Синтез динамической модели процесса по измеренным характеристикам неоднородных объектов (в задачах гидротехнического строительства) Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 627.8.034.7 (624)

Ю. А. Громов, И. С. Соболь

СИНТЕЗ ДИНАМИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ ПРОЦЕССА ПО ИЗМЕРЕННЫМ ХАРАКТЕРИСТИКАМ НЕОДНОРОДНЫХ ОБЪЕКТОВ (В ЗАДАЧАХ ГИДРОТЕХНИЧЕСКОГО СТРОИТЕЛЬСТВА)1

Аннотация. Представлен метод построения аппроксимирующего временного тренда для множества экспериментальных характеристик неоднородных объектов, целенаправленный к задачам гидротехнического строительства.

Ключевые слова: характеристики, тренд, метод построения.

Abstract. The article offers an unique method of formation of an approximating temporal trend for a set of experimental characteristics of nonuniform objects to be applied in the hydraulic engineering tasks, in particular, for reservoir entire volume loss in time.

Key words: characteristics, trend, model-building technique.

Введение

В качестве примера обратимся к одной из актуальных задач гидротехнического строительства о потере со временем полного объема водохранилищ вследствие заиления.

К 1949 г. в мире было построено около 5 тыс., а к концу XX в. насчитывалось более 45 тыс. больших водохранилищ. Приблизительно 0,5-1 % общих запасов пресной воды в существующих водохранилищах по всему миру теряется ежегодно из-за накопления в них донных отложений. Это означает, что в ближайшие 25-50 лет 25 % запасов воды в водохранилищах может быть потеряно. Вывод базируется на линейном тренде выборки из 47 плотин (рис. 1) [1]. Однако известно, что накопление осадков в водохранилищах не подчиняется строго линейному закону (рис. 2), поэтому общая закономерность потери объема с возрастом водохранилищ может быть уточнена.

1. Описание задачи

Пусть на координатной плоскости с осями х (измеренная характеристика) и t (время) размещено множество точек (tj, Xj), где i = 1,..., n ; n -количество объектов, как на рис. 3 (представляющем собой рис. 1, повторенный в удобном для исследования виде).

Визуально множество точек на рис. 3 похоже на некоторое облако, явно отличное от зрительного образа временного ряда. В частности, видно, что в интервале времени (tj — е, tj + е) при весьма малом е > 0 находится много значений характеристики х. То есть на момент tj зафиксированы результаты измерений не по одному, а по целой совокупности объектов, разброс значе-

1 Статья подготовлена в рамках НИР №7.4059.2011 «Экспериментальные и теоретические исследования поведения водохранилищ и плотин энергетических гидроузлов на эксплуатационной фазе жизненного цикла» по государственному заданию подведомственным Минобрнауки России вузам на выполнение научно-исследовательских работ в 2012-2014 гг.

ний х которых обусловлен неустановленными, но явно существующими различиями их свойств.

о?

I

5 2

в

с

Глобальная выборка: 47 плотин

3

к

ц

к

Л

*

о

о

М

Л

о

*

ю

о

о

и

о

д

М

К

й

Л

«

Л

о

н

о

С

Возраст плотин, годы

Рис. 1. Потеря активного объема водохранилищ мира вследствие накопления наносов [1]

Іваньковскос

1Л

орьковскос

II им паигті»

н овоснбнрскос

иг- ■ П

д

✓

✓ /

г

<■

✓ г г

/ ✓ ✓ ^

Г * ✓

/ / •У

10 20 30

Возраст водохранилищ, годы

40

50

60

Рис. 2. Примеры потерь полного объема некоторыми водохранилищами России по опубликованным данным грунтовых съемок разных лет

90 80 70 60 50 40 30 20 10 , о

• •

[ ЙЙ

йгяййя: «гг*

Возраст водохранилищ, годы

Рис. 3. Координатная плоскость с характеристиками потерь объема водохранилищ мира (по рис. 1, 52 точки)

Классический регрессионный анализ позволяет строить временные тренды по критерию минимума суммарного отклонения. При этом все объекты считаются однородными, равноправными для построения линии регрессии. В условиях рис. 3 гипотеза об однородности рассматриваемых объектов не находит места и потому не дает возможности использовать методологию регрессионного анализа.

В статье предлагается метод построения аппроксимирующего временного тренда в подобных задачах.

2. Синтез модели процесса

Предлагаемый алгоритм построения аппроксимирующего временного тренда учитывает неоднородность множества объектов, представленных экспериментальными точками (¿^, х,), , = 1,..., п .

Известно, что для пары близких в смысле евклидова расстояния точек

Гц = д/(У^~^Т(Х~^х7 (1)

справедлив вывод об однотипности объектов (^, Xi), ($^, Xj), так как при

небольшом временном различии (^- - tj) эти объекты дают малое различие

(х, — Xj ) в значениях измеренной характеристики x ~ Xj .

Вычислим суммарный показатель р, сгущения для каждой из экспериментальных точек:

п 1

Р, = X _, * = 1,..., П . (2)

г--

j=1 ч

Большое значение показателя р, указывает на то, что вокруг точки (^, х,) много близких (однотипных) объектов: точка (^-, х,) является своеоб-

разным центром их сгущения. Малое значение рг- свидетельствует о нети-пичности объекта, выявление которой позволяет отбросить данные (t¿, x¿) ввиду их слабого влияния на общую динамику рассматриваемого процесса. На рис. 4 представлен результат выявления нетипичных объектов, отмеченных на диаграмме малыми точками.

100

\.

и . •' «V* • * V'.' ’’«•••

9 9 Я

Возраст водохранилищ, годы

Рис. 4. Результат выявления нетипичных объектов

Затем на каждом временном интервале [Т^, +1] вычисляются усред-

ненные значения по локальным центрам сгущения. В результате получается выборка временного ряда

где Yfr - члены ряда,

У У У Jl? •••? •••? 1n

Yk = £ WkiXi

fiG[Tk, Tk+l]

(3)

(4)

- весовой коэффициент учета значения х« в указанной для к сумме (4),

Р«

Wki =■

tje[Tk = Tk+l]

На рис. 5 показан результат получения усредненных значений (7k} • Если не во всех временных интервалах [Tk, Tk+i] присутствуют точки (tj, 7), то неравномерно табулированный временный ряд дополняется до равномерно табулированного процедурой кусочно-линейной интерполяции.

Для равномерно табулированного временного ряда (3) посредством стандартного программного обеспечения MS Excel [2] строятся аппроксимирующие временные тренды

Oi(t),..., ФДО, (6)

представленные на рис. 6. Вычисляя по отклонениям |г(?«■) _Фу(?«)| усредненные весовые коэффициенты (j — 1,..., I) качества приближения, полу-

чим итоговую аналитическую формулу моделируемой динамики процесса:

2 ^ *(' )■

j -1

100

90

80

70

60

50

40

30

20

10

°%*» фО ^ о 9*^*

Г* 00 00 00 С* - - -1 - - д - - э од о ** ^ 14 ** Д ** " ^ " * * Я 14 *'*

Возраст водохранилищ, годы

Рис. 5. Усреднение данных внутри годового возраста водохранилищ

Й‘ о ~ - •-<' гч" г* ГО* ^ ^ ^ о>' "

Я и т т т « т т № Л

Возраст водохранилищ, годы

Рис. 6. Аппроксимирующие временные тренды

С целью упрощения формулы (7) имеет смысл отбрасывать слагаемые с малыми весовыми коэффициентами Vj, если это не приводит к увеличению

ошибки приближения выше назначенного порогового значения. Для остающихся слагаемых в выражении (7) надо повторить процедуру нормировки весовых коэффициентов

VjX +... + vjm -1. (8)

Описанный алгоритм реализован в виде программы, выполненной в среде Visual Basic for Application офисного приложения MS Excel [2].

3. Результат

Для рассматриваемого примера в табл. 1 представлены значения весовых коэффициентов Vj . С учетом полученных значений Vj на рис. 7 конкретизирована итоговая модель динамики процесса.

Заключение

Таким образом, применение предложенного метода дает закономерность потери объема водохранилищ мира зависимостью, изображенной на рис. 7.

Таблица 1

Расчет весовых коэффициентов для аппроксимирующих трендов

Линейный Полиномиальный Логарифмический Экспоненциальный Степенной

0,181 0,217 0,194 0,201 0,207

Итоговая модель динамики процесса

Возраст водохранилищ, годы

Рис. 7. Итоговая модель динамики процесса потери объема водохранилищ мира

В настоящее время посредством данного метода выявляются закономерности потерь суммарного объема больших и малых водохранилищ России, по которым подобные исследования до сих пор не проводились.

Список литературы

1. Плотины и развитие: новая методическая основа для принятия решений. Отчет Всемирной комиссии по плотинам. - М. : Всемирный фонд дикой природы (WWF), 2009. - 200 с.

2. Гарнаев, А. Ю. Microsoft Office Excel 2010: разработка приложений / А. Ю. Гарнаев, Л. В. Рудикова. - СПб. : БХВ - Петербург, 2011. - 528 с.

Громов Юрий Алексеевич старший преподаватель, кафедра информационных систем и технологий, Нижегородский государственный архитектурно-строительный университет

E-mail: gs@nngasu.ru

Соболь Илья Станиславович

кандидат технических наук, доцент, кафедра гидротехнических сооружений, Нижегородский государственный архитектурно-строительный университет

E-mail: gs@nngasu.ru

Gromov Yury Alekseevich Senior lecturer, sub-department of information systems and technologies, Nizhny Novgorod state university of architecture and construction

Sobol Ilya Stanislavovich Candidate of engineering sciences, associate professor, sub-department of hydrotechnical facilities, Nizhny Novgorod State University of Architecture and Construction

УДК 627.8.034.7 (624)

Громов, Ю. А.

Синтез динамической модели процесса по измеренным характеристикам неоднородных объектов (в задачах гидротехнического строительства) / Ю. А. Громов, И. С. Соболь // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Технические науки. - 2012. - № 4 (24). - С. 120-126.