Систематика типов симметрии трехмерных геометрических тел и изолированных молекул Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 548.1.02, 548.12

О. В. Михайлов

СИСТЕМАТИКА ТИПОВ СИММЕТРИИ ТРЕХМЕРНЫХ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ТЕЛ

И ИЗОЛИРОВАННЫХ МОЛЕКУЛ

Ключевые слова: тип симметрии ось симметрии центр симметрии плоскость симметрии молекула монокристалл.

Осуществлен математический вывод всех возможных типов симметрии геометрических тел трехмерного пространства и показано, что всего их существует 21. На базе этого осуществлен подсчет числа возможных разновидностей симметрии изолированных молекул, каковых оказалось 41.

Key Words: symmetry type symmetry axis symmetry center symmetry flatness molecule mono-crystal.

The mathematical conclusion of all possible symmetry types of geometrical solids of three-dimensional space has been carried out. It has been shown that there is only 21 symmetry types. In the base of this, the counting of number ofpossible varieties of symmetry of molecules has been made; it has been noted that there is 41 such varieties.

При рассмотрении целого ряда задач современной структурной и квантовой химии оказывается весьма важными представления о симметрии монокристаллов и отдельно взятых молекул. Так, их применение при расчете молекулярных структур весьма сложных, но в то же время симметричных молекул позволяет существенно сократить машинное время их расчета [1]. Достаточно давно осуществлена систематика видов симметрии монокристаллов, для которых в настоящее время общепринято деление на 7 синго-ний и 32 вида симметрии [2,3]. Однако в монокристаллах, как известно, существуют определенные ограничения на ассортимент элементов симметрии -так, уже достаточно давно доказано теоретически, что в них возможны лишь поворотные оси (оси симметрии) второго, третьего, четвертого и шестого порядков [2,3]. Для молекул таких ограничений нет и в них в принципе могут быть оси симметрии любого порядка (хотя, насколько известно, до сих пор не обнаружено ни одной молекулы с осью симметрии 7го или более высокого порядков). Поскольку порядок оси симметрии может быть сколь угодно большим, то для конечных трехмерных тел (многогранников или полиэдров) число возможных видов симметрии также оказывается бесконечным. Тем не менее число типов симметрии, в которых фигурируют аналогичные наборы базовых элементов симметрии [каковыми наряду с осями симметрии 1-п (п - порядок оси) являются также плоскости симметрии Р, центр симметрии С и связанные с ним т.н. инверсионноповоротные оси ^~], число плоскостей симметрии и наличие (или отсутствие) в них центра симметрии строго математически зависит от лишь от порядка оси симметрии, оказывается конечным. До сих пор в литературе не фигурирует даже само понятие «тип симметрии» и, соответственно, не проводились и изыскания по их установлению; в связи с этим целью настоящей статьи станет строго математический вывод всех теоретически возможных типов симметрии трехмерных тел и последующая их систематизация.

Для решения вопроса об иерархии типов симметрии конечных трехмерных тел вначале следует выяснить, какие наборы осей симметрии в принципе в них возможны. В простейшем случае ими могут быть только оси симметрии лишь одного порядка

£.п; если же таких осей хотя бы два разных типа - 1-п и 1-т с порядками п и т соответственно, то все они должны пересекаться в одной точке, ибо только в таком случае, как нетрудно заметить, общее число элементов симметрии конечного трехмерного тела будет конечным [2,3]. Если построить в пространстве произвольную сферическую поверхность с центром в точке пересечения этих осей и вращать оси 1-п и 1-т друг относительно друга по правилам соответствующих этим осям симметрических преобразований, то в принципе можно получить два варианта: либо через какое-то число симметрических преобразований оси одного наименования совпадут друг с другом и сформируется их конечный набор, либо подобного совпадения не будет вовсе и число осей возникающих осей будет бесконечно нарастать. Для нас, однако, интерес представляет лишь первый из этих вариантов. Как бы то ни было, после операций взаимного вращения осей симметрии друг относительно друга на сферической поверхности появятся точки их пересечения с этой поверхностью, соединив которые можно получить сеть сферических треугольников. Аналогичная картина получится и в том случае, если число различных осей три ^п, 1-т, ^) и больше. Как известно из геометрии (см., например, [4]), сумма внутренних углов в любом сферическом треугольнике больше 180о. Нетрудно заметить, что каждый из углы при вершинах сферических треугольников в нашем случае равен (180°/п,-), где п- порядок той оси симметрии, точка пересечения которой со сферической поверхности образует данную вершину сферического треугольника. В итоге для каждого возможного набора осей (если их не более трех разновидностей) в конечном трехмерном теле должно выполняться условие (1)

3

X(180°/п(.) >180° (1)

/=1

Как нетрудно заметить, соотношение (1) имеет место лишь в четырех случаях, а именно:

а) п= 2, т = 2, к - любое целое число (сумма внутренних углов сферического треугольника (180о/2) + (180о/2) + (180о/к) = 180о + (180о/к);

б) п= 2, т = 3, к = 3 число (сумма внутренних углов сферического треугольника (180о/2) + (180о/3) + (180о/3) = 90о + 90о + 60о = 240о;

в) п= 2, т = 3, к = 4 число (сумма внутренних углов сферического треугольника (180о/2) + (180о/3) + (180о/4) = 90о + 60о + 45о = 195о;

в) п= 2, т = 3, к = 5 число (сумма внутренних углов сферического треугольника (180о/2) + (180о/3) + (180о/5) = 90о + 60о + 36о = 186о.

Варианты с четырьмя различными осями симметрии, как нетрудно заметить, существовать не могут, поскольку в этом случае точки пересечения их с вышеуказанной сферической поверхностью должны образовывать уже не сферический треугольник, а сферический четырехугольник, сумма внутренних углов в котором должна быть больше 360о. Однако даже в том случае, если все эти четыре оси симметрии - L2, то и тогда сумма внутренних углов будет лишь равна 360о, но не более ее. Еще меньшей будет эта сумма, если среди указанных осей симметрии будет хотя бы одна ось Lз, не говоря уж об осях симметрии более высоких порядков. Таким образом, в итоге получаем следующие возможные сочетания осей симметрии: а) 2L2 + Ln, б) L2 + 2Lз, в) L2 + Lз + L4, г) L2 + Lз + L5. «Размножая» в каждом из этих сочетаний оси симметрии так, чтобы при этом получилось конечное их общее число, получим в сочетании а) набор LnnL2, в сочетании б) набор 4Lз3L2, в сочетании в) - 3L.44L.36L2 и, наконец, в сочетании г) -

6L510Lз15L2. Сочетания а) и б) дадут нам типы симметрии, которые можно назвать диаксиальными, сочетания в) и г) - типы симметрии, которые можно назвать триаксиальными. Наряду с ними будут существовать, естественно, и моноаксиальные типы симметрии с одной-единственной осью симметрии Ln, так что собственно аксиальных типов симметрии (т.е. таких, в которых имеются только оси симметрии) получается 5. Наряду с ними возможны также и нонаксиальные типы симметрии, в которых нет вообще ни одной поворотной оси. Их, как нетрудно заметить, всего 3: либо с полным отсутствием элементов симметрии, либо лишь с центром симметрии С, либо лишь с одной плоскостью симметрии Р. Наличие в конечном трехмерном теле даже двух плоскостей, как нетрудно показать, автоматически означает наличие в нем и как минимум одной оси симметрии Ln; наличие в нем плоскости симметрии Р и центра симметрии С - наличие оси симметрии L2 [2,3]. Стало быть, соответствующие обеим этим ситуациям типы симметрии попадают в разряд аксиальных. Остальные типы симметрии могут быть получены «прибавлением» либо С, либо Р, либо одновременно и С, и Р к каждому из вышеуказанных аксиальных типов симметрии. Рассмотрим каждый из этих вариантов подробнее.

«Прибавление» С. В этом варианте возможны два случая: при нечетном значении порядка оси симметрии п добавление к ней центра симметрии дает тип симметрии LnC, при четном же п появляется дополнительная плоскость Р, перпендикулярная оси Ln, что дает в итоге набор LnPС [1,2]. Аналогич-

но добавление С к «осевому набору» LnnL2 даст еще два типа симметрии - LnnL2nPC (при нечетном п) и LnnL2(n+1)PC (при четном п). «Осевые наборы» 4Lз3L2, 3L44Lз6L2 и 6L510Lз15L2 при «прибавлении» С дадут еще три новых типа симметрии 4Lз3L23PC, 3L44Lз6L29PC и 6L510Lз15L215PC соответственно.

«Прибавление» P. Эта операция в принципе может быть осуществлена трояким образом: 1) «прибавление» плоскости симметрии, в которой находится сама ось Ln, 2) «прибавление» плоскости симметрии, перпендикулярной оси Ln, 3) «прибавление» плоскости симметрии, наклоненной к ось Ln под отличным от 0о и 90о углом. В (3), как можно показать [1,2], при «размножении» произвольно взятой точки не удается получить конечное число точек, и потому для нас представляют интерес лишь варианты (1) и (2). «Прибавление» P в первом из них к Ln, LnnL2, 4Lз3L2, 3L44Lз6L2 и 6L510Lз15L2 дает нам типы симметрии LnnP, LnnL2(n+1)P (при нечетном п) и LnnL2(n+1)PC (при четном п), 4Lз3L26P,

3L44Lз6L29PC и 6L510Lз15L215PC соответственно. Типы симметрии LnnL2(n+1)PC (при четном п), 3L44Lз6L29PC и 6L510Lз15L215PC нам уже встречались чуть ранее, когда разговор шел о «прибавлении» С. Прибавление же P в варианте (2) дает для «осевого набора» Ln при нечетном п тип LnP, при четном - уже знакомый нам тип LnPC, для «осевого набора» LnnL2 - также знакомые нам типы симметрии LnnL2nPC (при нечетном п) и LnnL2(n+1)PC (при четном п), для «осевых наборов» 4Lз3L2 3L44Lз6L2 и 6L510Lз15L2 - опять-таки уже встречавшиеся нам ранее наборы 4Lз3L23PC, 3L44Lз6L29PC и 6L510Lз15L215PC соответственно.

Заметим в связи с этим, что указанные выше нонаксиальные типы Си P могут рассматриваться как результат «прибавления» к оси симметрии L1 центра и плоскости симметрии соответственно. Поэтому тут следует определиться, считать ли эту самую L1 поворотной осью или же нет. При отрицательном ответе на этот вопрос типы С и P будут считаться самостоятельными типами симметрии, при положительном - как частные случаи типов LnC и LnP соответственно. На наш взгляд, более оправдан первый из этих двух ответов (ибо L1 есть в любом трехмерном теле); тогда, как можно видеть из вышесказанного, всего получается 19 типов симметрии. К ним согласно [2,3] должны добавиться еще два типа, которые содержат инверсионно-поворотные оси Ln-, а именно Ln- и Ln-nL2nP (при четном п). Таким образом, общее число различных типов симметрии конечных трехмерных тел в итоге получается равным 21, из которых 3 нонаксиальных, 6 моноаксиаль-ных, 8 диаксиальных и 4 триаксиальных. Полная их сводка представлена ниже в таблице 1.

Таблица 1 - Типы симметрии конечных трехмерных тел

Разновидность Полный набор базовых элементов симметрии

Нонаксиальный (3) Без элементов симметрии

С

P

Моноаксиальный (6) Ln

LrГ (п— четное)

LnC (п— нечетное)

LnPC (п— четное)

LnP (п— нечетное)

LnnP

Диаксиальный (8) LnnL2

LnnL2(n+1)P (п— нечетное)

LnnL2(n+1)PC (п— четное)

LnnL2nPC (п— нечетное)

Ln-nL2nP (п— четное)

41.з31.2

4Lз3L26P

4Lз3L23PC

Триаксиальный (4) 3L.44L.36L2

3L44L36L29PC

6L510Lз15L2

6L510L315L215PC

Как уже указывалось выше, в монокристаллах реализуется в общей сложности 32 вида симметрии; они, как нетрудно заметить, относятся к 19 типам из указанных выше 21 теоретически возможных. Исключением здесь являются лишь типы 6L510Lз15L2 и 6L510Lз15L215PC, в которых имеются оси 5-го порядка, не реализующиеся в монокристаллах. С учетом их, а также реально существующих в молекулах видов симметрии L5, L5C, L5P, L55P, L55L2, L55L26P и L55L25PC для изолированных молекул к этим самым 32 видам симметрии добавляется еще 9, так что общее их число оказывается равным 41.

Настоящая статья подготовлена при финансовой

поддержке РФФИ (грант № 09-03-97001).

Литература

1. O.V. Mikhailov, D.V. Chachkov, Вестник Казанского технологического университета, 14, 13, 77-83 (2011).

2. Г.Б. Бокий, Кристаллохимия. М., Наука, 1971.

3. М.П. Шаскольская, Кристаллография. Учебник для вузов. М., Высшая школа, 1976.

4. И.Н. Бронштейн, К.А. Семендяев. Справочник по математике. М., Физматгиз, 1965. С. 191.

© О. В. Михайлов - д-р хим. наук, проф. каф. аналитической химии, сертификации и менеджмента качества КНИТУ, [email protected].