Системы уравнений типа нулевой средней кривизны Текст научной статьи по специальности «Математика»

А.Н. Кондратов, 2006

УДК 517.95, 517.75, 517.54

СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ ТИПА НУЛЕВОЙ СРЕДНЕЙ КРИВИЗНЫ

А.Н. Кондратов

Работа посвящена исследованию систем уравнений типа поверхностей нулевой средней кривизны в псевдоевклидовых пространствах. Для них установлена версия хорошо известной теоремы С.Н. Бернштейна, теоремы типа Лиувилля и Фрагмена — Линделефа.

1. Основные определения и факты

1.1. Пусть в области V С Е37УЧ"2, пространства переменных (ж,у,£, С) = (2ъ£2) Уъ ■ ■ ■ > УN, 6) • ■ • Съ • • •) Сл')> заданы вещественные функции

Ау(х, у,С, С) € С {ТУ)-, (¿,.7 = 1>2, Ац = А^), удовлетворяющие соотношению

^11^22 ~ А}2 = 1- (1)

Рассмотрим квадратичную форму

Л(х, У) £> 0(^1) ш2) = ^22^1 — 2А12и>1и>2 + АцСс>2-

В силу (1), форма Л(х,у,определена либо положительно, либо отрицательно при всех (х,у, £,() € Мы будем для определенности предполагать, что всюду далее форма Л(х,у, £, £)(и>1,и^) положительно определена при (х, у, £, () € V. В соответствии с этим, будем говорить, что дифференцируемая вектор-функция

1(х) = а1(х),...,Мх)):ОсМ2^Ш" (2)

порождает Д-метрику:

(¿5^ ^5 ) ^Х2 ) (^^1) 6^2) •

Объектом изучения данной работы являются системы дифференциальных уравнений вида

2 I

'¿Г, — = °. о»

¿>5=1 1

© где Г = 1(х) е С2, удовлетворяющие структурному условию 1.

В настоящей работе установлены некоторые геометрические свойства поверхностей М в заданных погружениями вида (2), где ¡(х) — С2-решение системы (3). Такие поверхности будем называть далее «А-поверхностями».

Свойства «Л-поверхностей» подобны свойствам поверхностей нулевой средней кривизны (НСК-поверхностям) в псевдоевклидовых пространствах [7], [8, гл. 6], которые в свою очередь описываются некоторыми частными случаями систем вида (3) (см. приводимый ниже пример 1). В соответствии с этим системы уравнений (3) со структурными условиями (1) мы называем «системами уравнений типа НСК».

Пример 1. Важным частным случаем системы вида (3), удовлетворяющей структурному условию (1), является система с

где £2,С2, (С, С) берутся в смысле псевдоевклидова пространства Е^, 0 < к < Лг, ассоциированного с (см., напр., [3]). В дальнейшем, говоря о псевдоевклидовых пространствах, мы пользуемся терминологией и обозначениями работ [6, 7].

Такие системы описывают двумерные НСК-поверхности в Е^ с положительно

с2 > О, £2С2 — (£, С) > и]- соответствует поверхностям с положительно определенной первой квадратичной формой, а область V = {(ж,у,£,С) € МЗАГ+2 : С2 < О, £2(2 ~ {£> С)2 > 0} —• поверхностям с отрицательно определенной первой квадратичной формой.■

Отметим, что двумерные НСК-поверхности в псевдоевклидовом пространстве ранее изучались в работах [6, 7, 16].

Отметим также, что результаты настоящей работы были ранее частично анонсированы в [9, 10].

1.2. Для дальнейших целей нам потребуются некоторые известные факты, приводимые в этом пункте.

Определение 1. Всякая пара вида Т = (Г2, с/з2), где О, С К2 — область, а

йв2 = дп(х)(1х21 + 2д12{х)с1х1с1х2 + д22{%)<1х\, х — {х1,х2) € й, (4)

риманова метрика в Г2, называется абстрактной поверхностью.

Известно (см., напр., [2, гл. 2]), что любая двумерная риманова метрика локально приводится к виду

где \{уъу2) > 0.

Определение 2. Локальные координаты г?х, г?2, в которых метрика имеет вид (5), называются изотермическими.

Определение 3. Пусть Б С Г2 — произвольная подобласть области О, и Р, <2 С О — непустые, замкнутые относительно Д непересекающиеся множества. Тройка множеств (Р, (3; И) такого вида называется конденсатором.

Ац

или отрицательно ог " метрикой. Здесь область V = {(ж,у,£,() С КЗАГ+2 :

¿в2 = А^г^ХбЬ2 +

(5)

Договоримся называть любую функцию ip(x) : D —* R, класса Lip D, обращающуюся в 1 на Р и в 0 на Q, удовлетворяющую неравенству 0 < ip(x) < 1 всюду в D, допустимой для конденсатора (P,Q;D).

Для произвольного конденсатора (P,Q\D) можно определить следующую числовую характеристику

cap (Р, Q; D) = inf J \\/ip\2da,

D

где |V<£>! — модуль градиента в метрике поверхности Т, da — элемент площади в этой метрике, а точная нижняя грань берется по всевозможным функциям, допустимым для конденсатора (P,Q\D). Число cap (Р, Q;D) называется емкостью конденсатора.

Емкость обладает свойством монотонности: если (P\,Qi,D) еще один конденсатор такой, что Pi с Р, Qi С Q, то

cap (Pi, Qi; D) < cap (P, Q;D). (6)

Определение 4. Пусть {_Dm}m=i — последовательность ограниченных обла-

__ +оо

стей в Ж2, со свойствами: Dm С Dm+1, (J Dm = М2. Будем называть такую

m= 1

последовательность областей исчерпанием R2.

Определение 5. Пусть К. С R2 — компактное множество. Область О, являющаяся неограниченной компонентой связности R2 \ /С, называется внешностью компакта /С.

Определение 6. Говорят, что абстрактная поверхность Т — (О, d.s2), заданная над внешностью компакта /С, имеет параболический конформный тип в бесконечно удаленной точке, если для некоторого исчерпания {Dm}^1 и некоторого фиксиро-

ванного п, такого, что /С С Dn, имеет место равенство

lim cap (Dn,R2 \ Dm;R2) = 0. (7)

m—>+оо

В противном случае говорят, что поверхность имеет гиперболический конформный тип в бесконечно удаленной точке.

Следует отметить (см. [12, лемма 2.1]), что справедливость равенства (7) хотя бы для одного исчерпания влечет за собой его справедливость и для любого

другого исчерпания {D'n}^i.

Будем обозначать через

д (922fті — 9nfx2 \ + d ( —Qufxi +5'п/ж2

* 1

Д/ = — ,

у/9 vdxi V V9 J 9х2\ yfg

9 = 9i\922 - 9І2 > 0, / Є C2(Q),

(8)

оператор Лапласа — Бельтрами (лапласиан) в метрике (4).

Замечание. Из равенств (1) и (8) следует, что (3) суть условие покоординатной гармоничности вектор-функции у = в Д-метрике ds^.

В дальнейшем нам потребуется следующее утверждение (см. [4]).

Теорема 1. Пусть Т — (Q,ds2) — абстрактная поверхность, заданная над Ü — внешностью компакта /С в пространстве R2 переменных Xi,x2. Если координатные функции хг,х2 гармоничны в метрике поверхности Т:

Да?! = 0, Ах2 — 0, (9)

то Т имеет параболический конформный тип в бесконечно удаленной точке.

Замечание. Хорошо известно, что емкость конденсатора является конформным инвариантом, а любая абстрактная поверхность, заданная над внешностью компакта с евклидовой метрикой, имеет параболический конформный тип в бесконечно удаленной точке. Отсюда можно заключить, что абстрактная поверхность Т = (Q,ds2), заданная над внешностью компакта К, С К2, имеет параболический конформный тип в бесконечно удаленной точке, если для некоторой ограниченной односвязной области D DD /С существует взаимнооднозначное конформное отображение поверхности F = (R2\D,ds2) на область вида {v : |и| > R, R > 0} С C„, переводящее бесконечную точку плоскости R2 в бесконечную точку плоскости Cv. Доказательство данной теоремы основано на явном построении конформного отображения с указанными свойствами.

В случае когда поверхность Т — (Г2, ds2) целая, то есть О = R2, результат теоремы 1 можно уточнить (см. [4]).

Теорема 2. Если для целой абстрактной поверхности Т — (R2,ds2) выполнены условия (9), то на ней можно ввести изотермические координаты и\,и2 с помощью линейного преобразования вида

х1 = иъ (Ю)

х2 = аи\ + bu2, b > 0.

Нам также понадобится следующее вспомогательное утверждение (см., напр., [13]).

Лемма 1. Пусть (7i,h) — риманово многообразие. Предположим, что на И задана гармоническая в метрике h функция и(х), такая, что при любых t,ti,t2 €. (a,b) (ii < t2) множества

ЕДгх) = {х : и(х) — t},

Mtlit2 = {х : ix < и{х) < t2}

компактны в М.

Пусть v(x) — другая гармоническая в метрике h функция. Тогда функция v(t) = max v(x) выпукла вниз на (а,Ь).

æeSt(ii)

2. Д-графики

2.1. Целью изучения этого параграфа являются Д-графики, то есть Д-поверхности, которые могут быть заданы в виде:

Уз = F3(yl)y2))y4 = F3(y1,y2),...,yN = FN(yuy2), (11)

где (2/1,2/2) е о с Ш1уъУ2У Мы говорим в этом случае, что Д-график (11) задан над областью О. При этом ясно, что

/з(®) = РзМх), /а(®)), /*(*) = Ш(х), /2(2;)),.. -,

/лг(аг) = Рлг(Л(а;), /2(х)) V ж е £>.

Замечание. Здесь и далее пространство переменных (2/1,2/2) отождеств-

ляется с плоскостью уз = 0,2/4 = 0,..., т/лг = 0. Аналогичный смысл имеют обозначения типа Ш2{уиуг), ЩУ11У21Ш) и т. п.

Возможность представления Д-поверхности в виде (11) предполагает, что отображение

('2/1,2/2) = (Л(ж), /г(я)) ■■ О (12)

суть гомеоморфизм областей В и £1 В дальнейшем, говоря об Д-графиках, мы везде дополнительно предполагаем, что в И

д(УъУэ) /п._

Договоримся называть Д-график (11) целым, если = М(УЪУ2)-

Заметим, что если (ж, у, £, С) £ ^ и ^£2 —£2(1 Ф 0, то двумерная плоскость

П(£,£) С с парой направляющих векторов £ и (, взаимно однозначно проеци-

руется на ®(У13/2)- При этом П(£,С) задается вектор-функцией

Са£-6С. , -С^ + йС..

у=ы^ыш+ыГШш- <13)

Положим

6С2 ~ 60 ’ ’ С1С2 “ 6С1

для всех г = 1,..., ]\Г. Тогда (13) в координатной записи примет вид

Уг = Ц1У1 + ЩУъ г = 1,..., ЛГ. (14)

Очевидно — 1,1^2 = 0,771 = 0,7^2 = 1. Геометрический СМЫСЛ величин Дг. ^ (г = 3,..., ЛГ) следующий. Пусть ®(Уь1/2)Ш) С1№ - трехмерное пространство

переменйых 2/1,2/2,2/г, и П%0 - проекция П(£,С) на ^И1И,л). Пусть также ф{ (соответственно 'фг) — угол между ОСЬЮ Оу\ (соответственно ОУ2) и сечением плоскости ЩУ1У^ (соответственно ЩУ2М)) плоскостью Пг(£,С), где М(уьу.) (соответственно ЩУ2 №)) — плоскость переменных 2/1,2/г (соответственно 2/2, 2/г) (рис- !)• Тогда будут справедливы равенства

Мг = tg фг, 77* =

РИС. 1. УГЛЫ фг И фг

Рассмотрим системы уравнений, у которых множество V удовлетворяет одному из следующих условий:

(a) или при 3 < г < N V (х, у, £, С) £ V, V г = 3,..., г

\pi\ ^ ■ • ■ >

где Т > 0 — некоторая функция, зависящая от N — г аргументов;

(а') или при г = N У(х, у, £, С) € £>, V г = 3,..., г

Ы < С,

то есть Т = С = const;

(b) или при 3 <r < N \/(ж, у, £, С) £ Д V г = 3,..., г

Ы < T(7/r+b...,77iv), где Т > 0 — некоторая функция, зависящая от N — г аргументов;

(Ь') или при г — N \/(г, у, £, С) £ Д V г = 3,..., г

Ы < С,

то есть Т = С = const.

Условия (а), (а'), (Ь), (Ь') характеризуют, таким образом, допустимую степень

наклона касательной плоскости Т^М к Д-графику М относительно выделенного

направления (оси Оуг или Оу2) в ® (г/i да)'

Пример 2. Покажем, что условия (а), (Ь) выполняются для системы примера 1, где область V = {(ж, у, £,() Є МЗЛП_2 : (2 > 0, £2(2 — (£,С)2 > 0} соответствует поверхностям с положительно определенной первой квадратичной формой.

Действительно, пусть базис в Е^ занумерован стандартно, а метрика имеет вид

к N

сів2 = - 53¿¡я + ^2 (15^

¿=1 г=к+1

Тогда справедливы равенства

«2=-Ее?+ Е &' ?=-£,$+ Е с?,

г=1 і=к+1 г=1 г=/с+1

к N

&о = -53&&+ 53 ^і■

г=1 г=&+1

В этом случае не зависят от г и у, а множество £> полностью определяется неравенствами

£2>0, с2 > о, |2С2 - (Ї.02 > 0. (16)

Неравенства (16) для некоторой пары векторов означают, что их любая линейная

комбинация + /?£, при а2 + /З2 Ф 0 имеет положительный псевдоевклидов скаляр-

ный квадрат, то есть плоскость П(£, £) пространственноподобна. Отсюда имеем

Ы - 6С)2 = - 53^6 - Ш2 + 53 (Сз<Єг - Ш2 > 0,

г=1 і—к+1

и при £2(2 - £2(1 Ф 0 легко получаем

1

^ , і = 3(17) Аналогично доказываются неравенства

N \1

53 М , г = 3,..., к. (18)

«=А:+1 /

Таким образом, в случае метрики, приведенной к виду (15), г = к.Ж

Рассмотренный пример соответствует двумерным непараметрическим НСК-по-верхностям, заданным над плоскостью с метрикой сигнатуры (-1,-1). Аналогично рассматриваются случаи, когда метрика в Е-^ приведена к одной из форм:

к+2 N

(їв2 = <1у1 + (іуі - 53 <іу2 + 53 ^У2> (19)

¿=3 і=к-\- З

к+1 N

(Із2 = -гіуі + (1у\ - ¿у] + 53 (2°)

і=3 і=к+2

Ы <

ы < [ 53 ^

\5=й:+1

отвечающих НСК-поверхностям, заданным над евклидовой плоскостью и плоскостью с метрикой сигнатуры (—1,1) (Минковского). В обеих ситуациях легко устанавливаются неравенства, аналогичные (17) и (18). При этом для (19) г = к + 2, а для (20) г = к + 1. Кроме того, если взять пространство Е^_2 с метрикой

то здесь будут выполняться условия (а'), (Ь') при С = 1.

2.2. Основным результатом данного параграфа является следующая версия теоремы С.Н. Бернштейна (см. [5]).

Пусть всюду далее (•, ■) — стандартное евклидово скалярное произведение в М-у. Теорема 3. Предположим, что множество V системы (3) удовлетворяет одному из условий (а) или (Ь), при некотором г < N. Тогда, если целый Л-график М С содержится внутри многогранного угла вида

где 'Уз = const, a a,i — векторы ортогональные плоскости переменных г/з,... ,уг, проекции которых на плоскость переменных г/Г+1,..., г/jv линейно независимы, то М — двумерная плоскость.

Доказательство. Векторы a4, удовлетворяющие условию теоремы, в координатной записи имеют вид

причем йе^а*.,} ф- 0. Используя это, перепишем неравенства (21) следующим образом

Так как М взаимно однозначно проецируется на плоскость ЩУ11У2), то по теореме 2 существует линейное преобразование

N

ds2 = dy\ + dyl — 53 dvh

(21)

N—r

53 ацУг+і + (УіУг + Ріу2 > 7г, і = 1,2,..., N - г.

3=1

(22)

У і = «і,

у2 = ащ + bu2, b > 0,

(23)

приводящее метрику ds2¡ к конформному виду.

Функции /¿(«1, и2) = Гг(и1, ащ 4- Ьи2), где г = 3,..., АГ, являются целыми и гармоническими по переменным щ,и2. Их линейные комбинации

N—r

i'*и2) = 53 aijfr+j + К- + Ф)щ + bpiU2, і = 1,2,..., N - г

4?,; •' ■" j=1

также целые и гармонические по щ,и2 функции, причем, в силу (22), ограниченные снизу:

К{и1,и2) > 7г, г = 3,

По теореме Лиувилля для гармонических функций

Ы(щ, и2) = ii = const.

Из условия det{aij} Ф 0 вытекает, что ■ ■ •, /at(mi, и2) линейно зависят

от щ,и2, а функции Fr+i(yx,y2),..., FN(y1,y2), соответственно, от у\,у2. Таким образом, при г = г + 1,..., N выполнено

РДуъЫ = Ауг + Вгу2 + Cit

где Ai, Bi, Ci — некоторые постоянные.

Осталось доказать линейность Fi(yi,y2) при i = 3,... ,г. Если для системы (3) выполнено условие (а), то для данных г будут справедливы неравенства

\Fiiyi{yi,y2)\ < T(Ar+i,Ar+2,.. .,An) = const,

то есть производные Fim будут ограничены.

Далее заметим, что Fi}Vl = Ди1 — |/i,U2. Так как частные производные Ди1, /¿iU2 целых гармонических функций суть целые гармонические функции, то по теореме Лиувилля для гармонических функций заключаем, что FiiVl есть некоторые константы Ai, а функции Fi(yi,y2) имеют вид

Fi(yi,y2) = A{yi + gi(y2),

где giiyz) — некоторые дифференцируемые функции. Из гармоничности fi(ui,u2) = АгЩ + gi{au\ + bu2) по щ,и2 вытекает, что д" = 0. Отсюда

9i(y 2) = Вгу2 + Ci,

и тем самым, при г = 3,... ,г, функции Fi{yi,y2) также линейно зависят от уг,у2. Для случая (Ь) рассуждения аналогичны. Теорема доказана.

В вырожденном случае г = N, то есть либо условия (а7), либо (Ь') вместо угла следует рассматривать все пространство RN, и никакие дополнительные условия типа (21) здесь не требуются. Такими же рассуждениями, как в доказанной теореме, мы приходим к следующей теореме.

Теорема 4. Предположим, что множество V системы (3) удовлетворяет одному из условий: (a') или (Ь'). Тогда любой А-график М С — двумерная

плоскость.

Доказанные теоремы суть версии теоремы С.Н. Бернштейна для псевдоевклидо-вых пространств, доказанных ранее в [6, 7], [8, гл. 6]. Поэтому, с учетом примеров 1 и 2, условия (а), (а'), (Ь), (1У) можно интерпретировать как «псевдоевклидовость» системы (3). Другие версии и обобщения теоремы С.Н. Бернштейна для поверхностей в псевдоевклидовых пространствах можно найти, например, в работах [16, 17, 18].

3. Поведение Д-графиков в бесконечно удаленной точке

3.1. Предположим, что /С С R2yi — компактное множество, а О — его внешность в %1,У2У Пусть М — Д-график, заданный над Q с помощью (2).

Пусть е е R^ — произвольный постоянный вектор. Тогда функция /е(х) — (f(x),e) будет гармонической в Д-метрике ds2.

Обозначим через С(/е) множество предельных значений функции fe(x) при (Л(ж), /г(ж)) —> оо. Описание структуры этого множества содержится в следующей теореме.

Теорема 5. При сделанных относительно поверхности М. предположениях либо С(/е) состоит из одной точки расширенной прямой R, либо C(fe) = R. Доказательство. Пусть

ds\ = Ьц(у 1, y2)dy\ + 2b12(y1,y2)dy1dy2 + b22(y1,y2)dyl

— Д-метрика ds| в координатах (yi,y2) Е Г2.

По теореме 1 можно задать ограниченную односвязную область Q D JC и конформное отображение Ш2у1 у2^ \ Q на область {и = vx -f- iv2 : |и| > R} С С„ (R > 0), переводящее бесконечно удаленную точку плоскости Щу1 у2^ в бесконечно удаленную точку плоскости С„. При этом координаты vx,v2 будут изотермическими.

Пусть xi(vi,v2),x2(vi,v2) — параметрическое представление независимых переменных хх,х2 через Vi,v2. Тогда функция fe(v)d= fe(x(v)) суть гармоническая.

Рассмотрим в {г? = vi + iv2 : ¡г;| > R} функцию, вообще говоря, многозначную, заданную по формуле

V

~ fe/v\djV2i

vo

где v0 — некоторая фиксированная точка в {г> = V\ + iv2 : |u| > R}, а интеграл берется вдоль произвольного спрямляемого пути, лежащего в {v = vi+iv2 : |г>| > R} И соединяющего ^0 с V.

Функция w = Fe(v) = fe(v) + ige(v) будет аналитической в {v = vx + iv2 : \v\ > R} С Сц.

Пусть 7 простой замкнутый спрямляемый контур, охватывающий круг {v = V\ + iv2 : |u| < R},' имеющий положительное направление обхода. Тогда

интеграл

ш — j fev2 dv^ + fevi dv2 7

не зависит от выбора такого контура 7, что легко доказывается стандартными рассуждениями с помощью формулы Стокса.

Если ш = 0, то функция w = Fe(v) голоморфна в {г; = vx +iv2 : |и| > Я}, и по теореме Ю.В. Сохоцкого (см., напр., [1, с. 144]) ее множеством_предельных значений при v —* оо будет либо расширенная комплексная плоскость Cw, либо только одна точка wo 6 Сw. Поскольку fe(v) = Re Fe(v), то утверждение теоремы имеет место.

Если и Ф 0, то рассмотрим голоморфную в {v = v\ + iv2 : \v\ > R} функцию

2тг

w = G(v) = exp{—Fe(^)}-

UJ

Применяя теорему Сохоцкого к этой функции и замечая, что

fe(v) = |<ЭД|,

получим утверждение теоремы и для случая и) Ф 0. Теорема доказана.

Следствие 1. Если А-график A4 расположен в полупространстве (у, е) < С, где С некоторая постоянная, то существует предел

lim /е(х) е [-оо, С].

Л(х)—*оо

/2(1)-* ОО

Следствие 2. Если Л-график М лежит в слое между двумя гиперплоскостями (у, е) = с\ и (у,е) = с2, то при стремлении (fi(x), /г(^)) _н> °° A4 асимптотически приближается к некоторой гиперплоскости (у, е) = с, то есть предел

с = lim /е(х)

оо

/2(х)-»оо

существует и конечен.

В заключение этого параграфа приведем еще одну теорему лиувиллева типа. Теорема 6. Пусть М. С — целый Л-график. Предположим, что существует гиперплоскость П, не пересекающая A4. Тогда A4 лежит в некоторой гиперплоскости Пх, параллельной П.

Доказательство. Пусть гиперплоскость П задана уравнением (у, е) = с, где е 6 RN — некоторый фиксированный вектор, с — постоянное число, а A4 находится в полупространстве (у, е) < с.

Пусть как и в предыдущей теореме

dsf = bn(yi,y2)dyj + 2b12{yi,y2)dyidy2 + b22(yi,y2)dyl

— метрика dsj = A(x,f,iXl,iX2)(dxi,dx2) в координатах (yi,y2) e fi =

По теореме 2 метрику dsj можно привести к конформному виду с помощью некоторого линейного преобразования (10). Тогда областью изменения переменной и = ui + ги2 будет вся плоскость Си.

Рассмотрим функцию fe(x) = (f(x),e), гармоническую в метрике dsПусть Х\ = Xi(ui,u2), Х2 = X2(ui,u2), соответствующее выражение переменных Xi,X2 через ui,u2. Тогда fe(u) = fe(x(u)) суть целая, гармоническая по щ,и2, ограниченная сверху функция. По теореме Лиувилля для гармонических функций /е(и) суть константа, что и доказывает теорему.

4. Теоремы типа Лиувилля и Фрагмена — Линделефа для Д-трубок

4.1. В этом параграфе рассмотрим класс Д-поверхностей в RN, которые, следуя [13], будем называть А-трубчатыми, или просто А-трубками.

Пусть е — фиксированный вектор единичной длины в Rn. Для произвольного вещественного числа t через П(t) обозначим гиперплоскость {у : (у, е) = £} С R^.

Пусть всюду далее (•, •) — скалярное прозведение в Д-метрике dsc, а V и А — операции взятия градиента и лапласиана в этой метрике.

Рассмотрим Д-поверхность М С R^, заданную С2-погружением (2). Определение 7. Поверхность М называется А-трубкой относительно направления е с проекцией (а, Ь) (—оо < а <Ъ < +оо), если выполняются условия:

1) погружение у = f(x) собственно, то есть прообраз f~Х{К) любого компактного множества К С R^ компакт в D\

2) множество = П(£) ПЛ4 компактно в М, не пусто и не содержит точек края

3) всякая порция поверхности М., заключенная между гиперплоскостями П(^) и П(£г). где ¿1, ¿2 £ (о,Ь), компактное множество в М.

Будем говорить, что Д-поверхность М трубчатая в целом или целая А-тру-бка, если (а, Ь) — (—оо, +оо).

Как и ранее, рассмотрим функцию £ = /е(х) = (£(а?), е), и для произвольных Мъ£2 £ (а, 6), ^ < ¿2, введем обозначения:

Заметим, что в силу предположения 1) множество Ег компактно в Нам потребуется следующее вспомогательное утверждение.

Лемма 2. Пусть М. — А-трубка с проекцией (а, Ь). Тогда для произвольной пары чисел ¿і,І2 Є (а, Ь), < ¿2, выполняется равенство:

дМ;

Pt = {х : /е(х) < £},

Qt = {х : /е(х) > t},

Ek = {х : /е(х) = i},

Ai,ta = {х : ii < /е(х) < t2}.

cap (Ptl,Qt2;D) = - —

I2 П

где J > 0 некоторая константа.

Доказательство леммы 2. Покажем сначала, что интеграл

Et

где |V/ej — модуль градиента в метрике dsl, не зависит от t.

Возьмем произвольно пару чисел 71,т2 € (а, Ь), для определенности считая Т\ < 72. Тогда с учетом гармоничности /е(ж) в Д-метрике б^, по формуле Стокса получаем равенство

J Afeda = J (V/e, г/)еЦ = О,

(24)

ßrj,T2 dDTi,T2

в котором ¿7 и da, соответственно, единичная нормаль и элемент площади в метрике

к dDTltT2.

Очевидно, dDTlT2 = Еп U ЕТ2. Поскольку Et суть линии уровня функции t = /е(ж), то, неограничивая общности, можно считать, что

V/е (ж) „ _ V feix)

" = ivxwi на и " = на ■' (25)

Подставляя (25) в (24), получим

j |V/.|ds(= J |V/e|rfSf.

Далее, в вариационной задаче

cap (Ptl)Qt2]D) = inf J\Vip(x)\2da, (26)

D

ПОЛОЖИМ

1, xe Ptl,

<p(x) = t-2- fejx) xeD

t2 - ¿1 ’ *1>£2’

w o,® e Qt2-

IV f I2

Тогда при x e Dtl t2 будем иметь |V<^|2 = 771—и, следовательно, будет спра-

(¿2 И/

ведливо неравенство

cap (Ptl,Qt2,D) < J |V/e|2dcT.

с

Откуда, воспользовавшись формулой Кронрода — Федерера [14], получим оценку

сар (р41Д2;£0 <

Чтобы убедиться в наличии равенства, достаточно заметить, что функция <р(х) гармонична в метрике поверхности Т и, следовательно, доставляет минимум в вариационной задаче (26). Лемма доказана.

Для целых Д-трубок можно аналогичными рассуждениями установить следующую «двустороннюю» версию предыдущего утверждения.

Лемма 3. Пусть М. — целая Л-трубка, и ti,t2 £ К (ix < t2) — произвольная пара положительных чисел. Тогда

— — 2 J

сар (.D-tlitl,D \ £>-t2)t2; D) = -—,

t2 —

где J > 0 — некоторая константа.

4.2. Следующие теоремы описывают геометрическое строение Д-трубок. Их доказательства базируются на методе, развитом в работах [15, 13].

Теорема 7. Пусть М С M.N — целая Л-трубка. Если существует гиперплоскость П, не пересекающая М., то М. содержится в некоторой гиперплоскости Пх, параллельной П.

Доказательство. Пусть гиперплоскость П задается уравнением

(У.Р) = с,

где р G RN (р ф 0) — фиксированный вектор, а с — постоянное число.

Предположим для определенности, что М расположена в полупространстве (у, р) < с, и рассмотрим гармоническую в метрике функцию /р(х) = (f(x),p).

Зафиксируем произвольным образом точку х^ € D и зададим произвольную постоянную Сх < /р(х^). Обозначим через О компоненту связности открытого множества {х : /р(х) > сх}, содержащую точку х^. Очевидно О ф 0, а функция /р(х) — сх ограничена на О и обращается в 0 на дО.

Пусть К, С О — произвольное компактное множество. Зафиксируем t0 так, чтобы /С С D_t0ii0, и будем рассматривать t > £0-

Зададим локально липшицеву функцию ¡/?(х), допустимую при вычислении емкости конденсатора (/С, D \ D_tit\D). Тогда функция

9{х) = (/р(®) - ci)v?2(x)

будет обращаться в 0 всюду на границе множества О р) D-tjt.

Воспользовавшись формулой Стокса, нетрудно получить равенство

J {Vg,VfP)da = - J gAfpdo.

öfl D—t,t Of\D-t,t

Поскольку Д/р = 0, то из последнего соотношения следует, что

[ ip2\Vfp\2dtj = -2 J ¥>(/p-d)(V¥>,V/p)d<T. (27)

' Op[D-t,t ОПD-tlt

Замечая, что |(V<p, V/p)| < |V^?||V/p|, и применяя к правой части (27) интегральное неравенство Коши, получим

or\D-t,t

( \

J V2\V/ppda <2 f (Jр - ca)2|V»f da j <p2\VU?da

/ \onD-,,t /

/ \

Откуда нетрудно видеть, что

D

Учитывая, что <р(ж) = 1 при х Е /С, и переходя к точной нижней грани по всем <р(х), допустимым для вычисления емкости конденсатора (/С, В \ будем иметь

Устремляя t к 4-00, делаем вывод, что |У/р| = 0 на /С. В силу произвола в выборе К, С О, заключаем, что /р (я) = /р( х^) при всех х е О, а в силу произвола в выборе константы с\ и всюду в Б. Это означает, что М расположена в гиперплоскости (У)Р) = /р(ж^)- Теорема доказана.

Требование, чтобы Д-трубка М. лежала в полупространстве, можно несколько ослабить, что вытекает из следующей теоремы.

Теорема 8. Пусть М — трубчатая относительно вектора е Е Л-повер-хность с проекцией (а, +оо). Пусть р € — некоторый фиксированный вектор,

и пусть р(Ь) = шах (у, р). Предположим, что р(£0) < Ро < 00 пРи некотором

Ег

¿о ^ (о, +ос). Тогда либо р(£) < р0 при £ > либо

Обозначим через О компоненту связности множества {х : /р(х) > р0}, содержащую точку х^\ и зададим произвольно компакт К, С О.

Положим = тах/е(х) и возьмем произвольно число £ >

Зададим локально липшицеву функцию <р(х), допустимую при вычислении емкости конденсатора (Pti,Qt\D). Тогда функция

J і V/p|2da < 4(с - Ci)2cap (/С, D \ D)

к

Откуда в силу свойства монотонности емкости (6) и леммы 3 получаем

к

(28)

/р(х(1)) > Ро, /е(х(1)) > to-

g(x) = <р2(х)(/р(х) - ро)

будет иметь компактный носитель, содержащийся в О.

По формуле Стокса нетрудно получить равенство

J(V$, Vfp)da = - j g&fpda.

о о

Далее, воспользовавшись гармоничностью fp(x) в метрике ds^ и рассуждениями, как при доказательстве предыдущей теоремы, приходим к неравенству

J <£2|V/P|2d(7 <4 J(/р - p0)2\Vip\2da,

о о

из которого, в свою очередь, получаем

J IV/pfW < 4 J Ур - p„)2|V»f Лт. (29)

1C o\(Pti UQt)

По принципу максимума для любого х Е 0 \ (Pt> U Qt) выполнено неравенство

(/P(s) “ Ро)2 < (p(i) - Ро)2-Тогда из (29) и свойства монотонности емкости вытекает оценка

J I V/p|2dcr < (p(t) - р0)2сар (Pt,t Qt; £>), к

и, согласно результату леммы 2,

*

J |V/P|2Лт < (p(t) - Ро)2^, (30)

где J — некоторая константа.

Из последнего неравенства получаем, что

Urn ^jr > 0. (31)

t—*+00 Vt

Действительно, если соотношение (31) не выполняется, то из неравенства (30) следует, что всюду на 1C

|V/p(x)| = 0.

Пользуясь произволом в выборе К, С О, заключаем, что /р = const на О. Это противоречит выбору точки £0, в которой /р(х^) > ро-

Таким образом, с учетом леммы 1, p{t) — неограниченная выпуклая вниз на [¿о,+оо) функция. Тем самым ее порядок не меньше 1 и, значит, выполнено неравенство (28). Теорема доказана.

Доказанные теоремы 7, 8 можно рассматривать, как геометрические версии теорем Лиувилля типа Фрагмена — Линделефа.

Summary

SYSTEMS OF ZERO MEAN CURVATURE TYPE A.N. Kondrashov

Let M be a 2-dimensional surface in RN which is given by injection y = f(x) :

D C R2 -* RN, where x = (xi,x2) e D. If y = f(x) is the solution of system of

equations

2 d

i,3=l 1

where functions Aij = Aji are satisfied to structural condition

^1X^22 ~ >1x2 =

then M is called ,4-surface. The ^4-surfaces are generalization of two-dimensional surfaces of a zero mean curvature in pseudoeuclidean space.

In the paper we research the ^4-surface.

Список литературы

1. Евграфов М.А. Аналитические функции. М.: Наука, 1991.

2. Векуа И.Н. Обобщенные аналитические функции. М.: Наука, 1988.

3. Постников М.М. Лекции по геометрии. Семестр II. Линейная алгебра. М.: Наука, 1986.

4. Кондрашов А.Н. Об одном признаке параболичности римановой метрики на плоскости // Вестник ВолГУ. Сер. 1: Математика. Физика. 1999. Вып. 4.

5. Бернштейн С.Н. Об одной геометрической теореме и ее приложениях к уравнениям в частных производных эллиптического типа // Бернштейн С.Н. Собр. соч. Т. 3. М.: Изд-во АН СССР, 1960.

6. Кондрашов А.Н. Двумерные минимальные поверхности в псевдоевклидовом пространстве // Докл. АН России. 1999. Т. 365. № 3. С. 319—321.

7. Кондрашов А.Н. Двумерные поверхности нулевой средней кривизны в псевдоевклидовом пространстве // Научные школы Волгоградского государственного университета. Геометрический анализ и его приложения. Волгоград: Изд-во Волгогр. гос. ун-та, 1999.

8. Клячин В.А., Миклюков В.М. Трубки и ленты в пространстве-времени: монография. Волгоград, 2004. С. 269-284 (Юбил. серия «Труды ученых ВолГУ»),

9. Кондрашов А.Н. Геометрические свойства одного класса систем дифференциальных уравнений / ВолГУ. Волгоград, 1998. Деп. в ВИНИТИ. 07.12.98, №3585-В98.

10. Кондрашов А.Н. Теорема Бернштейна для систем уравнений типа НСК // Тезисы докладов Международной конференции по анализу и геометрии, посвященной 70-летию академика Ю.Г. Решетняка. Новосибирск: Изд-во Ин-та математики, 1999.

11. Миклюков В.М. О конформном типе поверхностей, теорема Лиувилля и теорема Бернштейна // ДАН СССР. 1978. Т. 242. № 3. С. 537-540.

12. Миклюков В.М. Некоторые признаки параболичности и гиперболичности граничных множеств поверхностей // Изв. РАН. Сер. мат. 1996. Т. 60. № 4. С. 111-158.

13. Миклюков В.М., Ткачев В.Г. Некоторые свойства трубчатых минимальных поверхностей произвольной коразмерности // Мат. сб. 1989. Т. 180 (222). С.1278-1295.

14. Бураго Ю.Д., Залгаллер В.А. Геометрические неравенства. Л.: Наука, 1980.

15. Миклюков В.М. О некоторых свойствах трубчатых минимальных поверхностей в Мп // ДАН СССР. 1979. Т. 247. № 3. С. 549-552.

16. Zheng, Quan. Maximal spacelike submanifolds of dimension n in the Lorentz— Minkowski space Ln+P // Sichuan Daxue Xuebao. 32 (1995). № 4. P. 372—376.

17. Xin and Ye. Bernstein-type theorems for space-like surfaces with parallel mean curvature // J. reine angew. Math. 489 (1997). P. 189-198.

18. Calabi E. Examples of Bernstein problems for some nonlinear equations // Proc. Sys. Pure Math. 15 (1970). P. 223-230.