Синтез фазоманипулированных последовательностей с хорошими автокорреляционными свойствами Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК621.391.1

СИНТЕЗ ФАЗОМАНИПУЛИРОВАННЫХ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ С ХОРОШИМИ

АВТОКОРРЕЛЯЦИОННЫМИ

СВОЙСТВАМИ

ГОРБЕНКО И.Д., ЗАМУЛА А.А., КОЛОВАНОВА Е.П., КИЯНЧУК Р.И., ЯРЫГИНА Т.Е.

Рассматривается задача синтеза дискретных последовательностей с заданными корреляционными свойствами. Приводятся результаты исследований автокорреляционных функций одного класса дискретных последовательностей.

Введение

Синтез семейств сигналов с необходимыми авто- и взаимно-корреляционными свойствами заключается в отыскании семейства дискретных последовательностей, обладающего соответствующими авто- и взаимно-корреляционными функциями. Искусство проектирования широкополосных систем во многих аспектах базируется на нахождении сигналов с соответствующими корреляционными свойствами.

Рассмотрим кодовую последовательность (ар ,ai,... ,а^-i). Если она используется для формирования импульсного сигнала S, комплексная огиба-

ющая которого имеет вид: S(t) = Z aj *Sq (t - iA),

i = -X

апериодическая или импульсная автокорреляционная функция (АКФ) вычисляется как [1]

Pa(m) =

1 N-1

2 Z ai*ai-m,m - 0

||a2||i=m 1 N-1+m *

Z ai*ai-m,m ^ 0

|| a2 || i=0

(1)

где ||a|| - длина (евклидова норма) кодового вектора

2 N 2

a = {a0,a1,.,an-1} , или^ ||=Z|ai| - энер-

i=0

гия N -элементарной последовательности

{aQ,ab---,an-1};

m - число тактов сдвига кодовой последовательности относительно копии;* - знак комплексного сопряжения.

Основное содержание исследований

Минимизация уровня боковых лепестков АКФ имеет наибольшее значение при конструировании сигнала для таких приложений как измерение времени запаздывания, временное разрешение и др. Следует иметь

в виду, что равенство нулю всех боковых лепестков невозможно для финитных или апериодических ФМ сигналов. Действительно, если сигнал имеет длину N, то это влечет выполнение равенства a0 Ф 0 и an-1 Ф 0, поскольку в противном случае длина сигнала была бы меньше N. Тогда крайний правый боковой лепесток нормированной апериодической АКФ кода (1) подобного сигнала будет :

Pa(N -1) = Ф 0

II a ||2

(2)

Последнее соотношение приводит к применению минимаксного критерия при синтезе сигналов, который требует достижения минимально возможной величины максимального бокового лепестка АКФ апериодического кода. Формальная запись данного критерия имеет вид:

Pa,max = maxm*0{|Pa(m)|} = min. (3)

В соответствии с критерием (3) предпочтительными являются кодовые последовательности с наименьшим значением максимального бокового лепестка. Таким образом. требования, предъявляемые к наилучшему сигналу, могут быть сформулированы в виде следующей оптимизационной задачи: на множестве всех возможных последовательностей длины N с символами из заранее выбранного алфавита найти последовательность или последовательности с минимальной величиной максимального бокового лепестка апериодической АКФ.

Сформулированная выше оптимизационная задача, как и многие другие задачи дискретной оптимизации, не имеет общего аналитического решения, и типичной процедурой ее выполнения является осуществление исчерпывающего поиска.

Для любого ФМ сигнала | ai |= 1,i = 0,1...N - 1, так что | a0aN-11= 1, и крайний правый боковой лепесток апериодической АКФ (2) | pf (N - 1) |= 1/N . Следовательно, максимальный боковой лепесток ФМ сигнала ограничен снизу величиной:

pa,max - 1/N . (4)

Естественно, что ФМ сигналы, удовлетворяющие данной границе, будут оптимальными. К числу оптимальных сигналов, удовлетворяющих границе (4), относят коды Баркера. Однако бинарные коды Баркера существуют лишь для длин 2,3,4,5,7,11,13, что конечно же не удовлетворяет многочисленные практические нужды. У казанное стимулирует поиск бинарных последовательностей большей длины с уровнем боковых лепестков, превышающих нижнюю границу. Поскольку ненормиров анная АКФ:

N-1 * N-1 *

P(m) = Z ai*ai-m Pkl(m) = Z ak,i*al,i-m

i=0 i=0

РИ, 2011, № 2

31

любой бинарной последовательности всегда определяется суммой ±1, то возможные значения pa max для не баркеровских кодов принадлежит множеству

2 / N, 3/ N... Г арантированное нахождение глобально-оптимального (т.е. имеющего минимально возможное pa max > 2/N при заданном N) бинарного кода может быть осуществлено только путем полного перебора возможных комбинаций. При этом вычислительный объем, необходимый для такой оптимизации, экспоненциально возрастает с увеличением длины N и становится нереализуемым при величинах N, превышающих 50.

Очевидно, что нахождение оптимальных бинарных последовательностей большой длины практически не реализуемо, задача (3) может быть сформулирована в виде: найти бинарный код с удовлетворительно малым уровнем периодического бокового лепестка pa,max . Общая идея алгоритмов, направленных на решение этой задачи, состоит в предварительном отборе некоторого ограниченного множества последовательностей, которое кажется многообещающим в плане корреляционных свойств, и последующем поиске кода с минимальным значением Pa max только среди последовательностей, вошедших в указанное множество. Одним из примеров подобной стратегии является использование соотношения (4), связывающего апериодическую АКФ со своим периодическим аналогом. Обозначая через pp,max максимальный боковой лепесток периодической АКФ:

Pp,max = maxm=1,2,...n-1{|Pp(m)|} и используя неравенство:

max{|x + y |} < max{|x| +1 y|} < max{|x|} + max{|y|} приходим к оценке pp,max < pa,max или:

Pa,max - ~Pp,max . (5)

Из (5) следует, что последовательности с хорошей апериодической АКФ могут быть найдены среди последовательностей с хорошей периодической АКФ.

Принято считать «идеальной» такую периодическую АКФ, которая обладает нулевыми боковыми лепестками, т. е. нулевыми значениями между периодическими основными лепестками, повторяющимися с периодом N. Указанное условие (с использованием нормированной версии АКФ) можно записать в виде:

Pp(m)

1

E

N-1

Z ai

i=0

*

*

ai - m

— = 0modN m

0,m Ф 0modN

(6)

где запись m = 0modN означает m кратно N (делится на N ). Очевидно, что для идеальной АКФ

P = 0 rp,max _ u.

В [1] показано, что необходимое условие получения идеальной АКФ для бинарной последовательности может быть записано как N = 4h , где h - целое. В

[2] было показано, что для длин N =< 12100 единственным бинарным кодом с идеальной ПАКФ является код длины 4 вида: +1 +1 +1 -1.

С учетом указанного вызывает интерес определение потенциала минимизации максимального бокового лепестка ПАКФ бинарных кодов.

Очевидно, что в отсутствие бинарных кодов с идеальной ПАКФ следующими по привлекательности являются бинарные последовательности, для которых Rp (m) принимает значения ±1, при m = 1,2,..., N -1, т.е. обладают Rp,max = 1/N , могут иметь только два возможных значения ненормированных ПАКФ либо:

Г N,m = 0modN ]

Pp(m) = |+ 1,m ф 0modNj (7)

при длине N = 4h +1, либо

г> / ч Г N,m = 0,modN ) p(m) = {- 1,m Ф 0,modNj (8)

при длине N = 4h -1.

Последовательности, удовлетворяющие соотношениям (7)-(8) и, следовательно, обладающие теоретически минимальным уровнем боковых лепестков ПАКФ (Rp, max = 1/ N) для бинарных кодов нечетной длины, называются минимаксными. Известны только два примера (N = 5 и N = 13) последовательностей, подчиняющихся соотношению (7), тогда как существуют регулярные правила формирования минимаксных последовательностей, удовлетворяющих (8). К указанным типам последовательностей относят m- последовательности или последовательности максимальной длины, последовательности Лежандра.

К числу привлекательных с точки зрения ФАК относятся характеристические коды с числом позиций N = 4x + 2 и N = 4x, x = 1,2,_[3]. Построение дан-

ных кодов базируется на использовании характера мультипликативной группы (¥(x)) поля GF(Pn),n -1.

Несомненным достоинством данных кодов являются хорошие ансамблевые свойства. Характеристические коды, как было отмечено выше, существуют для всех N = Pn - 1(n — 1). Более того, мощность метода кодирования для N = Pn -1 равна числу классов неинверсно-изоморфных коэффициентов, которые могут быть получены разложением мультипликативной группы T = {t} {t, N} = 1 на смежные классы по классу автоморфных коэффициентов, и равна ¥(N)/ 2n, где ¥(N) - функция Эйлера. Так, для характеристического кода с числом элементов N = 2038 существует 1018 изоморфизмов данного кода. Для размерности кода N = 4x + 2 максимальные боковые лепестки ПАКФ принимают значение {- 2,2}. В случае применения характеристических кодов с числом позиций N = 4x боковые лепестки

РИ, 2011, № 2

32

ПАКФ Pa,max принимают значения {0,-4}. На рис. 1 представлен вид ПАКФ для характеристического кода с периодом N = 256 (© = 2).

Естественно полагать, что данный класс кодов, обладая хорошими корреляционными свойствами в части ПАКФ, будет иметь и малые значения боковых лепестков АФАК. Как было показано выше, любой циклический СДВИГ последова- Корреляция тельности ao,ai,....aN-i длины N обладает такой же периодической АКФ, что и исходная последовательность, поскольку периодическая АКФ - инвариантна к циклическому сдвигу.

Апериодическая ФАК (АФАК) циклически сдвинутой копии может отличаться от АФАК первоначальной.

На рис. 2 представлен вид АФАК циклического сдвига (m = 6) одного из изоморфизмов характеристического кода с периодом N = 256 . Для указанного циклического сдвига (m = 6) минимальное значение бокового лепестка АФАК равно -41.На рис. 3 представлен вид АФАК для последовательности с таким же периодом, но при другом циклическом сдвиге (m = 41). В этом случае, минимальное значение максимального бокового лепестка АФАК равно 27.

Факт отличия АФАК циклически сдвинутой копии от АФАК первоначальной последовательности вместе с границей (5) составляет основу метода поиска характеристических последовательностей с приемлемой АФАК. Суть метода состоит в следующем.

Из множества значений длин, для которых существуют характеристические коды, выбираются последовательности с требуемыми периодом и значениями боковых лепестков функции корреляции (- 4,

0, либо +2, - 2). Затем осуществляется поиск по критерию наименьшего уровня максимума АФАК среди всех однопериодных сегментов после-

довательностей кандидатов (изоморфизмов характеристического кода). В частности, берется однопериодный сегмент первой последовательности кандидата, вычисляется его апериодическая АКФ и запоминается в памяти уровень максимального бокового лепестка наряду с номерами последовательности кандидата (типа) и его сдвига.

Сцвиг

Рис. 2. АФАК циклического сдвига m = 6 для N = 256

Корреляция

Сдвиг

Рис. 3. АФАК циклического сдвига m = 41 для N = 256

РИ, 2011, № 2

33

Затем осуществляется циклический сдвиг сегмента на одну позицию и производятся необходимые вычисления. Если новое значение максимума апериодического токового лепестка окажется ниже предыдущего, то его значение и номер нового сдвига заменяют ранее записанные в памяти данные, в противном случае зарегистрированные значения сохраняются без изменения. Данная процедура повторяется N раз, т.е. для всех циклических сдвигов первой последовательности кандидата (для всех автоморфизмов исходного изоморфизма). Подобному исследованию подвергается следующая последовательность-кандидат (изоморфизм выбранного кода). Результатом поиска является последовательность с минимальным значением Pa max среди всего ансамбля последовательностей.

В табл. 1 представлены значения боковых лепестков АФАК для всех циклических сдвигов первого изоморфизма характеристического кода с периодом N=130.

Таблица 1. Значения боковых лепестков АФАК для

характеристического кода с периодом N = 130

Макси-

мальный Соответствующие сдвиги

боковой

лепесток

17 {76, 82}

18 {38, 56, 89, 102}

19 {3, 13, 50, 129}

20 {8, 19, 22, 40, 42, 43, 90, 108}

21 {2,10, 30, 31,36, 57,68, 87, 96,116, 119, 125}

В табл. 2 приведены результаты поиска циклических сдвигов характеристических последовательностей с

периодом N = 130 и N = 256, при которых боковые лепестки АФАК имеют наименьшие значения.

Таблица 2. Циклические сдвиги характеристических последовательностей с наименьшими боковыми

лепестками АФАК

N Максимальные боковые лепестки Соответствующие сдвиги

130 17 {76, 82}

256 27 {41,114}

Как следует из данных табл. 1 и 2, минимальное значение боковых лепестков АФАК для периода N = 130 (при m = 76,82) составляет 17, а при N = 256 и m = 41,114 — равно 27.

Данный метод может быть использован при формировании ансамбля сигналов для различных приложений широкополосных систем. На первом этапе для заданной длины N некоторым образом формируется множество последовательностей с хорошей ПФАК. Оно может включать все известные последовательности заданной длины N , уровень боковых лепестков ПФАК которых согласно (5) позволяет надеяться на

получение низкого значения Ra max. В такое множество, в качестве кандидатов, могут войти, как свидетельствуют представленные результаты, и характеристические последовательности. На втором этапе для каждой последовательности - кандидата, путем циклической перестановки его символов, находят оптимальные по минимаксному критерию апериодические коды и отбирают из них наилучшие.

Заключение

Автокорреляционная функция фазоманипулирован-ного сигнала полностью определяется АКФ кодовой последовательности, и синтез фазоманипулирован-ных сигналов с хорошими корреляционными свойствами состоит в отыскании последовательностей с хорошими АКФ. Результаты исследований, представ -ленные в статье, показывают, что характеристические последовательности, вследствие хороших АКФ и ансамблевых свойств, могут найти применение в широкополосных системах для бинарной фазовой манипуляции несущей.

Литература: 1. Valery P. Ipatov Spread Spectrum and CDMA principles and Applications // Univesity of Turku. 2. Baumert L. D. Ciclic Difference Sets // Springer Verlage, 1971.3. Свердлик М.Б. Оптимальные дискретные сигналы. М., 1975. 200 с.

Поступила в редколлегию 13.06.2011

Рецензент: д-р техн. наук, проф. Краснобаев В.А.

Г орбенко Иван Дмитриевич, д-р техн. наук, профессор, зав. кафедрой безопасности информационных технологий ХНУРЭ. Научные интересы: проектирование и разработка систем защиты информации, исследование широкополосных систем связи. Адрес: Украина, 61202, Харьков, ул. Л.Свободы, 50А, кв. 49, тел. (057)702-14-25, e-mail: bit@kture.kharkov. ua.

Замула Александр Андреевич, канд. техн. наук, доцент, профессор кафедры безопасности информационных технологий ХНУРЭ. Научные интересы: проектирование и разработка систем защиты информации, исследование широкополосных систем связи. Адрес: Украина, 61085, Харьков, ул. Астрономическая, 35 А, кв. 61, тел. (057)702-14-25.

Колованова Евгения Павловна, ведущий инженер кафедры безопасности информационных технологий ХНУ-РЭ. Научные интересы: проектирование и разработка систем защиты информации, исследования широкополосных систем связи. Адрес: Украина, 61072, Харьков, ул. С.Есенина, 12, кв. 19, тел. (057)702-14-25.

Киянчук Руслан Игоревич, студент 4 курса ХНУРЭ. Научные интересы: блочные симметричные шифры, облегченная криптография (Lightweight Cryptography), стеганография, широкополосные системы связи. Адрес: Украина, 61166, Харьков, пр. Ленина, 14.

Ярыгина Татьяна Евгеньевна, студентка 4 курса ХНУРЭ. Научные интересы: криптография, блочные симметричные шифры, широкополосные системы связи. Адрес: Украина, 61166, Харьков, пр. Ленина, 14.

34

РИ, 2011, № 2