Синтез шарнирного четырехзвенника по двум заданным крайним положениям коромысла с использованием представления о скалярном квадрате Текст научной статьи по специальности «Механика и машиностроение»

сельского хозяйства

УДК 621.01

Б. Я. Чирков

СИНТЕЗ ШАРНИРНОГО ЧЕТЫРЕХЗВЕННИКА ПО ДВУМ ЗАДАННЫМ КРАЙНИМ ПОЛОЖЕНИЯМ КОРОМЫСЛА С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ О СКАЛЯРНОМ

КВАДРАТЕ

ФГБОУ ВПО «КУРГАНСКАЯ ГОСУДАРСТВЕННАЯ СЕЛЬСКОХОЗЯЙСТВЕННАЯ АКАДЕМИЯ ИМЕНИ Т. С. МАЛЬЦЕВА»

B. Ya. Chirkov

HINGED FOUR-LINKED MECHANISM'S SYNTHESIS ON TWO SET EXTREME PROVISIONS OF THE YOKE WITH USE OF IDEA OF THE SCALAR SQUARE FEDERAL STATE BUDGETARY EDUCATIONAL INSTITUTION OF HIGHER PROFESSIONAL EDUCATION «KURGAN STATE AGRICULTURAL ACADEMY BY T. S. MALTSEV»

Рассматривается метод аналитического синтеза плоского рычажного механизма - шарнирного четырехзвенника (определение длин кривошипа 1 шатуна 1 межопорного расстояния 14). При решении задачи считаются заданными два крайних положения коромысла 13, коэффициент изменения средней скорости хода К и угол давления в крайнем правом положении у. Использованы математические представления о скалярном квадрате и предложенный автором метод относительных безразмерных параметров. Получены формулы, по которым можно спроектировать шарнирный четырехзвенник.

Ключевые слова: шарнирный четырехзвенник, синтез (определение длин звеньев), метод относительных безразмерных параметров.

The method of analytical synthesis of the flat lever mechanism -a hinged four-linked mechanism (determination of lengths of a crank lj, a rod l2, boundaries - basic distance l4) is considered. At the solution of a task two extreme provisions of a yoke l coefficient of change of average speed of a course Kv and pressure corner in the extreme right situation y are considered set. Mathematical ideas of a scalar square and the method of relative dimensionless parameters offered by the author are used. Formulas on which it is possible to design a hinged four-linked mechanism are received.

Keywords: hinged four-linked mechanism, synthesis (determination of lengths of links), method of relative dimensionless parameters.

Борис Яковлевич Чирков

Boris Yakovlevich Chirkov кандидат технических наук, доцент Россия, 641300, Курганская область, Кетовский район, с. Лесниково, КГСХА E-mail: rectorat@mail.ksaa.zaural.ru

Введение. При проектировании рычажного механизма (при определении всех его необходимых размеров, которые нужны для вычерчивания схемы механизма, выполнения структурного анализа, кинематических, силовых и динамических расчетов) необходимо подобрать длины всех звеньев (кривошипа 1 шатуна 12, коромысла 13 и межопорное расстояние 14) так, чтобы выполнить либо технологические требования к функции механизма, либо выдержать некоторые заданные геометрические, угловые и другие параметры.

Рассматриваемый ниже механизм применяется в некоторых сельскохозяйственных машинах, например в системе очистки зерноуборочного комбайна. Поэтому задача синтеза шарнирного четырехзвенни-ка является актуальной.

Известен [1] графоаналитический метод определения длины кривошипа 11, и шатуна 12 по заданному коэффициенту изменения средней скорости Ку, длине коромысла 13, двум крайним положениям этого коромысла и межопорному расстоянию 1

В статье рассматривается аналитический способ определения длин 11, 12, 14 звеньев в условиях применения метода относительных безразмерных параметров и известных из высшей математики представлений о скалярном квадрате.

Методика. Она представляет собой математические преобразования алгебраических выражений, подстановки, решение систем уравнений.

Результаты математических преобразований приводятся ниже.

Пусть дана расчетная схема шарнирного четы-рехзвенника (рисунок), в котором длины звеньев 12-11=а, 11+12=Ь, 14 не известны, а длина коромысла 1 углы а а2 и угол передачи движения в крайнем правом положении у - заданы. Примем 12-11=а, 11+12=Ь (см. рисунок).

Рассмотрим косоугольный треугольник ОВ2В в котором угол 0 и длина стороны В1В2 = с определяются из начальных условий [1]:

= 180 ■

- Kv -1

Kv+1

(1)

c = 2 • l3 • sin 0,5 • (a2 - at), где l3 - длина коромысла,

(2)

, , „ а,, а - углы, определяющие крайнее правое и краи-

где К,, - коэффициент изменения средней скорости 1 2

нее левое положения коромысла соответственно.

точки В коромысла.

Рисунок - Расчетная схема для синтеза шарнирного четырехзвенника

b • (a • cos 9 - c • cos P) = a2 - c2,

Установим формулы, которые позволят найти искомые длины сторон четырехзвенника.

Для треугольника ОВ1В2 (рисунок) запишем:

(3)

(4)

(5)

c2 = a2 + b2 - 2 • a • b • cos 9 ,

a2 = b2 + c2 - 2 • b • c • cos P,

b2 = a2 + c2 - 2 • a • c • cos у,

где 9 - угол между сторонами a и b. ОВ2=а OB2=b.

Р = 90° - 0,5 • (а2 - а,) - у, (6)

где Р - угол между сторонами с и b, В,В2= с и OB,=b.

у = 90° + 0,5 • (а2 - а,) + у - 9, (7)

где у - угол между сторонами ОВ2=а и В1В2=с. Вычтем из (3) выражение (4)

Сложим выражения (3) и (5): c2 + b2 = a2 + b2 - 2 • a • b • cos 9 + a2 + c2 - 2 • a • c • cos у,

(9)

(10)

После преобразований получим известную формулу:

a = b • cos 9 + c • cos у (11)

Подставив в (11) a=l2-l1, b=l2+l, найдем:

l2 = (1 - cos 9) - ll • (1 + cos 9) = c • cos у, (12)

Подставим (11) в (9) и после несложных преобразований получим:

b =

,

cos 0 ■ cos Y|i + cos p

(13)

c2 - a2= a2 + b2 - 2 • a • b • cos 9 -- b2 + c2 - 2 • b • c • cos P,

После преобразований получаем:

(8)

Для придания результату более универсального характера и упрощения расчетов представим формулы (11) и (13) в относительных безразмерных параметрах:

сельского хозяйства

ь =

sin2 \|*

(14)

а =

-t-cosiy.

COS 0 ■ COS + COS (3

sin 2 ■ COS 0 COS 0 ■ COS \|I + COS (3

где a*=a/c, b*=b/c, c*=c/c=1.

Примечание: формула (15) получена путем подстановки выражения (14) в (11).

Используя выражение (16) найдем относитель-

* *

ные длины кривошипа ij и шатуна I2 из следующей системы уравнений:

(15)

(16)

* i * i * a = 12 - ^

Ь* Л * Л *

= 1 2 - ^

где i1*=i1/c, i2*=i2/c.

Решая эту систему уравнений, получим:

(17)

(18)

1, =

sin ""У "(1 + COS0) cos 9 ■ cos + cos р

О

sin ~ \\j ■ (1 - cos 9) cos 9 ■ cos Ц) + cos P

-I-cosy

-cosy

(19)

(20)

1 1 3 2

12 = 1*2 • 2 • i3 • sin 0,5 • (a2 - a1),(22)

11=13.

С учётом выражений (17) и (18) получим:

\

, (23)

/ 7

sin" у -(l + cos9) cos 9 ■ cos у + cos р

12=13

sin ~ \|/ - (1 — cos 9)

+ COS\|/

,(24)

У

.

Отсюда:

.

(25)

(26)

(23), (24), (27), найдем: а*=2,9; Ь*=3,7; 11=0,4113 « 0 4-1- 1 =3 3-1 • 1 =2 9-1

А3? 12 ? 3? 4 ? 3*

Для числового расчета принято у=30°. Вычисляя у для ф1=0 (когда А0 на рисунке лежит на отрезке ОО2), мы получим значение угла передачи равное у=30,45°. Как видим погрешность составляет менее 1,5 %, хотя понятно, что заранее до получения результатов это предвидеть было сложно.

Эти результаты удовлетворяют требованиям закона Грасгофа при синтезе шарнирного четырёх-звенника.

Для оценки достоверности полученного результата решим поставленную задачу синтеза методом введения некоторого вспомогательного угла ф [2].

В принятых в данной публикации обозначениях интересующие нас формулы примут вид:

c = (а + b) • cos ф,

(28) (29)

Учитывая выражение (2), истинные размеры (длины) кривошипа и шатуна найдем по формулам: = 1* ■ 2 ■ I ■ sin 0,5 ■ (a2 - 0^,(21)

Эти выражения, в частности, позволяют при заданных 9, а и Ь найти параметр с.

Решим обратную задачу, т. е., используя этот метод, определим длины сторон а, Ь и в дальнейшем -межопорное расстояние 14 (см. рисунок 1) .

Для этого исключим из уравнений (28) и (29) параметр ф.

После несложных преобразований получим:

(30)

По образцу и подобию уравнения (30) составим еще два уравнения для сторон а, Ь косоугольного треугольника ОВ1В2 (рисунок 1).

cos 9 ■ cos V|> + cos P

Для определения межопорного расстояния l4 рассмотрим треугольник ОВ,О2. По аналогии с выражениями (3), (4) и (5) запишем:

,

Вычтем из (30) выражение (31)

(31)

(32)

Если использовать исходные параметры синтеза механизма, то окончательно получим:

Расчетная схема (рисунок) выполнена для следующих параметров: 9=10°, а1=50°, а2=110°, Р=30°, у=140°, у=30°. Подставляя их в формулы (14), (15),

. (33)

После группировки членов и сокращений получаем:

После замены выражений в скобках будем иметь: a • b • cos 9 - b • c • cos P = a2 - c2 , (35)

Прибавим к (30) выражение (32):

т т 9 VI/

с2 + 4-а - Ь ■ cos2 — + Ь2 + 4 ■ а - с ■ cos2 —

а^+2-а'Ь + Ь"+а"+2-а'С + е"

. (36)

a = b • cos 9 + c • cos у,

Подставим (37) в (35):

b2 • cos2 9 + b • c • cos 9 • cos у -- b • c • cos P = b2 • cos2 9 • 2^ b • • c • cos 9 • cos у + c2 • cos2 у - c,

(37)

(38)

После несложных преобразований получим:

b • (cos 9 • cos у + cos P) = c • sin2y, Отсюда:

b =

с-sin" \\l

COS 9 ■ COS + cos p

(39)

(40)

b =

с =- = 1. с

(41)

b =

sin2

cos 9 ■ cos \\j + cos (3

(42)

Как видим, формулы (14) и (42) одинаковые. Подставим (42) в (37) при учете (41):

После аналогичных предыдущему преобразований снова получаем выражение (11):

(43)

Для придания результату более универсального характера и упрощения расчетов исключим из формулы (40) начальные условия:

Тогда получим формулу для определения суммы длин кривошипа 11 и шатуна 12 в относительных безразмерных единицах:

Как видим формулы (15) и (43) одинаковые. Межопорное расстояние 14 можно найти, рассмотрев треугольник ОВ1О2.

Выводы. Для условий поставленной задачи получены аналитическим путем математические зависимости, позволяющие выбрать (определить) величины ранее неизвестных длин кривошипа 1 шатуна 12, межопорного расстояния 1 Задача решена двумя способами.

Список литературы

1 Кореняко А. С. Курсовое проектирование по теории механизмов и машин / А. С. Кореняко, Л. И. Кременштейн, С. Д. Петровский [и др.]. - Киев: «Вища школа», - 1970. - 332с.

2 Ачеркан Н. С. Справочник машиностроителя. Том 1. (в 6 томах) / Под ред. Н. С. Ачеркана. - М.: Машгиз, 1963. - 592 с.

3 3 Чирков Б. Я. Синтез шарнирного четырехзвен-ника по двум заданным положениям коромысла с использованием вспомогательного угла «ф» // Организация учебно-воспитательного процесса при переходе на уровневую систему ВПО: материалы учебно-методической конференции 15 марта 2012 г. - Курган: КГСХА. - 2011. - 87 с.