Научная статья на тему 'Режим скатывания в модели Хиггса с трением'

Режим скатывания в модели Хиггса с трением Текст научной статьи по специальности «Математика»

CC BY
87
38
i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.
Ключевые слова
РЕЖИМ СКАТЫВАНИЯ / МОДЕЛЬ ХИГГСА С ТРЕНИЕМ / ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЙ АНАЛОГ МЕТОДА УСРЕДНЕНИЯ КРЫЛОВА—БОГОЛЮБОВА / HYPERBOLIC ANALOG OF THE KRYLOV–BOGOLIUBOV AVERAGING METHOD / ROLLING REGIME / THE HIGS MODEL WITH FRICTION

Аннотация научной статьи по математике, автор научной работы — Писковский Евгений Викторович

Рассматривается модель Хиггса с трением. Для построения приближенного решения применяется гиперболический аналог метода усреднения Крылова—Боголюбова. Полученное приближенное аналитическое решение сравнивается с численным решением.

i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.
iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.
i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.

Rolling regime in the Higgs model with friction

The Higgs model with friction is considered. The hyperbolic analog of the KrylovBogoliubov averaging method is used to obtain an approximate solution. The obtained solution is compared to a numerical solution of the considered equation.

Текст научной работы на тему «Режим скатывания в модели Хиггса с трением»

УДК 517.958

РЕЖИМ СКАТЫВАНИЯ В МОДЕЛИ ХИГГСА С ТРЕНИЕМ

Е. В. Писковский

Московский физико-технический институт (государственный университет),

Россия, 141700, Долгопрудный, Институтский пер., 9.

E-mail: evgeny. piskovsky@gmail. com

Рассматривается модель Хиггса с трением. Для построения приближенного решения применяется гиперболический аналог метода усреднения Крылова—Боголюбова. Полученное приближенное аналитическое решение сравнивается с численным решением.

Ключевые слова: режим скатывания, модель Хиггса с трением, гиперболический аналог метода усреднения Крылова—Боголюбова.

Для уравнения Хиггса в теории поля [1], уравнения Фридмана в космологии [2,3] и ряда других задач нелинейной динамики интерес представляет не только режим малых колебаний, но и режим скатывания [4,5].

В работах [6, 7] предложен метод решения уравнения Хиггса, являющийся гиперболическим аналогом метода усреднения Крылова—Боголюбова. Метод был применен к исследованию режима скатывания в модели ангармонического осциллятора с мнимой частотой (уравнения Хиггса):

q(t) — /J.2q(t) = —eq3(t) € R, ц> 0, е > 0. (1)

С использованием известного разложения точного решения уравнения (1) в терминах гиперболических функций [8], была доказана теорема об оценке погрешности приближения точного решения решением, полученным с помощью гиперболического аналога метода усреднения Крылова—Боголюбова (см. [7]).

В настоящей статье рассмотрено применение гиперболического аналога метода усреднения Боголюбова—Крылова к решению уравнения Хиггса с трением [4]:

q(t) + 2ehq(t) — /J.2q(t) = —eq3(t) € M, h > 0, /л > 0, е > 0 (2)

с начальными данными q(0) = 0, q(0) = const.

1. Гиперболический аналог метода усреднения Крылова—Боголюбова.

В рамках рассматриваемого метода решение уравнения Хиггса с трением (2) представляется в виде

q = asinh^) + еи(а, tp), (3)

где амплитуда а удовлетворяет уравнению а = еА\ -j-e2A2 +..., а мгновенная частота ф даётся уравнением ф = ц-\-еВКоэффициенты А\, В\ и функция и задают первое приближение к решению уравнения согласно методу:

ди

q = еА\ sinh(-0) + а{ц + еВi) cosh^) + (4)

Евгений Викторович Писковский, аспирант, факультет управления и прикладной мате-

матики.

д^и

q = 2eAi/j,cosh(tp) + а(а2 + 2цеВ{) sinhf^) + e/j2——^. (5)

01рг

Из уравнений (2), (4), (5) получены выражения для амплитуды и первой поправки к мгновенной частоте:

3 а = aoe~£ht, ао = const, В\ = —ale~2eht. 8/л

Константа ао определяется из начальных условий. Далее, принимая во внимание начальное условие q(0) = 0, запишем

Первая поправка и имеет следующий вид:

а3

4 = “3Vsinh(3V;)-Решение уравнения (2) с точностью до е даётся выражением

/ ^(1 ^ \

q(t) = aoe~£ht sinhf fit----o/e-2e/it _ -m_

V 16 /ш /

(6)

Замечание. Рассмотрим уравнение

х + 2ehx + ш2х + ех3 = 0, x(t) € М, со > 0, е > 0

с начальными условиями ж(0) = 0, х(0) ф 0. Решение такого уравнения даётся выражением [9,10]:

2

x(t) = ae~£ht sin(wt H---^_^(Q-2eht _ ^

V 16 OJn /

В [6, 7] отмечено, что представленное решение (6) формально может быть получено из разложения метода усреднения (7) заменами ш —> гц и а —> —гао.

2. Численное решение. Сравнение с полученным приближением. Оценка погрешности приближения точного решения уравнения (2) первым приближением (6) в данной работе не представлена. Чтобы получить представление

о погрешности приближения решения уравнения (2), в настоящем разделе сравниваются численное решение уравнения (2), приближенное решение, полученное в виде (3), и решение уравнения, полученное линеаризацией уравнения (2):

q + 2ehq — /j,2q = 0, q(0) = 0, q(0) ф 0. (8)

Решение последнего уравнения даётся выражением

<?(£) = С\ 8шЬ(д//х2 + е21гЧ)е~£Ы.

Чтобы получить численное решение, были взяты следующие значения коэффициентов уравнения (2): е = 0,25, к = 0,1, ц, = 3,0 и заданы начальные условия д(0) = 0, д(0) = 5,6, Т = 27г//х & 2,0944.

На рис. 1 представлены графики численного решения уравнения (2), первого приближения, полученного выше. Заметим, что решение линеаризованного уравнения (8) существенно отличается от численного решения уравнения (2) уже при £ = 0,ЗТ ~ 0,6283, а первое приближение (6) с хорошей точностью совпадает с численным до £ = 0,6Т ~ 1,2566.

На рис. 2 представлены фрагменты фазовых кривых, полученных на основе численного решения (линия 1), приближённого решения уравнения (2) (линия 2), решения линеаризованного уравнения (8) (линия 3). Параметр £ изменяется в тех же пределах, что и на рис. 1. Видно, что существенное отклонение решения линеаризованного уравнения (8) от приближенного и численного решений уравнения (2) не позволяет использовать решение линеаризованного уравнения (8) в качестве приближения решения уравнения Хиггса с трением, а первое приближение обеспечивает хорошее приближение как обобщённой координаты, так и обобщённой скорости частицы, £ ^ 0,6Т.

Рис. 1. Решения уравнения (2), полученные Рис. 2. Фрагмент фазовой кривой, за-

численно (линия 1), аналитически (линия 2), данной параметрическими уравнениями

и точное решение уравнения (8) (линия 3) х = У = 'КО- линия 1 — численное

решение системы, соответствующей (2); линия 2 иллюстрирует аналитическое решение; линия 3 иллюстрирует поведение системы, соответствующей (8)

Автор благодарен И. Я. Арефьевой и И. В. Воловичу за постановку задачи и руководство в написании настоящей работы. Работа частично поддержана РФФИ (грант 11-01-00828-а) и Программой поддержки ведущих научных школ (грант НШ-2928.2012.1).

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Рубаков В. А., Классические калибровочные поля. М.: УРСС, 1999. 335 с.

[V. A. Rubakov, Classical gauge fields. Moscow: URSS. 335 pp.]

2. V. Mukhanov, Physical foundations of cosmology. Cambridge: Cambridge Univ. Press, 2005. xix+421 pp.

3. Д. С. Горбунов, В. А. Рубаков, Введение в теорию ранней Вселенной. Теория горячего Большого взрыва. М.: УРСС, 2008. 552 с.; англ. пер.: D. S. Gorbunov, V. A. Rubakov, Introduction to the Theory of the Early Universe. Hot Big Bang Theory. Singapore: World Scientific, 2011. 504 pp.

4. I. Ya. Aref’eva, I. V. Volovich, “Cosmological daemon”// JHEP, 2011. Vol. 2011, no. 08, 102, arXiv: 1103.0273 [hep-th].

5. I. Ya. Aref’eva, N. V. Bulatov, R. V. Gorbachev, FRW cosmology with non-positively defined Higgs potentials: E-print, 2011. 40 pp., arXiv: 1112.5951 [hep-th]

6. И. Я. Арефьева, И. В. Воловин, “Асимптотическое разложение решений в одной задаче о скатывании” / В сб.: Математическая теория управления и дифференциальные уравнения: Сборник статей. К 90-летию со дня рождения академика Евгения Фроловича Мищенко / Тр. МИАН, Т. 277. М.: МАИК, 2012. С. 7-21; англ. пер.: I. Ya,. Aref’eva, I. V. Volovich, “Asymptotic expansion of solutions in a rolling problem” // Proc. Steklov Inst. Math., 2012. Vol. 277. Pp. 1-15.

7. И. Я. Арефьева, И. В. Волович, Е. В. Писковский, “Скатывание в модели Хиггса и эллиптические функции”// ТМФ, 2012. Т. 172, №1. С. 138-154; англ. пер.: I. Ya. Aref’eva, I. V. Volovich, E. V. Piskovskiy, “Rolling in the Higgs model and elliptic functions” // Theoret. and Math. Ph/ys., 2012. Vol. 172, no. 1. Pp. 1001-1016, arXiv: 1202.4395 [hep-th].

8. А. М. Журавский, Справочник по эллиптическим функциям. М., JL: АН СССР, 1941. 235 с. [А М. Zhuravskii, Handbook of Elliptic Functions. Moscow, Leningrad: AN SSSR, 1941. 235 pp.]

9. H. М. Крылов, H. H. Боголюбов, Введение в нелинейную механику. Киев: АН УССР, 1937. 353 с. [N. М. Krylov, N. N. Bogolyubov, Introduction to non-linear mechanics. Kiev: AN USSR, 1937. 353 pp.]

10. H. H. Боголюбов, Ю. А. Митропольский, Асимптотические методы в теории нелинейных колебаний. М.: Наука, 1974. 503 с. [N. N. Bogolyubov, Ju. A. Mitropol’skiy, Asymptotic methods in the theory of nonlinear oscillations. Moscow: Nauka, 1974. 503 pp.]

Поступила в редакцию 24/1/2013; в окончательном варианте — 26/III/2013.

MSC: 83С25; 37С10

ROLLING REGIME IN THE HIGGS MODEL WITH FRICTION

E. V. Piskoskiy

Moscow Institute of Physics and Technology (State University),

9, Inststitutskii per., Dolgoprudny, 141700, Russia.

E-mail: evgeny. piskovsky@gmail. com

The Higgs model with friction is considered. The hyperbolic analog of the Krylov-Bogoliubov averaging method is used to obtain an approximate solution. The obtained solution is compared to a numerical solution of the considered equation.

Key words: rolling regime, the Higs model with friction, hyperbolic analog of the Krylov-Bogoliubov averaging method.

Original article submitted 24/1/2013; revision submitted 26/111/2013.

Evgeny V. Piskovskiy, Postgraduate Student, Faculty of Control and Applied Mathematics.

i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.