CC BY
34
УДК 539.52
РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ СТРОИТЕЛЬНОЙ МЕХАНИКИ В ПОЛИНОМАХ Е.Е. Якивчук1, Е.П. Борзых2
1)Московский институт электроники и математики Москва, Вузовский переулок, 12 2)000 "Монэкспострой"
111123 Москва, 3-я Владимировская, 3
Обсуждается метод полиномов и применение его к расчету конструкций.
Задачи строительной механики характерны наличием в их решениях как гладких функций, так и разрывных. Разрывы возникают в функциях, описывающих напряженно-деформированное состояние конструкции, или от наличия сосредоточенных усилий или сосредоточенного изменения геометрических параметров конструкции. Например, угол рамы, ребро складки или оболочки нарушают гладкость функций, описывающих напряженно-деформированное состояние конструкции. Удобно поэтому формировать решение таких задач в виде кусочно непрерывных функций: на промежутках гладкости функции решения представлять в полиномах , а разрывные факторы описывать через условия контакта промежутков. Кроме этого, вынужденного разбиения всей области существования искомого решения на промежутки, может появится необходимость дополнительного разбиения для достижения большей точности решений. Вероятно, принципиально близким методом к настоящему обсуждаемому может считаться метод сплайнов. Однако, если в методе сплайнов разрывы получаются как недостаточное согласование соседних сплайнов, в нашем случае разрывность соседних полиномов несет положительный смысл и описывает реально приложенные сосредоточенные усилия или реально существующие дислокации.
1.Алгор итм этого способа решения в общих чертах заключается в следующем:
- в разбиении области определения искомой функции на промежутки (области), в которых функция должна быть гладкой;
- в обозначении через координаты минимального числа точек в каждом промежутке , необходимого для обеспечения построения интерполяционного полинома такой степени, чтобы была обеспечена заданная точность;
- в формировании системы линейных уравнений, корни которой суть значения искомой функции в назначенных точках;
- в решении сформированной системы;
- в необязательном построении и выводе интерполяционных полиномов, которые представляют аналитический вид искомого решения.
Формирование системы линейных уравнений осуществляется, с одной стороны, на основе известного метода решения дифференциальных уравнений в степенных рядах, то есть, уравниванием коэффициентов при членах с одинаковыми степенями аргументов, а, с другой, на использовании общей формулы аппроксимации производных в аналитическом виде впервые полученной авторами[ 1 ].
Способ позволяет делать расчеты, различных конструкций, в принципе, на основе одной программы. Например, одномерные стержневые конструкции и двумерные пластинки и оболочки можно рассчитывать при помощи одной и той же программы, так как в решении задачи приствует как этап формулировка разрешающих дифференциальных уравнений. Если эти уравнения теоретически имеют решения, выражаемые полиномами, то способ позволяет получить точные решения, в противном случае приближенные. Известно, что МКР, МКЭ обладают такой же универсальностью. Основное преимущество предлагаемого алгоритма заключено не столько в принципиальной новизне, сколько в достаточной простоте управления точностью вычислительного процесса через изменение порядков полиномов и их количества.
Возможная польза применения, предлагаемого метода и программы, видится авторами так же и в учебном процессе, так как пользователь сам описывает не только геометрические и механические характеристики конструкции и приложенных нагрузок, но и применяемые разрешающие уравнения , граничные или начальные условия, что позволяет контролировать степень усвоения изучаемого материала
2. П р о г р а м м ы, реализующие метод, строятся как открытая система. Имеется основная архаичная программа, которая способна решать все. Но для удобства применения программы архаичная, первичная программа специализируется, то есть, приспосабливается для расчета определенного вида конструкций. Специализированная программа приобретает определенные удобства в эксплоатации, но проигрывает в возможности дальнейшего развития. Ниже приводится пример расчета балки, который поясняет эту мысль.
3. Примеры.
3.1. Б ал к а рассчитывается точно, если правая часть и значение жесткости дифференцируемы конечное число раз. Исходные уравнения известны:
(Ли>')’=<Г, (1)
Условия контакта между участками гладкости представляют собой:
М „ев + М соср
О +Р
2^ Лев СОСр
пр
=а
пр
+ а.
соср
= а
где Мсоср ,РСОСр .н1 соср. & соср ЄСТЬ СОСрЄДОТОЧЄННЬІЄ ВеЛИЧИНЫ.
пр
соср пр
Если надо специализировать программу на расчет балок, то условия контакта надо оформить в виде отдельной подпрограммы. Рекомендуется брать минимальным количество промежутков гладкости и минимальным порядок полинома, который определяется как п = 4 + п„р, где п„р -порядок правой части.
Приведем пример, расчитаем балку по расчетной схеме приведенной на рисунке первым, но при отсуствии прдольной силы. Этот пример приведен в [ 3 ]. Результаты расчета даны в таблице 2, они полностью совпали с источником. Точный расчет потребовал решения системы линейных уравнений 13-го порядка, что было очевидно до решения.
ц=3 кг/см
і
Р=500кг з=25700кг ЕР—В—9.22ю7кг
400см
200см
V
Е1=0=3,64109кгсм
200см
-V
І^ис. 1. Расчетная схема балки по [3].
Усложним приведенный пример приложением добавочного силового фактора - продольной силы, как в [ 3 ]. Соответственно, разрешающие уравнения примут вид [2]:
1 Ви"=д,
Точное решение этой системы представляет собой выражение, включающее кроме полинома еще и тригонометрические функции. Метод полиномов позволит получить только приближенное решение. Но возможность влиять на точность в ходе решения позволила получить приемлемые результаты.. Результаты расчета и сравнения приведены в таблице 1. При расчете использованы полиномы четвертого порядка .
Таблица 1.
Сравниваемые величины Точное значение (ист. [1] стр.69) Приближение 1: взяты 21 точка Приближение 2: взяты 60 точек точность Приближение 3: взяты 120 точек точность
Wmaх СМ 5.94 5.7 5.857 98.6 % 5.91 99.5 %
Q;il-b Т 1.644 1.723 1.66 101.2 % 1.64787 100%
Qnpae Т -1.271 -1.247 -1.263 99.2 % -1.267 99.7 %
мтах ТМ 3.225 3.083 3.211 99.7 % 3.24348 100%
Таблица 2.
Сравниваемые величины Точные значения линейного расчета
^max СМ 3.21
Q.icb , Qm>aB Т 1.025, -0.675
Mmax ТМ 1.75
3.2.Линейный расчет рамы. Рама представляет собой совокупность стержней, способных работать по закону, описанному следующими известными линейными дифференциальными уравнениями с постоянными коэффициентами:
(3)
I Ви"=д,
.Пример расчета рамы в линейной постановке дан в [ 1 ].
Нелинейный расчет рамы опирается на следующие зависимости [ 2 ]:
[(Ш')'+8ч>"+28'м>'=Чп
1 Ви"=дТ (4)
Расчет проводился способом итераций, уточняя в каждом приближении продольную силу , причем за нулевое приближение принято значение силы , взятое из линейного расчета. Выше приведенный расчет балки с учетом продольной силы по сути является моделью линеаризации данного вида нелинейности.
3.3. Рас чет пластинки произведем, используя формулу:
D
+ 2 —г—— + *
ôx дх ду ду j
= Ч\ ( 5 )
Программа позволяет учесть любые граничные условия. Рассчитаем прямоугольную пластинку с заделанными краями и соотношением сторон 1:1, нагруженную, равномерно распределенной единичной нагрузкой, и сравним с имеющимся точным решением:
Таблица 3
Сравниваемые величины Точные значения (источн.[2] стр.362 ) Приближение 1 взяты 5x5 точек (использованы полиномы 4-го порядка от 2-х аргументов) точность Приближение 2 Взяты 13x13 точ. (использованы полиномы 12-го порядка от 2-х аргументов) точность
шах М0П0п 0.0517 0.025 48.3 % 0.0513 99.2 %
шах МПИ)Л 0.0229 0.0162 70.7 % 0.0228 99.6 %
шах QonoD 0.452 0.15 33.2 % 0.442 97.8 %
4. В ы в о д ы:
4.1. Для расчета стержневых конструкции (балок, рам, ферм, арок ), и особенно в расчетах не учитывающих дополнительное воздействие от продольных сил на моменты, использование полиномов по описанному способу дает точные решения. Способ обладает инженерной наглядностью и представляет, по сути своей, вычислительный эксперимент.
4.2. Из анализа первой и второй таблиц явствует, что при расчете стержневых конструкций с учетом дополнительного воздействия продольных сил на изгибающие моменты , использование полиномов для получения значений усилий и деформаций близких к точному ( расхождения порядка одного процента ) требует увеличения числа узловых точек в три - четыре раза по сравнению с расчетами в линейной постановке.
4.3. При применении полиномов для расчета двумерных конструкций ( на примере расчета пластинки ) получены весьма точные результаты для величин усилий (расхождения меньше трех процентов); но пришлось применить полиномы весьма высокого (именно, двенадцатого) порядка. В последующем предстоит найти оптимум между величиной области определения полинома и величиной его порядка, так как высокие порядки полиномов по многим причинам не желательны.
ЛИТЕРАТУРА
1.Борзых Е. П. и Якивчук Е.Е. Общая формула аппроксимации производных и ее применение при решении краевых задач по расчету строительных конструкций. // Меж-вуз.сборник трудов.вып.9, М., Изд.асс.строит.вузов, 2000.
2. Колпатц Л. Задачи на собственные значения.// М., Изд. "Наука”, 1968.
Ъ..Фипоненко-Бородич М.М. и др Курс сопротивления материалов. // М., ГИТТЛ, 1956.
THE DECISION OF TASKS OF THE BUILDING IN MECHANICS IN THE POLYNOMIALS E.E. Yakivchuk1 E.P. Borziy2
1) The Moscow Institute of An Electronics Engineering and Eathematics Vuzavski pereulok, 12, Moscow, Russia
2)000 "Mosekspostroi"
3 Vladimirovskaya, 3, 111123 Moscow, Russia
The question of application of the polynomials of the high order is discussed as the decision of the differential equations in tasks of the building mechanics.
Елена Евгеньевна Якивчук родилась в 1956г., окончила в 1980г. МИЭМ, ст. пре-под. каф. УиИТС МИЭМ, автор 12 печ.публикаций.
E.E.Jakivchuk (b.1956), ass. of Department of Management and computer science in technical systems; graduated from Moscow State of Electronics end Mathematics ; author of 12 publications.
Евгений Петрович Борзых родился в 1931 г., канд.техн.наук, учился в ВИА и ВЗИ-СИ, работал в НИИЖБ, ЦНИИЭП ЗЗиСС, "Оргэнергострой"е, сотрудник 000"МЭС", автор 30 публикаций и изобретений.
E.P.Borzij (b.l931) PhD (Eng); graduated from Moscow Institute of Civil Building Engineers, author of 30 publications and inventions.
