CC BY
47
УДК 681.5.01:658.512 В.Г. Букреев
Синтез нелинейного регулятора дискретных систем управления электромеханическими объектами
Предложен алгоритм синтеза нелинейного регулятора дискретной электромеханической системы с широтно-импульсной модуляцией управляющего сигнала на основе второго метода Ляпунова. Определены законы нелинейного управления, обеспечивающие асимптотическую устойчивость регулируемых процессов в электромеханическом объекте с источником энергии ограниченной мощности. Показана эффективность нелинейного регулятора, минимизирующего энергозатраты в дискретной системе управления электромеханическим объектом с параметрическими возмущениями.
Ключевые слова: нелинейный регулятор, электромеханический объект, широтно-импульсный модулятор.
Программное движение исполнительных электромеханических объектов (ЭМО) многих промышленных механизмов сопровождается значительными возмущениями различного типа, как, например, изменениями питающего напряжения силового преобразователя, статического и динамического моментов нагрузки, нестабильностью параметров двигателей и устройств обратных связей системы управления. В тех случаях, когда возмущения принимают значения на интервале с известными границами, нелинейные регуляторы дают приемлемое решение задач слежения и стабилизации в системах управления сложными электромеханическими объектами. При этом такие важные свойства, как плавность движения ЭМО в окрестности заданного позиционирования и асимптотическая устойчивость регулируемых процессов, можно обеспечить законами управления на основе второго метода Ляпунова [1]. Как правило, для анализа устойчивости систем и объектов, динамическое движение которых представляется линейными или линеаризованными моделями в пространстве состояний, используется положительно-определенная функция Ляпунова квадратичной формы.
Постановка задачи
Рассмотрим задачу синтеза регулятора дискретной системы управления ЭМО с широтноимпульсной модуляцией (ШИМ) управляющего сигнала с учетом параметров источника энергии (энергетические возможности источника питания соизмеримы с мощностью, потребляемой объектом).
Используя в качестве управляющего воздействия электромеханическим объектом относительную длительность у(и(уТ)) выходного напряжения силового импульсного преобразователя, модель объекта в пространстве состояний на интервалах дискретности ШИМ можно записать следующими уравнениями [2]:
где х^)е Ип - вектор состояния непрерывной части ЭМО; А1, А2 - матрицы параметров силового преобразователя, исполнительного электродвигателя и механической системы; и(х, t) - импульсное напряжение с выхода силового преобразователя; Ь1, Ь2 и тн 1, тн2 - п -мерные векторы (компоненты векторов тн1, тн2 включают аддитивные внешние возмущения); и(уТ) - входной сигнал широтно-импульсного модулятора в момент времени t = ]Т ; у = 0,1,2,.; ^ - время началь-
ного состояния; Т - период дискретности ШИМ. В общем случае уравнения широтно-импульсного модулятора при фиксированном значении периода Т дискретности можно записать в следующем виде (далее для сокращения записи уравнений аргумент и(]'Т) при символе у не указывается):
х(0 = Аіх(0 + ьхи(х,0 + тЯ1 при ? є (?о + /Т, ґ0 + /Т + у(и(/Т)), х(?) = А2х(?)+Ь2^(х,?)+тя2 при ?є(?о + /Т + у(и(/Т),?о + (/ +1)Т),
(1)
(2)
U (x, t ) =
Ui(t )sign(u (jT )) при t є (to + jT, to + jT + Y(u(jT )),
(3)
U2(t) при t є (to + jT + y(u (jT), to + (j +1)T)
где к (t ) - коэффициент передачи ШИМ, функциональная зависимость которого от времени может варьироваться от постоянного значения до, например, синусоидальной формы; Ui (t), U2 (t) - выходные напряжения силового преобразователя в соответствующие моменты времени, изменяющиеся по законам модуляции преобразователя. Таким образом, к (t ) определяет закон изменения среднего значения напряжения исполнительного двигателя на интервале y , а функции Ui (t) и U2 (t) -мгновенные значения выходного напряжения силового преобразователя, соответственно на интервалах y и (T -y). Для распространенного случая, при котором Ui(t ) = U 0, U 2(t ) = 0, bi = b 2 = b , mh 1 = mh2 = mн , фиксированном значении y и постоянных значениях компонент вектора mн в течение периода T дискретизации, билинейная модель электромеханического объекта на интервале (to + jT, to + jT + y) записывается в виде
xt+1 = Fxt +(г xt + G* )Ut + g2, (4)
где F=exp(Â2T) ; r=exp(Â2T)[Ai - A2] ; G* = exp(A2T)bUUot + A2T (boUo + mH ) ; G2 = T (boUo + mH ); Uot - управляющее воздействие, поступающее непосредственно на исполнительный электродвигатель (при использовании фильтра источника питания на входе ШИМ напряжение Uot равно напряжению Uct на конденсаторе фильтра); bU, bo - векторы соответствующей размерности, являющиеся компонентами вектора b .
Синтез нелинейного регулятора
Для синтеза нелинейного регулятора, обеспечивающего нелинейную обратную связь по состоянию, выберем функцию Ляпунова квадратичной формы следующего вида:
V(xf ) = xT Pxf, (5)
где P - положительно-определенная n -мерная матрица; (*)T - символ транспонирования.
Управление Ut электромеханическим объектом будем находить из условия минимума первой разности функции V(xf ) :
AV (xt ) = V(xt +i) - V(xt ), (6)
вычисленной на решении системы (4), которую для сокращения дальнейших выкладок представим в виде
xt +i = Ft + ГtUt
где
Ft = F xt + ^,
„1
Ft = Fxt + Gi.
Согласно (6) запишем
AV (xt ) = Uffi P Ft + Ut FTt PFt + Ut FT PFt + FtT PFt - xTt Pxt. Минимизируя выражение (9) по управляющему Ut воздействию, получим
Ut =-F PF
(ГГ P Ft )-1.
Подставляя (io) в (9), запишем
AV(xt ) =
( P Ft ) PFt )-(( PFt )2 [( P Ft )-1
- xÎ Pxt.
(7)
(8) (9)
(10)
(11)
Таким образом, управление Ut (io) с учетом (8) определяется следующим выражением:
1/ *\T 1| [/ *\T / * \T 1 *
Ut =-|( +G*) (Fxt +G*) P(t +G*) rPFxt-j(Fxt +Gi) (Fxt +G i) P(t +Gi)
-1]
К^2. (12)
Обозначая
К(х,) = -|(( + О*)Т (х, + О*)Т Р (х, + О*) К(х,) = —|(х, +О*)Т (х, +О*)Т Р (х, +О*)
(13)
1о2, (14)
выражение (12) запишем в виде
и, =-(к (xt )xt + К (х,)). (15)
Анализируя выражения (13) и (14), заключаем, что для реализации управления (15) величина ( +0*) р( +С*| должна быть положительно определена во всем пространстве состояния ЭМО.
По условию (5) det Р ф 0, тогда (гх, + О*) будет положительно определена в любой точке про-
странства х, за исключением гиперплоскости, определеннои уравнением
(Гх, + О*) = 0. (16)
Построенный закон управления обеспечивает наиболее быстрое убывание функции Ляпунова (5), определенной на решениях билинейной модели (4) электромеханического объекта.
Из множества законов управления (15), обеспечивающих отрицательность значений ДУ(х,) функции Ляпунова, выделим закон управления, оптимальный по принуждению. То есть такой закон, который обеспечивает выполнение условия ДУ(х,) < 0 с наименьшим значением и, в каждый дискретный момент времени. Для определения такого закона запишем функцию Лагранжа
Н(и, X) = и} + А,[-ДУ(х,)+П(х,,0] , (17)
где X - неопределенный множитель Лагранжа; П(х,,,) - правая часть уравнения (9). Необходимое условие оптимальности выражения (17)
д2(ид)=0 (18)
и
позволяет получить уравнение
и, +х(гГ Р Г,и, +г[ РР, ) = 0. (19)
После преобразования уравнения (19) запишем управление и,;
и, =-Х(1 + ХГТ Р г ' 1
(1 + ХгГРГ, ^ Г[Р¥,. (20)
Неопределенный множитель Лагранжа X должен быть выбран из условия обеспечения отрицательной определенности ДУ (х,). Подставляя полученное уравнение (20) в выражение (11), получим
ДУ(х,) = |(РР,)2 (1 + Хг[РГ,)-2^Х(-ХГ[РГ, -2)+Р,ТРР, -х[Рх,. (21)
Из последнего уравнения следует, что ДУ(х,) знакоопределена при любых значениях Х> 0. Поэтому выражение (21), определяющее закон управления по принуждению, можно преобразовать, если приращение ДУ(х,) функции Ляпунова принять равным
ДУ(х,) = и}ГТг РР, + 2и,Г РР, + РГТРР, -х[Рх, + Ц2. (22)
X
Таким образом, смысл множителя X - это величина, обратная штрафному коэффициенту, учитывающему «вклад» управляющего сигнала в приращение функции Ляпунова. При значениях X^ да получаем управление, оптимальное по отношению к функции Ляпунова.
Для определения компонент матрицы Р в уравнениях (12) и (20) можно использовать матричные уравнения Ляпунова или систему алгебраических уравнений [1]:
РТРР - Р = -0 , (23)
где - диагональная матрица соответствующей размерности, элементы которой выбираются на этапе формирования критерия качества регулирования.
Критерий качества
Для решения задачи конструирования параметров регуляторов в пространстве состояний требования к качественным показателям часто формулируются в виде функционала от переменных состояния, управляющего воздействия и времени. Распространенной формой записи такого функционала является квадратичная форма, представленная для дискретных систем с одномерным управлением различными объектами в виде
N Т 2
I (х, ,и,) = £ (хТ 0х, + и2 Я), (24)
,=0
где значения компонент матрицы 0 и скалярной величины Я характеризуют вклад соответствующих переменных х, состояния и управления и,. Оптимизация данного функционала качества, с
Т
учетом 0 0 > 0 и Я > 0, позволяет построить стабилизирующее управление в замкнутой системе регулирования на рассматриваемом интервале N времени.
Иллюстративный пример
Исследование регуляторов с управлением вида (15) и (20) осуществлялось на примере такого распространенного электромеханического объекта, как электропривод постоянного тока, модель которого имеет следующий вид [2]:
- на интервале времени , е (,0 + ]Т, ,0 + ]Т + у (и (]Т)):
¿ф4(7) = и0 )-ис 0 ),
У(,) = ис (,) - Яд/(,) - Сд ш(,), (25)
С фи с (,) = ¿1 (,) - ¿(,), Ьд /(,) = ис (,) - Яд/(,) - Сд (/) ш(,),
- на интервале времени , е(,0 + ]Т + у(и0'Т), ,0 + (/+1)Т):
Ьо ¿1 () = и0 - Яо ¿1(t) - ис (t),
СфС/с (,) = 1(,), (26)
Ьд /(,) = -Яд/(,) - Сд (/> (,) , где и0, ис (,) - соответственно напряжение источника питания и конденсатора Г-образного фильтра силового преобразователя; Ьф,Яф ,Сф - индуктивность, сопротивление и емкость конденсатора Г-образного фильтра силового преобразователя; Ьд (/), Яд , Сд (¿)- индуктивность, сопротивление цепи и конструктивная постоянная исполнительного двигателя; ц(,) - входной ток Г-образного фильтра силового преобразователя; 1(1), ш(,) - ток и скорость вращения исполнительного двигателя.
Рассматривая, например, управление V, вида (20) в функции двух переменных и ш,, для номинальных значений параметров исполнительного двигателя и Г-образного фильтра силового преобразователя можно записать:
X(138/t - 0,775ш,) и, = —--------—X----- , (27)
1+А
кп
где Кп - коэффициент пропорциональности, значение которого определяется компонентами матрицы Р , параметрами исполнительного двигателя и Г-образного фильтра силового преобразователя.
Варьируя значение множителя X, можно компенсировать влияние таких возмущений, как изменение момента инерции механической нагрузки исполнительного двигателя на качественные показатели электропривода с соблюдением условий устойчивости.
Результаты моделирования (рис. 1) электропривода постоянного тока с широтно-импульсным преобразователем и Г-образным силовым фильтром питающего напряжения при организации управления и, вида (20) отражают асимптотический характер динамических процессов переменных состояния.
Как показали исследования, синтезированное управление вида (14) и (20) позволяет обеспечить асимптотическую устойчивость при стабилизации с заданной точностью выходных переменных тока ц и скорости ш, исполнительного двигателя при значительном изменении параметров механической нагрузки исполнительного двигателя.
Рис. 1. Переходные процессы в электроприводе постоянного тока с регулятором вида (20) для минимального значения динамического момента инерции механической нагрузки
Заключение. На основе проведенных исследований можно сделать следующие выводы:
1. Нелинейность законов регулирования в системах управления электромеханическими объектами с источниками энергии ограниченной мощности определяется билинейной моделью ЭМО, которая учитывает параметры силового фильтра источника питания.
2. Использование функций Ляпунова для синтеза регуляторов позволяет получить в аналитическом виде законы нелинейного управления для систем с отрицательной обратной связью по состоянию и дальнейшее улучшение качественных характеристик процессов регулирования возможно на основе наблюдателей неизмеряемых переменных состояния ЭМО.
3. Результаты имитационного моделирования показали высокую эффективность предложенных нелинейных законов управления при изменениях в определенных пределах параметрических возмущений в электромеханическом объекте.
Литература
1. Барбашин Е.А. Функции Ляпунова. - М.: Наука, 1970. - 240 с.
2. Букреев В.Г. Адаптивные регуляторы в дискретных системах управления сложными электромеханическими объектами / В.Г. Букреев, Ю.И. Параев. - Томск: Изд-во. Том. гос. ун-та, 2000. -
278 с.
Букреев Виктор Григорьевич
Д-р техн. наук, профессор каф. электропривода и электрооборудования ТПУ Тел.: 8 (382-2) 56-40-45 Эл. почта: bukreev@tpu.ru
Bukreev V.G.
Nonlinear controller synthesis of discrete control systems by electromechanical objects
In the article we offer a synthesis algorithm for nonlinear controller of discrete electromechanical system with pulse-width modulation of control signal based on Lyapunov's second method. There are determined nonlinear control laws which ensure the asymptotic stability of controlled processes in an electromechanical object with a limited power energy source. The efficiency of a nonlinear controller is shown so it minimizes power consumption in digital control system of an electromechanical object with parametric perturbations.
Keywords: nonlinear controller, electromechanical object, pulse-width modulator.
0,0000 0,0165 0,0330 0,0495 0,0660
