Системы линейных интервальных уравнений с конечным множеством решений Текст научной статьи по специальности «Математика»

Лакеев А.В. УДК 519.6

СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ ИНТЕРВАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ С КОНЕЧНЫМ МНОЖЕСТВОМ РЕШЕНИЙ

В работе будем использовать стандартные обозначения Я, Q, Z, N для множеств вещественных, рациональных, целых и натуральных чисел, соответственно, и N+ = N\{0}. При этом

через Яп (^п, 2п, ...) обозначается множество п -мерных векторов (столбцов) с координатами из

п / л 7 \ т>туп//^туп гу туп \

Я (Q, Z,...), а через Я ^ , Z ,...) - множество т у п -матриц с элементами из ЯZ,...).

Для векторов а, Ь е Я" (матриц А,В е Ятуп) неравенство а < Ь (А < В), модуль |а| (| А|) и операции а + =тах{0п, а}, а~ = тах{0п ,-а} ( А+ = тах{0 туп, А}, А- = тах{0туп,-А}) будем понимать покоординатно (поэлементно), где 0п -нулевой п -мерный вектор (0туп - нулевая т у п -матрица).

Также будем использовать стандартные обозначения, принятые в интервальном анализе (см., например, [1]).

Если заданы два вектора Ь, Ь е Ят, Ь < Ь (матрицы А, А е Ятуп, А < А), то интервальным вектором Ь = [Ь, Ь] (интервальной матрицей А = [А, А]) будем называть множество Ь = [Ь,Ь] = {Ь е Ят | Ь <Ь <Ь} (А = [А, А] =

{А е Ятуп | А < А < А}). Множество всех п -мерных интервальных векторов обозначим 1Ят и множество всех интервальных т у п -матриц - !ЯтУП .

Основным объектом исследования данной работы является система линейных интервальных уравнений [1] вида

Ах = Ь, (1)

где А = [А, А] е 1Ятуп - интервальная т у п -матрица, Ь = [Ь, Ь] е 1Ят - интервальный т -мерный вектор.

Под множеством решений системы (1) будем понимать множество

Е(А,Ь) = {х е Яп | ЗА е А ЗЬ е Ь Ах = Ь}, (2) называемое обычно объединенным множеством решений системы (1) [1].

При исследовании вычислительной сложности различных задач, связанных с интервальными системами линейных уравнений, большую роль играют системы, имеющие конечное объединенное множество решений [2-4]. Хорошо известно, что для обычных неинтервальных систем линейных уравнений множество решений будет либо пустым, либо одноэлементным, либо бесконечным.

В случае, когда число т уравнений системы (1) не больше, чем число п переменных, в принципе, ситуация такая же. Т.е. если т = п, то можно показать [2], что объединенное множество решений либо пусто, либо одноэлементно, либо бесконечно (однако, в отличие от неинтервальных систем, может быть невыпуклым). Также нетрудно показать, что если т < п, то множество решений либо пусто, либо бесконечно (содержит некоторый луч). Таким образом, эффект конечности множества решений появляется только при т > п.

В связи с вышесказанным представляется интересным получить некоторые критерии конечности объединенного множества решений, а также выяснить вычислительную сложность вопроса о конечности этого множества и вычислительную сложность задачи максимизации линейного функционала на нем, в случае его непустоты.

Приведем вначале критерий конечности Е(А, Ь), аналогичный одному из критериев регулярности интервальной матрицы из работы [5]. Для этого проясним структуру множества £(А, Ь) .

Введем следующие обозначения, которыми будем пользоваться в дальнейшем. Для п е N+

обозначим Qn = {х е Яп | хг е {-1,1}, I = 1,п} -

дискретный куб в Я п .

Для любого у е Qn обозначим через Япу ор-

тант в Яп , соответствующий набору знаков у, т.е.

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ В ЗАДАЧАХ ДИНАМИКИ И УПРАВЛЕНИЯ

R; ={х е R"\y1x1 > 0, i = 1,n}.

Согласно теореме Оеттли-Прагора [6] объединенное множество решений для системы (1) можно записать в следующем виде:

E(A,b) = {x е Rn\\Acx - bc \< A \ x \ +5}, (3)

где Ac =1(A + A), A = 2(A - A), bc =2(b + b),

5 = -2(b - b). Заметим, что для x е R; \ x \= Tyx, где Ty = diag (yl5...,yn) - диагональная матрица. Поэтому пересечение £(A, b) с R; можно записать в следующем виде:

E(A,b) n R; = {x е Rn \ - ATyx-5 < Acx - bc <ATyx + 5, Tyx > 0} = = {xе Rn \ (Ac +ATy)x>bc-5, (Ac + ATy)x < bc +5, Tyx > 0},

т.е. оно является множеством решений системы (2m + n) линейных неравенств от n переменных. Поэтому £(A, b) конечно тогда и только тогда, когда для любого y е Qn множество £(A, b) n Rn

не более чем одноэлементно. В дальнейшем нам также понадобится следующее утверждение.

Лемма 1. Пусть A е Rmxn, b е Rm, c е Rn и система линейных неравенств вида J Ax < b, [ x > 0

разрешима. Все решения этой системы лежат в некоторой гиперплоскости cTx = const (T - знак транспонирования) тогда и только тогда, когда существует решение системы

'y1 A > cT;

jTA >-cT; '(y[ + yT) b = 0;

_yi > 0, y2 > 0.

Доказательство. Рассмотрим "удвоенную" систему (4), т.е.

(4)

(5)

Ax1 < b; Ax2 < b;

- xi < 0;

- x2 < 0.

(6)

Очевидно, что для того чтобы все решения системы (4) лежали в некоторой гиперплоскости

cTx = const, необходимо и достаточно, чтобы для

любого решения хх,х2 системы (6) выполнялось неравенство

сТ (X! - х2) < 0, (7)

т.е. неравенство (7) - следствие системы неравенств (6).

Представляя систему (6) и неравенство (7) в

виде

A 0 N (b 1

0 A ( x1 ^ b

<

- E 0 V x 2 J 0

0 - Ej V 0 J

, (cT - cT )

(xi >

Vx2 J

< 0,

где Е - единичная матрица, получаем [7, следствие 7.1Ь], что (7) является следствием (6) тогда и только тогда, когда разрешима следующая система:

(yiT yTi yl yT)

( a 0 ^

0 A

- E 0

v0 - Ez

= (cT - cT),

(yi y\ y3 y4)

(b ^ b

0 0

< 0,

(8)

У1 > 0, у2 > 0, Уз > 0, у4 > 0.

Расписывая эту систему, получаем

у! а - уТ3 = сТ, <УТ^А - УТ = -сТ,

' УТЬ + УТ2Ъ < 0,

у > 0, у2 > 0, уз > 0, У4 > 0.

Исключая из системы (8) переменные у3 и у4, получаем, что разрешимость этой системы эквивалентна разрешимости следующей системы неравенств:

' у!а > сТ,

yTA >-cT,

(9)

(у! + У! )Ь < 0, _У1 > 0, у2 > 0. Далее заметим, что, так как система (4) имеет решение, то по одному из вариантов леммы Фаркаша [7, следствие 7.1£] не существует решений системы

\yTA > 0, I yTb <0.

(10)

Если у1, у2 - решение системы (9), то, складывая два первых неравенства этой системы, получим, что (у[ + у^)А > 0, и из неразрешимости системы (10) получаем, что строгое неравенство (у[ + у2 )Ь <0 выполняться не может. Поэтому система (9) эквивалентна системе (5). Лемма доказана.

Теорема 1. Для того чтобы множество Е(А, Ь) было конечным, необходимо и достаточно, чтобы при любом у е Qn существовало решение одной из следующих линейных систем: '(х2 + х2 )д< (х[ - х2)АсТу, (хТ + хТ )3 + (хТ - хТ )Ьс <0, (11)

х > 0, х2 > 0,

(X„ + X!2)Д + Еп < (Xп - X!2)АсТу, (X21 + X22 ) А Еп < (X21 - X22 ) АсТу ,

(X,, + X12 + X 21 + X 22 ) 3 + (12)

(X „ - X !2 + X 2! - X 22) Ьс =0,

X,, > 0, X12 > 0, X21 > 0, X22 > 0,

где Ту = ^(у„..., уп), А = [АС-А, Ас +А],

b = [bc -S,bc +s\,

X; e Rn, / = 1,2,

X, e Rn

/, у = 1,2, Еп - единичная п у п -матрица.

Доказательство. Как уже отмечалось выше, для того чтобы множество £(А, Ь) было конечным, необходимо и достаточно, чтобы при любом у е Qn множество ЦА,Ь) п Япу было не более чем

одноэлементным. Это множество совпадает с множеством решений следующей системы нера-

венств:

(Ac -ATy)x < bc + S,

(Ac + ATy)x > bc -S,

TyX > 0.

Сделав в этой системе замену Тух = г , получаем, что следующая система должна иметь не более одного решения:

Г(АсТу -А) г <3 + Ьс,

-(AcTy +A)z <S + bc, z > 0.

(13)

ттт

(13) не имеет решений тогда и только тогда, когда существует решение системы

'хТ (АсТу -А) - хТ (АсТу +А) > 0,

c y ' 2 V c y

xT (S + bc) + XT (S- bc) < 0,

x1 > 0, x2 > 0,

которая, очевидно, эквивалентна системе (11).

Рассмотрим теперь условия, при которых система (13) имеет единственное решение.

Обозначим ei - i -й орт в Rn, i = 1,n . Тогда очевидно, что система (13) имеет единственное решение, если и только если для любого i = 1, n все решения системы лежат в гиперплоскости eTl z = const.

Используя лемму 1, получаем, что для этого необходимо и достаточно, чтобы при всех i = 1, n существовало решение системы

"S (AcTy -A) - uT2l (AcTy + A) > ef, v1i (AcTy -A) - vTi (AcTy +A) >-eT, ("T + vTi )(S + bc) + ("Ti + vTi )(S - bc) = 0,

> 0, "2i > 0, v„ > 0, V2i > 0, которую после очевидных преобразований можно записать в следующем виде:

+ uT )A + eT < (u1i - uT2l)AcTy

1i 1 2i / 1 '"i - V"1i ll2W~c~y

(v1i + vTi )A - eT < (v1i - vT-) AcTy,

(u

2i i 1i T + u T + vT + vT- )S +

(14)

+ ("T + v1i - uI - vT- )bc =0, u„ > 0, u2- > 0, v„ > 0, v2i > 0.

Объединяя системы (14) по всем 1 = 1, п в одну систему и образуя из векторов-строк матрицы X11, X21, X22, соот-

" 1 • , "о

v.-, v^

Рассмотрим далее два случая: система (13) не имеет решений, либо система (13) имеет единственное решение. По одному из вариантов леммы Фаркаша [7, следствие 7.1£] получаем, что система

ветственно, получаем систему (12). Теорема доказана.

Системы (11), (12) можно преобразовать в более компактный вид, если использовать модули векторов и матриц.

Следствие 1. Для того чтобы множество Е(А, Ь) было конечным, необходимо и достаточно, чтобы при любом у е Qn существовало решение одной из следующих систем с модулями: 11 хТ | А < хТАсТу, У хТ | 3 + хТЬс <0, Г! X 1|А + Еп < X1 АсТу,

(15)

I X2 | A-En < X2AcTy,

(I X! I + I X2 |)S + (X! + X2)bc =0

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ В ЗАДАЧАХ ДИНАМИКИ И УПРАВЛЕНИЯ

где x е Rn, Хх, Х2 е Rnxm.

Доказательство. Покажем, что разрешимость систем (11) или (12) эквивалентна разрешимости систем (15) или (16).

Пусть система (11) разрешима и x1, x2 - некоторое ее решение. Положим X Xl X2 . Тогда очевидно, что | x |< x1 + x2, и, учитывая неотрицательность матрицы А и вектора 5, получаем I хТ | А < (xT + x2T) А < (xT - x2T) АсТу = xT АсТу,

| хТ | 5 + хТЬс < (хТ + хТ )5 + (хТ - хТ )Ьс < 0, т.е. вектор х будет решением системы (15).

Обратно, если х - решение системы (15), то, полагая х1 = х+, х2 = х- (положительная и отрицательная часть вектора х соответственно), получаем, что х = х1 - х2 и | х |= х1 + х2 . Следовательно, х1, х2 будут решением системы (11).

Эквивалентность разрешимости систем (12) и (16) (при условии, что существует решение системы (13)) доказывается аналогично. Следствие доказано.

Как известно [8], для выяснения вопроса о разрешимости системы линейных неравенств (а, следовательно, и для систем (11), (12) при фиксированном у е Qn) существует полиномиальный алгоритм. Однако, для того чтобы выяснить вопрос о конечности множества Е(Л, Ь), опираясь на теорему 1, необходимо выяснить разрешимость

2П систем вида (11), (12), т.е. получаем, вообще говоря, экспоненциальный алгоритм. Как видно из следующей теоремы, если Р Ф ИР, то полиномиального алгоритма для выяснения конечности множества Е(Л, Ь) не существует. Для доказательства этого утверждения нам потребуется следующая лемма, которая может быть получена из некоторых результатов работы [9], однако мы приведем совершенно элементарное доказательство.

Лемма 2 [9]. Для заданного вектора й = (й1,...,йп)Т е Rn вектор х = (х^...,хп)Т е Rn удовлетворяет системе неравенств

|xi + di (й, х) |< 1, ■ = 1, п;

| х, | (17)

1=1

Доказательство. То, что вектор х е Rn с координатами из {-1,1} и такой, что (й,х) = 0, удовлетворяет системе (17), очевидно.

Покажем обратное. Пусть х е Rn удовлетворяет (17). Расписывая || х + (й,х)й ||2, получим || х + (й, х)й ||2=|| х ||2 +2(х,(й, х)й)+1| (й, х)й ||2 = =|| х ||2 +2(й,х)(й,х) + (й,х)2 || й ||2 =

=|| х ||2 +2(й, х)2 + |||й||2 | Из этого равенства получаем

|| х || =|| х + (й,х)|Г -2(й,ху|1 + й |Г (18)

Тогда, используя неравенства (17), равенство (18) и хорошо известное неравенство

1 2

| а |< ^(1 + а ), получаем

П П л

п <^|хг|<^ -(1 + х2) =

¿=1 - = 2

¿=1

(

\

2

п + ^х

V ■=! У

12

= —(п+ || х ||2) =

1 ^п+ || х + (й,х)й ||2 -2(й,х)2+ -2|| й ||2

2

1

Г

п +

V '¿=1

х^ + (й, хЩ )2 -

- 2(й, х)2| 1 + -||й|Г

<

<

тогда и только тогда, когда х1 е {-1,1}, ■ = 1,п, и матрицам А, А е 2(т+1)хт и векторам Ь, Ь е 2

п + п - 2(й,х) | 1 + -21| й |Г

= п - (й, х)2|1 + 2||й||2 |.

И, следовательно, (й,х)2Vl+-21| й ||2|< 0.

Что возможно только в случае (й, х) = 0. Поэтому из первых неравенств (17) получаем

п

| xi |< 1, ■ = 1, п, и, учитывая неравенство п < ^ | xi |

■ =1

, получаем | х( | = 1, т.е. х; е {-1,1}, ■ = 1,п . Лемма доказана.

Теорема 2. Задача выяснения по заданным

т+1

, х) = £ =0.

таким, что множество Е(Л, Ь) непусто и ограничено, будет ли множество Е(Л, Ь) конечным, является ИР-трудной (более точно, со - ИР -

2

1

2

полной). Если, кроме того, задан вектор с е 2т, число ае Z и известно, что 2(Л, Ь) не пусто и конечно, то задача выяснения, верно ли, что шах{сТх|хе 2(Л,Ь)}> а, ШР-полна.

Доказательство. То, что первая задача лежит в со - ШР, следует непосредственно из теоремы 1. Действительно, отрицание этой задачи, т.е. выяснение того, что множество 2(Л, Ь) бесконечно, будет лежать в ШР .

Недетерминированный полиномиальный алгоритм, выясняющий этот вопрос, состоит в следующем. Сначала "угадываем" тот ортант Япу, для

которого системы (12), (13) будут неразрешимы, и затем с помощью полиномиального алгоритма [8] показываем их неразрешимость.

Покажем теперь, что известная ШР -полная задача РАЗБИЕНИЕ [10] полиномиально сводится к задаче выяснения бесконечности множества 2(Л, Ь).

Задача РАЗБИЕНИЕ состоит в следующем.

УСЛОВИЕ. Заданы п > 1 чисел

йп е.

ВОПРОС. Существует ли набор знаков

п

х^...,хп е{-1,1} такой, что Iх7й7 = 0?

ра

Другими словами, если для заданного векто-й = (й1, •.., йп )Т е N1 обозначим 2Я (й) =

х е

а II

хД =0|

то задача РАЗБИЕНИЕ со-

7=1

стоит в выяснении непустоты множества 2Я (й). Итак, пусть задан вектор й =

(й1,;йп)Т е N1. Обозначим й = (й^..,Зп12)Т,

17 = 2й7, 7 = 1, п,

'п+1 I61 7> м(п+2)

■I'

х7 + й7 (й,х) = [-1,1], 7 = 1,п + 2,

в-1,1]

х, = п + 2,

1=1

хп+3 = хп+1 1 хп+2 ,

(19)

1п+4

+ [-1,1] хп+3 = 0.

Пусть интервальные матрица Л и вектор Ь соответствуют системе (19). Тогда по теореме

Оеттли-Прагора и лемме 2 получаем, что система (19) эквивалентна следующей:

х7 е {-1,1}, 7 = 1,п + 2,

( п > ( п > ( п >

2 < I х,й1 + I й1 хп+1 I й1 хп+2 = 0,

К1= V К1= V К1= V

х п+3 = хп+1 + хп+2 ,

] хп+4 < хп+3 I .

Покажем, что множество решений задачи РАЗБИЕНИЕ 2Я (й) непусто тогда и только тогда, когда множество решений системы (20) (т.е. 2(Л, Ь)) бесконечно.

Пусть Ей (й) = 1х е вп II

х7й7 = и

х0 =(х°,„.,х°)Т е2Я (й). Тогда очевидно, что для

:>я+4

любого а е [-2,2] вектор х е Я" вида ~0 = (х°,•.., хп, 1,1, 2, а)Т удовлетворяет системе (20) и, следовательно, принадлежит 2(Л, Ь). Таким образом, 2(Л, Ь) - бесконечно.

Покажем обратное. Пусть 2(Л, Ь) бесконечно. Посмотрим, за счет какой координаты в множестве векторов 2(Л, Ь) может возникнуть бесконечность? Из системы (20) получаем, что, если х = (х1;„.,хп+4) е 2(Л,Ь), то х7 е {-1,1},

7 =1,п + 2, хп+3 е {-2,0,2}. Так как векторов из Яп+3, удовлетворяющих этим условиям, конечное число (< 3 • 2п+2), то в множестве 2(Л, Ь) найдется вектор ~ 0=( х°,„., х°+4)Т такой, что х°+4 Ф 0. Но

тогда

о

1 хп+3 1 > 1 хп+4 1 > 0

и,

следовательно,

х

п+3

е {-2, 2}. В силу равенства хп+3 = хп11 + хп

= I й7, й,

7=1 7=1

рассмотрим систему из (п + 5) уравнений от (п + 4) переменных х^..,хп+4, ~ = (х1,^,хп+4)Т .

Рассмотрим систему линейных интервальных уравнений

и того, что х°+1, х°+2 е {-1,1} , это возможно, только когда либо х°+1 = х°+2 = 1, либо х°+1 = х°+2 = -1. Но тогда в любом случае из второго уравнения

п

системы (20) получаем, что I х(°й7 =0, т.е.

Следовательно,

х 0=( х^.., х0)Т е 2 я (й). 2Я (й) Ф0.

Таким образом, задача РАЗБИЕНИЕ полиномиально сводится к задаче выяснения бесконечности множества 2(Л,Ь). Кроме того, очевидно, что множество решений системы (20) при любых

йп е N + непусто и ограничено. Следовательно, задача выяснения бесконечности множества 2(Л,Ь) будет ШР -полной и поэтому задача

7=1

7=1

7=1

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ В ЗАДАЧАХ ДИНАМИКИ И УПРАВЛЕНИЯ

С =(0,...,0,1,1)T е Z

n+2

а = 2 . Множество

2(А0,Ь0) непусто, так как (1,...Д,-1Д)Т е 2(А0,Ь0) и, очевидно, конечно. Кроме того,

{с^х х е2(А0,Ь0)}> 2 тогда и только тогда,

max> с0 х

00

когда в 2(А 0, Ь 0) имеется вектор вида (х1,., хп ,1,1)Т, что очевидно эквивалентно 2Я (й) ф 0 . Таким образом, задача РАЗБИЕНИЕ полиномиально сводится к задаче максимизации и, следовательно, последняя NP -полна. Теорема доказана.

Из этой теоремы, в частности, следует, что если Р ф NP, то не существует характеризации систем вида (1), имеющих конечное множество решений существенно лучше (относительно сложности проверки), чем полученная в теореме 1.

На следующий подкласс интервальных систем указал автору С.П. Шарый. В его работе [11] получены некоторые интересные свойства неотрицательных интервальных систем, при этом система вида (1) считается неотрицательной, если А > 0туп (где 0туп - нулевая т х п -матрица и " > " понимается поэлементно).

Рассмотрим еще более узкий класс интер-

вальных

систем.

Обозначим

=1

e =

al\T _ nn 77m,n ms n\l

,.,1) е R и E = e (e ) - m x n -матрицу, у которой все элементы равны единице.

выяснения конечности 2(А,Ь) будет со - NP -полной.

Рассмотрим теперь задачу максимизации. Недетерминированный полиномиальный алгоритм, решающий эту задачу, состоит в следующем. Сначала "угадываем" тот ортант Япу , в котором достигается максимум, и затем с помощью полиномиального алгоритма [8] показываем нужное неравенство.

Для доказательства NP -полноты опять используем задачу РАЗБИЕНИЕ. Пусть задан вектор й е N1. Образуем вектор й так же, как раньше, и рассмотрим систему из (п + 3) уравнений от (п + 2) переменных, состоящую из первых (п + 3) -х уравнений системы (19).

Опять по теореме Оеттли-Прагора и лемме 2 получаем, что она эквивалентна первым (п + 3) -м уравнениям системы (20).

Обозначим через А 0, Ь 0 интервальные матрицу и вектор, соответствующие этой системе,

Определение. Будем говорить, что система вида (1) с интервальной т у п -матрицей

А = [А, А] и интервальным т -вектором Ь = [Ь, Ь]

строго положительна, если А > Ет'п, Ь > ет .

Введем следующее преобразование пары (А,Ь), А = [А, А] е 1Ятуп, Ь = [Ь,Ь] е 1Ят, в пару

(А р,Ь,),

где А р = [Ар, АР ] е 1Я|>+1)у(п+1) ,

Ь р =[Ьр,Ьр] е 1Ят+\

AP =

A + L

Y(en )T 1

Ap =

с

bp =

b + Se'

s

A + L

nT

f

bP =

/(e") b + Sem

s

L = yem (en)T = yEm,n, у = maX 1,1 - minä„ k

i, j

S = max! 1,1 - minbi k

( х >

Отметим, что при этом 2(А ,Ьр) с Яп и будем записывать вектора из Яп+1 в виде

V хп+1)

где х е Яп, хп+1 е Я . Тогда верно следующее утверждение.

Теорема 3. Для любых А е Ж"1^, Ь е 1Ят система (А ,Ь ) сильно положительна и

IV х >

2(A p, b p ) = ■

sS-Y(en )Tx

х е!(А, b)k (21)

Доказательство. Покажем, что система (А , b p) сильно положительна. Очевидно, что

выполняются следующие неравенства:

Zj + Y> Zj +1 - min ак1 > 1,

k,l

Ьг +Y> b +1 - min bk > 1,

k

Y > 1 и S> 1.

Поэтому Ap > Em+:' n+\ bp > em+! .

Покажем теперь равенство (21). Заметим, что матрица Ap е А (вектор bp е b ) тогда и

только тогда, когда существует АеА (beb) та-

кая, что Ap =

fA + L em Л Y(en )T 1

(соответственно,

m

m

e

и

n

e

i=1

f

bp =

b + 5er' 5

( x \

). Поэтому равенство Ap

V Xn+1 j

= bp

(22)

эквивалентно системе уравнений

| Ах + ует (еп )Тх + хп+1ет = Ь + 5ет, \у(еп )Тх + хп+1= 5. Вычитая из первого уравнения системы (22) второе, умноженное на ет, получим, что эта система эквивалентна следующей: [ Ах = Ь,

1/(еп )Тх + хп+1= 5.

Поэтому

V Xn+1 j

е E(A , bp) тогда и только

тогда, когда х е 2(Л,Ь) и хп+1 = 5-у(еп)Тх0. Теорема доказана.

Из этой теоремы, в частности, следует, что преобразование сохраняет (причем в обе стороны) такие свойства системы как непустота, ограниченность и конечность объединенного множества решений, а также разность между числом уравнений и переменных. Кроме того, очевидно, что целочисленные системы переходят в целочисленные, а максимизация линейного функционала на 2(Л, В)

эквивалентна его максимизации на 2(Л , В ), и система (Л , В ) строится по системе (Л, Ь ) полиномиальным алгоритмом. Поэтому различные алгоритмические задачи для интервальных систем полиномиально эквивалентны соответствующей задаче для их подклассов строго положительных систем. В частности, верно

Следствие 2. Задача выяснения по заданА, А е Z (т+1)хт

ным матрицам

и векторам

Ь, Ь е Zm+1 таким, что система строго положительна, а множество 2(Л,Ь) непусто и ограничено, будет ли множество 2(Л,Ь) конечным, является со - ШР -полной. Задача максимизации линейного функционала на непустых конечных множествах решений строго положительных систем ШР -полна.

Работа частично поддержана грантом Президента РФ НШ-1676.2008.1 и грантом РФФИ № 07-01-00400.

БИБЛИОГРАФИЯ

1. Neumaier, A. Interval Methods for Systems of Equations / A. Neumaier. - Cambridge: Cambridge University Press, 1990.

2. Lakeyev, A.V. NP-hard classes of linear algebraic systems with uncertainties / A.V. Lakeyev, V. Kreinovich // Reliable Computing. - 1997.-Vol. 3, № 1. - P. 51-81.

3. Kreinovich, V. Computational complexity and feasibility of data processing and interval computational / V. Kreinovich, A.V. Lakeyev, J. Rohn, P. Kahl. - Dordrecht: Kluwer, 1998. - 472 p.

4. Lakeyev, A.V. Computational Complexity of Estimation of Generalized Sets of Solutions for Interval Linear Systems / A.V. Lakeyev // Вычислительные технологии. - 2003. - Т. 8, № 1. -С.12-23.

5. Rohn, J. Systems of linear interval equations / J. Rohn // Linear Algebra and its Applications. -1989. - Vol. 126. - P. 39-78.

6. Oettle, W. Compatibility of approximate solution of linear equations with given error bounds for coefficients and right-hand sides / W. Oettle, W. Prager // Num. Math. - 1964. - Vol. 6. -P. 405-409.

7. Схрейвер, А. Теория линейного и целочисленного программирования. Т. 1, 2 / А. Схрейвер. - М.: Мир, 1991.

8. Хачиян, Л.Г. Полиминальный алгоритм в линейном программировании / Л.Г. Хачиян // Докл. АН СССР. - 1979. - Т. 244, № 5.-С.1093-1096.

9. Nemirovskii, A. Several NP -Hard Problems Arising in Robust Stability Analysis / A. Nemirovskii // Mathematics of Control, Signals and Systems. - 1993. - Vol. 6. - P. 99-105.

10. Гэри, М. Вычислительные машины и трудно-решаемые задачи / М. Гэри, Д. Джонсон. - М.: Мир, 1982.

11. Shary, S.P. Solving interval linear systems with nonnegative matrices / S.P. Shary // Proc. of Conf. "Scientific Computation and Mathematical Modelling" / Ed. by S. Markov. - Sofia: DATECS Publishing, 1993. - P. 179-181.

X