CC BY
276
ДОКЛАДЫ АКАДЕМИИ НАУК РЕСПУБЛИКИ ТАДЖИКИСТАН _2015, том 58, №11_
МЕХАНИКА
УДК 624.04
Член-корреспондент АН Республики Таджикистан Д.Н.Низомов, И.Каландарбеков, А.А.Ходжибоев
СПЕКТРАЛЬНЫЙ АНАЛИЗ СЕЙСМИЧЕСКИХ КОЛЕБАНИЙ
Институт геологии, сейсмостойкого строительства и сейсмологии АН Республики Таджикистан
Разработаны алгоритмы и программы численного решения задач спектрального анализа сейсмических воздействий в виде записей акселерограмм. Численным моделированием получены спектры реакций и поэтажные спектры, а также проведён сравнительный анализ. Разработанный алгоритм реализован на конкретных примерах, и полученные результаты сопоставлены с известными решениями.
Ключевые слова: спектральный анализ, спектральная плотность, амплитудный спектр, расчётный спектр, аналоговая акселерограмма, синтезированная акселерограмма, энергетический спектр, поэтажный спектр.
Оценка сейсмической опасности территорий и надежности зданий и сооружений приобретает особую актуальность в связи с развитием строительства промышленных и гражданских зданий и сооружений. Как известно, одним из наиболее важных параметров колебаний поверхности земли при землетрясениях является амплитудный спектр Фурье, который широко используется при оценке сейсмической опасности и для прогноза характеристик сильных движений. Определение спектральных характеристик и установление их зависимости от параметров землетрясений (магнитуда, эпицен-тральное расстояние, глубина очага, грунтовые и геологические условия) представляет практический интерес.
Предложенный М.Био [1] спектральный метод оценки сейсмических сил с использованием инструментальных записей землетрясений в настоящее время принят в качестве основного в нормативных документах на проектирование и строительство сейсмостойких сооружений. Например, имея спектр ускорения, соответствующий динамической модели здания, как обобщенной системы с одной степенью свободы, можно найти максимально возможную для этой модели сейсмическую нагрузку при колебании ее основания по закону принятой при построении спектра акселерограммы. Расчётные спектры строятся путём статистической обработки ансамбля реальных записей колебаний грунта при сильных землетрясениях, и по мере получения новых записей они могут дополнительно корректироваться. При расчёте ответственных промышленных объектов возникает необходимость в построении так называемых поэтажных акселерограмм и поэтажных спектров отклика [2].
Адрес для корреспонденции: Низомов Джахонгир Низомович. 734029, Республика Таджикистан, г.Душанбе, ул. Айни, 267, Институт геологии, сейсмостойкого строительства и сейсмологии АН РТ. E-mail: tiees@mail.ru, nizomov-jn@mail.ru
Рассмотрим численное решение задачи по расчёту спектра реакций. Для построения спектров реакций (ответов, откликов) решается дифференциальное уравнение сейсмических колебаний системы с одной степенью свободы
ту + су + ку = -ту0, или у + 2£соу + со2у = -y0(t) , (1)
где т - масса; с - коэффициент вязкого затухания; к - коэффициент жёсткости; y0(t) - ускорение
грунта основания; со = у/к / m - круговая частота свободных колебаний без учёта затухания; £ = c / cc = c / 2mc - параметр затухания; cc = 2mc - минимальная величина затухания, при которой перемещение стремится к нулю по экспоненте и не происходят свободные колебания (критическое затухание). Зависимость между параметром вязкого затухания и логарифмическим декрементом выражается формулой £&5/2ж . Например, если 5 = 0.2, то £ = 0.032 , что составляет 3.2% от критического затухания (для строительных конструкций £ < 20%).
Решение уравнения (1), представленное в виде интеграла Дюамеля [3,4], при нулевых начальных условиях и с = ¿C1 — £2 « с записывается так:
1 '
y(t) =--j0(r)exp[-<^(í-r)]sin<»(7-r)<ir =
СО J„
r=0
= —[a(o) sin coi — b(c)cos cot], (2)
1 1
где a(co) =— Г j0(r)exp[-<^»(í-r)]cos£yr<ir,
со A
1 <
b(co) =— j}0(r)exp[-<^(í-r)]sin¿yr<ir, /-i j
с „
т=0
со — круговая (угловая) частота колебаний, рад/с. Дифференцированием (2) определяется скорость движения массы относительно основания
y{t) = -a\a{a>)cosait + b{co)smcot\-—£со [a(i) sin сoxt — b(t) cos calt] =
t
= -|j0(r)exp[-¿:o(í-r)]coso1(í-r)íir + £coy(t), (3)
o
а затем из уравнения движения yl + 2£соу + со2у = 0, где уг = у + у0, можно получить полное ускорение массы m относительно неподвижной системы отсчёта
y,{t) = -(o2y{t)-2^(oy = = o2 (l + ) [a(o) sin ot — b(o) cos ot] +
+2<Oo2 [a(o) cos ot + b(o) sin ot ]. (4)
Спектры максимальных относительных перемещений, скоростей и абсолютных ускорений массы системы с одной степенью свободы, полученные из (2)-(4), соответственно записываются:
D(O,o) = |[a(o) sin ot - b(o) cos ot]| , (5)
V (O, o) =
o [a(o) cos ot + b(o) sin ot] + + o [a(t) sin olt — b(t) cos oxt ]
A(O,o) =
o2 (1 + 2^2) [a(o) sin ot — b(o) cos ot] + + Oo2 [a(t) cos ot + b(t) sin ot]
(6)
(7)
где «тах» означает максимальное значение для модуля функции на всем временном интервале, интегралы а(о) , Ъ(о) вычисляются методами численного интегрирования. При использовании формулы Симпсона [5,4], интегралы а(о) и Ъ(о) в (2) сводятся к следующим уравнениям
Аг
а(о) = t ~ 2Ar) +—[_y0(t - 2Ат) ■ ехр [~¿¡o(t - 2Ат)] ■ eos o(t - 2Ат)
1 +
+
4 y0(t — А г) • ехр \-£,o{t - Аг)] • cos o(t - А г) + y0(t) ■ ехр (-¿;о í) • cos<y(í)] , (8)
Ar
b(o) = " 2Ar) +—[_y0(t - 2At) ■ exp [~¿¡o(t - 2 A r)] • sin o(t -2 A r) +
+
4y0(t - Ar) • exp[-<^y(í - Ar)]- smo(t - Ar) + y0(t) ■ exp (~¿;ot) ■ sin¿y(í)], (9)
где / — 2Ат) - результат суммирования для предшествующего интервала времени I — 2Ат, Ат - шаг интегрирования. Здесь а(о), Ъ(о) последовательно вычисляются в моменты времени i2, ..., 1п с интервалом 2Ат, а затем по (5)-(7) строятся спектральные кривые перемещений, скоростей и ускорений на сейсмическое воздействие. На практике в основном используются спектры псевдоскорости и псевдоускорений, определяемые формулами:
V(¿;,o) = oD(¿;,o) = Уo\a(o)smot-b(o)cosof^ ; (10)
А(^,о) = о20(^,о) = \о2\а(о)&то1-Ь(р)со$>оЛ . (11)
I -Чтахг
На основе алгоритма (5)-(11) была разработана Fortran-программа и получены результаты спектрального анализа заданных акселерограмм землетрясений.
Пример 1. В качестве тестового примера рассматривается вычисление спектров реакций при воздействии землетрясения El Centro. Этот пример заимствован из работы [6], где также приводится таблица данных оцифрованной с шагом 0.02 с акселерограммы землетрясения El Centro (18.05.1940). По (5)- (7) и (10), (11) получены спектры перемещений, скоростей и ускорений при £ = 0.02 и 2Дг = 0.02 c . Для иллюстрации на рис.1 представлены акселерограмма и только спектр перемещений. Так же, как в работе [6], цифрами указаны значения спектров в контрольных точках при Т = 0.5; 1.0 и 2 с.
0 10 20 30с Период, с
а) б)
Рис.1. Акселерограмма El Centro (а) и спектр перемещений (б).
Сравнение показывает точное совпадение полученных результатов с данными работы [6], для удобства сравнения единица длины представлена в дюймах (1 in.=2.54 см) . Спектр ускорений, полученный по формуле (7), практически совпадает со спектром псевдоускорений (11).
Пример 2. В качестве второго тестового примера рассмотрим численное построение спектра коэффициента динамичности (СКД) синтезированной модели сейсмического воздействия СА-482 (рис.2,а). Спектр коэффициента динамичности определяется как безразмерный спектр, полученный делением значений спектра ответа на максимальное абсолютное значение ускорения соответствующей акселерограммы ¡3 = А I J'0max. Этот пример заимствован из работы [7], где синтезированная
акселерограмма СА-482, продолжительностью действия 4.355 с, оцифрована с шагом 0.005 с и получены обобщенные СКД. В указанной работе построение СА-482 проводили с учётом выполнения двух основных условий: 1) совпадение спектра коэффициента динамичности СА-482 при £ = 0.05 с базовым обобщенным СКД; 2) равенства отношения максимумов спектров ответа величине 1.4 при значениях коэффициента демпфирования £, равных 0.02 и 0.05. В качестве базового СКД (£ = 0.05) принята спектральная кривая с максимальным значением J3 = 3.2 [7]. Полученные нами по разработанной программе результаты при £ = 0.02 и £ = 0.05 и ДТ = 0.02 c, 2Дг = 0.005 c представлены на рис.2 б.
6,00
5,00
4,00
3,00
2,00
1,00
0,00
J3
— 0:02 «СА- 482»
0,5
Г
а)
1,5
ериод, < б)
2,5
Рис.2. Синтезированная акселерограмма (а) и спектры коэффициента динамичности при различных значениях
коэффициента демпфирования (б).
Из приведённых данных следует, что максимумы спектров соответствуют периоду T = 0.36 c и равняются 4.60 и 3.22, а их отношение составляет 1.43. Сравнение показывает, что разница между максимумами спектров и их отношениями составляет от 0.6 до 2%.
Исходя из сопоставления данных, полученных для двух тестовых задач, можно сделать вывод, что разработанная программа, построенная на численном интегрировании методом Симпсона, позволяет получать вполне удовлетворительные результаты.
Пример 3. Построение спектров коэффициента динамичности сейсмических воздействий. С целью сравнительного анализа рассмотрим ряд оцифрованных реальных (аналоговых) акселерограмм землетрясений. На рис.3 представлены графики спектров коэффициента динамичности, полученные по разработанной программе при шаге интегрирования 2Ar = At , где At — шаг оцифровки, и ÁT = 0.02 c . В этом примере проводится сравнительный анализ спектров коэффициента динамичности сейсмических воздействий, представленных в виде двух аналоговых (El Centro, Иран) и одной синтезированной (СА-482) акселерограмм при £ = 0.02 и £ = 0.05.
Рис.3. Спектры коэффициента динамичности сейсмических воздействий: 1 - El Centro; 2 - Тебес (Иран); 3 - СА-482.
Последовательность расчёта по построению поэтажных спектров реакций сводится к следующему: а) в результате численного решения уравнений
[М] { V} + [D] { V} + [К] {V} = -[М] {Е} ВД,
определяются поэтажные акселерограммы; б) с использованием поэтажных акселерограмм строятся поэтажные спектры реакций.
Реализацию алгоритма по построению поэтажных спектров рассмотрим на примере 12-этажного монолитного каркасного здания [8]. Основные параметры здания: размеры в плане 19.8^18 м; сетка колонн 6.6^6 м; высота подвального этажа - 4.09 м; высота надземных этажей - 3 м; общая высота здания - 39 м. Основные несущие конструкции здания: фундаментная плита толщиной 80 см (бетон класса В20); диафрагмы жёсткости толщиной 30 см; ригели сечением 34x30 см; плиты перекрытия толщиной 16 см; ядра жёсткости размерами 1.78x1.78 м, толщиной стенки 20 см. Динамическая модель здания выбрана в виде консольной системы с 15 инерционными массами, включая массу фундамента и массу покрытия технического этажа. На рис.4 представлены графики изменения абсолютных и относительных ускорений во времени на уровне покрытия технического этажа (отметка 39), полученные из расчёта на синтезированную акселерограмму СА-482.
Время,
Рис.4. Сопоставление абсолютных и относительных ускорений здания на отметке 39 м и синтезированной акселерограммой СА-482.
Из приведённых данных видно, что амплитуда относительных ускорений в основном получается больше абсолютных примерно в 1.5-2 раза. На рис.5 приведены поэтажные спектры, полученные из расчёта на аналоговые (El Centro, Hollister, Иран, Гиссар) и синтезированную (СА-482) акселерограммы. Сравнение показывает, что максимальное значение поэтажного спектра ускорений (El Centro) на 34% больше, чем в обычном спектре.
ю
61 —
Ч
С
0,01 л
ОД 1 10
Период, с
Рис.5. Поэтажные спектры ускорений на отметке 39 м.
Поэтажный спектр Иранского землетрясения имеет максимальное значение, равное 5.8g, CA-482 - 3.28g, El Centra - 1.72g, Hollester - 0.785g, Гиссар - 0.43g.
На основе полученных результатов и сопоставления данных можно заключить, что разработанные алгоритмы и программы численного моделирования могут быть использованы для спектрального анализа сейсмических воздействий.
Поступило 11.03.2015 г.
ЛИТЕРАТУРА
1. Biot M. Theory of vibration of buildings during earthquake. «Zeitschrift fur Angewandte Mathematik and Mechanik», Band 14 Heft 4, August, 1934.
2. Бирбраер А.Н. Расчёт конструкций на сейсмостойкость. - СПб.: Наука, 1998, 255 с.
3. Назаров А.Г. Метод инженерного анализа сейсмических сил. - Ереван: Изд-во АН Армянской ССР, 1959, 286 с.
4. Клаф Р., Пензиен Дж. Динамика сооружений. - М.: Стройиздат, 1979, 320 с.
5. Демидович Б.П., Марон И.А. Основы вычислительной математики. - М.: Наука, 1970, 664 с.
6. Chopra A. K., Dynamics of Structures: Theory and Applications to Earthquake Engineering, 4th Edition, Prentice Hall, Englewood Cliffs, New Jersey, 2012, 994 pgs.
7. Костарев В.В., Ветошкин В.А. и др. РТМ 108.020.37—81. Оборудование атомных энергетических установок. Расчёт на прочность при сейсмическом воздействии. - Л.: НПО ЦКТИ, 1986, 35 с.
8. Каландарбеков И. Развитие метода сосредоточенных деформаций применительно к расчётам конструкций с учётом податливости соединений. Дисс.докт.техн.наук. - М.: МГСУ, 2009, 425 с.
Ч,.Н.Низомов, И.^аландарбеков, А.АДочибоев
ТАХЛИЛИ СПЕКТРАЛИИ ЛАППИШХОИ СЕЙСМИКЙ
Институти геология, сохтмони ба заминчунбй тобовар ва сейсмологияи Академияи илмх;ои Цум^урии Тоцикистон
Алгоритм ва барномаи хдлли ададии та^лили спектралии таъсири сейсмикие, ки ба на-муди сабти акселерограммах,ои заминчунбй дода шудааст, пешних,од шудааст. Бо истифода аз модели ададии системами бисёрмасса спектрх,ои ошёнавй сохта шуда, та^лили мукоисавй гуза-ронида шудааст. Алгоритми коркардшуда дар мисолх,ои мушаххас тадбик карда шуда, ва натичах,ои он бо х,алх,ои маълум мукоиса карда шудаанд.
Калима^ои калиди: таулили спектралй, спектри лаппиш, спектри уисобй, акселерогаммаи аналоги, акселерограммаи сунъй, спектри ошёнавй.
J.N.Nizomov, I.Kalandarbekov, A.A.Khodjiboev SPECTRAL ANALYSIS OF SEISMIC VIBRATIONS
Institute of Geology, Earthquake Engineering and Seismology, Academy of Sciences of the Republic of Tajikistan
Algorithms and programs of the numerical solution of the spectral analysis of seismic effects in the form of records accelerograms are developed. Numerical simulation of the spectra of the reactions and floor spectra, as well as a comparative analysis are obtained. The developed algorithm is implemented on concrete examples and the results are compared with known solutions.
Key words: spectral analysis, spectral density, amplitude spectrum, a demand spectrum, analogue accelerogram, synthetic accelerogram, energy spectrum, a floor range.
