Научная статья на тему 'Синтез оптимального управления сложными конечно-элементными объектами на базе метода Рунге-Кутта в среде Matlab'

Синтез оптимального управления сложными конечно-элементными объектами на базе метода Рунге-Кутта в среде Matlab Текст научной статьи по специальности «Математика»

CC BY
145
51
i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.
i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.
iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.
i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.

Текст научной работы на тему «Синтез оптимального управления сложными конечно-элементными объектами на базе метода Рунге-Кутта в среде Matlab»

выгодно отличающие блок системы управления яв-= 'M'); }} ляются:

- использование контроллера ADAM - 5510 существенно уменьшает габариты, массу и энергопотребление блока системы управления;

- дружественная, и знакомая среда программирования Borland C++;

- после «прошивки» программы в контроллер, манипулятор может работать автономно от PC в ручном или автоматическом режиме работы;

- разработанную программу целесообразно использовать в процессе обучения.

while (cc! getch ();

Заключение

В результате проделанной работы была спроектирована система интеллектуального уровня управления робототехническим комплексом. Система управления реализована на контроллере ADAM -5510 фирмы Advantech. Важнейшими критериями,

ЛИТЕРАТУРА

1. Проектирование систем автоматизации технологических процессов: Справочное пособие/Под. ред. А.С.Клюева.-М.: Энергоатомиздат, 1990.464 с.

2. Бурдаков С.Ф., Дьяченко В.А. Проектирование манипуляторов промышленных роботов и роботизированных комплексов. М.: Высшая школа, 1986.

3. www.proavtomatika.ru/sensor/sick/ih.htm

4. Синтез системы управления мобильным роботом методом интеллектуальным эволюции. Дивеев А.И., Шмалько Е.Ю. Надежность и качество сложных систем. 2013. №3. С. 52-59.

5. Трусов В.А. Однопозиционный модуль управления шаговым двигателем / Трусов В.А., Кочегаров И.И., Горячев Н.В., Юрков Н.К. // Теоретические и прикладные аспекты современной науки. 2015. № 7-3. С. 131-133.

6. Трусов В.А. Проектирование одновибратора без перезапуска на программируемой логической интегральной схеме / Трусов В.А., Кочегаров И.И., Горячев Н.В. // Молодой ученый. 2015. № 4 (84). С. 276-278.

7. Абрамов О.В. Проектирование технических систем с элементами настройки // Надежность и качество сложных систем. 2014. № 2(6). С.51-55.

УДК 621.3.078 Ерофеев С.А.

ФГБОУ ВПО «Санкт-Петербургский государственный политехнический университет», Санкт-Петербург, Россия

СИНТЕЗ ОПТИМАЛЬНОГО УПРАВЛЕНИЯ СЛОЖНЫМИ КОНЕЧНО-ЭЛЕМЕНТНЫМИ ОБЪЕКТАМИ НА БАЗЕ МЕТОДА РУНГЕ-КУТТА В СРЕДЕ МАПАВ

На практике метод конечных элементов является одним из самых эффективных способов быстрого получения адекватных (достаточно точных) данных по напряженно-деформированному состоянию объекта, возникающему в результате приложения к нему внешнего воздействия. В связи с частой невозможностью или высокой трудоемкостью получения оценочной информации каким-либо иным образом с применением аналитических или иных инженерных методик конечно-элементный подход составляет надежную базу, которая обеспечивает возможность объективной качественной и количественной оценки. В этом ракурсе использование конечно-элементных данных для синтеза оптимального управления является перспективным новым методическим направлением. Для работы в этом направлении необходимы алгоритмический каркас и процедура его реализации, разработке которых и посвящена данная статья.

Рассмотрим основные положения конечно-элементного подхода к расчету напряженно-деформированного состояния твердых тел. Согласно принципу виртуальных работ механическое перемещение и должно удовлетворять условию стационарности функционала Лагранжа [1], который имеет следующий вид:

L(u) = J

1 t д u -T'-E + pU -=

's _ _ r —

2 = =

dt2

dV -J PTudS ,

(1)

L(W) = J

V

где W = [ux,uy,uz]T , a = [TxTyyTzzTzyTzxTxyf ,

1 _t_ ,Тгт„ д2W -a1 e + W1 R——

2 dt2

dV -J PT W dS , (2)

" = [e

E =1 Exx ,Eyy ,Ezz ,2 Ezy ,2 Ezx ,2 Exy J

P = [Px,Py,Pz]T

R = p

1 0 0 0 1 0 0 0 1

Разобьем объект на ЫЕ конечных элементов, в результате чего образуется конечно-элементная сетка с узлами числом ЫР. Основные неизвестные во всех узлах объединяются в глобальный столбец

Ш = [...,Ы(ХГ>,и(У\П(/\...]Т размерностью ЫЛ = 3 X № ,

где j - номер узла (от 1 до ЫР). Перемещения и потенциалы узлов конечного элемента с номером i Ц = 1...ЫЕ) составляют локальный вектор-столбец

W(l) = ctfW ,

(i)

где матрица «у называется матрицей

инциденции. Основные неизвестные в любой точке (как в узле, так и не в узле) конечного элемен-

та с номером

определяются как

w = NfafW

где - матрица функций формы, которые под-

бираются по геометрии конечного элемента и не зависят от времени [3]. В этой же точке

e=b(i)w(,)=в(1а%

a= T(1)E ,

B(1

где V - объем тела, Б - площадь, Т и Е - тензоры механических напряжений и деформаций [2], •• - символ свертки тензоров, р - плотность материала, Р - механические усилия на поверхности пьезоэлемента ( Р = П-Т , где п - нормаль к поверхности) .

Сопоставляя тензорам и векторам соответственно матрицы и столбцы их компонентов, выражение (1) можно преобразовать в:

- матри-

матрица Подста-

ца производных от функций формы, Т -упругости, состоящая из модулей Юнга.

новка выражений для w, Е и и в (2) приводит к выражению Ь для одного конечного элемента, то

есть Ь(1> . Сложение Ь(1> по i = 1...ЫЕ позволяет получить глобальный функционал Лагранжа для всей конечно-элементной сетки в целом (то есть всего объекта исследования) в следующем виде:

Ь(Ш> = 1ШТкШ + ШТм-, (3) 2 31

и

где

где

Л

жесткости

к = £ (Off J т(,) b(0 V* '=1 Iv(')

NE (

, M = £(af )T J (NffRNf dV(i)

матрица Л

V V

NE

A-)

матрица масс, F = ^(af ))T J (Nf))TP dS(l '■=1 S(i)

Из условия стационарности функционала (3),

SL(W)

то есть

SW

- = 0 , следует ура

внение состояния

деформируемого твердого тела:

KW + M

d2W -

dt2

F .

(4)

Если р интерпретировать как входные воздействия и, а W принять за переменные состояния X; , это уравнение можно считать дифференциальным выражением системы управления. Добавив

дW 5Х;

X2 = - ,

2 dt

получим соотношения

dt

- = X,

свести

С помощью объединения

X =

можно составить матричное представле-

ние системы управления в традиционной форме Коши:

— = AX + BU , dt

где X =

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

1! , Л =

0 I

-М~1К 0

(I

(5)

единичная

матрица), В = , , и = Б

[м _ 1

Рассмотрим задачу определения оптимального

управления и системы (5), при котором минимизируется функция стоимости:

1 »

ф^и) = -J(Xtx + UT^)dt .

(6)

Такое управление находится из максимума функции Гамильтона [4]:

Н(Х,иД) = ^ХТХ +ити + Хт[АХ + ви] ,

где X - столбец множителей Лагранжа. Условия оптимальности:

аы = 0 аы = ах _аы = зл ди = ' ~дГ~~дГ' ах =аТ '

Из них вытекают такие уравнения, как:

и = _ВтХ , — = АХ + ви , — = -Х _ АтX . (7)

Совмещая второе и третье уравнения (7) и подставляя в них выражение и из первого уравнения, получаем систему:

(8)

где матрица H-

"ах/dt' = H " X"

d//dt

a -BBT" " A -S

-E - AT -E -at

(E

единичная матрица).

Граничными условиями являются соотношения

X(0) = X0 и /(<») = 0 .

Если искать X в виде Х(1) = Р(1)Х(1) , где Р("Ь) - неизвестная матрица, то уравнения системы (8) принимают такой вид:

— = АХ _ $>РХ , дРХ + Р— = -X - АТРХ . 51 51 51

Подстановка выражения для

5X 5t

из первого

соотношения во второе приводит к дифференциальному уравнению Риккати:

5P

57

+ PA - PSP + E + A'P = 0 .

(9)

5X

M-— = -KX, + F . При невырожденной матрице М

5t 1

последнее выражение

dX— = -М -1KX1 + М -1F . 5t 1

Когда Р("Ь) сходится к установившемуся пределу, это уравнение приобретает вид алгебраического уравнения Риккати:

РА _Р8Р + Е + АтР = 0 . (10)

Исследуем эффективность решения уравнений (9) с помощью явных методов Рунге-Кутта, учитывая особенности формирования матриц А и Е, а также возможное наличие большого количества узлов в конечно-элементной модели. Последнее обстоятельство означает, что матрицы А и Е могут иметь высокую размерность. Например, если модель создается на базе 20-узловых трехмерных изопараметрических конечных элементов [5], каждый из которых наделен тремя степенями свободы, матрицы жесткости и масс содержат как минимум 60 строк и 60 столбцов. Для виртуального воссоздания сложных профилей или получения надежных (точных) расчетных данных число конечных элементов увеличивается, что существенно повышает размерность задачи (9). В связи с этим целесообразно переходить от покомпонентных схем Рунге-Кутта к их матричным аналогам. Выполним такой переход для метода Рунге-Кутта 4-го порядка, который для задачи -= У(¿,Р0 , где 1 и

51

j - номер строки и номер столбца в матрице Р, находит решение с заданным шагом Ь по такому

алгоритму: Р1(п+1) = Р^ +1(^1 + 2• ¿2 + 2• ¿3 + ¿4) , где

1 1 6

номер h

итерации, si

si = h - f (t„ ,Pijn)) ,

Jij\ и' 1]

h „(„) s2 2

82 = {*. +2>РГ , 83 = +2,, +

84 = ¿•л-(/„ + а,, + 53) .

Перепишем уравнение (9) в форме: дР

— = Р8Р-РА _ АтР _ Е = Г (Р) , д1

и сопоставим покомпонентной схеме матричный дР

метод решения задачи -= у(Р) :

д1

РО+;) = р(п) +1 + 2 • р2 + 2 • р3 + р4), 6

где n

номер итерации, F1 = h-f (P(n)),

F2 = h-f |Р(П) + F11 , F3 = h-f i Р(и) + F— | ,

F4 = h-f (P(n) + F 3)

В программной реализации данного метода на языке MATLAB функция подсчета f(P) выделена в виде отдельного модуля CalcFR.m. В основной программе MRDE.m выполняется итеративное вычисление P с выходом из цикла либо при ошибке ниже установленного уровня (0.001), либо при превышении предельного числа итераций, задаваемого во избежание зависания.

CalcFR.m

function [F] = CalcFR(S, A, E, P)

F = P * A + transpose(A) * P + E - P * S *

P;

end

MRDE.m

%считывание матриц K и M

n

K = load('K.dat'); M = load('M.dat');

%определение числа строк в матрице K n = size(K,1);

%ввод единичной I и нулевой Z матриц размерности n

I = eye(n); Z = zeros(n); %формирование матриц A и B

A = vertcat(horzcat(Z,I),horzcat(-

inv(M)*K,Z)); B = vertcat(Z,inv(M));

%размерность уравнения Риккати dim, матрицы E и S

dim = size (A, 1); E = eye (dim) ; S = B*transpose(B);

%начальные значения P и ошибки P = zeros(dim); SE(1) = norm(CalcFR(S, A, E, P));

^допустимая ошибка minErr, шаг по времени h minErr = 0.001; h = 0.1; %максимальное число итераций maxIt = 100;

%начальный номер итерации it = 1;

while ((SE(it)>minErr)&(it<maxIt)) it = it + 1;

%расчет следующего приближения к P F1 = h*CalcFR(S, A, E, P); F2 = h*CalcFR(S, A, E, P + F1/2); F3 = h*CalcFR(S, A, E, P + F2/2); F4 = h*CalcFR(S, A, E, P + F3); P = P + (F1 + 2*F2 + 2*F3 + F4)/6; SE(it) = norm(CalcFR(S, A, E, P)); end;

Исследуем эффективность приведенного кода на примере расчета управления конечно-элементным объектом, который состоит из последовательно соединенных n 20-узловых изопараметрических элементов (рис. 1). Каждый узел считаем наделенным тремя степенями свободы (перемещения в трех направлениях декартовой системы координат).

Результаты тестирования

/ — Г ) —о- г / А

/ —£>— у -ft— -< / -в— - У -ft— -А У

Рисунок 1 - Исследуемый конечно-элементный объект

В таблице 1 приведены данные по быстродействию разработанного кода, полученные на процессоре Intel Celeron частотой 2.2 ГГЦ с ОЗУ 2 Гб под управлением Windows XP.

кода MRDE.m. Таблица 1

Рисунок 2 - Время синтеза оптимального управления

Число элементов Число узлов Размерность K и M Размерность P Время расчета P, сек

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

1 20 60 x 60 120 x 120 2,929936

2 32 96 x 96 192 x 192 10, 4 67 629

3 44 132 x 132 264 x 264 26,467749

4 56 168 x 168 336 x 336 52,614708

5 68 204 x 204 408 x 408 98,437217

6 80 240 x 240 480 x 480 162,432924

7 92 276 x 276 552 x 552 251,138686

8 104 312 x 312 624 x 624 357,065507

9 116 348 x 348 6 9 6 x 6 9 6 501,303477

10 128 384 x 384 768 x 768 677,600257

Результатам, приведенным в таблице 1, соответствует график на рис. 2.

Полученные данные свидетельствуют о высокой производительности разработанного методического комплекса.

ЛИТЕРАТУРА

1. Партон В. З., Кудрявцев Б. А. Электромагнитоупругость пьезоэлектрических и электропроводных тел. - М.: Наука, 1988, 472 с.

2. Горшков А. Г., Рабинский Л. Н., Тарлаковский Д. В. Основы тензорного анализа и механика сплошной среды. Учебник для вузов. - М.: Наука, 2000, 214 с.

3. О. Зенкевич. Метод конечных элементов в технике: Пер. с англ.- М.: Мир, 1975, 541 с.

4. M. Shafiee, S. Amani. Optimal control for a class of singular systems using neural network. Iranian Journal of Science & Technology, Transaction B, Engineering, Vol. 29, No. B1, 2005, 3348.

5. Горячев Н.В. Исследование и разработка средств и методик анализа и автоматизированного выбора систем охлаждения радиоэлектронной аппаратуры / Горячев Н.В., Танатов М.К., Юрков Н.К. // Надежность и качество сложных систем. 2013. № 3. С. 70-75.

6. Кочегаров И.И. Программный пакет моделирования механических параметров печатных плат / Кочегаров И.И., Таньков Г.В. // Труды международного симпозиума Надежность и качество. 2011. Т. 2. С. 334-337.

7. Сабоннадьер Ж.-К., Кулон Ж.-Л. Метод конечных элементов и САПР: Пер. с франц. - М.: Мир, 1989, 190 с.

УДК 62-9, 621.3.078 Ерофеев С.А.

ФГБОУ ВПО «Санкт-Петербургский государственный политехнический университет», Санкт-Петербург, Россия

РАСЧЕТ ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ И УПРАВЛЕНИЕ ИМИ С ПОМОЩЬЮ НЕЙРОННЫХ СЕТЕЙ НА БАЗИСНЫХ ПРОБНЫХ ФУНКЦИЯХ В СРЕДЕ MATLAB

Динамический объект, как правило, описывает- ференциальных уравнений состояния. Изоморфизм ся дифференциальным уравнением или набором диф- [1] этих уравнений, то есть их аналогичность

i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.