CC BY
58
УДК 539
СЛЕДСТВИЯ НОРМАЛЬНОГО ЗАКОНА ПЛАСТИЧЕСКОГО ТЕЧЕНИЯ
М.А. Артемов, Н.С. Потапов, А.П. Якубенко
В рамках теории течения для изотропного идеального жесткопластического тела рассмотрены соотношения, вытекающие из нормального закона пластического течения в случае плоской деформации. Проведено исследование для гладких и кусочно-гладких функций пластичности
Ключевые слова: идеально пластический материал, теория течения, плоская деформация
В математической теории пластичности нормальный закон пластического течения (ассоциированный закон пластического течения) для идеально пластического материала устанавливает связь между тензором приращений пластических деформаций и тензором напряжений [1-7].
Если какие-либо компоненты тензора приращений пластических деформаций равны нулю, что может следовать из постановки решаемой задачи, то соотношения нормального закона пластического течения могут приводить к дополнительным условиям, которым должны удовлетворять компоненты тензора напряжений, или к ограничениям на вид условия пластичности (текучести) [12,13].
Для изотропного идеально-пластического тела функция текучести является функций трех независимых инвариантов тензора напряжений. Поскольку функция, аргументами которой являются инварианты тензора, является также инвариантом, то в качестве аргументов функции текучести можно выбирать любые независимые инварианты тензора напряжений. Формулы, позволяющие выразить одни инварианты тензора второй валентности через другие его инварианты, хорошо известны [8]. Выбор тех или иных инвариантов, как правило, обусловлен удобством проводимых преобразований.
В качестве независимых инвариантов тензора напряжений выберем след тензора, 1г (у) = Е • -у ,
2 3
след квадрата 1г ^ ) и след куба 1г ^ ) девиатора тензора напряжений d. С учетом выбранных инвариантов, в качестве пластического потенциала рас-
23
смотрим функцию текучести /(1г(у), 1г^ ), 1г^ )).
Учитывая, что дd/ду=41 -Е ® Е/3, где Е —
- - 4т
единичный тензор второй валентности, I — единичный тензор четвертой валентности, производную функции текучести по тензору напряжений у можем представить в виде
/ =/ Е + -ду діт (у)
д/
діт (а2)
2а+-
/
діт (а3)
-(за2 - іт (а 2)Е).
Артемов Михаил Анатольевич — ВГТУ, д-р физ.-мат. наук, профессор, тел. (4732) 46-32-85;
Потапов Николай Сергеевич — ВГУ, аспирант, тел. (4732) 208-337;
Якубенко Андрей Павлович — ВГУ, преподаватель, тел. (4732) 208-337
Обозначим через ек собственные векторы тензора у. Главные значения девиатора тензора напряжений определяются через главные значения тензора напряжений по формулам
йк = (2ак -аі -ау)/3 (индексы і,у,к образуют
циклическую перестановку индексов 1,2,3). Принимая во внимание, что производная функции текучести по главному (собственному) значению тензора напряжений ак связана с производной этой функции по тензору напряжений соотношением
/ д/ ^
7 - = — -Єк ® ек ,
дак ду
будем иметь
д/ _ д/
■ + 2-
д/
дак діт (у) діт (а2) к
, д/
(1)
діт (а3)
Индексы /, ], к образуют циклическую перестановку индексов 1,2,3.
Для нормально изотропного идеальнопластического тела нечувствительного к гидростатическому давлению функция текучести должна быть четной функцией главных значений тензора напряжений. В этом случае в качестве аргументов функции текучести удобно принять независимые 2 2 3
инварианты 1г^ ) и 1г ^ ). Поэтому производная функции текучести по главному значению тензора напряжений ак будет иметь вид:
д/ д/ ,
• = 2(------------------'1—^ +
дак діт(А2)
2Ч к
+іт(а3)-----/ 3 (23к - - 32)).
діт 2(а3)
(2)
Плоская деформация
В случае плоской деформации полагают, что для всех точек тела имеется единое фиксированное направление, которое является одним из главных направлений тензора напряжений и вдоль этого направления отсутствуют перемещения [2]. Для определенности будем полагать, что это направление совпадает с осью х3 . Для жесткопластического тела главная компонента тензора приращений пластиче-
ских деформаций = йе^ = 0. Тогда согласно
закону пластического течения, ассоциированному с условием текучести, производная
до3
= 0.
(3)
На рис.1 в пространстве главных нормальных напряжений изображена кривая на поверхности пластичности, в каждой точке которой вектор д/ / ду
имеет нулевую компоненту д//доз .
^2
Рис.1. Поверхность, соответствующая критерию Шлейхера [9]
Для нормально изотропного идеальнопластического тела нечувствительного к гидростатическому давлению, когда функция текучести является гладкой, согласно (2) равенство д/ / до3 = 0 будет выполняться, если главное значения девиато-ра тензора напряжений [11]
йз = (2оз -о"1 - 02)/3 = 0.
(4)
Рис.2. Кривая текучести Мизеса
На рис.2 в девиаторной плоскости изображена гладкая кривая текучести, соответствующая условию Мизеса. Вектор д/ / ду параллелен девиаторной плоскости о-! + о2 + 03 = 0 и принадлежит плоско-
сти О3 = (01 - 02 ) / 2 .
^3 1 , ,
.0 1 ' = 2(^1 +сг2)
э^ГуС \ /
(1 \\ /
3^2
Рис. 3. Кривая, соответствующая критерию Г.А. Гениева и
В.Н. Кислюка [10]
Для изотропного пластического тела нечувствительного к гидростатическому давлению, когда пределы текучести при одноосном растяжении и сжатии не совпадают, из уравнения
д/
до
= 2-
д/
к
д/
д^ (а3)
(2^2 - - й 2)=0
дна2)
следует зависимость между главными нормальными напряжениями g(оьо2,о3) = 0, в общем, отличающаяся от зависимости (4) (рис.3).
Если рассматривается кусочно-линейное условие пластичности, то равенство (4) не приводит к дополнительному соотношению, которому должны удовлетворять компоненты тензора напряжений в случае плоской деформации. Рассмотрим грань поверхности пластичности, для которой
ао1 + + уо3 = к . (5)
Тогда из равенства д/ / до3 = 0 следует, что значение коэффициента у, входящего в условие пластичности (5), должно быть равно нулю. То есть, математическая модель идеально жесткопластического тела, в которой в качестве условия текучести рассматривается уравнение (5), допускает в постановке задачи предположение йе3 = йе33 = 0 в том случае, когда условие пластичности иметь вид
ао1 + /02 = к . (6)
Это обстоятельство приводит к тому, что компонента о3 тензора напряжений остается неопределенной.
Для материала нечувствительного к гидростатическому давлению функция пластичности является функцией девиатора тензора напряжений, и поэтому коэффициенты а ив, входящие в уравнение (6) должны удовлетворять условию а+ в = 0 . Тогда уравнение (6) в пространстве главных напряжений будет определять плоскость, которой принадлежит грань призмы Треска. На рис.4 изображена кривая пластичности (шестиугольник Треска), получаемая при пересечении поверхности пластичности Треска девиаторной плоскостью. Равенство нулю компоненты тензора приращений пластических деформаций йе3р выполняется, когда в пространстве главных напряжений вектор д/ / ду перпендикулярен грани призмы Треска, для которой о1 - о2 = к / а .
= О
'С <
Рис.4. Шестиугольник Треска
Для сингулярных точек поверхности пластичности, исходя из ее симметрии, если гидростатическое давление не влияет на поведение пластического материала, равенство о3 = (о1 + о2) / 2 будет иметь место в точках А и В кривой пластичности, изображенной на рис.5, поскольку согласно обобщенному ассоциированному закону пластического течения [7],
N
de p = £ dA,
i=l
¥l
ду
в этих точках может иметь место равенство йе^ = 0
компоненты тензора приращений пластических деформаций.
Рис.5. Шестиугольник, определяемый условием пластичности максимального приведенного напряжения
Для других сингулярных точек, например, точек С поверхности пластичности Треска (рис.4) несмотря на то, что исходя из обобщенного ассоциированного закона пластического течения в этих точках возможно равенство е3 = 0, компонента тензора напряжений о3 Ф (о + о2) / 2 . Решение задачи плоской деформации для режимов, соответствующих ребрам поверхности пластичности Треска имеет некоторые особенности [15].
Выводы
В случае плоской деформации для нормально изотропного несжимаемого идеально пластического тела равенство о3 = (о1 + о2) / 2 следует из уравнения д/ / до3 = 0 для всех гладких функций пластичности. Для кусочно-гладких функций текучести в сингулярных точках поверхности пластичности, в которых нормальный закон пластического течения допускает равенство е3 = 0, соотношение
03 = (о + 02) / 2 может не выполняется. В рамках теории пластического течения для модели идеального жесткопластического тела в случае плоской деформации при условии пластичности Треска компонента тензора напряжений 03 остается неопределенной.
Литература
1. Хилл Р. Математическая теория пластичности / Р.
Хилл. - М.: ГИТТЛ, 1956. - 407 с.
2. Фрейденталь А. Математическая теория неупругой сплошной среды / А. Фрейденталь, Х. Гейрингер. — М.: Физматгиз, 1962. — 432 с.
3. Соколовский В.В. Теория пластичности / В.В. Соколовский. — М.: Высшая школа, 1969. — 608 с.
4. Качанов Л. М. Основы теории пластичности / Л. М. Качанов. — М.: Наука, 1969. — 420 с.
5. Малинин Н. Н. Прикладная теория пластичности и ползучести / Н.Н. Малинин. — М.: Машиностроение, 1975. — 400 с.
6. Клюшников В.Д. Математическая теория пластичности / В.Д. Клюшников. — М.: Изд-во МГУ. — 1979. — 208 с.
7. Быковцев Г.И. Теория пластичности / Г.И. Быковцев, Д. Д. Ивлев. — Владивосток: Дальнаука, 1998. — 528 с
8. Лурье А.И. Нелинейная теория упругости / А.И. Лурье. — М.: Наука, 1980. — 512 с.
9. Гольденблат И.И. Критерии прочности и пластичности конструкционных материалов / И.И. Гольденблат,
B.А. Копнов — М.: Машиностроение, 1968. — 192 с.
10. Гениев Г.А. К вопросу обобщения теории прочности бетона / Г.А. Гениев, В.Ню Кислюк // Бетон и железобетон. — 1965. — №2.
11. Артемов М. А. Об общих соотношениях математической теории пластичности / М. А. Артемов, Якубенко А.П. — Информатика: проблемы, методология, технологии: Материалы девятой международной научнометодической конференции. — Воронеж: Изд-во ВГУ, 2009. — С. 49-51.
12. Артемов М. А. Анализ предельного состояния полых цилиндров / М.А. Артемов, В.А. Баскаков, Н.С. Потапов, И.А. Ларин. — Авиакосмические технологии «АКТ-2008»: Сб. тр. IX Всероссийской научнотехнической конференции и школы молодых ученых, аспирантов и студентов Воронеж: ВГТУ, 2008. —
C.105-111.
13. Артемов М. А. Статически определимые задачи теории пластичности ортотропных материалов / М. А. Артемов, С.Н. Пупыкин. — Современные проблемы механики и прикладной математики: Сб. тр. междунар. шк. семинара. — Воронеж: Изд-во ВГУ. — 2004. — Ч.1. — Т.1. — С 27-30.
14. Дмитриенко Ю.И. Тензорное исчисление / Ю.И. Дмитриенко. — М.: Высшая школа, 2001. — 575 с.
15. Артемов М. А. Напряженно-деформированное состояние изотропного идеально пластического полого цилиндра при условии полной пластичности цилиндров / М.А. Артемов, В.А. Баскаков, Н.П. Бестужева, Н.С. Потапов. Актуальные проблемы прикладной математики, информатики и механики: Сб. тр. междунар. конфер. — Воронеж: Изд-во ВГУ. — 2009. — Ч.12. — С.15-18.
Воронежский государственный технический университет Воронежский государственный университет
NORMAL PLASTIC FLOW IMPLICATIONS M.A. Artemov, N.S. Potapov, A.P. Yakubenko
The relationships which results from normal plastic flow law in case of flat deformation are examined. These relationships were offered within the flow theory for isotropic ideal stiff-plastic body. The research was performed for smooth and piecewise-smooth functions of plasticity
Key words: ideal plastic material, flow theory, flat deformation
