Синтез краевой задачи теории упругости и статического давления для математического моделирования напряженно-деформированного состояния в многослойном кусочно-однородном массиве при действии гравитации Текст научной статьи по специальности «Науки о Земле и смежные экологические науки»

© А.Б. Цветков, В.Н. Фрянов, 2013

УДК 622:519.635.4

А.Б. Цветков, В.Н. Фрянов

СИНТЕЗ КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ И СТАТИЧЕСКОГО ДАВЛЕНИЯ ДЛЯ МАТЕМАТИЧЕСКОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ НАПРЯЖННО-ДЕФОРМИРОВАННОГО СОСТОЯНИЯ В МНОГОСЛОЙНОМ КУСОЧНО-ОДНОРОДНОМ МАССИВЕ ПРИ ДЕЙСТВИИ ГРАВИТАЦИИ*

Предложен алгоритм для нахождения аналитического решения, которое позволяет моделировать напряженно-деформированное состояние в свите угольных пластов и пород при действии гравитации. Подобраны граничные условия для смешанной краевой задачи теории упругости, при которых полученное численное решение согласуется с аналитическим, полученным по предложенному алгоритму. Ключевые слова: геомассив, угольный пласт, вмещающие породы, метод конечных разностей, краевая задача теории упругости.

В статье [4] авторами получен алгоритм моделирования напряженно-деформированного состояния при действии гравитации для геомассива, состоящего из двух породных слоев и пласта угля. В данной работе результаты обобщены на свиту пластов, в которой количество пластов угля и слоев вмещающих пород неограниченно.

Когда количество слоев пород и пластов угля в свите известно, то применив предложенный авторами алгоритм в [4], можно найти выражение для моделирования напряженно-деформированного состояния такого геомассива. Для свиты, состоящей из другого числа пород и слоев такую зависимость необходимо строить повторно. Поэтому возникла задача разработки универсального алгоритма, позволяющего, получать решения для свиты, состоящей из произвольного числа слоев и пород. При решении поставленной задачи были получены обобщенные зависимости для нахождения величин вертикальных перемещений, напряжений и деформаций, а также предложен подход последовательного нахождения постоянных интегрирования. В работе рассматривалась расчетная область прямоугольной формы, представленная на рис. 1.

* Работа выполнена при финансовой поддержке Министерства образования и науки по контракту №5.3832.2011.

у,м

»N+1-

Земная поверхность

шшшштт

' .' Г'.схкк

ШШШШШЖ

а

Рис. 1. Расчетная область О

х,м

Рассмотренный геомассив О, состоял из свиты N угольных пластов и породных слоев О = П1+...+ QN (рис. 1). Физико-механические свойства определялись величинами: рь i=1,2...N где pi постоян-

ные Ламе и плотность О^ Горизонтальные границы задавались уравнениями: у=Ьь i=1,2...N+1.

Воздействие гравитационного поля в геомассиве моделировалось следующим образом. Перемещения в слое О1 возникают под действием его собственного веса. Слой О2 находится под воздействием веса О1 и собственного веса слоя О2. На слой Ом оказывают давление вес О1,...,О^1 и собственный вес О^

Для нахождения обобщенного алгоритма сначала были найдены последовательно решения для нескольких слоев свиты и результаты обобщены в виде алгоритма, который позволяет определять вертикальные перемещения, деформации и напряжения в свите, состоящей из произвольно заданного числа N пластов.

В статье применялись следующие обозначения: v¡(у), е;(у), ст;(у), вертикальные перемещения, деформации и напряжения; С — постоянные интегрирования i=1,2...N.

Дифференциальное уравнение для определения у) в слое О1 определяется выражением:

-Р1 д(у - = (^ + 2^1 (у). (4)

После интегрирования (4), общее решение имеет вид:

v1^у) = С - ду2р1 (5)

1 1 2(^1 + 2ц1) \ + 2ц1

Для второго слоя О2, с учетом давления О1 получено уравнение: -Р1 д(Ь2 - hl) - Р2д(у - Ъ^) = (А^ + (у). (6)

Его общее решение имеет вид:

2

ду р2

v2(y) = С2 ---+ у

2р ( дЪ1р1 , дЪ2(-р1 +р2)^

+

2(^2 + 2ц2) + 2Ц2 Я,2 + 2Ц2

(7)

На третий слой совместно воздействуют О1 и О2. Поэтому: -р1 д(Ъ2 - Ъ^) - р2д(Ъ3 - Ъ2) - рзд(у - Ъ3) = (^ + (у). (8)

В результате, общее решение для нахождения величин У3 (у) определятся выражением:

v3( у) = С3--+ у

2(А,3 + 2ц3)

2р ( дЪ1р1 | дЪг(-р1 +р2) | дЪ3(-р2 +р3)^

. +-£-¿-_--+ .

(9)

+ 2^3 ^3 + 2^3 ^3 + 2^3

Четвертый пласт, помимо собственного веса подвержен воздействию О1, О2 и О3. Следовательно:

-р1 д(Ъ2 - Ъ1) -р2д(Ъ3 - Ъ2) -р3дЪ - Ъ3) -р4д(у - Ъ^) = (А^ + 2^4^(у). (10) Откуда общее решение для определения v4 (у) имеет вид:

у(У)=с - ду2р4 + уГ + +Р2) + д^э(-р2 +рз) + 5^4(~Рэ+Р4) 1 (11) 4 4 2( А4 + 2ц4) ^А4 + 2ц4 А4 + 2ц4 А4 + 2ц4 А4 + 2ц4

После обобщения решений (5), (7), (9), (11) выражение для нахождения величин вертикальных перемещений в п-м слое приняло вид:

V, (У) = С+ у

ду2рп , у ( Фр + 11 д^+1(-р] +Р]+1) 1

2(Ап + 2цп) + 2ц, ]=1 + 2ц,

(12)

Лля удобства нахождения постоянных интегрирования Сп было использовано обозначение:

V, (у) = - ^ 2рП + у ( дУ1 + ^ д^+1(-р +р+1) 1

01Л , О.. Ч у Л ,9,,

(13)

2(ХП + 2цп) ^ + 2цп ^=1 А п + 2цп Постоянные Сп находятся из условий:

Уп+1( ^п+1) = ^(^п+1)-

В обобщенной форме Уп (у) представимо следующим образом: (у) = Сп + ^ (у). (14)

Из (13) дифференцированием по у получены зависимости для вычисления вертикальных деформаций:

В(у) = д(У1 -урп) + Ц дУ(-р1 + р1+1). (15)

П А п + 2Ц п 1=1 Ап + 2Цп

Вертикальные напряжения определяются по формуле:

стп(у) = д(- урп) + (Ап + 2цп)! д11(-р,9+р 1+1). (16)

м А + 2ц

1=1 п ~п

Моделирование напряженно-деформированного состояния в свите пластов угля при действии гравитации проводилось как аналитически, так и численно. Затем результаты численного и аналитического решений сравнивались между собой.

Лля проведения численного эксперимента была рассмотрена смешанная краевая задача теории упругости для области прямоугольной формы. Расчетная область О состояла из 15 породных слоев и 6 угольных пластов. Литологи-ческие данные представлены в табл. 1.

Слои и пласты получены представлением расчетной области прямоугольной формы О в виде 21 подобласти:

О = £ О,. (17)

i=l

Смешанная краевая задача была решена методом конечных разностей [3] в следующей постановке. Найти вектор перемещений и=(и,у), и=и(х,у), у=у(х,у), удовлетворяющий внутри прямоугольника О системе дифференциальных уравнений:

№ Высота над у] ровнем моря, м р, кг/м3 Е, 104МПа Порода

кровля почва

1 389,5 368,5 2700 2,8 0,27 Алевролит

2 368,5 350,8 2600 5,2 0,17 Песчаник

3 350,8 348,6 2700 2,8 0,27 Алевролит

4 348,6 342,3 1380 0,3 0,34 Уголь

5 342,3 339,5 2700 2,8 0,27 Алевролит

6 339,5 327,7 2600 5,2 0,17 Песчаник

7 327,7 315,2 2700 2,8 0,27 Алевролит

8 315,2 306,6 2600 5,2 0,17 Песчаник

9 306,6 297,9 1380 0,3 0,34 Уголь

10 297,9 280,1 2700 2,8 0,27 Алевролит

11 280,1 256,2 2600 5,2 0,17 Песчаник

12 256,2 245,7 1380 0,3 0,34 Уголь

13 245,7 242,3 2700 2,8 0,27 Алевролит

14 242,3 236,5 2600 5,2 0,17 Песчаник

15 236,5 229,6 2700 2,8 0,27 Алевролит

16 229,6 210,1 1380 0,3 0,34 Уголь

17 210,1 204,2 2700 2,8 0,27 Алевролит

18 204,2 200,5 1380 0,3 0,34 Уголь

19 200,5 155,8 2700 2,8 0,27 Алевролит

20 155,8 147,5 1380 0,3 0,34 Уголь

21 147,5 141,7 2600 5,2 0,17 Песчаник

+^; )+(+ц.)(+^ )+Ря=о

и граничным условиям: на сторонах прямоугольника О: х=0, х=800, у=0 и у=600, заданы нулевые горизонтальные перемещения: и(0,у)=0, и(800,у)=0, и(х,0)=0, и(х,600)=0; на сторонах х=0, х=800 производные VX (х, у) равны нулю: (0, у) = 0, VX (800, у) = 0; на верхнем основании сту (х,0) = 0; на нижнем

основании у(х,600)=0. Физико-механические свойства были заданы согласно табл. 1.

Численное и аналитическое решения приведены на рис. 2—4. По вертикали приведена глубина, а горизонтали — перемещения, деформации и напряжения соответственно. Сплошная тонкая линия соответствует численному решению, точки - аналитическому.

Знак плюс соответствует перемещениям в направлении оси ОУ, минус — в противоположном. Знак минус соответствует сжимающим деформациям.

Из рис. 2 видно, что величина перемещений зависит от глубины и физико-механических свойств П1...П21. На рис. 3 представлен график деформаций. Величины перемещений и деформаций при переходе через пласты угля изменяются скачками.

У,М

340 290 240 190 140

Щ

¿//Л

ш

0 0,1 0.2 0.3 0.4 Рис. 2. Вертикальные перемещения

0.5 У,|/1

у,м

340 290 240 190 140

\ щ

\ —1.

\

- 1_ \

-Ч

На рис. 4 приведен график вертикальных напряжений при х=400 метров. По горизонтальной оси отложены напряжения в МПа, а по вертикальной — глубина. Знак минус соответствует сжимающим напряжениям.

Из рис. 4 следует, что в массиве О действуют только сжимающие напряжения. Следовательно, ненарушенный геомассив, состоящий из свиты угольных пластов при действии гравитации представляет собой область сжатия и сжимающие напряжения возрастают с увеличением глубины. На графике наблюдаются скачки напряжений сту на границах слоев пород и пластов угля.

Проводилась верификация численного решения (18) с полученным в работе аналитическим решением (1216). Относительная погрешность составила около 1 %. Выводы

1. В работе предложен алгоритм для нахождения аналитического решения, которое позволяет моделировать величины перемещений, деформаций и напряжений для свиты угольных пластов при действии гравитации. Предложенный алгоритм может быть настроен для любых значений вертикальной компоненты вектора перемещений на нижней границе.

2. Подобраны граничные условия для смешанной краевой задачи теории упругости, при которых предоставляется возможность проводить численное моделирование напряженно-деформированного состояния свиты угольных пластов. Результаты численного и аналитического решений согласуется между собой.

-0,001 -0,004 -0,007 -0,010 Рис. 3. Вертикальные деформации

0 -1 -2 Рис. 4. Напряжения и

МПа

3. Проведенное исследование относится к одному из этапов построения математической модели для решения актуальной научно-практической задачи прогноза параметров напряженно-деформированного состояния при разработке паспортов выемочных участков угольных шахт. На следующих этапах планируется модификация аналитического решения для предварительной настройки математической модели на основе шахтных измерений.

- СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Динник А.Н. Статьи по горному делу. / А.Н. Динник — М.: Углетехиздат, 1957. — 193 с.

2. Борисов А.А. Механика горных пород и массивов. / А.А. Борисов — М.: Недра, 1980. — 360с.

3. Рихтмайер Р. Разностные методы решения краевых задач. / Р. Рихтмайер, К. Мортон — М.: Мир, 1972. — 414с.

4. Цветков А.Б. Синтез краевой задачи теории упругости и статического давления для математического моделирования напряженно-деформированного состояния в угольном пласте и вмещающих породах при действии гравитации. / А.Б. Цветков, П.В. Васильев, О.А. Петрова. // Горный информационно-аналитический бюллетень. — М.: Горная книга, 2012. - №12. - С. 3-9.

5. Резниченко С.С. Математические методы и моделирование в горной промышленности. / С.С. Резниченко, А.А. Ашихмин — М.: Московский государственный горный университет 2001. - 414с.

6. Ермолов В.А. Месторождения полезных ископаемых: Учебник для вузов. / В.А. Ермолов, Г.Б. Попова, В.В. Мосейкин — М.: Московский государственный горный университет 2001. - 570с.

7. Рубан А.Д. Подготовка и разработка высокогазоносных угольных пластов: Справочное пособие. / А.Д. Рубан, В.Б.Артемьев, В.С.Забурдяев, В.Н. Захаров, А.К. Ёогинов, Е.П. Ютяев — М.: Горная книга, 2010 - 500 с.

8. Коршунов Г.И. Геомеханика на угольных шахтах / Г.И. Коршунов, А.К. Ёогинов, В.М. Шик, В.Б. Артемьев — М.: Горное дело, ООО «Киммерийский центр» 2011 - 388 с.

КОРОТКО ОБ АВТОРАХ -

Цветков Андрей Борисович - кандидат технических наук, доцент, atsvet@mail.ru,

Фрянов Виктор Николаевич - доктор технических наук, профессор, заведующий кафедрой

zzz338@rdtc.ru,

Сибирский государственный индустриальный университет

А