Savremeni tip analize problema kontakta sa trenjem primenom konacnih elemenata Текст научной статьи по специальности «Физика»

Mr Dalibor Petrović,

pomčnik, dipl. inž.

VP 3065,

Sombor

SAVREMENI TIP ANALIZE PROBLEMA KONTAKTA SA TRENJEM PRIMENOM KONAČNIH ELEMENATA

UDC: 531.4

Rezime:

Ovaj rad obrađuje teorijske metode koje daju resenje za nelinearne probleme kontakta sa trenjem, a koja proizilaze iz fenomena prianjanja — klizanja. Cilj istra'ivanja jeste predvi-đanje napona i deformacija na kontaktnoj povrsini, kao i unutar komponenti koje dolaze u kontakt, posto se povrsina kontakta menja progresivno usled uvođenja spoljnjeg opterećenja. U radu se polazi od pretpostavke da su materijali linearno elasticni dok su pomeranja i de-formacije male, a povrsina kontakta kontinualna i ravna. Pretpostavlja se, takođe, da ne do-lazi do međusobnog probijanja povrsina tela u kontaktu. Rad se zasniva na metodi konacnih elemenata prilagođenoj problemima kontakta, na inkrementalno-iterativnoj metodi i na sa-vremenim matematickim teorijskim postavkama za resavanje ovog problema.

Kljucne reci: kontakt, trenje, cvorni par, kompatibilnost, prianjanje, klizanje, inkrement, ite-racija, konvergencija.

CONTEMPORARY TYPE OF ANALYSIS ON CONTACT PROBLEMS WITH FRICTION USING THE FINITE ELEMENT APPROACH

Summary:

This paper elaborates theoretic methods which give solutions for nonlinear problems of contact with friction that arise from stick-slip phenomenon. The aim of the stady is anticipation of tension and deformations on the contact surface as well as inside of components that come in contact, because contact surface is changing progressively owing to outer load induction. In this paper it is presumed that materials are linearly elastic, while motions and deformations are minor, and contact surface is continuous and plane. It is also presumed that it does not come to mutual perforation of the objects surfaces in contact. The paper is based on finite elements method, modified for conctact problems, on iterative-incremental method and with contemporary mathematical theoretical assumption for contact problem solving.

Key words: contact, friction, node pair, compatibility, stick, slip, increment, iteration, convergence.

Uvod

Nose}a struktura letelice, poput ve-}ine ostalih tehnickih struktura i sistema, obiluje razlicitim tipovima mehanickih spojeva dva ili vise tela. Radi tacnog predviđanja snage pogonskog agregata i ostalih mehanickih i elektricnih karakte-

ristika neophodno je poznavati stanje kontakta.

U zonama kontakta, koje postoje u razlicitim mehanizmima, sile kontakta, zahvaljuju}i kvazi-statickim optere}enji-ma, mogu da dovedu do trenja i do viso-kih napona, uz pojavu zamora i erozije povrsina. Zbog toga je potrebno, radi

VOJNOTEHNIČKI GLASNIK 3-4/2005.

335

projektovanja ovih elemenata, da se predvide sile kontakta i naponi.

Ovaj rad obraduje razvoj teorijske metode koja daje re{enje za nelinearne probleme kontakta sa nepovratno{}u koja proizilazi iz fenomena prianjanje - kliza-nje. Analiza napona i deformacija, una-predena kroz kontakt dva ili vi{e elastic-nih tela, dugo je bila važna tema, ali je te{ko dobiti numericke rezultate praktic-nih problema uz odgovaraju}u tacnost.

Postojanje tacnih re{enja napona kontakta proizvod su visokosofisticiranih matematickih analiza za idealizovano modelovane konfiguracije. Ova re{enja mogu se primeniti na razlicite probleme, sa vi{e ili manje uspeha, u zavisnosti od toga koliko se dobro realna geometrija i stanja optere}enja slažu sa onim prime-njenim u matematickom modelu.

Formulacija problema kontakta

Kada dve inženjerske strukture fi-zicki naležu jedna na drugu, a nisu kruto spojene i kada jedna drugoj predaju spoljne sile kroz zajednicku povr{inu do-dira, za njih se kaže da su u kontaktu.

Slika 1 {ematski prikazuje razmatra-ni kontakt-problem. Na njoj su prikazana

dva tela A i B, koja mogu biti oznacena i kao kontaktor i meta. U re{enju konac-nog elementa telo A sadrži cvorne grani-ce konacnog elementa koji dolaze u kon-takt sa segmentima ili cvorovima tela B. Mada su prikazana samo dva tela u kon-taktu, mogu se analizirati kontaktni uslo-vi izmedu ve}eg broja tela.

Osnovni uslovi kontakta duž povr{i-na kontakta su takvi da ne može da se dogodi materijalno preklapanje, a kao re-zultat kontaktne sile su stvorene da delu-ju duž zone kontakta na telo A i B. Ove sile su jednake i suprotne. Normalne sile mogu samo da vr{e pritisak, a tangenci-jalne sile zadovoljavaju zakon otpornosti na trenje.

Stanja kontakta u trodimenzio-

nalnim problemima

Stanje kontakta može se klasifiko-vati u cetiri slucaja.

1. Otvoreno stanje - razmak izmedu tela A i B ostaje otvoren, odnosno ne do-lazi do kontakta:

bRa,=bRbt= 0,

(1)

АЧаг-АЧм=Ц = X У, Z)

336

VOJNOTEHNIČKI GLASNIK 3-4/2005.

2. Kontakt prianjanja - razmak iz-među tela A i B je zatvoren i ne dolazi do klizanja:

ARi = -&Rbr = Щ ,

(2)

АЧаг -АЧЫ + бг = 0 ( = X, У, z)

3. Kontakt sa klizanjem - razmak između tela A i B ostaje zatvoren i kliza-nje se odvija u oba pravca (x iy):

ARax = ARbx = ±MARZ ARay = -ARby = ±MARz

ARaz =-ARbz = ARz A4ax -A4bx =Alx A4ay -A4by = Aly A4az -A4bz + Sz = 0

(3)

4. Mesovito stanje - razmak izme-đu tela A i B ostaje zatvoren i dolazi do klizanja u jednom pravcu (x ili y), ali ne do klizanja u drugom pravcu:

ARax = ARbx = ±MARz

ARay =-ARby = ARy ARaz =-ARbz = ARz A4ax -A4bx =Alx A4ay -A4by + Ay = 0 A4az -A4bz + Sz = 0

(4)

Pretpostaviće se da je cvorno

pomeranje, a Rjt sila u cvoru na povrsini

kontakta, gde indeks j oznacava telo, a i koordinatu.

Određivanje stanja kontakta pomoću elemenata kontakta

Ukoliko se mogu objasniti uslovi kontakta pomoću elemenata kontakta, mo-že se doći do znatnog kompjuterskog po-jednostavljenja. U tabeli 1 dati su elementi kontakta koji povezuju cvorni par kontakta sa sledećim konstitutivnim odnosom.

Tabelal

Kriterijumi stanja kontakta

Stanje Kriterijumi

pre posle

Otvoreno otvoreno lz > 0

kontakt lz < 0

Prianjanje prianjanje Rz > 0 , |R^| <MRz > R <HRz

otvoreno Rz < 0

klizanje Rz > 0 , \Rx\ >yKz , R >MRz

mesovito Rz > 0 , \Rx\ >yKz , R <MRz

Klizanje prianjanje Rz > 0 , ARxAJx > 0 , ARy Aly > 0

otvoreno Rz < 0

klizanje Rz > 0 , ARxAlx < 0 , ARy Aly < 0

mesovito Rz > 0 , ARxAlx < 0 , ARy Aly > 0

Mesovito prianjanje Rz > 0 , ARxAlx > 0 , R <MRz

otvoreno Rz < 0

klizanje Rz > 0 , ARxAlx < 0 , R >MRz

mesovito Rz > 0 , ARxAlx < 0 , |R^|

VOJNOTEHNIČKI GLASNIK 3-4/2005.

337

Uopstena matricna jednacina stanja kontakta predstavljena je u sledećem ob-liku:

0 0 0 0 0 0 eX 0 -ezx

0 0 0 0 0 0 0 el ezy

0 0 0 0 0 0 0 0 e\

0 0 0 0 0 0 0 ex

A4ax

A4ay

AVaz

A4bx

AR

AR

ay

AR*

AR

bx

0000000 e2 00000000 e5 0 0 e4 0 0 e3 0 0 e5 0 0 ey 0 0 e3 0 0 e5 0 0 e4 0 0

\ z z

0

0

AR

Aqby AR

A%z

AR*

AR*

by

bz

(5)

gde svaki elemenat e”, ezx, ezy б* itd u jednacini (5) ima vrednost koja zavisi od stanja kontakta.

Jednacine inkrementalne

ravnoteže

Najcesći problemi kontakta izrazito su nelinearni i zavise od putanje optere-ćenja. Nelinearnosti proizilaze iz prome-njivosti povrsine kontakta sa promenom opterećenja i efekta trenja. Kako se opte-rećenje povećava, kontaktni cvorni paro-vi dolaziće u kontakt. Imajući to u vidu, kao i nepovratni karakter fenomena trenja, formulisaće se inkrement optereće-nja kako bi se resili nelinearni problemi kontakta. Ovom prilikom intenzitet opte-rećenja koji prouzrokuje promenu stanja kontakta jednog para cvora kontakta uzet je kao inkrement opterećenja, sto je ana-logno inkrementalno-iterativnoj procedu-ri za probleme elasticnosti i plasticnosti.

Radi nalaženja resenja opstih jedna-cina kontaktnog problema pomoću meto-de konacnog elementa koristiće se prin-cip inkrementalnog virtualnog rada, koji kaže da je zbir radova svih spoljasnjih i svih unutrasnjih sila pri bilo kom virtual-nom pomeranju tacaka tela бц, na koje ovaj sistem sila deluje, jednak nuli, i za telo A može se izraziti sledećom jednaci-nom:

ftJV A°jSAsjdV - \\\ bp^udV -

(6)

-JJ ATi5Auids - JJ ARSAu d = 0 gde je:

Ap; - zapreminska sila;

AT - povrsinska sila;

AR - sila kontakta;

c - povrsina kontakta;

S - granicna povrsina tela izuzev povrsi-ne c.

Transformacijom jednacine (6) do-bija se jednacina krutosti:

(Ka lAq,, }={AF„ }+{AFc} (7)

gde je:

Ka - matrica krutosti,

Aqa - vektor cvornih pomeranja.

U jednacini (7) {AFa} predstavlja

ekvivalentni vektor cvorne sile tela, dobi-jen iz drugog i trećeg izraza jednacine (6).

Vektor kontaktne sile {AFC} pred-stavljen je izrazom:

{^ }=JJ„ ARRAUjds (8)

338

VOJNOTEHNICKI GLASNIK 3-4/2005.

Posto je sila kontakta R nepoznata

ona se ne može kao takva integraliti. Zbog toga će ekvivalentna cvorna sila (AFc } biti razmatrana kao nepoznati va-rijabilni vektor.

Na slican nacin kao za telo A bira se sledeća jednacina za telo B:

(Kbfab }=(AF„ }+(AFc} (9)

Ovde su rezimei izvedeni za sve cvorne tacke duž povrsine kontakta c. Za svaki od cvorova u paru definise se vek-tor inkrementa sile kontakta kao:

AR*

<ar;

у

c

AR*

(12)

gde je:

Kb - matrica krutosti;

Aqb - vektor cvornih pomeranja tela B.

Ovde je (AFb } ekvivalentni vektor cvorne sile tela i (AFc } vektora kontakt-ne sile.

Treba napomenuti da se jednacine (7) i (9) nalaze u medusobnom odnosu preko vektora kontaktne sile (AFc }. Uzi-

majući da je (AFc} rezultanta vektora ARai ili ARfc u jednacini (5) i deo (Aq;.} duž povrsine kontakta shodno Aq;i , dobija se:

i vektor relativnog pomeranja izme-du parova kontaktnih cvorova pomoću:

б*

(б }=z

б у

c

б*

(13)

Sintezom jednacine (7) i (8), koriste-ći jednacine (5), (10) i (11), dobija se:

Г Ka 0 Kac ' CS J 'AFa

0 Kb Kbc Aqb =■ = ■= AFb (14)

V K ca Kcb Kcc J AR* к J Л,

f e1 0 -ezx ^ AR*'

(AFc} 0 4 ~ezy <ar;

c 0 V 0 el J AR* к J

f e2 0 e ^ zx [AR* 1

=-i 0 e? ey < AR* >

c 0 V 0 e? J AR*.

i

(Aq } = (Aqfi} na c (11)

Ovde Kac, Kbc, Kcc, Kcb i Kca odgovara-

ju matricama koeficijenta u jednacini (5) i dati su pomoću:

Г e1 0 - ex

Kac =1 0 el - ezy

c 0 V 0 e\

f e? 0 ex "

Kbc =E 0 e2y ez

c V 0 0 e? J

VOJNOTEHNIČKI GLASNIK 3-4/2005.

339

f e3 x 0 0 N

Kcc =z 0 e3 0 (15)

c 0 V 0 e3 J

f e4 0 0 ^

Kcb =1 0 4 0

c 0 V 0 e? j

f e^ 0 0 л

Kca =z 0 e\ 0

c 0 V 0 e5 j

Ako se ^ } razmatra kao nepo-

znata promenljiva vektora, kao u jed-nacini (14), nije potrebno promeniti velicinu jednacine u procesu iteracije.

I kao deo resenja dobija se (AF }, od-

nosno ekvivalentne cvorne sile u od-nosu sa silama kontakta ili relativna pomeranja izmedu cvornih parova kontakta koji su neophodni za diskri-minaciju stanja kontakta. Algoritam kompjuterske procedure postaje jedno-stavniji.

Pored toga, samo Kac, Kbc, Kcc, Kcb i Kca iz jednacine (14) varira u procesu iteracije, pa posto se samo jednom iz-vodi Gausova procedura eliminacije za pun sistem jednacine (15) u prvoj itera-ciji, dovoljno je rastaviti samo jednacine koje se odnose na cvorne parove kontakta.

Resenje se može poboljsati bez re-savanja velikog broja simultanih jednaci-na na svakom stupnju, tako da proces iteracije može da se izvede znatno ekono-micnije.

Određivanje inkrementa opterećenja

Pretpostavlja se da je na kraju pret-hodnog koraka n C(n) stanje kontakta. Takode, pretpostavlja se da je (q(n vek-

tor cvornog pomeranja i (f(n> } vektor sile kontakta. Resavanjem vektora cvor-nog pomeranja (ni vektora sile

kontakta (AF(n^ } pod uslovom kontakta C(n ) i fiksnog opterećenja (AF}, a pri-menom (Aq(n^} i (AF(n^} kao i (q(n^} i (f(n> }, može se proracunati koeficijent

opterećenja a( zom:

koji je definisan izra-

(af (n)1

(») _i_______i

af

(16)

gde je (AF(n ^ } inkrement opterećenja n--tog koraka.

Iz a() dobija se opterećenje (f(”+^}, pomeranje (q(n+l)} i sila kontakta (f ^”+l)!} kod novog koraka ( +l):

(f(n+l)}=(F(n)}+a(n)(AF} ' ( («+l)}=(q (” )}+a(”){Aq (П )} > (f ^ }= ((n)}+ a W {AF (n) }

(17)

Vrednost a^ je manja od a(^ proracunato pomoću sledećih jednacina za sve cvorne parove kontakta.

1. Od otvorenog stanja do stanja kontakta:

340

VOJNOTEHNICKI GLASNIK 3-4/2005.

l" = R+J"' (-Aq«)

= 1(")+Ј")*А1(") = 0

Z Z

Sufiks y trebalo bi postaviti na mesto (18) sufiksa x za stanje klizanja u y pravcu.

Shodno tome, a( "" za ovaj slucaj je dat putem:

a

(" )

JL

А1"

(19)

2. Od stanja kontakta do otvorenog stanja:

r("+') = r(") +a( " > (мМ)= 0 (20)

Ovde je:

a

(" Y

R"

AR"

(21)

3. Od cvrstog stanja do stanja klizanja a("^ za klizanje u pravcu x dato je kao:

mR+'] = +an)*AR

r(

K>)

a

= 0

(22)

Sada a( * postaje:

ar( )- r(" ")<Ar(")- rW' a(" ) R()-!uR( )

ar( )-rar( )

Ar(" ). r( )>AR(")- R(")

Љ * R( h„R("

a =-arf+„arfJ

(23)

Stanja kontakta

Neka {f^"-i)} i {c("-i)} budu opte-re}enja i stanje kontakta na и-tom kora-ku. Pretpostavi}e se da se pove}ava opte-

re}enje {f("-i)} pomocu inkrementa op-

tere}enja a("-l){AF} prema prethodno navedenoj metodi i da se stanje kontakta {c ("-i)} menja u novo {c(")}, kao {to je prikazano na slici 2. Za vreme optere}e-nja stanje kontakta {c ("-i)} ostaje kon-stantno zbog definicije inkrementa.

Novo stanje kontakta {c(")} nije je-dinstveno. Radi nastavka procedure neo-phodno je raspolagati potrebnim infor-macijama kao relevantnim pokazatelji-ma. Na primer, ako kontakt cvornog para pod otvorenim stanjem do|e u kontakt, mora da se odredi da li je do{lo do klizanja ili ne. Kao drugi primer, mora se ot-kriti da li cvorni par kontakta u stanju

Sl. 2 — Promene u stanju kontakta za inkrementalno opterećenje

VOJNOTEHNIČKI GLASNIK 3-4/2005.

341

Sl. 4 -Model 3D

klizanja dolazi do prianjanja. Zbog toga treba da se dobije resenje AR(n), A/ , itd.

pod uslovom C)} i fiksnog vektora op-terećenja (AF}, i da se kontrolise da li su uslovi prikazani u tabeli 1 zadovolja-vajući za sve cvorne parove kontakta. Svaka iteracija mora da se izvede dok se ne postigne konvergencija.

Analiza okova

Primer proracuna biće pokazan na avionu Lasta - jednomotornom dvosedu niskokrilcu. U osnovnoj nameni to je skolski klipni avion namenjen za osnov-nu obuku i trenažu pilota u letenju sa i bez spoljne vidljivosti i za obuku u in-strumentalnom letu.

Krilo aviona, koje je trapeznog obli-ka, preko svojih okova vezano je za od-govarajuće okove na okvirima trupa. Ovi okovi namenjeni su za medusobno spaja-nje krila sa trupom. Izradeni su od dura-luminijuma i spojeni vijkom. Analiza je izvrsena na trodimenzionalnom modelu (slika 4) primenom programskog paketa ANSYS. Mreža trodimenzionalnog mo-dela (slika 5) uradena je pomoću konac-nog elementa oblika tetraedra, sa cvoro-vima u temenima i na sredinama stranica (slika 6).

Sl. 5 — Umre'en model

4

Sl. 6 — Konacni element oblika tetraedra

342

VOJNOTEHNICKI GLASNIK 3-4/2005.

NODAL SOLI

Sl. 7 — Von Misesovi naponi za џ = 0,002

Analiza okova izvrsena je sa vred-nostima koeficijenata trenja u dijapazonu od 0,002 do 0,3. Na slici 7 dat je graficki prikaz rezultata analize problema kontak-ta veze krilo-trup lakog skolskog aviona Lasta, sa koeficijentom trenja p = 0,002.

Uticaj trenja na raspodelu napona

Na slikama 9 i 10 prikazani su re-zultati analize problema kontakta veze krilo-trup lakog skolskog aviona. Primar-na pažnja pri toj analizi bila je usmerena na ukljucivanje uticaja trenja izmedu osovinice i uski, odnosno na preraspode-lu naponskih stanja u uskama. Radi toga je vrsena analiza uticaja koeficijenta trenja p na raspodelu naponskog stanja u

predmetnoj vezi krilo-trup, odnosno u sa-mim uskama. Analiza je vrsena za vred-nosti koeficijenta trenja u dijapazonu 0,002 do 0,3. Za ovu vrstu problema koe-ficijent trenja 0,3 je previsok, ali zbog si-stematicnosti je ukljucen u analizu. Re-zultati numericke analize uporedeni su sa eksperimentalnim rezultatima gde je do-bijena dobra saglasnost.

VOJNOTEHNIČKI GLASNIK 3-4/2005.

343

Međutim, u razmatranom problemu - uvođenje koeficijenta trenja utice na

kontakta celik-duraluminijum veze krilo- promenu naponskog stanja, kako u unutra--trup, uoceno je slede}e: {njoj, tako i u spoljnjoj u{ci (slike 9 i 10).

344

VOJNOTEHNIČKI GLASNIK 3-4/2005.

Uocava se da je povećanje maksimalnog napona u uskama za koeficijente trenja u podrucju p = 0,002 do p = 0,2 za oko 5%. To potvr|uje da ga je potrebno uzeti u ob-zir pri analizi problema kontakta;

- prema ocekivanju, za koeficijente trenja u podrucju p = 0,002 do p = 0,2 nije doslo do bitnije promene položaja maksimalnog napona 9, kao sto je ilu-strovano u tabeli 2.

Tabela 2

Poloiaj maksimalnog napona 9

p 9 spoljasnje uske 9 unutrasnje uske

0,002 18,6688 17,7723

0,1 18,6791 17,8049

0,2 18,6824 17,8309

0,3 18,6863 17,8575

Zaključak

Pokazano je da su problemi kontak-ta izrazito specificni i zahtevaju vrlo slo-žene analize za njihovo resavanje. Posto je poznato da je ova klasa problema izu-zetno nelinearna, uz pretpostavke da je problem kontakta analiziran za linearno elasticna tela i male deformacije, neline-arnost problema svela se na povrsinsku nelinearnost.

Na osnovu rezultata dobijenih anali-zom okova na avionu Lasta, može se za-kljuciti da se analizom problema kontak-ta sa uticajem trenja dolazi do realnije slike naponskog stanja, koja je bitna za procenu veka strukturalnih elemenata pri analizi cvrstoće na zamor. Posto i trenje utice na povećanje napona u konstrukciji, treba ga ukljuciti u analizu.

I pored svega navedenog, polje za analizu problema kontakta je veoma veli-ko, i postoji jos mnogo aspekata koje tre-ba obuhvatiti analizom.

Literatura:

[1] Josifović, M.: Osnovi strukturalne analize aerotehnickih kon-strukcija, Masinski fakultet, Beograd, 1979.

[2] Sekulović, M.: Metod konacnih elemenata, Gralevinska knjiga, Beograd, 1984.

[3] Tsuta, T.; Yamaji, S.: Finite element analysis of contact problem, Theory and Practice in Finite Element Structural Analysis, University of Tokyo Press, 1973, pp.177-194.

[4] Okamoto, N.; Nakazawa, M.: Finite element incremental contact analysis with various frictional conditions. Int. J. Numer. Meth. Engng. 14, 337-357 (1979).

[5] Chen, Wen-Hwa; Yeh, Jyi-Tyan: Finite element analysis of finite deformationcontact problems with friction, Comput. Struct. 29, 423-436 (1988).

[6] Gaertner, R.: Investigation of plane elastic contact allowing for friction. Comput.Struct. 7, 59-63 (1977).

[7] Chan, S. K.; Tuba I. S.: A finite element method for contact problems of solidbodies-part I. Theory and validation. Int. J. Mech. Sci. 13, 615-625 (1971).

[8] Ohte, B.: Analysis of elastic contact stress by using finite element method, Trans. Jap. Soc. Mech. Engng, 38, 22102216 (1972) (in Japanese).

[9] Sachdeva T. D.; Ramakrishnan, C. V.: A finite element solution for the two-dimensional elastic contact problems with friction. Int. J. Numer. Meth. Engng. 17, 1257-1271 (1981).

VOJNOTEHNIČKI GLASNIK 3-4/2005.

345

Zadate sile

b) Stanje pri kontaktu

Spoljašnje sile

c) Sile koje deluju na telo A i B

Sl. 1 — Sematski prikaz kontakta problema

Sl. 2 — Promene u stanju kontakta za inkrementalno opterećenje

346

VOJNOTEHNIČKI GLASNIK 3-4/2005.

Sl. 4 -Model 3D

ELEMENTS

Sl. 5 — Umre'en model

VOJNOTEHNIČKI GLASNIK 3-4/2005.

347

4

Sl. 6 — Konacni element oblika tetraedra

NODAL SOLUTION

AN

Sl. 7 — Von Mises-ovi naponi za џ= 0,002

348

VOJNOTEHNICKI GLASNIK 3-4/2005.

A

VOJNOTEHNICKI GLASNIK 3-4/2005.

349