Синтез ПИД-регулятора с учетом расположения нулей и полюсов системы автоматического регулирования

Ефимов Семён Викторович; Замятин Сергей Владимирович; Гайворонский Сергей Анатольевич

со съёмки и заканчивая добавлением интерактивных эффектов на панораму. Были созданы такие компоненты технологии, как панорамная головка, высотный штатив, программная система Rubius 3DTourKit Studio для создания виртуальных туров и добавления интерактивных эффектов, разработан модуль редактирования панорам посредством XML, а также карта тура для просмотра связей и переходов между отдельными панорамами.

При дальнейшей разработке программы планируется увеличить базу эффектов интерактивности, встроить в редактор синтаксиса технологию «Intel-liSense» (всплывающее окно с возможностью вы-

бора элемента синтаксиса), разрабатывать специализированные редакторы для сложных эффектов интерактивности. Получено свидетельство о регистрации ПО № 2009610539 [7].

Работа профинансирована грантами: «У.М.Н.И.К.», «Бизнес-СТАРТ», выполнена при поддержке Центра инноваций Microsoft при Национальном исследовательском Томском политехническом университете. По результатам VIIВсероссийской научно-практической конференции студентов, аспирантов и молодых учёных «Технологии Microsoft в теории и практике программирования» проект был награждён дипломом 1 степени в секции «Технологииразработки и проектирования информационных систем».

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Панорамный мир. 2010. URL: http://panoworld.narod.ru (дата обращения: 08.07.2010).

2. Дорофеев С.Ю., Тюгаев Д.Н. Создание аппаратно-программного комплекса для изготовления виртуальных туров на основе интерактивных 3D-панорам // Инновационные технологии кафедры КСУП: Научно-практическая конференция. -Томск, 2008.

3. Дорофеев С.Ю., Тюгаев Д.Н. Интерактивные виртуальные 3D-Туры // Научная сессия ТУСУР-2009: Матер. докладов Все-росс. научно-техн. конф. студентов, аспирантов и молодых учёных. - Томск: В-Спектр, 2009. - С. 338-341.

4. Панорама, снятая высотным штативом. 2010. URL: http://www.teatro.tomsk.ru (дата обращения: 08.07.2010).

5. Лысак А.П., Зайцева М.А., Сидоренко В.В. Проектирование системы для создания виртуальных туров Rubius 3DTourKit Studio // Научная сессия ТУСУР-2010: Матер. докл. Всеросс. научно-техн. конф. студентов, аспирантов и молодых учёных. - Томск: В-Спектр, 2010. - С. 347-349.

6. Лысак А.П., Зайцева М.А., Дорофеев С.Ю. Программа для создания виртуальных туров Rubius 3DTourKit Studio // Технологии Microsoft в теории и практике программирования: Сб. трудов VII Всеросс. научно-практ. конф. студентов, аспирантов и молодых ученых. - Томск: Изд-во ТПУ, 2010. - С.158-160.

7. Сайт компании-производителя Rubius 3DTourKit. 2010. URL: http://www.rubius.com (дата обращения 08.07.2010).

Поступила 05.09.2010г.

УДК 681.5

СИНТЕЗ ПИД-РЕГУЛЯТОРА С УЧЕТОМ РАСПОЛОЖЕНИЯ НУЛЕЙ И ПОЛЮСОВ СИСТЕМЫ АВТОМАТИЧЕСКОГО РЕГУЛИРОВАНИЯ

С.В. Ефимов, С.В. Замятин, С.А. Гайворонский

Томский политехнический университет E-mail: efimov@tpu.ru

Получены соотношения, связывающие перерегулирование и время регулирования системы автоматического регулирования с расположением её нулей и полюсов. На основе этих соотношений разработана методика синтеза параметров ПИД-регулято-ра. Приводится числовой пример.

Ключевые слова:

Система автоматического регулирования, перерегулирование, время регулирования, нули и полюсы системы, корневой подход, синтез.

Key words:

Automatic control system, overshoot, settling time, zeros and poles of system, root approach, synthesis.

По различным оценкам, более 90 % реально используемых в системах автоматического регулирования (САР) регуляторов - это классические ПИД-регуляторы, синтезированные на основе традиционных инженерных методов [1]. Согласно проведенным на 350 предприятиях исследованиям ста тысяч контуров регулирования установлено, что 49...63 % контуров работают со «слабыми» (приближенными к размыканию контура) на-

стройками, что приводит к низкому качеству работы контуров регулирования [2]. Это в свою очередь влияет на качество выпускаемой продукции и ведет к излишним затратам предприятий.

Постановка задачи

Рассмотрим САР со структурой, представленной на рис. 1, где X - задающее воздействие, У -выходной сигнал, е - ошибка регулирования.

Рис. 1. Структура САР

Представим передаточную функцию (ПФ) ПИД-регулятора в виде:

К , К - N1 ))(5 - ) (!)

(¿) = кп + ^ + кд а = - ))(* - ЛР2 )

5 5

где 5 - оператор Лапласа; кП, кИ, кД - соответственно коэффициенты пропорциональности, интегрирования, дифференцирования; кР - постоянный множитель ПФ регулятора; ЛР1, ЛР2 - нули регулятора.

Пусть ПФ объекта управления Ы(5)

Ку(*) =

ад

(2)

где к=ат/Ьп - постоянный множитель ПФ объекта управления; А(5)=5"+ат-15"-1+...+ао, В(5)=5п+Ьп-15п-1+^.+Ь0 -полиномы, чьи корни являются нулями и полюсами объекта управления, соответственно.

С учетом (1), (2) и структуры на рис. 1, ПФ замкнутой системы управления примет вид: Щ кр, Ли) =

= ккр(5 - ^рд)(5 - Ли)А(5) (3)

ккр (5 - Лр1 )(5 - Лр2)А(5) + ¿ад '

Полагаем, что исходными данными для синтеза ПИД-регулятора САР являются ПФ объекта управления ЖоУ(5) и заданные показатели качества: перерегулирование и время регулирования. Ставится задача определить значения коэффициентов ПИД-регулятора, обеспечивающих заданные показатели качества.

Вывод основных соотношений

Пусть для объекта управления второго порядка нули и полюсы системы с разомкнутым и замкнутым контуром расположены так, как показано на рис. 2, где Л/ - нули системы; 5, - полюсы разомкнутой системы; 5 - один из полюсов замкнутой САР; //и/ - расстояния от 5 до нулей и полюсов разомкнутой системы.

Тогда уравнение модулей системы с ПФ (3) |ЖР(5) Ж0У(5)|=1 можно представить в виде:

ккр11 ¡2 ...1т

■ = 1.

(4)

Выражение (4) позволяет получить зависимость множителя ПФ регулятора системы кР через координаты нулей и полюсов разомкнутой системы с учетом того, что 5 - полюс ПФ замкнутой системы.

Пусть 5= 5+а/, а нули ПИД-регулятора образуют пару комплексно-сопряженных чисел ЛпР2=х±у/. Тогда с учетом (4) получим:

кр(81,щ х, у) =

2 ■ г\2

ку/ (х )2 + (у -щ)2 1

х )2 + (-у -й)2

т .

П^ <Де ¿0У1 -^)2 + (1т ¿0У1 -й)2

. ¡=1_

I! К^-б,)2 + (1т К^-щ)2

)=1

(5)

где Ке5ОУ, 1ш5ОУ, и КеЛ^,, 1шЛОУ; - действительные и мнимые части полюсов и нулей объекта управления. На рис. 3 построена поверхность кР(х,у), отображающая зависимость постоянного множителя ПФ ПИД-регулятора от расположения нулей регулятора для заданной точки корневой плоскости 5=8+Ю/.

к к 1т

10 о

1° N. о_ — б ■6 •4

Щ \ ■2 Яе

/ ' // ' я' Х'2 Л 3 '2 " 0 1 2 3 4 5 "

Ы2о/

Рис. 2. Вариант расположения нулей и полюсов

Рис. 3. Поверхность К^у)

При пересечении этой поверхности с горизонтальной плоскостью кР=сош1 получается сечение, показанное на рис. 4, на котором располагается пара нулей регулятора. Таким образом, для заданной точки ^ корневой плоскости существует поверхность, которая при пересечении с п горизонтальными плоскостями даёт п пар комплексно-сопряженных нулей регулятора. При этих нулях регулятора ^ является полюсом замкнутой системы, рис. 1.

[МП=Х + УЯ ■4 ..... •ч. % % 1 2 / * < > X

V д/р2 =х - у/ ■ 0 1 V 2 « 4 ■» \ Ч » 1 1 1 1 /

Рис. 4. Расположение N и N на линии пересечения кР(х,у) и плоскости

Рассмотрим расположение нулей и полюсов на рис. 5, где в/и в1&[-п;п] - углы, образованные полюсом ^ замкнутой системы, нулями или полюсами разомкнутой системы и положительным направлением оси абсцисс корневой плоскости.

$=5+ОД является корнем характеристического полинома системы с ПФ (3), то для нее существует уравнение фаз, которое можно представить в следующем виде [3]:

Ж "Хв =±(2у+ 1)ТТ, У = 0,1,2.

(6)

м

Согласно теореме косинусов, угол образованный точкой ^ корневой плоскости, одним из нулей Ц и положительным направлением оси абсцисс определяется по формуле [4]:

60 = в1ЕП(51 " Яе( N])) х

/2 (5, NJ) +/2 (NJ ,1ш N)" /2(Мш N)

х агссоБ-------—, (/)

2/(5, NJ )/ ,1Ш Nj)

где I - это расстояние между точками на корневой плоскости. Например, 1(а,Ь) - расстояние от точки а до точки Ь.

Аналогично для угла, образованного точкой s, одним из полюсов разомкнутой системы и положительным направлением оси абсцисс корневой плоскости:

в = " Яе(5 \)) х х агссоБ—1---—---1-—. (о)

2/(5, 5 )/(5 ,1ш 5 )

Подставляя (7) и (8) в (6), получаем выражение: / (^од, х, у) + (2у+1)ж= 0. (9)

Таким образом, выражение (9) позволяет судить о принадлежности точки корневой плоскости я к полюсам замкнутой САР с ПФ (3).

Рассматривая совместно выражения (5) и (9), можно получить кривую кР(х,у) в пространстве для заданного полюса замкнутой системы я=8+ОД, дающую аналитическую зависимость между постоянным множителем ПФ ПИД-регулятора и расположением его нулей.

Синтез ПИД-регулятора

Для решения задачи синтеза системы необходимо так расположить нули ПИД-регулятора на корневой плоскости, чтобы обеспечить заданные значения перерегулирования и времени регулирования.

Перерегулирование а САР определяется выражением:

а =-

А

(10)

где выброс 4=ЛШК- Лус1, Луст - установившееся значение, ЛШК - максимальное.

В свою очередь, для колебательной системы выброс 4 определяется согласно [3] выражением:

од

Рис. 5. Углы в°и в,

Далее необходимо определить расположение пары нулей ПИД-регулятора для каждой из таких линий пересечения. Известно, что если точка

4 = 2 А1 — ехр

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

ОД

+Х ве

(11)

где Ж=-; sl=Sl+ю¿ - доминирующий по-

Н (д)

люс; рк и Ф, - углы, образованные доминирующим полюсом и другим полюсом или соответственно нулем системы;

т

= ^52 + ю2; А =

Д Н (*)

В к =

)

1

I 3 1

Подставив выражение (11) в (10), получим:

( п \

л + ХРк -

„ . т

2 А1 — ехр т

а =-

5

т

+ Х Вке^

3

А

(12)

Для связи перерегулирования ас расположением на корневой плоскости нулей регулятора ЖР1Р2 необходимо на основании (12) получить зависимость а(51,т1,х,у), где ЫРт=х±у], аs1=81+юj -доминирующий полюс. Необходимо учитывать, что на этапе синтеза системы априорно известны значения нулей и полюсов объекта управления.

Учитывая выражение (3), запишем:

А1(51,т1,х,у) = ^ + т/)-(х + у/)) х

(51 +т/) .((5 + ©1/) - (х - у/)) А(д) (Н (51 +щ/))'

(13)

где

Я(51+ю^^)=(ккр((51+ю^)-(х+у/))((51+ю^)-(х-у/))х хА (з)+(51+ю№*))'.

Аналогичным образом можно было бы вычислить Вк, однако, если su=51+етj' - доминирующие полюсы, то расположение остальных полюсов (кроме доминирующих) замкнутой системы неизвестно.

Выразим оставшиеся полюсы замкнутой системы через переменные х, у, 51, т1. Очевидно, что порядок характеристического полинома ПФ замкнутой системы (3) зависит от порядка объекта управления, то есть от полиномов А(?) и В(?). Рассмотрим два случая: первый, когда объект управления имеет один нуль и два полюса, и второй - два нуля и три полюса.

Первый случай: А (?) - полином первого порядка, В (?) - второго порядка, характеристический полином замкнутой системы - полином третьего порядка. Так как два корня характеристического полинома это доминирующие полюсы ?121=51±ю]1, то при делении характеристического полинома Н(?)=ккР(?-(х+у]))(?-(х-у]))А(?)+?В(?) на полином (5-(51+т1/'))(5-(51-т1/')) будет получен третий полюс замкнутой системы 53(51,ю1, х, у).

Второй случай: А (?) - полином второго порядка, В (?) - третьего порядка, характеристический полином замкнутой системы - полином четвертого порядка. Аналогично разделив характеристический полином на полином, образованный доминирующими полюсами, будет получен полином второго порядка. Воспользовавшись теоремой Виета, этот полином раскладываем на множители, тем самым получая зависимость %(5Ь т1, х, у).

Рассмотренные случаи, показывают, каким образом можно вычислить полюсы замкнутой системы управления, выражая их через переменные 51, т1, х, у. Заметим, что с увеличением порядка полиномов А(?) и В(?) возрастает сложность математических расчетов для определения полюсов.

С учетом выше изложенного, определим:

Вк = / х у). (14)

Аналогично (7) и (8), на основе теоремы косинусов, вычислим углы (рк и Ф;:

Рк = - КФк)) х

хагссо8 12(Д1, Дк) +12( дк ,1т дк) -12( д1,1т дк), ^

21 (дР дк)1 (дк,1т дк)

Ф / = sign(51 - Яе( )) х

12 (д, N) +12 (N, 1т N) -12 (1т N)

х агссоз-------—.(16)

21 (*1, N )1 (N ,1т N)

Подставляя (13)—(16), в (12) получим искомую зависимость:

а = / (¿1,©1, х, у). (17)

Таким образом, (17) определяет зависимость перерегулирования от расположения нулей ПИД-регулятора на корневой плоскости.

Для определения времени регулирования существуют различные формулы, в частности, известна

3

приближенная формула: ¿р =-, где Ке(?) -

Яе(д)

действительная часть полюса, наиболее приближенного к мнимой оси корневой плоскости [5]. Данная формула дает достаточно большую погрешность, а в некоторых случаях и ошибочные результаты. Для повышения точности расчетов в эту формулу вводят амплитуду А1 от одного или более доминирующих полюсов. Так при двух комплексно-сопряженных доминирующих полюсах имеем

= 3 + 1п(2 А1)

¿р =—— [5]. Однако возможен и другой более точный способ определения Так рассмотрим формулу Хевисайда:

^) = ^ +ХС(Дк е

(18)

Н (0) ДкН '(дк)

где О (?) - числитель ПФ замкнутой системы, Н(?) - знаменатель ПФ замкнутой системы. С учетом (3), зная вычисленные через переменные 51, ©1, х, у полюсы замкнутой системы, формула (18) примет вид:

Зависимость (19) для момента времени tp примет вид:

Объединив (5), (9), (17) и (20), получим систему уравнений относительно переменных х и y - действительной и мнимой частей нулей ПИД-регуля-тора и 5, © - действительной и мнимой частей доминирующего полюса:

+ ©2

(21)

х-¿)2 + (-у -ю,)2

П 7(Ке Яо^-^)2+(1т о» -ю)2

, 1=1_

I! ^(Яс МоУ]-51)2 + (1т до^-ю)2

1=1

В состав (21) входят заданные перерегулирование и время регулирования, а также значения доминирующих полюсов Sy1=д1+ю]j, нулей и полюсов объекта управления.

Решение (21) позволяет определить нули ПИД-регулятора. Далее, воспользовавшись (5), определяют постоянный множитель кР ПФ регулятора. Затем в соответствии с ур. (1) легко найти настроечные коэффициенты кП, кИ, кД регулятора.

Синтез системы на основе решения (21) возможен двумя способами.

При решении первым способом разработчик системы задает значения доминирующих полюсов

sl21=51+wj. Относительно заданных доминирующих полюсов вычисляется расположение нулей ПИД-регулятора и его коэффициент передачи, обеспечивающие заданные показатели качества. Система уравнений (21) сводится к системе, зависящей от переменных х, у.

Второй способ не предусматривает задание значений доминирующих полюсов разработчиком. Система разрешается относительно переменных 5Ь ю1, х, у. После получения значений этих переменных находят настройки ПИД-регулятора, обеспечивающие заданные перерегулирование и время регулирования.

В силу сложности и нелинейности системы уравнений (21) решение производится численными способами с использованием вычислительной техники.

Для анализа соответствия полученного решения заданным показателям качества рекомендуется проверка синтеза ПИД-регулятора путем подстановки найденных значений параметров в (3) и построения графика переходного процесса для этой ПФ.

Пример. Пусть задан объект управления с ПФ

W (я) = -

58s + 290

-. Необходимо синтези-я" + 14я 2 + 69 я + 290

ровать ПИД-регулятор, который обеспечит перерегулирование а=10 %, а время регулирования / =2 с.

На основе выше описанного подхода для заданной ПФ объекта управления была получена система уравнений (21). Поиск решений этой системы осуществлялся в программном продукте МаШСаё с использованием процедуры Given-Minerr.

При решении системы (21) первым способом были заданы доминирующие полюсы 5и=-1+6/. Для заданных полюсов было получено решение х=-1,58, у=7,039, кР=0,158. При этом были определены кП=0,4993, кИ=8,223, кД=0,158.

Во втором случае (без задания доминирующих полюсов) получено: х=-2,39, у=8,205, кР=0,066, и следовательно, кП=0,3155, кИ=4,82, кД=0,066.

На рис. 6 представлены графики переходных процессов замкнутых САР с синтезированными параметрами ПИД-регулятора двумя способами: первый - с заданием доминирующих полюсов 5и=-1+6/, второй - без их задания.

Проверка результатов синтеза путем построения переходного процесса показала, что в первом случае перерегулирование составило о=10,1 %, а время регулирования /р=1,23с. Во втором получено о=10,2%, а г"р=1,72 с. Абсолютная погрешность для заданного перерегулирования в первом случае составила 0,1 %, а для времени регулирования 0,77 с. Во втором случае - 0,2 % и 0,28 с.

Выводы

1. Получена аналитическая зависимость постоянного множителя передаточной функции ПИД-регулятора от расположения его нулей на корневой плоскости. Исследована проблема получения прямых показателей качества.

2. Определены соотношения, связывающие прямые показатели качества, перерегулирование и время регулирования, с доминирующими полюсами и нулями ПИД-регулятора.

3. Предложена методика синтеза параметров ПИД-регулятора на основании расположения как полюсов системы, так и ее нулей.

Работа выполнена в рамках ФЦП «Научные и научно-педагогические кадры инновационной России» на 2009-2013 гг.

ГК 14.740.11.0542.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

1. Киселев О.Н., Поляк Б.Т. Синтез регуляторов низкого порядка по критерию И1 и по критерию максимальной робастности // Автоматика и телемеханика. - 1999. - № 3. - С. 119-130.

2. Штейнберг Ш.Е., Серёжин Л.П., Залуцкий И.Е., Варламов И.Г. Проблемы создания и эксплуатации эффективных систем регулирования // Промышленные АСУ и контроллеры. - 2004. - № 7. - С. 1-7.

3. Удерман Э.Г. Метод корневого годографа в теории автоматических систем. - М.: Наука, 1972. - 448 с.

4. Ефимов С.В., Гайворонский С.А., Замятин С.В., Суходо-ев М.С. Определение желаемой области расположения доминирующих полюсов замкнутой системы с учетом её нулей // Известия Томского политехнического университета. - 2008. -Т. 312. - №5. - С. 57-61.

5. Ефимов С.В., Гайворонский С.А., Замятин С.В. Задачи корневого анализа и синтеза и синтеза систем автоматического управления // Известия Томского политехнического университета. - 2010. - Т. 316. - № 5. - С. 16-20.

Поступила 16.09.2010 г.

УДК 681.5

СТРУКТУРНО-ПАРАМЕТРИЧЕСКАЯ ИДЕНТИФИКАЦИЯ ОБЪЕКТА УПРАВЛЕНИЯ НА ОСНОВЕ ХАРАКТЕРИСТИК ПЕРЕХОДНОГО ПРОЦЕССА

С.В. Ефимов, С.В. Замятин, С.А. Гайворонский

Томский политехнический университет E-mail: efimov@tpu.ru

Рассмотрены классические методы идентификации, исследованы ихдостоинства и недостатки. Получены соотношения, связывающие прямые показатели качества переходной характеристики идентифицируемого объекта с расположением его нулей и полюсов. На основе этих соотношений разработана методика идентификации линейного динамического объекта. Приводится числовой пример.

Ключевые слова:

Идентификация, переходная характеристика, перерегулирование, время регулирования, нули и полюса системы, корневой

подход.

Key words:

Identification, transfer characteristic, overshoot, settling time, zeros and poles of system, root approach.

Анализ классических методов идентификации

В зависимости от принятого критерия классификации методы идентификации объектов автоматизации выделяются в отдельные группы -по объему исходной информации, по виду эксперимента, по типу исследуемого объекта, по исследуемому математическому аппарату и др.

Наиболее распространенными и часто встречающимися методами идентификации являются частотный и с помощью переходной функции [1].

Частотный метод идентификации, как правило, применяется в лабораторных условиях. Он подразумевает возможность искусственного воздействия на объект управления синусоидальным сигналом

Текст научной работы на тему «Синтез ПИД-регулятора с учетом расположения нулей и полюсов системы автоматического регулирования»