CC BY
22
временно корректировать недочеты за счет гибко на-
Библиограф
1. Новиков Д.А. Закономерности итеративного научения. -М.: Изд-во ИПУ РАН, 1998. 77 с.
2. Растригин Л.А., Эренштейн М.Х. Адаптивное обучение с моделью обучаемого. Рига: Зинатне, 1988. 160 с.
3. Леонова Н.М. Методы адаптивного структурно-параметрического управления и идентификации многосвязных социальных объектов на примере образовательной
страиваемой траектории обучения. ский список
деятельности: автореф. дис. ... д-ра техн. наук: 05.13.01. М, 2006. 42 с.
4. Berestova V. I, Chernyshov I. A., Rybina G.V., Zavo-lovich O.V. An application of expert system methods for development of intelligent learning programs // In Proceedings of the East-West Conference on Emerging Computer Technologies in Education. Moscow, Russia, ICSTI, 1992. P. 32-35.
УДК 514.763.8
СИСТЕМА ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ В ПРОСТРАНСТВЕ ОДНОМЕРНЫХ КАСАТЕЛЬНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ ВТОРОГО ПОРЯДКА
В. А. Труппова1
Национальный исследовательский Иркутский государственный технический университет, 664074, г. Иркутск, ул. Лермонтова, 83.
Получены уравнения пространства одномерных касательных элементов второго порядка, а также система дифференциальных уравнений для производных р-го порядка от координат элемента. Подобные объекты возникают при исследовании нормальных систем дифференциальных уравнений второго порядка d2xdt2=fa t , x , 3xp3t (a=1,2,..n), в том случае , когда переменные (t, xa ) являются координатами точки пространства представления группы GL (n+1, R). Данная система в пространстве касательных элементов рассматривается как конечные уравнения поверхности V2n+1, для характеристики которой получены формулы внутреннего фундаментального объекта.
Библиогр. 8 назв.
Ключевые слова: система дифференциальных уравнений; оператор внешнего дифференцирования; дифференциальные формы.
THE SYSTEM OF DIFFERENTIAL EQUATIONS IN THE SPACE OF ONE-DIMENSIONAL TANGENT ELEMENTS OF THE SECOND ORDER V.A. Truppova
National Research Irkutsk State Technical University, 83, Lermontov St., Irkutsk, 664074.
The author derives the space equations of the one-dimensional tangent elements of the second order, as well as the system of differential equations for the derivatives of p-order from the element coordinates. Similar objects appear in the study of normal systems of the second order differential equations d 2x d t2 = fa t, x, d xp d t (a = 1,2, .. n), when the variables (t, xa) are the coordinates of the space point of GL (n 1, R) group representation. This system in the space of tangent elements is regarded as the final equations of V2n 1 surface for the characteristics of which the formulas of internal fundamental object are obtained. 8 sources.
Key words: system of differential equations; operator of exterior differentiation; differential forms.
Структурные уравнения пространства одномерных касательных элементов. Получены уравнения пространства одномерных касательных элементов второго порядка, а также система дифференциальных уравнений для производных р-го порядка от координат элемента. Подобные объекты возникают при исследовании нормальных систем обыкно-
йгх
венных дифференциальных уравнений [1, 5] — =
! йх@\
/ам,х,—),( а = 1,2,... .п ) в том случае, когда переменные ха) являются координатами точки пространства представления группы С1_( п+1, Р).
Пусть преобразование переменных ^ , ха) имеет
вид
=Аарх^ + А^х0; I0 = А0^+А00х0; х° = I, (1) тогда (1) индуцирует закон преобразования переменных:
а _ йха йха а _ й2ха
и ~ аь ' и ~ аь ' ^ ~ аьг '
Р ' и А0уиУ + '
-а _ {(А$иУ+А°)А"Г(А$иУ+А$)А<>}уе
Р (а^+А^ . (2)
Системы (1) и (2) задают представление группы СЦп+1, Р) в пространстве переменных (х0, ха,
1Труппова Валентина Алексеевна, кандидат физико-математических наук, доцент кафедры математики, тел.: (3952) 405176, (3952) 510424, е-mail: [email protected]
Truppova Valentina, Candidate of Physics and Mathematics, Associate Professor of the chair of Mathematics, tel.: (3952) 405176, (3952) 510424, e-mail: [email protected]
Ъ о —л=—ло Ъ, dtA dtA
иа, ра), которое является пространством одномерных касательных элементов второго порядка.
Прежде чем приступить к выводу структурных уравнений рассматриваемого пространства, опишем перестановочность оператора дифференцирования и частной производной применительно к нашему случаю (подобные процедуры рассматривались в работах [3, 4]).
Пусть имеется функция f( х') класса Cr( г > 1), тогда легко увидеть, что имеет место равенство
[dfW = i,i.....к = 0,1,2,... п), то есть
справедлива формула:
d о JL = JL0 d. (3)
дх' дх' 11
Основываясь на (3), можно показать справедливость соотношения:
(4)
где Ъ - оператор внешнего дифференцирования.
Действительно, пусть имеется форма ш = a{xi)dxi класса Cr( г > 2), где х1 = x'(tA) - функция
^г/ ^ дш да; , , ( дх'\
класса С (г> 2), тогда ^ dxl+ atd (^J
{А = 1,2,...,N).
Дифференцируя внешним образом и учитывая, что Т) ° d = 0, получаем:
Далее, так как Ъш = da; л dxl, то
д г /дал /дх1'
-A[m=d(-^)Adx^daiAd{—A
Равенство (4) доказано.
Поскольку изучение носит локальный характер, то в приведённых доказательствах функции и формы ш дифференцируемы в некоторых окрестностях соответствующих точек (*') и (tA), кроме того, равенство (4) доказано только для линейных форм Пфаффа.
Дифференцируя (1) по всем переменным, приходим к дифференциальной форме dxl + х'ш'- = П1 этого закона, где инвариантные формы wj группы GL(n+1, R), а также формы П1 имеют вид: o)j = -AJdA'j; П =Af dScJ.
Групповые параметры Л] и Л*1 удовлетворяют соотношениям A'jA"jl = 81к; А*1А]к = 8lk .
Исходя из системы (2), запишем новые выражения ( иа,ра) через ( и",ра).
U А'у0йГ+А'0° ; Р {Afrf+A^
Введём обозначения:
~ afiPi ...дйРр; Upi-p* ~ диИ1...дирр;
п. дРРа
- . (5)
дй^ ...дйРр;
дРр'
дра
rPi~Pp 3U/?1...3U0P ; vy df'
va J^Pi-Pp = ЗРУ? ; -a = Vh-Ppr dpY дйР\.шрР ; Уу ЗрУ
(6)
JPPi-Pp
dPv;
Дифференцируя равенства (5), получаем дифференциальную форму представления группы СЦп+1, Р в пространстве касательных элементов второго порядка:
dua + и^шЧ - иаш°0 - иаи^ш0р + < = ва;
dpa + - 2раш°0 - 2раирШр - иаррш°р = да, (7)
где
-упа г,
(8)
два
= jk' va = v%dr + vy«dr.
Положим
два
два
аа_дда а дда Г; К ' «Я -■
01 du.Pi' 0102 диР1диРг' У дрУ ' Р диР ' ~ дрУдиР ~ дрРдиУ' ( )
дЛ=Л*
дрУ1 ' диР1 ' диР Ру ■
Распишем подробнее процесс отыскания формы
вр . Из первой системы (7) получаем
= йиа + - - + .
Учитывая (3), имеем:
Так как в формы {ш^ни duPl, ни иа не входят,
то Ш = °'1;ж№ = °.
Учитывая полученные равенства, имеем:
ядй
00 — , .а га . ,0 га ...у,.О ,,^,0
" %шо-%иушг- -и 0)^. Проводя подобные выкладки, приходим к системе форм:
= ааР1 - - ;
ра — га . ,0 га . ,0 .
28«ш00 - 2иР8уШр -
(10)
ш,
= —2раШр - -8$рУш°; = -28«ш0р -
Для нахождения частных производных от форм
ва ида по переменным { используем (6) и (8):
^^=$=+
др'
Ру
Из (2) и (5) находим соотношения:
я2Ра ava
d FPi.Pp _ n. Pi-Ppy _ 0.
д2Г^ - 0 ; ^±^=0,
dp 1
(11)
дрУ1...дРУ$
которые использовались при получении (11) . Учитывая (11), продифференцируем первую форму из (7) по й^1:
Ои^ +ив о? - и^ш 00 - - М^О)« =
= у$р1<Шг. 1 1 1 (12)
Из последней формулы и (10) следует:
Найдём производные по от форм , -д*, при этом нужно учесть, что эти формы являются функциями от (и?) и (du^), которые, согласно (2) и (5), в свою очередь, являются функциями от (йр):
'Pi-Ppr ЗрУ диР1...диРр'
а
двЦ _ д9р диР1 диП ~ диР 1 диП '
Учитывая (10), получаем:
дип- ЫР1Р2ип ' дип -0; а^- Р1 аеЭ эво„ аш? „ „
~ф = 0 ф = ° ^ = М. (13)
Дифференцируя формы (13) p раз по приходим к системе форм:
дРв
Pi а „& - OR. ÎI„U,,
дшиа
Р
др'кж'? = ип~ Ур; Jjh = 0;
f
'Р
др'дй'^.Ж'
Дифференцируя (12) р раз по ир и учитывая (13), получим формулу р-го продолжения величины (иа):
-Рр+и1г Р2-РрвГ +
,72
¿JS=1 up
^Р U(fl1P2-PsUPs+l-Pp) >2 UPlP2-PPPP+l
cs = ■
du^1;
Для нахождения дифференциальных уравнений
величин и Ууа дифференцируем равенство из (7) по
-В -у
и и р:
ОР£ + + иЦаё = Pfad.uk + Ур1уйРГ'
dVra + = l^d/1 ;
(14)
при этом надо учесть (6) и (11).
Дифференцируя р раз по переменной й^ оба равенства (14), получаем формулы р-го продолжения величин Рр Уу":
г1Ра
а%Р2-Рр
+РМг-Ир ^ + иР1Р2-РрШ1 + Ср5 "(/^...р//?,^...^)^ =
= VI я_4РГ;
rPlP2.PpPp+SL
"Pl.Ppr1
Н]/а ± V71 + Ур 1/Г1 —
^Й^У + УР!-РрУ^П + и(.Р1Р2-Р5УР5+1-Рр)Г^^У -
= V71 dй^p+1
ур1-.рррр+1уаи .
Заметим, что величины ( й^, Уг,Рр ) и ( ир,Ууа,Рр) связаны соотношениями
иЦи? = 5га; йри? = УуаУГц = 8Ц' ТуУ* = 8$' Р^ + Ууар]I = 0' РЩ + ^ = 0, (15)
поэтому систему (8) можно переписать в виде: ййа = й^в^: йра = + р^ в^ .
Продифференцируем полученные равенства сначала по и^, а затем второе из них - по
duPi = Щв1 + ир1р2е^2 ;
(16)
_ _ Л _ _
К = V>1+p?L + vr+W*2;
—a —a ,, —a л. —a n
= Vndf + VPlydf + VPlYeb ■ От равенств (1б) дифференцированием приходим к системе:
du'p1..pp = Puhi~Pp-iepp + cpuWi---Pp-2ePp-i---Pp) +
6Рар1...рр =РУ(Р1-Рр-1\У\шУрр)+РР^(Р1-Рр-191^р) + + СрР{(.Р1-РР-2вРР-1-РР) +
+ ; МриРу = ГР.Рр^У1 +
+РУ(Р1-.Рр-1\п\Шр1р-)у + +РУ{Р1-Рр-1\1;у\вРр + СрУ(.Р1-Рр-2\у\вРр-1Рр +
—а
+УР1-РрРр+1У .
Для вывода структурных уравнений пространства одномерных касательных элементов второго порядка дифференцируем систему (8):
ъеа = лв$' Ъда = л + ^ л , (17)
а затем (17) дифференцируем дважды частным образом по иР, получаем искомые формулы:
Ш$ = в1 л + 9У А в^' Ъшар = в?1 Л + ш]^ Л ^ + дУ Л
тР1Р2 = вР1Р2 А вГ + вР1 А вРгУ + вР1 А вУР1' = Л + вР Л дру;
.PS
Щу = % л дЪ + ^ л + вр л
Внутренний фундаментальный объект поверхности У2п+1. Систему дифференциальных уравнений второго порядка:
Р = /œ(x',ïïp);
^ rfv ûa - i!!l ;
(dj0)2
и = ■
dx
(18)
где a, fi, у,... = 1,2,... ,,n; i, j,... = 0,1,2,.n, будем рассматривать как конечные уравнения поверхности V2n-i в пространстве одномерных касательных элементов второго порядка [7]. Нормальные системы уравнений рассматривались многими авторами. Подробный обзор по данному вопросу можно найти в работах В.И. Близникаса и Ю.З. Лупейкиса [2], Л.Е. Ев-тушика и В.Б. Третьякова [5].
Запишем некоторые формулы работы [7], которые будут использованы далее. Если Л] - координаты элемент a е L(n + 1,R), то закон преобразования координат точки рассматриваемого пространства запишется в виде:
_ А$иГ+А" ; -a _ У$РР ; _ Г ; Va -
А^иР+А*
{А°иУ+АУ
(19)
= (АУ + А00)А$ - (AyUy + Аа0)А0[1 .
Структурные уравнения имеют вид:
= 0.'Кш\; Wa = в? А Wj}y =
Ъш<$у = ш1г А + tf А + А Ш^у-;
та = дР А Щ + вР Аш$;
Ъшар =шурА + вI А Шу + ду А
= вЦ А в* + ву А , Ъœij = ù)f А 4 , (20)
где
i ■ i ■ ■ два П1 = Afldx]; о)' = -AfdA?,6Z
da = Pydu7 + VYadPr;
о ЛЛЙ
aa _ ..а^ТгР. .qa _ ""Y . ,,a У - URdU ; VRv -Т~я; U-
dPua
Pr~ duP; uPi-PP~ ай^. аФ
а д2ва 9^ = дЛ'
дрУ '
Шц
дда
дРра
"Р~ диР'
-а _ дРйа__
~Рр ~ диР1...диРр ' ди^-Ф'
-а = дРра „а=дР^.„а JVPi.jp ^■■■Рр диР...диРр'
Р1
¥1а= а? ; *Р1:.РРг ■
ЗРк?
дру
у дрУ'
(21)
_ дРР1:.Рр _ дРУу
Р1„.РрУ ~ ЗрУ ~ du.Pi-.dJP
Между введёнными по формулам (4) величинами имеются зависимости
и^ = 8«; ^Р
-а Я ЩКу =
= 8$; Р -
р/Й; + ураРу = °' рри; + урр; = °'
уауУ _ га УуУр - Ор.
Дифференцируя систему (18), получаем:
йРа = [¿айх1 + где
(22) (23)
А
..ди
dP , , йх1
Учитывая соотношения (22) дифференциалы можно выразить через формы ва, да, П1, а затем подставить в (23). В результате приходим к системе дифференциальных уравнений вида
да = и? П + а^вР, (24)
где
^у
-)а-г,У
(25)
Подобная система в работе [5] названа основной. Продолжение основной системы приводит к следующей системе дифференциальных уравнений внутреннего фундаментального объекта:
dal
Ъ-]рР ~ Ра1]5-]р-1\кР\]рШ
+ а:
П-ГрР^У + аУ1-УриРУ ~ ак-1ркР
С, = а:
■ ак-]рУвР +
, Пк + ±
У1-УрРУ
ву'
Ча
]1-]рР1Р2
Ча
Jl.-JpPl.Jq
+0.« й_ву (д >2 ;
„а оУ _ па
а]1-]рУ0Р1Р2 ~ "л.р^АП Ч(.Ч~ 1) а
- а]1-]р(Р1-.РЧ-2\у\Рч~1РЧ
а]1-]рР1Р2У в* =
вг'
'jl.-jpPl.JqY
(26)
Р1
+ «¿А" + <»1 = *р1к П-
+ а;
Р1Р2
а?в,
Р1Р2 Ч
= а:
4Р1Р2
П'1 + а;
Р1Р2Р3^
аР1-Рч
— па
- аУ1Р1-Рч
4(4-1) а РУ —
а(Р1-Рч-2\у\Рч-1Рч)и =
2
ПА
+ а:
Р1-РчУ
вУ;
^ак -)рР1-Рч - ^к -]рР1-Рч
■Ра
к-]р-1\Р1-РчкУр
ш" +
k-jpJl-Pq-lPq\Y\
Ш" -
-Чак-МР1-Рч-1\у\РфеГ + ак-ЬР1-РчдУ
(д> 2).
Преобразуем систему (25), используя соотношения (22), тогда
КЧ = ; ^уаР1 + ^¡1 = 1УР1- (27)
Для получения формул, с помощью которых компоненты внутреннего фундаментального объекта (р+д)-го порядка можно выразить через частные производные от функций, стоящих в правых частях искомой системы дифференциальных уравнений (22), нужно (27) дифференцировать соответствующее число раз, используя (26), а также формулы работы [7]. В результате приходим к соотношениям:
= [«А'/-
'у"-3
¿=1 ^(Л-АМ т "уиР1-Рч3
УР1Уа1 ^У^ =
га &**тгУ 1. ЬУ1А3 ЫР1'
_ V4
- Л 5=1 5, Къ
АП
41,-45
-и
У"-Р1-РЧ+РР1:.РЧ
Ух
41-
Рч) ;
_ Х1^ .ри V1 (х 1
- Vs=l-^Уl-.ysVíql-.qs=q■)^¡;-^:;UíPl-.Pqy■■■U|Зql-qs_1 + l-fiq),
где символы обозначают сверхиндексы и пробегают серии симметрических индексов (11),(1112), (¿112 -1р).
Библиографический список
1. Близникас В.И. О геометрии нормальных систем обыкновенных дифференциальных уравнений высшего порядка // Литовский математический сборник. 1967. Вып. 7. № 2. С. 231-248.
2. Близникас В.И., Лупейкис З.Ю. Геометрия дифференциальных уравнений. В кн.: Алгебра. Топология. Геометрия (Итоги науки и техники). М.: Изд-во ВИНИТИ, 1974. Т. 11.
С. 209-259.
3. Близникас В.И. О секущих поверхностях пространств опорных элементов: тр. // Геометрический семинар. Казань, 1975. Вып. 8. С. 16-40.
4. Восилюс Р.В. Формальное дифференцирование в пространствах геометрических объектов // Литовский математический сборник. 1976. Вып. 15. № 4 С. 17-40.
5. Евтушик Л.Е., Третьяков В.Б. О структурах, определяемых системой обыкновенных дифференциальных уравнений высшего порядка: тр. // Геометрический семинар ВИНИТИ, 1974. Т. 6. С. 243-255.
6. Лаптев Г.Ф. Многообразия, погружённые в обобщённые пространства: тр. // IV Всесоюз. матем. съезд. Ленинград (1961). Т. 2. 1964. С. 226-233.
7. Труппова В.А. Характеристика классов систем дифференциальных уравнений с использованием связностей // Вестник ИрГТУ. 2008. № 4 (36). С. 247-252.
8. Шинкунас Ю.И. О связностях пространства опорных сверхвекторов р-го порядка: тр. // Геометрический семинар. Казань, 1975. Вып. 8. С. 133-144.
