CC BY
68
DOI: 10.18454/2079-6641-2015-11-2-96-101
учебно-методические материалы
УДК 51-8
решения задач математической олимпиады «Витус Беринг - 2015»
Г.М. Водинчар, О.К. Жданова, Л.Д. Островерхая, Р.И. Паровик, А.С. Пережогин, О.В. Шереметьева,
Т.П. Яковлева
Камчатский государственный университет имени Витуса Беринга, 683032, г. Петропавловск-Камчатский, ул. Пограничная, 4 E-mail: kafmat@mail.ru
В статье приведены задачи олимпиады по математике «Витус Беринг - 2015» для старших школьников, которая проходила на базе Камчатского государственного университета в ноябре 2015 года.
Ключевые слова: олимииадные задачи по математике для школьников
(с) Водинчар Г.М. и др., 2015
teaching materials
MSC 97А90
solutions of mathematical olympiad «vitus Bering - 2015»
G.M. Vodinehar, O.K. Zhdanova, L.D. Ostroverhaya, R.I. Parovik, A.S. Perezhogin, O.V. Sheremet’eva, T.P.
Yakovleva
Vitus Bering Kamchatka State University, 683031, Petropavlovsk-Kamchatsky, Pogranichnaya st., 4, Russia E-mail: kafmat@mail.ru
We consider solutions of Mathematical Olympiad «Vitus Bering - 2015» for high school students. It was held at Kamchatka State University in November 2015.
Key wards: Mathematical Olympiad for high school students
(c) Vodinchar G.M., et.al, 2015
Введение
Предлагаемая вниманию читателей заметка выходит из русла основной тематики журнала «Вєстник КРАУНЦ. Физ.-мат. науки», связанной с публикацией результатов оригинальных исследований физико-математического профиля. Она посвящена математической олимпиаде школьников старших классов «Витус Беринг - 2015», которая проводилась Камчатским государственным университетом имени Витуса Беринга в начале ноября 2015 года. Мы надеемся, что подобные олимпиады на физикоматематическом факультете будут традиционно проводиться каждый учебный год.
Предметные, в частности - математические, олимпиады известны как прекрасное средство популяризации науки, с одной стороны, и как механизм отбора талантливых учащихся в вузы, с другой. Математические олимпиады школьников в нашей стране начали проводится в 30-е годы прошлого века и быстро завоевали популярность, а с 60-х годов стали традиционными для многих городов Советского Союза. Они проводятся на уровнях городов, регионов, страны, свои олимпиады проводят многие учебные заведения. Получила большое развитие и система подготовки учащихся к решению очень специфических по своему содержанию олимпиадных задач. Уровень вовлеченности лучших юных математиков и Физиков страны в олимпиадное движение стал настолько высоким, что поступление в ряд ведущих вузов страны, например в знаменитый «Физтех», фактически стало возможно только через олимпиады.
Переход в последние годы к поступлению в вузы через систему Единого государственного экзамена увеличил заинтересованность вузов к проведению своих олимпиад. Это объяснимо - вузы хотят не просто брать неизвестных для них абитуриентов на основании формальных баллов ЕГЭ, но и осуществлять свой содержательный отбор в рамках действующих правил приема. Победители и призеры вузовских олимпиад получают дополнительные баллы к баллам ЕГЭ при поступлении в соответствующий вуз.
Математическая олимпиада «Витус Беринг - 2015» проводилась в один тур и включала в себя 6 задач различной сложности для школьников 9-11 классов. На выполнение заданий участникам олимпиады было выделено 3 часа. При подготовке олимпиадных заданий организаторы использовали некоторые типовые задания из сборника [1].
Далее приводятся задания этой олимпиады и их решения.
Задания олимпиады
1) (5 баллов) Найти bb, если выполняются соотношения ab = 81, bc = 2, ac = 3.
2) (5 баллов) Грузовой состав догоняет пассажирский поезд по параллельному пути. Скорость грузового состава составляет 105 км/ч, скорость пассажирского - 85 км/ч. Длина пассажирского состава равна 800 метров. Найдите длину грузового состава, если он обогнал пассажирский состав за 252 секунды. Ответ привести в метрах.
3) (5 баллов) Решить уравнение
(1 - (2 - (3 - (...(2013 - (2014 - (2015 -x)))...)))) = 1000.
4) (10 баллов) Дан равнобедренный треугольник MNK с основанием MK. Точка A принадлежит основанию MK. На Боковых сторонах MN и NK отмечены точки B и C, так что MN||AC и NK| |AB. Найти отношение площадей треугольников ABC и MNK, если AC : NC = 4:7.
5) (15 баллов) Найти площадь фигуры, ограниченной на координатной плоскости следующей системой
Г л/2 — x + 4 ■ x > 0,
—2 + Vx — у — 1 + V
6) (10 баллов) В течение четверти учитель математики ставил ученикам оценки << 1 >>, << 2 >>, << 3 >>, << 4 >>, << 5 >>. Среднее арифметическое оценок Пети оказалось равно в точности << 3,5 >>. Петя попросил заменить одну оценку << 4 >> парой оценок << 3 >> и << 5 >>. Доказать, что средняя оценка Пети увеличилась.
Решения
1) Из условия задачи получаем, что значения a > 0, b > 0, c > 0.
Рассмотрим ab = 81, тогда log3 ab = 4, откуда b ■ log3 a = 4. Аналогично из ac = 3
, 1 ,T - b■log3a 4
следует c ■ log3 a = 1. Найдем отношение —--= -, откуда b = 4c.
c ■ log3 a 1
Тогда, применяя условие bc = 2, получим искомое выражение bb = b4c = (bc)4 = (2)4 = 16.
Ответ: 16.
2) Скорость сближения грузового поезда с пассажирским составляет (105 — 85) = 20 км/ч. Тогда со скоростью 20 км/ч будет пройдено расстояние равное сумме длин пассажирского и грузового поездов за 252 секунды.
Переведем все данные в одинаковые единицы измерения (метры и секунды): 20 км/ч = 5° м/с.
Пусть I - длина грузового состава, тогда
I + 800 = 590.252,
I + 800 = 1400.
Откуда I = 600 м.
Ответ: 600 м.
3) Раскроем скобки и в левой части уравнения получим знакочередующуюся последовательность слагаемых
1 — 2 + 3 — ... + 2013 — 2014 + 2015 — x = 1000.
Сгруппируем слагаемые следующим образом
(1 + 2015) +(-2 - 2014) + (3 + 2013) +... + (-1006)- 1010).+{1007+ 1009) -1008 -x = 1000
2016 -2016 2016 -2016 2016
и заметим, что выражений, равных 2016, будет 504, а выражений, равных (—2016), будет 503.
Следовательно, наше уравнение может быть преобразовано к виду
2016 — 1008 — x = 1000.
Откуда x = 8.
Ответ: x = 8.
4) Построим указанную фигуру. Чертеж приведен на рис. ??.
ACNB — параллелограмм, так как по условию задачи стороны параллельны.
Тогда AC : AB = 4:7. Обозначим а = Z.CNB = ZCAB.
Найдем площадь треугольника ABC: SABC = 1/2 ■ AC ■ AB ■ sin а = 1/2 ■ 4x ■ 7x ■ sin а = 14 x2sin а.
Треугольники KCA и KNM подобны по трем углам, следовательно, KC = CA = 4x и KN = KC + CN = 4х + 7х = 11х.
Так как треугольник равнобедренный, то Smnk = 1/2 ■ KN2 ■ sin а = 1/2 ■ (11x)2sin а = 60,5 x2sin а.
Sabc 14 x2sin а 28
Тогда требуемое отношение равно ----= ———— = ——
Smnk 60,5 x2sin а 121
Ответ: -28-.
121
5) Построим заданную область, обозначим D, на координатной плоскости.
Первое неравенство даёт ограничение на переменную x: 2—x > 0, откуда x є (—~, 2], а из второго неравенства x є [0,<^). Следовательно, x є [0,2].
Первое неравенство V2 — x + 4x > 0 выполняется при всех x є [0,2], что на координатной плоскости будет изображаться полосой, параллельной оси Оу. Второе неравенство определяет область между графиками функций у1 = л/х + 1 и у2 = л/x — 2, где график функции у2 может быть получен из графика функции у1 параллельным переносом вдоль оси Oy на три единицы вниз (рис. 2).
Заметим, что область D равновелика прямоугольнику со сторонами 2 и 3. Для этого достаточно выполнить разрез области D, например, по линии у = 1 и верхнюю часть перенести вдоль оси Оу на три единицы вниз.
Отсюда площадь области D будет равна S = 2 ■ 3 = 6.
Ответ: 6.
6) Пусть общее количество оценок Пети за четверть равно п, а сумма оценок без одной «4» равна S.
S + 4
Тогда средняя оценка будет = 3,5, откуда S = 3,5п — 4.
п
Замена одной оценки «4» на две оценки, «3» и «5», увеличивает количество оценок
S + 3 + 5 S + 8
на единицу и дает новую среднюю оценку--------— =-----.
п + 1 п + 1
Рассмотрим разность новой и старой оценок
S + 8 S + 4 _ 4n - 4 - S _ 4n - 4 - 3,5n + 4 0,5n
n +1 n n(n + 1) n(n + 1) n(n + 1)
Для всех натуральных n разность Пети увеличилась после замены.
0,5 n n(n +1)
> 0. Следовательно, средняя оценка
Заключение
Проведенная в ноябре 2015 года на физико-математическом факультете Камчатского государственного университета имени Витуса Беринга математическая олимпиада преследовала, в основном, профориентационные цели и была ориентирована на потенциальных абитуриентов. Победитель, призеры и участники олимпиады в случае поступления в этот университет получают дополнительные баллы к балам ЕГЭ по профильной математике.
Авторы надеются, что представленные задачи и их решения дадут возможность школьникам старших классов ознакомиться с уровнем и тематикой олимпиадных заданий, а преподаватели математики смогут использовать их для подготовки школьников к олимпиаде по математике.
Библиографический список
1. 34-й Турнир имени М. В. Ломоносова 25 сентября 2011 года. Задания. Решения. Комментарии. М.: МЦНМО, 2013. 197 с.
Поступила в редакцию / Original article submitted: 19.11.2015
