если 2(2х; -1) + Д

1< [-

2 п

<2 -

на выходе сумматора по-

явится один импульс переполнения, если РИ, 2010. № 1

2(2х; -1) + Д

q I-------------| < q ! 1 - q импульсов, на что

затрачивается время qt. В этом случае сумматор работает в режиме генерации пачек импульсов. Очевидно, максимальное число переполнений сумматора будет иметь место при поступления на вход устройства пачки Xjmax с наибольшим количеством импу льсов, число которых задается при проектировании вычислителя.

Из сказанного следует, что период следования импульсов в пачках х j должен быть не меньше Tq и при больших q может быть значительным, что ограничивает верхнюю границу частотного диапазона измеряемых параметров (например, напряжений в цифровых вольтметрах действутощих значений с промежуточным время - импу льсным преобразованием).

3. Структурно - функциональная схема вычислителя с высокочастотным входным сигналом

Из формулы (3) следует, что расширить частотные возможности таких у стройств можно путем соответствующего выбора числа выборок п. Например, если

~ 9

число п есть точный квадрат, п = р" , реализуемое вычислителем выражение (3) принимает вид

У — [— [ -./ “Н ^ 2max ll+l^lmax I I. (4)

Р V 1=1

Из этой записи следует, что привычислении функции у операции деления и извлечения корня в вычислителе можно поменять местами, т.е. параллельные коды фрагментов накапливаемых квадратов чисел х; с выхода счетчика квадратора можно подавать непосредственно на вход УИК, заменив в нем суммирующий счетчик накапливающим сумматором параллельного типа и подключив к выходу вычислителя пере-счетнуто схему (С) с коэффициентом пересчета р .

Этот вывод приводит к стру ктуре вычислителя, изображенного на рис. 2.

В отличие от первого, в этом варианте вычислителя числа в УИК заносятся не числоимпульсным, а параллельным кодом из квадратора поразрядно без сдвига в сторону старших разрядов. При этом счетчик резу льта-

Рис. 2. Структурно-функциональная схема вычислителя с высокочастотным входным сигналом

та УИК уже не будет в ыполнять эту функцию. поскольку результат вычисления у формируется в виде числа импульсов на выходе пересчетной схемы, выполненной на суммирующем счетчике, охваченном обратной связью, по цепи которой каждый выходной импульс

о

вычислителя заносит в счетчик число 2' -2р, где X -число триггеров счетчика. Рассмотрим принцип действия вычислителя по второму варианту.

В исходном состоянии в счетчике квадратора записано число 1, показания суммирующего счетчика УИК нулевые, в сумматоре записано число 21 -1, а в счетчике пересчетной схемы - число 2/ч - р.

При поступлении на вход вычислителя X] импульсов первой пачки, со стороны счетчика квадратора в сумматор делителя будут последовательно вводиться числа 1,3,5,..., а по цепи обратной связи со стороны суммирующего счетчика УИК - числа 21 - 2, 21 - 4, 21 - 6,.... При этом каждому входному импульсу вычислителя будет соответствовать только один импульс переполнения сумматора. Покажем это.

С поступлением первого импульса пачки х ( на вход вычислителя в сумматоре число 21 -1 суммируется с числом 1. В результате на выходе его показания станут равными нулю. Импульс переполнения по цепи обратной связи вводит в сумматор число 21 - 2 и записывает в суммирующий счетчик УИК число 1.

С приходом второго импульса пачки х | на вход вычислителя в сумматоре суммируются числа 21 -2 и 3. В результате на его выходе появится второй импульс переполнения, а в нем останется записанным число 1 в прямом коде. Аналогично предыдущему, импульс переполнения посредством обратной связи записывает в сумматор число 21 - 4 и поступает на вход счетчика УИК. В результате показания сумматора станут равными 21 -3, а счетчика УИК - равными двум. Аналогично, с приходом третьего импульса показания сумматора станут равными 21 - 4, а счетчика УИК - равными трем.

При посту плении на вход вычислителя очередных импульсов пачки X] на вход устройства описанные процессы в вычислителе будут циклически повторяться. Так как после каждого очередного переполнения сумматора в нем остается записанным в прямом коде число меньше заносимого по цепи обратной связи со стороны счетчика УИК в дополнительном коде, второй импульс переполнения сумматора появиться не может. Это подтверждает ранее высказанное утверждение о том, что с поступлением первой пачки импульсов на вход вычислителя каждому входному импульсу соответствует только один импульс переполнения сумматора, что не противоречитравен-

ству д/х?~ = х j. А так как после ввода в устройство пачки Х| триггеры счетчика квадратора устанавлива-

ются в исходное состояние и в сумматоре остается записанным в дополнительном коде число, большее единицы, с поступлением каждой последующей пачки х; на вход вычислителя частота следования импульсов на выходе сумматора будет только уменьшаться.

Последнее подтверждает то, что в этом варианте вычислителя сумматор не может работать в режиме генерации пачек импульсов, что позволяет существенно поднять верхнюю границу частоты следования входных импульсов устройства и, следовательно, частотного диапазона работы приборов, в которых он используется.

4. Выводы

Предложен цифровой специализированный вычислитель среднеквадратических значений различных физических величин, выборочные значения которых представлены числоимпульсным кодом.

1. Научная новизна состоит в разработке такого алгоритма преобразования входного числоимпульсного кода в выходной числоимпульсный и параллельный код, при котором обеспечивается минимально возможное время вычисления заданной функции.

2. Практическая значимость предложенного технического решения состоит в улучшении временных, метрологических и эксплуатационных характеристик цифровых контрольно-измерительных средств различного назначения, в которой используется данный вычислитель.

Дальнейшие исследования будут направлены на разработку новых технических решений на основе предложенного в [1] метода функциональной обработки единичных кодов

Литература: \.Ларченко Л.В. Метод формирования приращений при функциональной обработке единичных кодов //Радиоэлектроника и информатика. 2001. № 3(16). С. 61 - 63. 2..Добрыденъ В.А. Устройство для вычисления суммы квадратов к числоимпульсных величин. Описание изобретения по авторскому свидетельству № 1092500, М.Кл. G06F, 7/552, Бюллетень№ 18,1984. Ъ.ВанюишнВ.П., Бондаренко А.В., Адамов ДН. Устройство для определения корня квадратного из суммы квадратов. Описание изобретения по авторскому свидетельству № 1324026, М. Кл. G06F, 7/552, 1985. 4МирскийГ.Я. Микропроцессоры в измерительных приборах. М: Радио и связь, 1984. 160с.

5. Б.Г. Келехсаев. Устройство для извлечения корня квадратного из N величин. Патент 7218 на полезную модель. MF1KG06G7/20.2006.6. ДжексонР. Г. Новейшие датчики. М.: Техносфера, 2008. 400с.

Поступила в редколлегию 27.02.2010

Рецензент: д-р техн. наук, проф. Кривуля Г.Ф.

Ларченко Лина Викторовна, канд. техн. наук, доцент кафедры АПВТ ХНУРЭ. Научные интересы: функционально-ориентированные устройства, частотно-импульсные вычислительные устройства. Адрес: Украина, 61166, Харьков, пр. Ленина, 14.

Хаханова Анна Владимировна, канд. техн. наук, ст. пре-под. кафедры АПВТ ХНУРЭ. Научные интересы: функционально-ориентированные устройства, частотно-импульсные вычислительные устройства. Адрес: Украина, 61166, Харьков, пр. Ленина, 14.