CC BY
103
ВЕСТНИК e(-n, с
5/2015
ПРОЕКТИРОВАНИЕ И КОНСТРУИРОВАНИЕ
СТРОИТЕЛЬНЫХ СИСТЕМ. ПРОБЛЕМЫ МЕХАНИКИ В СТРОИТЕЛЬСТВЕ
УДК 624.046
С.Л. Блюмин, В.В. Зверев, И.В. Сотникова, А.С. Сысоев
ФГБОУ ВПО «ЛГТУ»
РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ УСТОЙЧИВОСТИ СЖАТО-ИЗГИБАЕМЫХ ЖЕСТКО ОПЕРТЫХ СТЕРЖНЕЙ ПЕРЕМЕННОЙ ЖЕСТКОСТИ*
Рассмотрена и решена задача, относящаяся к устойчивости сжато-изгибаемых стержней переменной жесткости (с уменьшенной жесткостью в средней части), жестко опертых по концам. Получена система трансцендентных уравнений. Корни системы определяют критическую нагрузку, при которой произойдет потеря устойчивости стержня.
Ключевые слова: устойчивость, переменная жесткость, стержень, сжатие с изгибом, критическая сила, система, нелинейные алгебраические уравнения, численные методы.
В прогрессе строительной отрасли первостепенное значение имеет развитие производства наиболее экономически выгодных видов конструкций, к которым в значительной степени относятся легкие металлические конструкции из тонкостенных холодногнутых профилей. Объем строительства зданий и сооружений различного назначения с несущими элементами из тонкостенных холодног-нутых профилей постоянно увеличивается, что обусловлено рядом преимуществ
* Работа поддержана Министерством образования и науки Российской Федерации в рамках перечня научно-исследовательских работ базовой части государственного задания, проект № 970.
S.L. Blyumin, V.V. Zverev, I.V. Sotnikova, A.S. Sysoev
LGTU
SOLVING THE STABILITY PROBLEM OF COMPRESSED-BENDABLE PINNED RIGID RODS OF VARIABLE RIGIDITY*
The problem connected with the stability of compressed-bendable rigid rods of variable rigidity (with the reduced rigidity in the centre) is formulated and solved. The system of transcendent equations with roots for critical load for a rod is founded out.
Key words: stability, variable rigidity, rod, bent compression, ultimate force, system of nonlinear algebraic equations, numerical methods.
As for the progress in building and construction industry the main dimension is the development of cost-effective constructions which primarily include thin-walled cold-formed profiles. The building quantity of different structures and buildings with thin-walled cold-formed profile support elements is constantly increasing due to several advantages of this roll type [1—5].
However, despite the widespread use of cold formed profiles and constructions based on them, the recommendations for the analysis of such constructions are not represented in the national design and building standards.
* The research was supported by the Ministry of Education and Science of the Russian Federation within the list of research works of the basic unit of the State order, project no. 970.
этого вида проката [1—5]. Однако, несмотря на широкое применение холодноформован-ных профилей и конструкций на их основе, отечественные нормы проектирования и строительства не содержат рекомендаций для расчета такого вида конструкций.
На работу рамных конструкций из хо-лодноформованных профилей значительное влияние оказывает явление потери устойчивости. В достаточной степени не исследована действительная работа стержней из холодногнутых профилей, усиленных фасон-ками из стали [2—9].
Целью исследования является получение системы трансцендентных уравнений для сжато-изгибаемого жестко опертого стержня с переменной жесткостью, решение которой будет служить критерием потери устойчивости.
Рассмотрим решение задачи устойчивости сжатого стержня переменной жесткости, шарнирно опертого по концам [10]. На рисунке представлен стержень, состоящий из трех частей. Крайние части длиной 11 и 13 имеют жесткость Е1 а средняя длиной I имеет жесткость Л'/,, причем > / .
The characteristics of the cold-formed profile frame constructions are much influenced by the buckling phenomenon in the process of its use. The real characteristics of the cold-formed profile rods, reinforced by corner steel plates are not sufficiently investigated [2—9].
The study is intended to obtain a system of transcendental equations for a compressed-bendable rigid rod of variable rigidity, the solution of which will be considered as buckling criterion.
Let us consider the solution of the stability problem for a variable rigid pin-ended rod [10].
Figure depicts a rod composed of three parts. The end parts with the length of ll and l3 have a rigidity EI1 and the middle part with the length of l2 has a rigidity EI2, and I2 > Ir
i
777.
/77/77/7/
Расчетная схема стержня переменной жест-
-Уг
кости, жестко-опертого по концам
Calculated scheme of the variable rigid pin-ended rod
Составим дифференциальное урав- Let us construct a differential equa-
нение изогнутой оси для каждой части. tion of the bent axis for each part. We
Будем отсчитывать координату x, will measure the coordinate x from the
от конца стрежня О, а x2, x3 — от точ- end of the rod O, and x2, x3 — from the
ки сопряжения участков. Уравнения point of conjugation sites. The equations
будут иметь вид will be the following:
d 2v,
M
EJ _L + Pv =--x ;
1 dx 2 1 1 Xl'
LfJx¿1
ш d 2v2 M
EJ2-2Г + Pv2 =--x2;
dx^2 I2
(1)
d 2v,
M
dX2
P 2
Введем обозначения = k ,
2
EI, —
EI.
=Я.
Let us introduce the notations
— = 4, - = Г,
EI2 2 EI1 1 2
Запишем интегралы уравнений системы:
= ^,
M = . 2
Ж " Л,
EI1 1 EI 2 ,
M 2 J . ,
= j2 and write the equation integrals of the system:
j2 x
v, = A sin к x + B cos к x —V—;
1 11 11 к? l,
j2 x
v2 = Csink2x2 + Dcosk2x2 - j2;
v3 = F sin к x3 + G cos к x3 - j—.
3 13 13 к2 U
(2)
Выпишем граничные условия Let us write out the boundary con-по концам и в точках сопряжения ditions at the ends and at the points of
участков:
у1 = 0 при х1 = 0;
—1 = 0 при х1 = 0;
дх1
^2 , п
—1 = —2 при х1 = /1 и х2 = 0; дх^ $Х2
У3 = 0 при х3 = /3;
^2 дУз
—2 = —3 при х2 = /2 и х3 = 0; йх3
дуз п 1
—3 = 0 при х3 = /
йх^
conjugation of the areas: v1 = 0 for x1 = 0;
^ = 0 for x1 = 0; dx1
dV- = dv2 for x1 = l1 and x2 = 0; dXi dx
(3)
v3 = 0 for x3 = l3;
(3)
3 for x2 = l2 and x3 = 0;
dv2 dv, dx^
dv3 = 0 for x3 = l3. dx,
Учитывая условия (3) и системы (1)—(2), получаем следующую неоднородную систему линейных алгебраических уравнений:
В = 0;
лкх =4-;
Considering the conditions (3) and the systems (1)—(2), we obtain the following inhomogeneous system of linear algebraic equations:
1
j2 1.
Akxcos kh~ Bk1 sin k1I1-'nj — = Ck2-^ — ;
k 1\ k2 l2 j2
F sin k,l3 + G cos kh3 - —f = 0;
ki
1 '2 1 '2 Ck2 cos k212— Dk2 sin k2l2--—[ = Fk1--—2- ;
I2 I3
—2 1
Fkj coskl3 - Gk1 sin kl3 - _ = 0.
(4)
Определение постоянных интегрирования из граничных условий задачи приводит к неоднородной системе линейных уравнений (4). В рассмотренной ранее авторами задаче устойчивости сжатого стержня переменной жесткости, шарнирно опертого по концам, приведенной в [20], при подобном переходе возникала однородная система линейных уравнений, критерием существования нетривиального решения которой выступало равенство определителя матрицы системы нулю.
В случае же системы (4) аналогом такого критерия может выступать система равенств нулю определителя матрицы системы и определителей, полученных поочередной заменой столбцов матрицы системы столбцом свободных членов. Однако при таком подходе мы не гарантируем и отсутствие решений у системы. Но в данной практической задаче гарантией наличия нетривиальных решений будет выступать проверка разрешимости системы (4) при полученных численно значениях искомых параметров [10, 12—14].
k /3
Determination of the integration constants of the boundary conditions of the problem leads to a system of inhomogeneous linear equations (4). In the previous research on solving the problem of the resistance of compressed-bent rods with step inflexibility change [20] there was a system of homogeneous linear equations. The criterion of the existence of a nontrivial solution was the equality of a system matrix determinant to zero.
In the case of (4) the system of equality to zero for the system matrix determinant and the determinants produced by alternate substitution of matrix columns with a column of constant terms could be used as an analogue. However using this scheme we could not guarantee that system has no solutions in general. But in the problem under consideration the existence of nontrivial solutions will be determined by a control of a solubility of the system (4) for the coefficients obtained numerically [10, 12—14].
Применяя описанный подход к системе (4), перейдем к системе трансцендентных уравнений:
Using the defined approach we could construct the following system:
k1k2 sin (k2l2 )cos2 (£j/3) + k1k2 sin (k212 )sin2 (k1l3) = 0;
-(j2k2ljl2 cos (kjl3) - j2k-2l1l2 cos2 (k1l3) + jk12l113 cos2 (kl3) -
- jj2 k2 l1l2 sin2 (k1l3) + j2 k12l1l3 sin2 (k1l3) - j k12 l1l3 cos2 (k1l3 )cos (k212) +
+j k 21213 cos (k1l3 )cos (k212)- j2k1l1l3cos (k2l2 )sin (k1l3) +
+j'^l^ cos(k2l2)sin2 (k1l3) - j!!2k2rl2l3 cos(k1l1 )cos(k2l2)sin2 (k1l3) +
+j2 k1kirl1l213 sin (k1l3) - j2 Jk2 l2l3 cos (k1l1 )cos2 (k1l3 )cos (k2l2 ))^/(k1kirl1l2l3) = 0;
(j2 k2 sin (k212) (cos (k1l3) + k1l3 sin (k1l3)))) (k2l3 ) = 0;
-((k2sin (k212 )(sin (k1l3) + k1l3cos (k1l3 )))/(1% ) = 0
(5)
Корни системы трансцендентных уравнений (5) определяют критическую нагрузку, при которой произойдет потеря устойчивости стержня. Следует отметить, что отыскание корней системы (5) производилось численно в программной среде МайаЬ.
Расчет конструкций на устойчивость опирается на понятие расчетной длины стержня. Под этим понимается длина полуволны изгиба при потере устойчивости или же шарнирно опертого стержня той же жесткости, эквивалентного по устойчивости рассматриваемым [12—20].
Исходя из этого и предположения абсолютной применимости закона Гука, эквивалентный по устойчивости шар-нирно опертый стержень, как и рассматриваемый жестко опертый, имеет эйлерову критическую силу
N =
где Е — модуль упругости материала; I — момент инерции сечения; /0 — расчетная длина стержня.
Из условия эквивалентности стержней находим для расчетной длины формулу
The roots of transcendental equations system (5) determine the critical load at which the rod buckling occurs. It should be noted that finding the roots of the system (4) was made numerically in Matlab software system.
The structural stability analysis is based on the calculated rod length. It is understood as the bent half-wavelength in case of buckling or the length of the hinged rod of the same rigidity with the stability equal to the one under consideration [12—20].
On the assumption of the absolute validity of Hooke's law both the considered rod and the hinged one have the following Euler load:
n2 EI
L '
(6)
where E is the modulus of elasticity of the material; I — the second moment of area; l0 — the calculated length of a rod.
Basing on the rods equivalence the calculated length is given by:
h=п
EL N
(7)
где Nk — критическая сила, определяемая по формуле (6).
Установленная связь между критической силой и расчетной длиной стержня является основой для уточнения системы норм и разработки рекомендаций для расчета конструкций, в основе которых присутствуют сжато-изгибаемые жестко опертые стержни переменной жесткости.
Библиографический список
1. Айрумян Э.Л., Каменщиков Н.И., Липленко М.А. Перспективы ЛСТК в России // СтройПРОФИ. 2013. № 10. С. 12—17.
2. Зверев В.В., Жидков К.Е., Семенов А.С., Сотникова И.В. Экспериментальные исследования рамных конструкций из холодногнутых профилей повышенной жесткости // Научный вестник Воронежского государственного архитектурно-строительного университета. Строительство и архитектура. 2011. № 4 (24). С. 20—25.
3. Айрумян Э.Л. Рекомендации по расчету стальных конструкций из тонкостенных гнутых профилей // СтройПРОФИль. 2009. № 8 (78). С. 12—14.
4. Айрумян Э.Л. Особенности расчета стальных конструкций из тонкостенных гнутых профилей // Монтажные и специальные работы в строительстве. 2008. № 3. С. 2—7.
5. Luza G., Robra J. Design ofZ-purlins: Part 1. Basics and cross-section values according to EN 1993-1-3 // Proceedings of the 5th European Conference on Steel and Composite Structures EUROSTEEL, Graz, Austria, 2008. Vol. A. Pp. 129—134.
6. Luza G., Robra J. Design of Z-purlins: Part 2. Design methods given in Eurocode EN 1993-1-3 // Proceedings of the 5th European Conference on Steel and Composite Structures EUROSTEEL. Graz, Austria, 2008. Vol. A. Pp. 135—140.
where Nk — the critical load, defined by (6).
Thus, the established connection between the critical load and the calculated length of the rod is a basis for the specification of rules and the development of recommendations for calculating the constructions, which have compressed-bendable rigid rods of variable rigidity in their structure.
References
1. Ayrumyan E.L., Kamenshchikov N.I., Liplenko M.A. Perspektivy LSTK v Rossii [Prospects of Steel Frames in Russia]. Stroy-PROFI [Construction Prof]. 2013, no. 10, pp. 12—17. (In Russian)
2. Zverev V.V., Zhidkov K.E., Seme-nov A.S., Sotnikova I.V. Eksperimental'nye issledovaniya ramnykh konstruktsiy iz kholodnognutykh profiley povyshennoy zhestkosti [Experimental Studies of Frame Constructions Produced of Cold-Formed Profiles of Increased Rigidity]. Nauchnyy vestnik Voronezhskogo gosudarstvennogo arkhitek-turno-stroitel'nogo universiteta. Stroitel'stvo i arkhitektura [Bulletin of Voronezh State University of Architecture and Civil Engineering. Construction and Architecture]. 2011, no. 4 (24), pp. 20—25. (In Russian)
3. Ayrumyan E.L. Rekomendatsii po raschetu stal'nykh konstruktsiy iz tonkosten-nykh gnutykh profiley [Recommendations for Calculating Steel Constructions Produced of Thin-Walled Roll-Formed Profiles]. Stroy-PROFIl' [Construction Profile]. 2009, no. 8 (78), pp. 12—14. (In Russian)
4. Ayrumyan E.L. Osobennosti rascheta stal'nykh konstruktsiy iz tonkostennykh gnu-tykh profiley [Features of Calculation for Steel Thin-Walled Roll-Formed Shapes]. Montazh-nye i spetsial'nye raboty v stroitel'stve [Installation and Special Works in Construction]. 2008, no. 3, pp. 2—7. (In Russian)
5. Luza G., Robra J. Design of Z-purlins: Part 1. Basics and Cross-Section Values Ac-
7. Смазнов Д.Н. Устойчивость при сжатии составных колонн, выполненных из профилей из высокопрочной стали // Инженерно-строительный журнал. 2009. № 3. С. 42—49.
8. Yu W.-W., LaBoube R.A. Cold-Formed Steel Design. 4th Edition. John Wiley & Sons, 2010. 512 p.
9. Тимошенко С.П., Григолюк Э.И. Устойчивость стержней, пластин и оболочек. М. : Наука, 1971. 807 с.
10. Вольмир А.С. Устойчивость упругих систем. М. : Физматлит, 1972. 879 с.
11. Галкин А.В., Сысоев А.С., Сотникова И.В. Задача устойчивости сжато-изгибаемых стержней со ступенчатым изменением жесткости // Вестник МГСУ 2015. № 2. С. 38—44.
12. Горбачев В.И., Москаленко О.Б. Устойчивость стержней с переменной жесткостью при сжатии распределенной нагрузкой // Вестник Московского университета. Серия 1, Математика. Механика. 2012. № 1. С. 41—47.
13. Темис Ю.М., Федоров И.М. Сравнение методов анализа устойчивости стержней переменного сечения при неконсервативном нагружении // Проблемы прочности и пластичности. 2006. Вып. 68. С. 95—106.
14. Гукова М.И., Симон Н.Ю., Святошенко А.Е. Вычисление расчетных длин сжатых стержней с учетом их совместной работы // Строительная механика и расчет сооружений. 2012. № 3. С. 43—47.
15. Солдатов А.Ю., Лебедев В.Л., Семенов В.А. Анализ устойчивости стальных стержневых систем с учетом нелинейной диаграммы деформирования материала // Строительная механика и расчет сооружений. 2012. № 2. С. 48—52.
16. Солдатов А.Ю., Лебедев В.Л., Семенов В.А. Анализ устойчивости строительных конструкций с учетом физической нелинейности методом конечных элементов // Строительная механика и расчет сооружений. 2011. № 6. С. 60—65.
cording to EN 1993-1-3. Proceedings of the 5th European Conference on Steel and Composite Structures EUROSTEEL. Graz, Austria, 2008, vol. A, pp. 129—134.
6. Luza G., Robra J. Design of Z-purlins: Part 2. Design Methods Given in Eurocode EN 1993-1-3. Proceedings of the 5th European Conference on Steel and Composite Structures EUROSTEEL. Graz, Austria, 2008, vol. A, pp. 135—140.
7. Smaznov D.N. Ustoychivost' pri szhatii sostavnykh kolonn, vypolnennykh iz profiley iz vysokoprochnoy stali [Stability in Compression of Composite Columns Made of High-Strength Steel Profiles]. Inzhenerno-stroitel'nyy zhurnal [Magazine of Civil Engineering]. 2009, no. 3, pp. 42—49. (In Russian)
8. Yu W.-W., LaBoube R.A. Cold-Formed Steel Design. 4th Edition, John Wiley & Sons, 2010, 512 p.
9. Timoshenko S.P., Grigolyuk E.I. Ustoychivost' sterzhney, plastin i obolochek [Stability of Rods, Plates and Shells]. Moscow, Nauka Publ., 1971, 807 p. (In Russian)
10. Vol'mir A.S. Ustoychivost' uprugikh system [Stability of Elastic Systems]. Moscow, Fizmatlit Publ., 1972, 879 p. (In Russian)
11. Galkin A.V., Sysoev A.S., Sotniko-va I.V. Zadacha ustoychivosti szhato-izgibae-mykh sterzhney so stupenchatym izmeneniem zhestkosti [The Resistance Problem of Compressed-Bent Shanks with Step Inflexibility Change]. VestnikMGSU [Proceedings of Moscow State University of Civil Engineering]. 2015, no. 2, pp. 38—44. (In Russian)
12. Gorbachev V.I., Moskalenko O.B. Ustoychivost' sterzhney s peremennoy zhestkost'yu pri szhatii raspredelennoy nagruz-koy [Stability of the Rods with Variable Inflexibility While Pressing with Distributed Load]. Vestnik Moskovskogo universitetata. Seriya 1, Matematika. Mekhanika [Bulletin of the Moscow State University. Series 1. Mathematics, Mechanics]. 2012, no. 1, pp. 41—47. (In Russian)
13. Temis Yu.M., Fedorov I.M. Sravne-nie metodov analiza ustoychivosti sterzhney peremennogo secheniya pri nekonservativnom nagruzhenii [Comparing the Analysis Methods of the Stability of Rods with Variable Cut Set at Nonconservative Loading]. Problemy proch-
17. Крутий Ю.С. Задача Эйлера в случае непрерывной поперечной жесткости (продолжение) // Строительная механика и расчет сооружений. 2011. № 2. С. 27—33.
18. Сливкер В.И. Устойчивость стержня под действием сжимающей силы с фиксированной линией действия // Строительная механика и расчет сооружений. 2011. № 2. С. 34—36.
19. Насонкин В.Д. Предельная нагрузка для сжатых стержней, деформируемых за пределом упругости // Строительная механика и расчет сооружений. 2007. № 2. С. 24—28.
20. Потапов А.В. Устойчивость стальных стержней открытого профиля с учетом реальной работы материала // Известия Казанского государственного архитектурно-строительного университета. 2009. № 1 (11). С. 112—115.
Поступила в редакцию в мае 2015 г.
Об авторах: Блюмин Семен Львович — доктор физико-математических наук, профессор, профессор кафедры прикладной математики, Липецкий государственный технический университет (ФГБОУ ВПО «ЛГТУ»), 398600, г. Липецк, ул. Московская, д. 30, 8 (4742) 32-80-50, kaf-pm@stu.lipetsk.ru;
Зверев Виталий Валентинович — доктор технических наук, профессор, заведующий кафедрой металлических конструкций, Липецкий государственный технический университет (ФГБОУ ВПО «ЛГТУ»), 398600, г. Липецк, ул. Московская, д. 30, 8 (4742) 32-80-79, ка£-mk@stu.lipetsk.ru;
Сотникова Ирина Владимировна — аспирант кафедры металлических конструкций, Липецкий государственный технический университет (ФГБОУ ВПО «ЛГТУ»), 398600, г. Липецк, ул. Московская, д. 30, 8 (4742) 32-80-79, i.sotnikowa@yandex.ru;
Сысоев Антон Сергеевич — кандидат технических наук, доцент кафедры
nosti i plastichnosti [Problems of Strength and Plasticity]. 2006, no. 68, pp. 95—106. (In Russian)
14. Gukova M.I., Simon N.Yu., Svya-toshenko A.E. Vychislenie raschetnykh dlin szhatykh sterzhney s uchetom ikh sovmest-noy raboty [Calculation of the Lengths of Compressed Rods with Account for their Joint Action]. Stroitel'naya mekhanika i ra-schet sooruzheniy [Construction Mechanics and Calculation of Structures]. 2012, no. 3, pp. 43—47. (In Russian)
15. Soldatov A.Yu., Lebedev V.L., Se-menov V.A. Analiz ustoychivosti stal'nykh sterzhnevykh sistem s uchetom nelineynoy diagrammy deformirovaniya materiala [Stability Analysis of Steel Rod Systems Taking into Account the Non-Linear Diagram of Material Deformation]. Stroitel'naya mekhanika i raschet sooruzheniy [Construction Mechanics and Calculation of Structures]. 2012, no. 2, pp. 48—52. (In Russian)
16. Soldatov A.Yu., Lebedev V.L., Se-menov VA. Analiz ustoychivosti stroitel'nykh konstruktsiy s uchetom fizicheskoy neliney-nosti metodom konechnykh elementov [Stability Analysis of Building Structures Taking into Account the Physical Non-Linearity Using Finite Element Method]. Stroitel'naya mekhanika i raschet sooruzheniy [Construction Mechanics and Calculation of Structures]. 2011, no. 6, pp. 60—65. (In Russian)
17. Krutiy Yu.S. Zadacha Eylera v sluchae nepreryvnoy poperechnoy zhest-kosti (prodolzhenie) [Euler Problem in Case of Constant Transverse Inflexibility (Continuation)]. Stroitel'naya mekhanika i ra-schet sooruzheniy [Construction Mechanics and Calculation of Structures]. 2011, no. 2, pp. 27—33. (In Russian)
18. Slivker V.I. Ustoychivost' sterzhnya pod deystviem szhimayushchey sily s fik-sirovannoy liniey deystviya [Stability of a Rod under the Influence of Comprehensive Load with Fixed Force Line]. Stroitel'naya mekhanika i raschet sooruzheniy [Construction Mechanics and Calculation of Structures]. 2011, no. 2, pp. 34—36. (In Russian)
19. Nasonkin VD. Predel'naya nagruzka dlya szhatykh sterzhney, deformiruemykh za predelom uprugosti [Ultimate Load for Com-
прикладной математики, Липецкий государственный технический университет (ФГБОУ ВПО «ЛГТУ»), 398600, г. Липецк, ул. Московская, д. 30, 8 (4742) 32-80-51, anton_syssoyev@mail.ru.
Для цитирования: Блюмин С.Л., Зверев В.В., Сотникова И.В., Сысоев А.С. Решение задачи устойчивости сжато-изгибаемых жестко опертых стержней переменной жесткости // Вестник МГСУ 2015. № 5. С. 18—26.
pressed Rods Deformable outside the Limit of Elasticity]. Stroitel'naya mekhanika i raschet sooruzheniy [Construction Mechanics and Calculation of Structures]. 2007, no. 2, pp. 24— 28. (In Russian)
20. Potapov A.V Ustoychivost' stal'nykh sterzhney otkrytogo profilya s uchetom real'noy raboty materiala [Stability of Steel Rods with Open Profile Taking into Account the Real Operation of the Material]. Izvestiya Kazanskogo gosudarstvennogo arkhitekturno-stroitel'nogo universiteta [Bulletin of Kazan State University of Architecture and Engineering]. 2009, no. 1 (11), pp. 112—115. (In Russian)
Received in May 2015.
About the authors: Blyumin Semen L'vovich — Doctor of Physical and Mathematical Sciences, Professor, Department of Applied Mathematics, Lipetsk State Technical University (LGTU), 30 Moskovskaya str., Lipetsk, 398600, Russian Federation; +7 (4742) 32-80-50, kaf-pm@stu.lipetsk.ru;
Zverev Vitaliy Valentinovich — Doctor of Technical Sciences, Professor, chair, Department of Metal Structures, Lipetsk State Technical University (LGTU), 30 Moskovs-kaya str., Lipetsk, 398600, Russian Federation; +7 (4742) 32-80-79, kaf-mk@stu.lipetsk.ru;
Sotnikova Irina Vladimirovna — postgraduate student, Department of Metal Structures, Lipetsk State Technical University (LGTU), 30 Moskovskaya str., Lipetsk, 398600, Russian Federation; +7 (4742) 32-8079; i.sotnikowa@yandex.ru;
Sysoev Anton Sergeevich — Candidate of Technical Sciences, Assistant Lecturer, Department of Applied Mathematics, Lipetsk State Technical University (LGTU), 30 Moskovs-kaya str., Lipetsk, 398600, Russian Federation; +7 (4742) 32-80-51; anton_syssoyev@mail.ru.
For citation: Blyumin S.L., Zverev V.V, Sotnikova I.V, Sysoev A.S. Reshenie zadachi ustoychivosti szhato-izgibaemykh zhestko-opertykh sterzhney peremennoy zhestkosti [Solving the Stability Problem of Compressed-Bendable Pinned Rigid Rods of Variable Rigidity]. Vestnik MGSU [Proceedings of Moscow State University of Civil Engineering]. 2015, no. 5, pp. 18—26.
