CC BY
103
1УДК 37.016:514(045) ББК 22.1 Р
СОВРЕМЕННЫЕ СРЕДСТВА ОБУЧЕНИЯ УЧАЩИХСЯ РЕШЕНИЮ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЗАДАЧИ В КОНТЕКСТЕ РЕАЛИЗАЦИИ ФГОС ООО НОВОГО ПОКОЛЕНИЯ
И. В. Ульянова
Аннотация. Одно из основных требований к современному обучению в условиях федерального государственного образовательного стандарта основного общего образования (ФГОС ООО) нового поколения выступает формирование у учащихся метапредметных результатов. Данные результаты включают в себя освоенные обучающимися межпредметные понятия и универсальные учебные действия (УУД). В статье исследуется одно из современных средств обучения учащихся решению математической задачи в контексте формирования УУД - диалоговые задания. Раскрывается деятельностная основа методики решения задачи, определяются УУД, формируемые у учащихся на каждом из ее этапов, приводятся примеры диалоговых заданий, которые при этом можно использовать.
Ключевые слова: федеральный государственный образовательный стандарт (ФГОС), дея-тельностный подход, универсальные учебные действия (УУД), задача, методика решения задачи, диалоговые задания.
MODERN MEANS OF TEACHING PUPILS SOLVE MATHEMATICAL PROBLEMS IN THE CONTEXT OF IMPLEMENTATION OF FEDERAL STATE EDUCATIONAL STANDARDS OF NEW GENERATION
I. V. Ulyanova
Abstract. One of the basic requirements for modern education in the context of the federal state educational standard (FSES) of new generation is the formation of pupils' meta-subject results. These results include pupils' mastering the interdisciplinary concepts and universal learning actions (ULA). The article analyzes the dialogue tasks as one of the modern means of teaching pupils to solve mathematical problems in the context of the formation of ULA. Activity basis of methods for solving the problem is revealed, universal learning actions that are formed at each stages are determined, examples of dialogue tasks used in this case are presented.
Keywords: Federal State Educational Standards (FSES), the activity approach, universal learning actions (ULA), problem, methods of solving the problem, dialogue tasks.
В современной школе математика является одним из значимых предметов с точки зрения ее вклада в развитие интеллекта учащихся. Школьное математическое образование развивает воображение и интуицию, формирует навыки логического и алгоритмического мышления. Благодаря своей универсальности математика вооружает учащихся методами познания других наук: физики, химии, экономики, черчения, информатики и др.
Последнее имеет особенно важное значение в условиях федерального государствен-
ного образовательного стандарта основного общего образования (далее - ФГОС ООО), поскольку при проектировании и проведении современного урока одним из основных требований выступает формирование у учащихся метапредметных результатов освоения основной образовательной программы (далее -ООП). Метапредметные результаты освоения ООП включают в себя освоенные обучающимися межпредметные понятия и универсальные учебные действия (далее - УУД) (познавательные, коммуникативные, регулятивные) (рис. 1) [1].
Универсальные учебные действия
Ф
Ф
Ф
Познавательные УУД (формулировка проблемы, поиск информации, структурирование знаний, умений строить высказывания, смысловое чтение, моделирование, рефлексия деятельности)
Регулятивные УУД (целеполагание, прогнозирование, планирование, контроль, коррекция, оценка)
Коммуникативные УУД (постановка вопросов, умение выражать свои мысли, планирование учебного сотрудничества, управление поведением, разрешение конфликтов)
Рис. 1. Универсальные учебные действия (УУД)
Проведенный анализ научной литературы показывает, что наиболее полная программа развития универсальных учебных действий, а также ее методология и модель представлена группой ученых под руководством А. Г. Асмолова [2]. Значение термина «универсальные учебные действия» определяется ими как совокупность способов действия учащегося (а также связанных с ними навыков учебной работы), обеспечивающих его способность к самостоятельному усвоению новых знаний и умений, включая организацию этого процесса. Другими словами, универсальные учебные действия - это совокупность действий учащегося, обеспечивающих его культурную идентичность, социальную компетентность, толерантность, способность к самостоятельному усвоению новых знаний и умений, включая организацию этого процесса, а также способность субъекта к саморазвитию и самосовершенствованию путем сознательного и активного присвоения нового социального опыта.
Математические знания, умения и навыки рассматриваются как производные от соответствующих целенаправленных действий. Они формируются, применяются и сохраняются в тесной взаимосвязи с активными действиями самих школьников. Качество их усвоения и формирования определяется многообразием и характером видов УУД.
Овладение учащимися УУД способствует не только успешному освоению предметных планируемых результатов, но и успешному решению ими возможных проблем, возникающих в реальных жизненных ситуациях, в разных сферах жизнедеятельности. Именно УУД позволяют реализовать основную цель современного школьного образования: научить школьника учиться, то есть сформировать самостоятельную личность.
Таким образом, формирование у учащихся УУД, в частности, на уроках математики является одним из требований, предъявляемых к современному уроку. В целом требования нового стандарта не являются чем-то абсолютно новым для практикующих учителей. И все же они вызывают ряд вопросов. Например, нужно ли отказываться от принятых в традиционной методике преподавания методик и технологий обучения - например, от традиционной методики работы с математической задачей? На наш взгляд, отказываться от традиционных методик работы с понятиями, теоремами, задачами на современном уроке математики вовсе не требуется. Они органично вписываются в современные требования ФГОС ООО, порождая новый виток развития методической системы обучения математике (ее методов, средств, форм организации обучения [3]) и всей методической науки в целом.
В данной статье покажем, как именно можно организовать, например, работу с задачей на уроке математики в контексте ФГОС ООО.
Методика работы с задачей или методика решения задачи неоднократно исследовалась в работах разных авторов (Т. А. Иванова, Ю. М. Ко-лягин, Д. Пойа, Г. И. Саранцев, И. В. Ульянова, Л. М. Фридман и др.). При этом большинство авторов в работе с задачей в целом придерживаются тех же этапов, что в свое время были выделены Д. Пойа, так или иначе повторяя их. Данные этапы Д. Пойа впервые представил в работе «Как решать задачу». Согласно его взглядам, основными этапами в решении задачи являются:
1) понимание постановки задачи;
2) составление плана решения;
3) осуществление плана;
4) взгляд назад.
В настоящее время в контексте современных научных концепций содержание данных этапов можно охарактеризовать не только через совокупность вопросов, подобных прописанным в работе Д. Пойа. Как предполагает один из вариантов понимания сущности дея-тельностного подхода, весьма актуального сегодня в обучении, содержание любого компонента предметного математического содержания может быть раскрыто посредством выделения системы определенных действий. Подобное имеет смысл и для методики решения математической задачи [3; 4].
Так, содержание этапа понимания постановки задачи составляют следующие основные действия:
1) выделение условия и требования задачи, исходных, искомых, вспомогательных объектов и отношений между ними;
2) выполнение чертежа к задаче и обозначение на нем данных и требуемых элементов;
3) краткая запись условия и требования задачи.
Особую роль на данном этапе играет действие на построение чертежа задачи и обозначения на нем данных и искомых элементов, так как удачно и правильно выполненный чертеж -это, как известно, половина решения задачи. При выполнении чертежа у решающего складывается наглядный образ описываемой в задаче ситуации, возникает соответствие между элементами задачи и составными компонентами общего чертежа. Это позволяет не только правильно представить себе все детали рисунка, но и увидеть те свойства и зависимости, которые крайне необходимы для решения задачи. Хотя более полное осознание этих зависимостей осуществляется лишь на втором этапе решения задачи, в ходе составления плана ее решения.
Переход от анализа текста задачи к поиску плана решения состоит в составлении элементарных задач, в переводе естественных отношений и зависимостей между величинами на формальный логический язык, в получении математической модели задачи. План решения можно рассматривать как результат большой умственной работы, направленной на поиск способа решения задачи. Такой поиск, как правило, ведется в двух направлениях: в направлении анализа условия задачи и в направлении анализа ее тре-
бования. Поэтому действия, адекватные реализации второго этапа в рассматриваемой нами методике, могут быть разделены на две части:
1. Анализ условия задачи, под которым нередко понимается та информация, которая может быть непосредственно и не задана условием, но тем не менее присуща ему:
а) выведение следствий из условия задачи;
б) переосмысление объектов (фигур), отношений между ними с точки зрения других понятий;
в) замена термина его определением;
г) использование характеристических свойств понятия;
д) перевод содержания задачи на язык специальной теории и наоборот;
е) интерпретация символических записей и т. д.
2. Анализ требования задачи:
а) преобразование требования в равносильное ему;
б) составление вспомогательных задач;
в) выделение различных путей решения.
В ходе осуществления данного этапа также можно выделить действия, адекватные умению «читать» чертеж (простое и составное вычленения фигур, распознавание фигур, сравнение фигур, изменение взаимного расположения образов фигур и т. д.), действие по распознаванию ситуации, удовлетворяющей условию теоремы, умение учащихся соотносить свои действия с точки зрения их целесообразности и т. д. Таким образом, «круг» составных действий этапа составления плана решения весьма разнообразен, но в совокупности эти действия ведут к выделению одного из возможных способов решения задачи и его представлению в виде плана. Непосредственное же осуществление этого плана уже означает реализацию следующего, третьего этапа решения задачи в форме представления развернутой или краткой записи выполняемого решения. На этом этапе необходимо понимание решения задачи как процесса, понимание роли законов логики в решении задач, знание и умение применять эти законы, знание и умение применять различные методы решения задач.
В практике реальной школы, к сожалению, процесс решения задачи нередко заканчивается именно с окончанием данного третьего этапа, когда процесс решения зафиксирован в
ученических тетрадях и получен искомый результат (ответ задачи). Тогда как наиболее богатые возможности таит в себе только лишь четвертый, заключительный этап работы над задачей, названный Д. Пойа «взгляд назад».
Заключительный этап работы над задачей подразумевает изучение полученного решения, поэтому здесь, в первую очередь, необходимо проанализировать полученное решение, выявить его основные моменты, установить случаи, когда задача не имеет решения, а если имеет, то сколько, исследовать другие возможные способы решения (может быть и обозначенные на втором этапе, но отброшенные по тем или иным причинам), отмечая их достоинства и недостатки, выбирая среди них наиболее рациональное, эстетически привлекательное и т. д. Кроме того, основной особенностью данного этапа является то, что он выступает хорошим полигоном для развития творческой инициативы учащихся, вариативности и самостоятельности их мышления и т. д. А его реализация, кроме всего прочего, должна включать в себя составление новых задач: задач-аналогов, задач-обобщений, конкретизаций, задач, решаемых тем же способом и т. д.
Для наглядности продемонстрируем методику решения задачи в указанном контексте на примере конкретной математической задачи, как бы вытащив наружу наши умственные рассуждения по ее решению и рассортировав их по этапам и соответствующим действиям. В качестве такой задачи выберем одну из множества математических задач, отражающих реальные ситуации применения математической теории на практике. Такие задачи в контексте ФГОС ООО приобретают особое значение в обучении учащихся.
Как показывает анализ научно-методической литературы, задачи, отражающие реальные ситуации применения математической теории на практике, в науке принято называть прикладными. На практике такая задача нередко возникает из реальной ситуации, которая носит проблемный характер, то есть требует выполнения каких-либо действий с заранее заданной целью, при этом способ достижения этой цели неизвестен.
Между школьной задачей с прикладным содержанием и научной прикладной пробле-
мой имеются очевидные различия, которые состоят: в целях решения задач; в способах достижения результата, в уровне сложности применяемого математического аппарата. Но у них есть и общие черты, которые позволяют подготовить школьников к использованию математики в реальных условиях. Поэтому в школьном курсе математики различными авторами они называются практическими, практико-ориентированными, контекстными и т. д., являясь, по сути, учебными прикладными математическими задачами - задачами, связанными с практическими приложениями математики. Вслед за М. В. Егуповой назовем их задачей,связанной с практическими приложениями математики (или коротко -задачей на приложения) и определим их следующим образом: «Это задача, представляющая собой содержательную модель реального объекта, математическая модель которого может быть построена средствами школьного курса математики» [5]. Задача на приложения - это всегда фабульная задача, изложенная на естественном языке и требующая построения математической модели. При этом в такой задаче условие и формулировка вопроса должны быть связаны с анализом реального объекта с заданной целью.
Задача [6, № 184]. Во дворце культуры произвели ремонт зрительного зала, в котором число рядов меньше числа мест в ряду. До ремонта в нем было 770 мест, а стало 660. Во время ремонта убрали 2 ряда целиком и по 2 кресла в каждом ряду. Сколько теперь рядов в зрительном зале?
Решение. Первый этап.
1. В задаче идет речь о зале дворца культуры с некоторым количеством рядов и мест в одном ряду до ремонта и после него. Причем число рядов в зале меньше числа мест в ряду. По условию известно общее количество мест в зале и некоторые зависимости между количеством рядов и количеством мест в ряду до ремонта и после него.
Требуется найти количество рядов в зале после ремонта. (Выделение условия и требования задачи.)
2. Таким образом, нам дано:
• объекты: зрительные ряды, места в зрительном ряду;
• свойства объектов: общее количество мест в зале до ремонта и после него, зависимость между количеством зрительных рядов в зале и количеством мест в ряду, зависимость между количеством зрительных рядов в зале до ремонта и после него, зависимость между количеством мест в одном ряду до ремонта и после него;
• отношения между объектами: после ремонта рядов в зрительном зале мест в одном ряду и общее количество мест стало меньше.
Необходимо найти свойство одного из объектов: количество рядов в зале после ремонта. (Выделение объектов и отношений между ними.)
3. Для наглядности изобразим схематично данные задачи (рис. 2). (Выполнение рисунка, обозначение на нем данных и искомых элементов.)
4. Составим краткую запись задачи:
Дано: До ремонта: х - число рядов, у - число
мест в ряду, х < у, 770 - общее число мест.
После ремонта: (х - 2) - число рядов, (у - 2) -число мест в ряду, (х - 2) < (у - 2), 660 - общее число мест.
Найти: (х - 2).
Решение: ...
Решение. Второй этап.
1. Зрительный зал можно рассматривать как прямоугольник, меньший параметр которого - ширина - образует количество рядов, а больший параметр - длина - количество мест в ряду. (Перевод содержания задачи на язык специальной теории.)
2. Значит, для того, чтобы найти общее количество мест в зале, надо знать число его рядов и число мест в одном ряду. (Переосмысление объектов и их свойств с точки зрения других понятий.)
3. Зрительный зал после ремонта получается из исходного зрительного зала до ремонта в результате уменьшения количества рядов и количества мест в одном ряду. Значит, исходный зал, в свою очередь, отличается от итогового большим количеством рядов и мест в одном ряду. В обоих залах (до ремонта и после него) мы знаем общее число мест. Значит, в обоих случаях мы можем ввести только одну неизвестную величину - количество рядов или количество мест в ряду в зале до ремонта или в зале после ремонта. Решение задачи, исходя из размеров зала до ремонта, будет развиваться в соответствии с логикой реального времени. Поэтому обозначим за х число рядов в зале до ремонта. (Выявление различных путей решения и принятие одного из них за основное.)
4. Тогда, если общее число мест до ремонта было равно 770, то количество мест в одном
ряду было
770
-. Если количество рядов
уменьшили на 2, то новое число рядов стало равным (х - 2). Аналогично, если количество мест в ряду также уменьшили на 2, то получили новое число мест в ряду зрительного зала равное (770 - 2). (Выведение следствий из условия x
задачи, переосмысление отношений между объектами.)
5) Значит, зная, сколько рядов стало в зале после ремонта, сколько стало мест в одном ряду и каково стало общее число мест, можно составить уравнение на основе вычисления
770
площади прямоугольника: (х - 2)(-- 2) = 660.
x
(Использование характеристических свойств понятия).
6) Таким образом, для решения данной задачи 1 необходимо:
х
х -2
7
Зрительный зал до ремонта
Рис. 2. Рисунок к задаче
7 - 2 Зрительный зал после ремонта
x
• найти значение х из составленного нами уравнения, то есть найти количество рядов в зрительном зале до ремонта (переход на язык теории, в терминах которой сформулирована задача);
• найти количество рядов в зрительном зале после ремонта, учитывая исходное соотношение между числом рядов в зале до ремонта и после него (выведение следствий из условия задачи).
Решение. Третий этап.
770
1. (х - 2)(-- 2) = 660
х2 - 57х + 770 = 0
Х1,2 =
57 + 7572 - 4 • 770 57 ±
13
х1 = 22, х2 = 35.
770
С учетом общего числа мест этом зале, полу-
770
чим, что число мест в одном ряду было --.
х + 2
3. В то же время, по условию задачи, число мест в ряду после ремонта стало меньше исходного количества на 2. Значит, мы можем уравнять эти характеристики зала. В итоге по-
770
лучим уравнение
- 2 =
660
х + 2 х
4. Решим составленное уравнение:
770х - 2х(х + 2) = 660х + 1320 х2 - 53х + 660 = 0
53 ±753
■4•660 53 ± 13
2. Если х = 22, то-= 35. То есть количе-
х
ство рядов меньше количества мест в ряду, что не противоречит условию задачи.
770
Если х = 35, то-= 22. То есть количество
х
рядов больше количества мест в ряду, что противоречит условию задачи. Значит, х = 35 - посторонний корень.
3. х - 2 = 22 - 2 = 20 (шт.)
Ответ: После ремонта в зрительном зале стало 20 рядов.
Решение. Четвертый этап.
Для проверки правильности выполненного нами решения решим задачу другим способом, выделенным нами на втором этапе решения, отталкиваясь от параметров зрительного зала после ремонта. Тем более в задаче требуется найти количество рядов в зале именно после ремонта.
1. Итак, обозначим за х именно то, что требуется найти в задаче - количество рядов в зале после ремонта. Тогда, зная итоговое общее число мест в зале, выразим новое количе-
660
ство мест в ряду как .
2. Если количество рядов в зале после ремонта уменьшилось на 2, то для нахождения исходного числа рядов надо поступить наоборот - увеличить новое число рядов на соответствующую цифру. Отсюда число мест в исходном зрительном зале до ремонта будет (х + 2).
х1,2 =
^ = 20,^=33.
5. Если х = 20, то 1 = 33. То есть количество рядов после ремонта меньше нового количества мест в ряду, что не противоречит условию задачи.
Если х = 33 , то
660
= 20. То есть количество
рядов после ремонта больше нового количества мест в ряду, что противоречит условию задачи. Значит х = 33 - посторонний корень.
Аналогично можно проверить соотношения между числом рядов и числом мест в одном ряду в зале до ремонта на соответствие условию задачи: противоречий при х = 20 не будет.
Ответ: После ремонта в зрительном зале стало 20 рядов.
Использование на уроке математики задач на приложения, подобных приведенной задаче, с успехом позволяет следовать основным принципам организации обучения математике в основной школе, выделяемых в научной литературе в контексте ФГОС ООО, - принцип прикладной направленности в постановке заданий как основа мотивации (в частности, обогащая знания учащихся о рассматриваемом реальном объекте - зрительном зале), принцип моделирования материализованного действия средствами математики, принцип разбиения обучающего многошагового задания на подзадания как основа открытия нового знания и др. [7]. Кроме того, данная задача активно способствует усвоению школьниками межпредметных понятий (прямоугольник) и связей (алгебра, геометрия, прикладной характер математики), а также фор-
х
Таблица
Методика работы с математической задачей в контексте формирования УУД
Этап решения задачи Формируемые УУД
Понимание постановки задачи Познавательные: Смысловое чтение, Поиск информации, Моделирование, Формулировка проблемы, Структурирование знаний. Регулятивные: Целеполагание. Коммуникативные: Постановка вопросов, Умение выразить свои мысли
Составление плана решения Познавательные: Структурирование знаний, Поиск информации, Умение строить высказывание, Моделирование, Рефлексия деятельности. Регулятивные: Планирование, Прогнозирование. Коммуникативные: Постановка вопросов, Умение выразить свои мысли, Планирование учебного сотрудничества, Разрешение конфликтов
Выполнение плана решения Познавательные: Умение строить высказывания, Рефлексия деятельности, структурирование знаний, поиск информации. Регулятивные: Контроль, Коррекция. Коммуникативные: Умение выразить свои мысли, Управление поведением партнера, Разрешение конфликтов
Взгляд назад Познавательные: Рефлексия деятельности, Поиск информации, Умения строить высказывания, Структурирование знаний, Моделирование, Формулировка проблемы, Смысловое чтение. Регулятивные: Контроль, Коррекция, Оценка. Коммуникативные: Постановка вопросов, Умение выразить свои мысли, Разрешение конфликтов
мированию предметных образовательных результатов (понятия квадратное уравнение и способов его решения), личностных результатов (самоопределение, смыслообразование, нравственно-эстетическая ориентация) и метапред-метных (то есть разных УУД).
Действительно, представленный нами анализ деятельностного содержания этапов решения задачи в контексте идеи формирования УУД позволил нам соотнести различные УУД (познавательные, регулятивные и коммуникативные) с этапами решения задачи на приложения и соответствующими действиями по решению последней (таблица).
Но при этом у нас возник вопрос - как именно организовать работу учащихся на разных этапах решения задачи на приложения, чтобы при этом формировались соответствующие УУД? Какие формы и средства обучения может использовать при этом учитель? Ведь умение решать математические задачи самостоятельно, без посторонней помощи, формируется автоматически, непроизвольно лишь у небольшой части учащихся. Для большинства же требуется специальная работа учителя в этом направлении. Необходимо целенаправленно учить школьников решать задачи, думать над задачей.
На наш взгляд, одной из основных эффективных форм организации обучения учащихся,
ориентированных на формирование УУД в процессе решения задач на приложения, выступает форма учебного диалога. А основными средствами обучения учащихся в таком случае могут выступать специальные диалоговые задания (устные и письменные).
Диалоговые задания могут быть разных видов - на моделирование реальных жизненных ситуаций, на планирование деятельности, на нахождение и выбор рациональных способов решений, на конструирование ситуации по ее графической интерпретации, на выявление ошибок, на практические вычисления и др. Письменные диалоговые задания - это задания, которые специально разработаны в соответствии с целями обучения и представлены в форме учебного диалога учителя с учащимся. Этот диалог организован при помощи письменных дополнительных вопросов. Последние, в частности, при решении задач на приложения могут быть предложены учащемуся на всех этапах методики решения задачи.
Например, при решении вышеприведенной задачи на каждом из этапов работы с ней учащимся можно предлагать диалоговые задания, представленные ниже.
Этап 1. Понимание постановки задачи.
На данном этапе можно предложить школьникам письменное диалоговое задание 1, содержащее вопросы, направленные на анализ условия и
требования задачи и планирование деятельности по ее решению. Оно, как и другие подобные задания, успешно реализует принцип разбиения обучающего многошагового задания на подзадания как основы открытия нового знания.
Письменное диалоговое задание 1
Внимательно прочитайте текст задачи 1. Ответьте на вопросы:
1) что известно по условию задачи?
2) что требуется найти в задаче?
3) что надо знать, чтобы ответить на вопрос задачи?
4) как соотносятся между собой характеристики зрительного зала: число рядов и число мест в ряду с общим числом мест в зале?
5) как изменился зрительный зал (его характеристики) после ремонта по условию задачи?
Этап 2. Составление плана решения.
На данном этапе можно предложить учащимся письменное диалоговое задание 2, направленное на нахождение способа решения.
Письменное диалоговое задание 2
Составьте план решения задачи 1 первым способом («отталкиваясь» от известных характеристик зрительного зала до ремонта).
Перечислите порядок действий, который необходимо выполнить для того, чтобы решить задачу первым способом.
1) —> 2) -> 3) -> 4) ->
Этап 3. Выполнение плана решения.
На данном этапе можно предложить уча-
щимся письменное диалоговое задание 3, направленное на выполнение математических вычислений.
Письменное диалоговое задание 3 Решите задачу 1, «отталкиваясь» от известных фактов о зрительном зале до ремонта. Решение (1 способ). 1) 2) 3)
Ответ: После ремонта в зрительном зале стало_рядов.
Этап 4. «Взгляд назад».
На данном этапе можно предложить учащимся письменное диалоговое задание 4, направленное на выбор рационального способа решения.
Письменное диалоговое задание 4
1. Составьте план решения задачи 1 вторым способом («отталкиваясь» от известных характеристик зрительного зала после ремонта).
Перечислите порядок действий, который необходимо выполнить для того, чтобы решить задачу 1 вторым способом.
1) -> 2) -> 3) -> 4) ->
2. Решите задачу 1 вторым способом (исхо-
дя из фактов о зрительном зале после ремонта). Осуществите составленный план решения. Решение (2 способ). 1) 2) 3)
Ответ: После ремонта в зрительном зале стало_рядов.
3. Из двух способов решения выберите рациональный, учитывая критерии рациональности решения:
• четкая последовательность шагов решения.
• простота шагов решения.
• количество шагов решения.
• сложность выполнения шагов решения.
• степень затраченных умственных способностей на выполнение шагов решения.
Отвечая поэтапно на вопросы представленных диалоговых заданий 1-4, учащиеся осуществляют планирование своей деятельности, овладевая при этом регулятивными УУД. Познавательными УУД учащиеся овладевают, например, выполняя диалоговое задание 1, когда занимаются смысловым чтением, моделированием, или выполняя диалоговое задание 4, когда учатся построению высказываний и оцениванию степени эффективности и рациональности своей деятельности. На заключительном этапе работы с задачей процесс формирования у учащихся познавательных УУД также можно организовать, информируя учащихся о каких-либо фактах, связанных со зрительным залом, особенностях его построения для проведения спектаклей, концертов и др. Коммуникативными УУД учащиеся овладевают при ведении ими письменного диалога с учителем, а также при возможной работе в группах с другими школьниками.
СПИСОК ИСТОЧНИКОВ И ЛИТЕРАТУРЫ
1. Метапредметные результаты освоения ООП. - URL: https://edu.crowdexpert.ru/files/%DÜ% A0%D0%B5%D0%B7%D1%83%D0%BB%D 1%8C%D1%82%DÜ%BÜ%D1%82%D1%8B/ 000/%D0%9C%D0%B5%D1%82%D0%B0 %D0%BF%D1%80%D0%B5%D0%B4% D0%BC%D0%B5%D1%82%D0%BD%D1%8 B%D0%B5%20%D1%80%D0%B5%D0%B7 % D1%83%D0%BB%D1%8C%D1%82%D0% B0%D1%82%D1%8B%20%D0%BE%D1%8 1%0%B2%D0%BE%D0%B5%D0%BD%D0 %B8%D1%8F%20%D0%9E%D0%9E%D0%9 F%20(%D0%B2%20%D1%80%D0%B5%D0 %B4%D0%B0%D0%BA%D1%86%D0%B8% D 0 %B 8 %2 0 %D 0 %B E %D 1 %8 2 %2 014. 0 3 .2016).pdf (дата обращения: 17.02.2017).
2. Формирование универсальных учебных действий в основной школе: от действия к мысли. Система заданий: пособие для учителя / под ред. А. Г. Асмолова. - М.: Просвещение, 2010. - 161 с.
3. Саранцев Г. И. Методика обучения математике: методология и теория: учеб. пособие для студентов бакалавриата высш. учеб. заведений по направлению «Педагогическое образование» (профиль «Математика»). -Казань: Центр инновационных технологий, 2012. - 292 с.
4. Ульянова И. В. Задачи в обучении математике. История, теория, методика: учебное пособие. - Саранск: Мордовский гос. пед. ин-т им. И. В. Ульянова, 2006. - 65 с.
5. Егупова М. В. Практические приложения математики в школе: учеб. пособие для студен-
тов педагогических вузов. - М.: Прометей, 2015. - 248 с.
6. Фоминых Ю. Ф. Прикладные задачи по алгебре для 7-9 классов: кн. для учителя. - М.: Просвещение, 1999. - 112 с.
7. Квитко Е. С. Методика обучения математике в 5-6 классах, ориентированная на формирование универсальных учебных действий: дис. ... канд. пед. наук: 13.00.02. - М., 2014. - 174 с.
REFERENCES
1. Metapredmetnye rezultaty osvoeniya OOP. Available at: http://edu.crowdexpert.ru/results-ooo. (accessed: 03.02.2017).
2. Asmolov A. G. (ed.) Formirovanie universal-nykh uchebnykh deystviy v osnovnoy shkole: ot deistviya k mysli. Sistema zadaniy. Moscow: Prosveshchenie, 2010.
3. Sarantsev G. I. Metodika obucheniya matema-tike: metodologiya i teoriya. Kazan: Tsentr in-novatsionnykh tekhnologiy, 2012.
4. Ulyanova I. V. Zadachi v obuchenii matemati-ke. Istoriya, teoriya, metodika. Saransk: Mordo-vskiy gos. ped. in-t, 2006.
5. Egupova M. V. Prakticheskie prilozheniya ma-tematiki v shkole. Moscow: Prometey, 2015.
6. Fominykh Yu. F. Prikladnye zadachi po algebre dlya 7-9 klassov. Moscow: Prosveshchenie, 1999.
7. Kvitko E. S. Metodika obucheniya matematike v 5-6 klassakh, orientirovannaya na formirovanie universalnykh uchebnykh deistviy. PhD
Dissertation (Education). Moscow, 2014.
Ульянова Ирина Валентиновна, кандидат педагогических наук, доцент кафедры математики и методики обучения математике Мордовского государственного педагогического института имени М. Е. Евсевьева e-mail: klyaksa13r@gmail.com
Ulyanova Irina V., PhD in Education, Associate Professor, Mathematics and Methods of teaching mathematics Department, M. E. Еvsevyev Mordovian State Pedagogical Institute e-mail: klyaksa13r@gmail.com
