Результант на алгебре дуальных чисел Текст научной статьи по специальности «Математика»

Результант на алгебре дуальных чисел 1

© Н. А Малашонок

Ключевые слова: наибольший общий делитель, дуальные числа, результант

Доказывается аналог теоремы о результанте многочленов над алгеброй дуальных чисел

В [1] было определено понятие НОД многочленов над алгеброй дуальных чисел. Был предложен алгоритм нахождения НОД в различных случаях с учетом принадлежности старших коэффициентов идеалу делителей нуля. Два многочлена называются взаимно простыми, если их НОД есть многочлен нулевой степени, В настоящей работе этот вопрос рассматривается с применением понятия результанта. Рассмотрим два многочлена

Р (^) = aоZп + а\гп 1 + ... + ап,

Q(z) = ЬоZm + Ьг гт-1 + ... + Ьт,

где ак = ак+гРк? Ьк = 7к+Ї8к, z = х+іу, і2 = 0 Обозначим через П совокупность многочленов, старшие коэффициенты которых не являются делителями нуля. Здесь мы остановимся на случае, когда ^ и ^ ^^^^адлежат П,

Обозначим через Н наименьшее общее кратное Р и Так как Р, Q Є П, то Н Є П. Если Р и ф те являются взаимно простыми, то существуют и, V Є П такие, что Н = Ри = Qv, причем deg и < т, deg V < п. Верно и обратное: если существуют и^ Є П такие, что Ри = Qv и degи < т, deg V < п, то это произведение есть НОК, а Р, ф не являются взаимно простыми.

Рассмотрим многочлены и, V Є П такие, что degи < т, deg V < п (хотя бы на единицу). Пусть

и = и^т-1 + U2Zm-2 + ... + ит,

V = VlZn-1 + V2 Zn-2 + ... + Vn,

где ик = рк + ідк, vk = вк + іік, для определенности предположим, что т ^ п.

В равенстве Ри = Qv переходим к действительным и мнимым частям, приравниваем коэффициенты и получаем систему однородных уравнений порядка 2(п + т) относнтельно р1,... ,рт, в1,..., вп, д1,..., дт,і1,..., іп:

аор1 — 7о51 = 0 ,

а1Р1 + аоР2 — 71^1 — То82 = 0 ,

ап рт—1 + ап—1рт 7та^п-1 7та+1^п — 0 ,

ап рт 7т$п 0 )

1Работа поддержана Госзаданием Минобрнауки 1.3445.2011, ФЦП "Научные и научно-

педагогические кадры инновационной России" 14.740.11.0349

eoPi + aoqi — $osi — To^i = 0 j

eipi + aiqi + eop2 + a0q2 — $msn—i — Ymtn-i — $m+isn — Tm+i^n = 0 5

finPm-i + an qm-i + fin-iPm + «n-i qm $msn—i Ymtn-i $m+isn Tm+i^n Pnpm + anqm $msn Ymtn 0

Рассмотрим матрицу этой системы

aG О ' 0 —Yo О О О О ' 0 О О

al aG ' 0 -Yl — YG О О О ' 0 О О

an-l an-2 ' aG — Ym — l —Ym—2 ' — YG О О ' 0 О О

an an — l ' al — Ym Ym — l ' — Yl О О ' 0 О О

О О an О О — Ym О О ' 0 О О

во О ' 0 So О О aG О ' 0 — YG О

5i во ' 0 —Si —So ; О al aG ' 0 — Yl О

5n-l 5n — 2 ' во Sm — l Sm — 2 ' ; —So an — l an—2 aG — Ym — l — YG

5n 5n—l ' ' 5l — Sm Sm — l ' ; —Si an an—l al — Ym — Yl

О О ; 5n О О ; —Sm О О an О — Yn

Определитель этой матрицы мы называем результантом многочленов Р и Q,

Мы получили следующий аналог теоремы о результанте над алгеброй дуальных чисел.

Теорема 6.1 Многочлены Р и Q не являются взаимно простыми тогда и только тогда, когда их результант равен нулю.

Результант многочленов дуального переменного позволяет сделать вывод о взаимной простоте многочленов в случае, когда их старшие коэффициенты являются делителями нуля: они не взаимно простые. При этом их НОД определяется неоднозначно.

О

Литература

1, Н, А, Малашонок, НОД многочленов дуального переменного. Вестник Тамбовского университета. Серия: Естественные и технические науки, 2012, том 17 вып. 1, 91-92.

Поступила в редакцию 16 ноября 2012 года N. A. Malaschonok. Resultant on the algebra of dual numbers

An analog of a resultant theorem is proved for polynomials over the algebra of dual numbers Keywords: greatest common divisor, dual numbers, resultant