Синтез модели информационноизмерительной части территориально распределённого производственного комплекса Текст научной статьи по специальности «Математика»

ПРИБОРОСТРОЕНИЕ, МЕТРОЛОГИЯ И ИНФОРМАЦИОННОИЗМЕРИТЕЛЬНЫЕ ПРИБОРЫ И СИСТЕМЫ

УДК 621.382(06) д. в. НИКОНОВ

Омский государственный технический университет

СИНТЕЗ МОДЕЛИ ИНФОРМАЦИОННОИЗМЕРИТЕЛЬНОЙ ЧАСТИ ТЕРРИТОРИАЛЬНО РАСПРЕДЕЛЁННОГО ПРОИЗВОДСТВЕННОГО КОМПЛЕКСА

Описан синтез модели и моделирование информационных измерительных процессов при разработке распределённого производственного комплекса. Приведена методика применения предложенной модели, даны иллюстрации процесса получения оптимального решения, определения целевой функции, системы ограничений и области существования задачи оптимизации. Ключевые слова: информационные измерительные процессы, распределённый комплекс, целевая функция, интерполяция, область существования.

Задачи синтеза модели и моделирования измерительных информационных процессов производственного комплекса определяются функциональным назначением автоматизированного комплекса измерений. Но получение проектного решения в виде описания объекта затруднено сложностью, громоздкостью, многоэтапностью, разносом во времени информационных процессов, их протяжённостью и наличием обратных связей. В то же время, управляющие воздействия обратной связи часто могут быть сформированы только после обработки собранной информации, её анализа и выработки оптимизированного решения. Оптимальный вариант модели должен удовлетворять

системным, конструктивным, технологическим, электрическим и экономическим требованиям [ 1].

Для целей оптимального проектирования необходимо обосновать критерии оптимальности проектируемого объекта и определить множество показателей 0= (%,...,^), на которые наложено множество ограничений У=^1,...,уі). Для решения задачи синтеза выделим совокупность независимых переменных Х=(х1,... ,хт), зафиксировав значения которых можно определить один из вариантов объекта и его количественные характеристики, в том числе значение критерия оптимальности, а также показатели, принимаемые в качестве ограничений, то есть (х1,...,хт) — переменные синтеза.

ОМСКИЙ НА^НЫЙ КСТНИК №3 (103) 2011 ПРИБОРОСТРОЕНИЕ, МЕТРОЛОГИЯ И ИНФОРМАЦИОННО-ИЗМЕРИТЕЛЬНЫЕ ПРИБОРЫ И СИСТЕМЫ

ПРИБОРОСТРОЕНИЕ, МЕТРОЛОГИЯ И ИНФОРМАЦИОННО-ИЗМЕРИТЕЛЬНЫЕ ПРИБОРЫ И СИСТЕМЫ ОМСКИЙ НАУЧНЫЙ ВЕСТНИК №3 (103) 2011

У(НМ)

Рис. 1. Поведение функции 65 = Г(1Ч, М) при

соотношении коэффициентов М и N1 N [0,15; 2,85] шаг 0,3; М [0,3; 8,7] шаг 0,6

В территориально распределённых комплексах количество каналов поступления аналоговой информации определяет структуру и алгоритм работы системы — или параллельного действия, или мультиплицированная структура, или параллельно-последовательного действия. Функциональная и территориальная рассредоточенность ведёт к громоздким системам уравнений, описывающих функции преобразования измерительных преобразователей для каждой из физических величин. С позиции метрологической достоверности, для ряда измеряемых физических величин существуют стандартные контрольно-поверочные средства, но их стоимость определяется их точностными характеристиками. Для некоторых физических величин просто нет серийных метрологических средств с достаточными, согласно ГОСТ, точностными характеристиками, что ведёт к необходимости их разработки.

Между собой связаны процессы синхронизации физических процессов на производстве и поступления данных о состоянии объекта в аналитический модуль. Также, из-за временных задержек и наличия обратных связей в системе возникает вопрос о достоверности данных, по которым производится принятие решения о выходе системы в установившийся режим. Этим определяется тип системы — или она должна быть статичной, или обладать астатизмом по информативному параметру.

Критерии оптимальности Б и показатели назначения д являются функциями независимых и зависимых переменных (напр., четырёх): Б(Х) = Б[х1, Б(х2), Б(х3), х4] и д^Х) = д1(х1,...,х4). Задача синтеза в формализованном виде — определение значений переменных х1,...,х4, при которых критерий оптимальности принимает экстремальное значение при условиях:

е1(хг ..., хт) (1 = Щ) и а < ^ < Ь , у = 1,т) .

Для перехода от неравенств к уравнениям следует ввести дополнительные переменные хт+1, причём хт+1 > 0 и е.(х1,..., хт, ..., хт+.) = 0. Известно, если ограничения имеют вид уравнений, то количество ограничений п не должно быть больше числа переменных т, а разность т — п определяет число степеней свободы (это количество переменных может быть выбрано произвольно).

Большое число каналов измерительной информации не позволяет свести задачу синтеза к алгебраической задаче (п = т), поэтому требуется провести оптимизацию целевой функции Б(х).

Предварительное исследование целевой функции показывает, что задача оптимизации должна решать-

ся методами линейного и нелинейного программирования в связи с нелинейностью ряда ограничений. При структурном синтезе сложно доказать, что полученная система является оптимальной, так как получить точное решение такой сложной комбинаторной задачи практически невозможно. А это означает, что требуется выработать и обосновать ряд допущений, позволяющих получить приближённое решение с приемлемой точностью.

Задача нелинейного программирования, связанная с выбором и обоснованием целевой функции, предполагает выбор и обоснование структуры комплекса. Сразу напрашивается параллельная (многоканальная) структура, отражающая одновременную параллельную работу самостоятельных измерительных каналов, позволяющих одновременно измерять разнородные физические величины, использовать одноканальные измерители, достигать максимального быстродействия и высокой схемной надёжности. Но результаты измерений зачастую используются как по месту измерения, так и в удалённых пунктах, что говорит в пользу параллельно-последовательных структур. А достаточно большая периодичность измерения (сотни миллисекунд и более) не требует высокого быстродействия. В то же время известно, если параллельные самостоятельные измерительные каналы не резервируют друг друга, то вероятность безотказной работы такой структуры будет достаточно низкой:

р = (р р р р )8, (1)

Ап '-1 д 1 изм 1 прд 1 прн' ' % 1

где р , р , р , р — вероятность безотказной ра-

^ -Га1 ^ изм ± прд ± прн ± \Т

боты датчика, измерителя, передатчика и приёмника. Для одного канала (8 = 1) при рд = ризм = рпрд = = рпрн = 0,95 имеем рп = 0,815. Кроме того, недостаток параллельной структуры — это избыточность.

На структуру параллельно-последовательного действия, как многоточечную структуру, накладываются ограничения, связанные с требованием последовательной программной или выборочной адресной выдачи результатов измерений. При этом должны удовлетворяться ограничения по метрологическим и эксплуатационным характеристикам при минимальной сложности и стоимости. Таким образом, в качестве критериев выступают сложность и стоимость, в качестве ограничений — точность и эксплуатационные характеристики. В то же время, уменьшение сложности структуры комплекса достигается за счёт многократного последовательного использования отдельных структурных единиц тракта измерения и передачи информации.

Целевую функцию можно принять как разность между эффективностью комплекса при максимально

Функция 8S си = f(N, M) при различном соотношении коэффициентов

Таблица 1 M и N

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

1 0 1,816i 4,681i 2,036 1,333 1,04 0,865 0,743 0,651 0,578 0,516 0,462 0,415

2 0 1,845i 4,692i 2,01 1,293 0,987 0,668 0,668 0,563 0,476 0,399 0,327 0,355

3 0 1,941i 4,731i 1,917 1,143 0,781 0,527 0,286 0,215i 0,37i 0,452i 0,507i 0,546i

4 0 0,481i 4,287i 2,771 2,304 2,147 2,068 2,02 1,988 1,965 1,948 1,935 1,924

5 0 1,62i 4,608i 2,195 1,565 1,324 1,192 1,107 1,047 1,003 0,969 0,941 0,919

6 0 1,687i 4,632i 2,145 1,493 1,238 1,096 1,003 0,936 0,887 0,848 0,816 0,79

7 0 1,711i 4,641i 2,126 1,466 1,205 1,058 0,961 0,892 0,84 0,798 0,765 0,737

8 0 1,723i 4,645i 2,116 1,452 1,188 1,038 0,939 0,868 0,814 0,772 0,737 0,708

9 0 1,73i 4,648i 2,11 1,443 1,177 1,025 0,925 0,853 0,798 0,755 0,719 0,69

10 0 1,735i 4,65i 2,105 1,437 1,169 1,017 0,916 0,843 0,787 0,743 0,707 0,677

возможных затратах и эффективностью комплекса при затратах, приемлемых для потребителя. Для оценки эффективности комплекса введём понятие «объём регистрируемой информации» (ОРИ) V = ЫЫ, где N — число регистрируемых уровней физической величины; М — число зарегистрированных отсчётов на интервале наблюдения. Целевая функция опреде-

А < h w x

си max t в max 1

(4)

F(X) = (Vj - V2) ®min ,

(2)

где Vj и V2 — ОРИ, соответственно, при максимальных и конкретных затратах на комплекс.

При такой дискретизации во времени измеряемых физических величин появляется вопрос воспроизведения исходного процесса между моментами дискретизации. При равномерной дискретизации с шагом ht и интерполяции появляются задачи определения погрешности воспроизведения исходного процесса, или, при заданных априорных характеристиках исходного процесса, определить интервал дискретизации и степень интерполяционного полинома. Наиболее простыми являются ступенчатая интерполяция, которая заключается в сохранении значения отсчёта на весь впереди лежащий интервал дискретизации, и линейная интерполяция, в которой значения между отсчётами заполняются в соответствии с известным выражением:

p(t) = p(tk) + P(tk+l) ~ P(tk) (t - tk). (3) ht

Исследования из [1] показывают, что для большинства случаев, с учётом погрешности квантования (в узлах интерполяции), увеличение степени полинома Лагранжа выше первой (линейной интерполяции) не имеет смысла. Рассмотрим представление результатов измерения при ступенчатой интерполяции (ступенчатая аппроксимация с учётом погрешности квантования как погрешности измерителя) и при линейной интерполяции значений физической величины между двумя измерениями.

Максимальной значение погрешности ступенчатой интерполяции А на конкретном интервале

си max

дискретизации с помощью неравенства Бернштейна переводится в частотную область, как:

где юв — ожидаемая верхняя частота изменения физической величины х.

Полученное из этого выражения значение ht имеет значительный запас в связи с учётом максимального значения частоты и амплитудного значения физической величины х. Выбор интервала дискретизации по усреднённым оценкам погрешности интерполяции можно сделать по среднеквадратичному значению (СКЗ) этой погрешности, оценив закон распределения погрешности интерполяции. Если 1/ht >> юв, то на интервале дискретизации погрешность интерполяции Ад(Ц можно заменить линейной функцией. Тогда погрешность Aft(t) двух измерений в моменты времени между tk и tk + 1 распределена по равномерному закону в интервале [0; ht х (tk)]. Граница этого распределения ht х (tk) является случайной величиной, распределенной по закону плотности вероятности первой производной измеряемой физической величины W(x).

На практике интересны не точные значения функции плотности вероятности, а ожидаемый их диапазон. При недостаточной априорной информации можно использовать равномерное распределение, как имеющее максимальную неопределённость. Для W(x) в диапазоне —x < x < x плотность веро-

max max

ятности погрешности интерполяции будет аппроксимироваться законом вида:

(

А д = a • ln

ht x'n

Л

А Д

(5)

Значение а, зависящее от произведения Ц хтах, можно найти из условия полной вероятности

хтах 1

I ^(ЛдМАд=1 , что даёт а = '

2htxmax

Выражение для у(Ад) примет вид:

Y(As) = ■

1

ln

ht x'i

2ht x max Аэ

а дисперсия и СКЗ погрешности определятся:

(6)

ОМСКИЙ НАУЧНЫЙ ВЕСТНИК №3 (103) 2011 ПРИБОРОСТРОЕНИЕ, МЕТРОЛОГИЯ И ИНФОРМАЦИОННО-ИЗМЕРИТЕЛЬНЫЕ ПРИБОРЫ И СИСТЕМЫ

ПРИБОРОСТРОЕНИЕ, МЕТРОЛОГИЯ И ИНФОРМАЦИОННО-ИЗМЕРИТЕЛЬНЫЕ ПРИБОРЫ И СИСТЕМЫ ОМСКИЙ НАУЧНЫЙ ВЕСТНИК №3 (103) 2011

240

Рис. З Область существования задачи минимизации целевой функции

аД = h2(x max) /9 ; ад = ±ht(x'max) /3. (7» 8) С учётом неравенства Бернштейна (x (t) £ w x ),

max в max

получим:

1

sД £ ®Вxmax.

(9)

Требуемый интервал дискретизации определится:

3<Гтреб

ht

WR xmax

(1G)

.2 = Лизм max + 2ht wB xmax

AS си =

б

9

(11)

Ss си = '

As с

2xn

hизм max + (ht WBxmax) (12)

24xii

18xii

(2x / h )2 = (N—1)2 . (13)

max изм max

Требуемое для физической величины число регистраций М за интервал наблюдения Тн определится как М = Т /h. + 1, Н (14)

н t ' v ’

или, полагая Тн = 2р^в, имеем: h^ = 2р(М — 1). Тогда: (15)

Ss с

1 G,22p2

----^ 1;

|6(Ы-1)2 (Ы-1)2. (16)

Представив выражение для целевой функции в виде Б(Х) = (Ы^ - Ы2Ы2) , (17)

выражение (12) можно использовать как ограничение.

Погрешность представления значений физической величины линейной функцией между двумя моментами измерений определяется выражением:

Аэ (t) = (t-tk)(t -tk+l)x" (t) / 2 ,

(18)

исходя из общего представления погрешности Л(.) для физической величины х(1;):

n-1

A(t) = P(t) - x(t) = XakP(Pk),

k = G

(19)

где р(У — измеренное значение физической величины; ак — коэффициенты интерполяционной фор-п-1

мулы р(.) = X акр(рк) . к=0

Максимальное значение погрешности на интервале между двумя измерениями при максимальном значении второй производной от физической величины на этом интервале определится:

Такой учёт статистических свойств погрешности интерполяции в три раза уменьшает запас по быстродействию комплекса, чем при использовании требования (4). Но это выражение также имеет запас, учитывая неравенство Бернштейна и равномерность распределения W(x').

Погрешность ступенчатой интерполяции и погрешности измерителей h независимы по своей

± изм max

природе, поэтому суммарная методическая погрешность измерений и дискретизации при ступенчатой интерполяции можно определить, пользуясь правилом сложения дисперсий:

Аэ (t) £ h2 x max (t) / 8.

(2G)

Выполняя анализ, как и для случая ступенчатой интерполяции, находим средний квадрат методической погрешности при линейной интерполяции:

.2 _ Лизмmax nnn^ .J- 2 *

As ли = _ + G,GG2t <»Bxmax. (21)

б

Приведённая погрешность будет определяться выражением:

Ss

ЛІзм max G,GG1h4 wB

ли Ц 2

24xmax

(22)

Это выражение даёт возможность определить СКЗ методической погрешности измерения конкретной физической величины в канале комплекса. Оценим эту погрешность с учётом объёма регистрируемой информации. Полагая диапазон измеряемых величин симметричным относительно нулевого значения, для приведённой погрешности получим выражение:

Связывая это выражение с параметром «объём регистрации информации», получим:

Ss л

1

б^-!)2

54G-

4p2 M-1

(2З)

Для первого слагаемого можно использовать связь h с количеством измеряемых уровней физиче-

изм max ± J ir т

ской величины N:

При оптимизации выражение (23) также используется как ограничение, если в комплексе принята линейная интерполяция представления физической величины между моментами измерений.

Работа с использованием методов и моделей математического программирования удобна применением геометрической иллюстрации процесса получения оптимального решения. Определим целевые функции как линейные, а система ограничений образует обо-

2

4

лочку области существования задачи оптимизации. Целевая функция определяется как:

F(X) = X Cj xj j=О

а система уравнений ограничений будет:

(24)

x4 = О,2 -

О,22р2

B(Nj - 1)2 (Mj - І)2

О,22р2

В( N 2 - 1 ) 2 (M2 - 1)2

x4 > О; (29)

0i(x1,...,xm), i = 1,m; aj < xj < bj, j = 1, n.

(25)

(26)

x5 = 1 - S1N1M1 + S2N2M2 ; x5 > О .

(30)

Найдём значения переменных, удовлетворяющих ограничениям (25) и (26) и обращающих в минимум целевую функцию (24) (т — количество переменных, а п — количество ограничений). Для данной задачи должно быть т > п, а значения т— п переменных можно выбрать произвольно, в частности равными нулю. Тогда такая геометрическая задача будет отражена в (т — п)-мерном пространстве Ет-п. В этом пространстве каждой точке Х(г) соответствует совокупность чисел х1 г, ..., хтпг, равных проекции вектора, проведённого из начала координат в точку Х(г), на координатные оси пространства Ет-п.

Так как функция Б(х1, ..., хт) в каждой точке пространства имеет конкретное значение, то пространство Ет-п является скалярным полем критерия оптимальности Б(Х) и функций ограничений ®1(Х). Функциям ограничений (25) соответствуют граничные гиперповерхности (или гиперплоскости). Ограничениям (26) соответствуют гиперплоскости, выделяющие в пространстве определённую область. Если ограничения (25) и (26) представляют собой выпуклую область, то решения задачи оптимизации соответствуют такой точке в этой области со скалярным полем критерия Б(Х), в которой он принимает минимальное значение.

Для практической оценки модели зададимся следующими значениями: а) объёмы регистрируемой информации не должны различаться более чем на 20 %: Ы1М1 — И2М2 <0,2; б) реальный комплекс не должен увеличивать погрешность измерения по каналу физической величины более, чем в 1,2 раза, и для ступенчатой интерполяции запишем:

1

О,22я

2

1

О,22я2 - +----------2 < °,2;(27)

В поставленной таким образом задаче число переменных т = 5, число уравнений п = 3, и т — п = 2, что позволяет дать геометрическую интерпретацию задачи в пространстве Е2, то есть на плоскости. Так как все переменные должны быть положительны: х; > 0, ] = 1,5, каждое из неравенств определяет некоторую допустимую область в пространстве Е2. Так как неравенство х1=У1 = Ы1М1 > 0 определяет верхнюю полуплоскость, то неравенство х3 > 0 — полуплоскость, лежащую по одну сторону от прямой — И1М1 + т + И2М2 + 0,2 = 0, а именно ту, которая содержит начало координат. Область, соответствующая х3<0, является запрещённой.

Неравенство х5 > 0 определяет полуплоскость, лежащую по одну сторону от прямой 1 — Б^1М1 + + Б2Н2М2 = 0 и содержащую начало координат. При соотношении стоимостей идеального и реального каналов измерения физической величины 1/2 (то есть, Б2 = 0,5; Б1 = 1), линия х5 = 0. Неравенство х4 > 0 даёт свою ограничивающую линию, для чего надо выбрать соотношение величин N и М, исходя из поведения функции 6Е си = 1:(^ М) (табл. 1, рис. 1).

Выбрав точку ^М1 = У1, в зависимости от значения У2 строится кривая из уравнения:

О,2 -

1 О,22л2

+------------;т +

6(Nj -1)2 (Mj - І)2

1 О,22тг2

- +-

B(N - і)2 (M2 - і)2

(Зі)

B(Ni - І)2 (Mj - І)2 Vb(N2 - І)2 (M2 - 1)

в) стоимость идеального комплекса не должна превышать стоимость реального комплекса более чем в два раза: Б1Н1М1 — Б2Н2М2 < 1, где Б1, Б2 — средняя стоимость канала измерения в идеальном и реальном комплексах.

Имея две переменные У1 и У2, введём дополнительные переменные по числу ограничений:

Область существования задачи отражают рис. 2 и 3 (область ОЛЯВССБЕ), и целевая функция (2) принимает минимальной значение на линии БС.

Библиографический список

1. Ефимов, В. М. Квантование по времени при измерении и контроле / В. М. Ефимов. — М. : Энергия, 1969. — 87 с.

НИКОНОВ Александр Васильевич, доктор технических наук, профессор (Россия), профессор кафедры «Автоматизированные системы обработки информации и управления».

Адрес для переписки: e-mail: [email protected]

x3 = а2 - N1M1 + N2M2 ; x3 > О;

(28)

Статья поступила в редакцию 31.05.2011 г. ©А. В. Никонов

1

+

1

+

О

+

ОМСКИЙ НАУЧНЫЙ ВЕСТНИК №3 (103) 2011 ПРИБОРОСТРОЕНИЕ, МЕТРОЛОГИЯ И ИНФОРМАЦИОННО-ИЗМЕРИТЕЛЬНЫЕ ПРИБОРЫ И СИСТЕМЫ