Решение задачи об упаковке множества с ограничениями блочной структуры Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 519.854.3

А. А. КОЛОКОЛОВ щ М. Ф. КОРБУТ И

Омский филиал Института математики им. С. Л. Соболева СО РАН

РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ ОБ УПАКОВКЕ МНОЖЕСТВА С ОГРАНИЧЕНИЯМИ БЛОЧНОЙ СТРУКТУРЫ

Рассматривается задача об упаковке множества с ограничениями блочной структуры. Разработан гибридный алгоритм ее решения, основанный на методе перебора L-классов с учетом особенностей указанной постановки. Предложен алгоритм приведения матрицы задачи к блочному виду. Выполнены экспериментальные исследования по сравнению построенных алгоритмов на различных сериях тестовых задач.

Ключевые слова: исследование операций, целочисленное программирование, задача об упаковке множества с ограничениями блочной структуры, алгоритм перебора L-классов.

Работа поддержана грантом РФФИ (проект 10—01—00598).

Введение. Блочная структура многих прикладных задач целочисленного программирования (ЦП) обусловлена слабой связностью подсистем моделируемых реальных сложных систем [1, 2]. При этом блоки обычно представляют в модели отдельные объекты, подразделения фирмы, части одного устройства, различные временные отрезки и т.п. Они могут быть соединены между собой ограничениями, в которых выражена необходимость использования общих ресурсов, обеспечения взаимосвязи решений для всей компании, технического процесса или периода планирования. Актуальным направлением анализа и решения таких задач является применение декомпозиционных методов, в которых учитывается блочная структура модели.

Для исследования задач ЦП и построения алгоритмов их решения А. А. Колоколовым был предложен метод регулярных разбиений [3], получивший применение и развитие во многих работах [4—11]. На его основе разработан алгоритм перебора 1-классов [4], хорошо зарекомендовавший себя для различных задач ЦП. В связи с этим представляется целесообразным использование данного подхода к решению рассматриваемой задачи.

Ранее нами было проведено исследование задачи об упаковке множества блочной структуры с блоками различного типа. Найдены нижние оценки мощности 1-накрытий для некоторых задач со связующими столбцами, выделены подклассы ^-трудных задач, имеющих 1-накрытия экспоненциальной мощности [8, 11]. В [10] выполнен теоретический анализ алгоритма перебора 1-классов при решении ряда задач ЦП.

В данной работе продолжается изучение задачи об упаковке множества с ограничениями блочной структуры. Предложены алгоритмы решения указанной задачи и представлены результаты их экспериментального сравнения. Краткие сообщения об этих исследованиях содержатся в [8, 9, 11].

1. Постановка задачи. Задача об упаковке множества формулируется следующим образом. Пусть

дано конечное множество /={1, ..., т} и семейство его подмножеств о={51, ..., Sn}. Упаковкой множества I называется совокупность попарно непере-секающихся подмножеств из а. Задача состоит в отыскании упаковки множества / максимальной мощности. Если для каждого подмножества Seа задан его вес с>0,.= 1,..., п, то задача называется взвешенной, и требуется найти упаковку множества / наибольшего веса.

Для анализа и решения рассматриваемой задачи используется модель целочисленного линейного программирования (ЦЛП). Обозначим через А=(а.) — матрицу инциденций элементов множества / и подмножеств 5., где а. = 1, если ;е5., а.. = 0 — иначе, ¡=1, ..., т,.= 1, ..., п. Тогда модель ЦЛП имеет вид:

п

Цх) = '£с]х]^> тах (1)

¡=\

при условиях

П

г=1,...,ш, (2)

М

Х;е{0,1}, 7=1 (3)

Здесь х=1, если ^ включается в упаковку, х. = 0 в противном случае, .= 1, ..., п. Целевая функция (1) состоит в максимизации суммарного веса множеств, входящих в упаковку, ограничения (2) гарантируют выполнение условия попарного не пересечения множеств.

Многогранник задачи (1) — (3) будем обозначать М = {хеЯп :Ах<е,х>0}, е = (1, ..., 1). Построим граф пересечений GA=(V, Е) булевой матрицы А следующим образом [12]: каждому столбцу А] этой матрицы поставим в соответствие вершину вершины

ук и у, отвечающие столбцам Ак и А., будем соединять ребром в том и только том случае, когда для скалярного произведения имеет место (Ак, А')>1. Заметим, что множество допустимых решений задачи об упа-

ОМСКИЙ НАУЧНЫЙ ВЕСТНИК № 1 (117) 2013 ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ НАУКИ

ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ НАУКИ ОМСКИЙ НАУЧНЫЙ ВЕСТНИК № 1 (117) 2013

ковке с матрицей А содержится во множестве допустимых решений задачи о наибольшем независимом множестве вершин в графе G , в то время как множества оптимальных решений указанных задач совпадают [12].

Далее перейдем к изучению невзвешенной задачи об упаковке множества (1) — (3) с матрицей, Нк, k,rєN следующего вида:

Ht,r =

9 и ¡721

Jiml

91г

92г

Яті

(4)

где Bt є {О,І}11

t=1,

k,

G = (gy)e{0,l}r

Описание алгоритма.

Шаг0. Решить задачу ЛП, соответствующую (1) — (3). Если ее решение xєZn, то процесс завершается: х является оптимальным решением. Иначе переходим на шаг 1.

Шаг 1. Положить rec = Greedy(GA), р=п+1, к = 0. Найти х'=1ехтах М. Если x,єZn, вычислить новый рекорд гес = /(х') и перейти на шаг 3. В случае х' ^п перейти на шаг 2.

Итерация к>1.

Шаг 2. Увеличить номер итерации к на 1. Положить х"=х'. Вычислить р = тіп{7 :х"- ^_|,у = 1,...,п}.

Решить задачу ЛП: найти

х' = lex max {х є М: f(x) > гес +1, Xj =

= ,..., X р—\ = Хр_!, Хр = 0} .

(5)

к к

п = г + ^Щ, т = ^щ. Матрица Htr состоит из r стол-f=i f=i r бцов в связующем блоке по ограничениям и из подматрицы, состоящей из к блоков с различным числом строк и столбцов.

Ниже будет приведено описание алгоритма перебора L-классов BSP решения задачи (1) — (3) с учетом специальной структуры системы ограничений (4).

2. Алгоритмы решения задачи об упаковке множества. Для анализа и решения задачи об упаковке множества нами используется L-разбиение, которое определяется следующим образом [3]:

1) каждая точка zeZn образует отдельный класс разбиения,

2) нецелочисленные точки x,yeRn (x>y) принадлежат одному классу, если они не являются отделимыми, т.е. 3zeZn : x>y>z.

Элементы такого разбиения называются L-классами. Подробное описание алгоритма перебора L-классов (схемы LCE) можно найти в [5]. Построим алгоритм SP, основанный на методе перебора L-классов для решения задачи об упаковке множества (1) — (3) с учетом ее особенностей.

2.1 Алгоритм SP. Процесс перебора L-классов начинается с лексикографически максимальной точки x1eM. Текущие точки х‘ строятся посредством решения вспомогательных задач линейного программирования (ЛП). Основной шаг процесса решения задачи состоит в переходе от одного L-класса релаксационного множества M к следующему за ним в порядке лексикографического убывания с учетом рекордного значения целевой функции (обозначим его rec).

Для нахождения начального значения рекорда на шаге 1 применяется алгоритм Greedy жадного типа, который находит приближенное решение задачи о наибольшем независимом множестве в графе пересечений Ga и состоит в следующем: на каждой итерации в графе выбирается вершина с минимальной степенью и заносится в независимое множество, смежные с ней вершины удаляются из графа. Процесс продолжается до тех пор, пока текущий граф не станет пустым.

Возможны следующие случаи:

— задача (5) не имеет решений и p =1, перейти на шаг 4;

— задача (5) не имеет решений и p>1, перейти на шаг 3;

— получено x'eZn, обновить рекорд rec = f(x'), положить p=n +1, x"=x', перейти на шаг 3.

Иначе — перейти на шаг 2.

Шаг 3. Увеличить номер итерации к на 1. Положить ф = max {у: j < р -1, > 0, j = 1,п}. Если такого

номера ф нет, перейти на шаг 4, иначе решить задачу ЛП: найти

х' = іехтах{хєМ:/(х)>гес+1, Xj = = хф_! = х'_1г Хф — 0}.

(6)

Возможны следующие случаи:

— подзадача (6) не имеет решений и ф=1, перейти на шаг 4;

— подзадача (6) не имеет решений и ф>1, положить p = ф и перейти на шаг 3;

— получено x’eZn, обновить рекорд rec = f(x'), положить p=n +1, x"=x', перейти на шаг 3.

Иначе перейти на шаг 2.

Шаг 4. Допустимое целочисленное решение, соответствующее рекорду, является оптимальным решением задачи (1) — (3).

Заметим, что на шагах 2 и 3 в алгоритме SP переменные x1, ..., xp принимают фиксированные значения. Пусть известно, что xt =1,...,х,- =1 , 1<i1<i2<.<it<p. Тогда выделим в графе GA все вершины, смежные с Vf ,vit. Соответствующие им переменные в X положим равными нулю. Тем самым мы уменьшаем размер текущих симплексных таблиц.

С целью ускорения процесса перебора L-классов для оптимальной симплексной таблицы Ak, полученной с помощью лексикографического двойственного симплекс-метода (ЛДСМ) на шаге 2 или шаге 3 алгоритма SP, строится правильное неравенство (например, отсечение Данцига, Гомори или фасетное ограничение). Ускорение работы алгоритма достигается за счет того, что некоторые L-классы не просматриваются, при этом ни одна допустимая целочисленная точка, удовлетворяющая ограничению по рекорду, не будет пропущена. Нами было реализовано применение отсечения Данцига.

Для решения задачи об упаковке множества (4) с учетом блочной структуры системы ограничений рассмотрим адаптацию алгоритма SP.

2.2 Алгоритм BSP. Шаги 0, 1, 4 алгоритма BSP полностью совпадают с соответствующими шагами SP. На шаге 2 после вычисления значения p прове-

Сравнение алгоритмов SP и BSP на некоторых тестовых задачах

Задача BSP SP Задача BSP SP

MI MT MI MT MI MT MI MT

S10.T1 310 3,61 180419 Timeout(1) S12.T2 151 3,39 3565 521,016

S10.T2 141 5,16 5924 1902,36 S12.T3 68 1,39 127881 Timeout(3)

S11.T1 209 11,36 349 737,485 S13.T1 143 3,37 23298 Timeout(3)

S11.T2 106 11,32 408 878,578 S14.T1 340 9,41 27752 Timeout(3)

S11.T3 361 28,61 7498 Timeout(1) S14.T2 376 36,47 11731 Timeout(3)

S12.T1 66 1,49 33713 Timeout(1) S15.T1 259 21,47 12389 Timeout(3)

ряем выполнение условия p>r; если оно справедливо, то задача (5) разбивается на несколько подзадач ЦЛП, каждая из которых соответствует отдельному блоку или его части. Все подзадачи решаются отдельно друг от друга при помощи описанного выше алгоритма SP. Далее, если для вектора x'eZn, составленного из полученных решений и фиксированных переменных, условие f(x')>rec+1 выполнено, то он является оптимальным решением задачи (5), иначе задача считается неразрешимой. Если p<r, то за один вызов процедуры ЛДСМ либо находятся оптимальные значения переменных x' ,...,x'n, либо устанав-

ливается, что задача (5) неразрешима.

Шаг 3 изменяется аналогичным образом.

Заметим, что алгоритм BSP получает на вход матрицу задачи об упаковке множества специальной блочной структуры H . Для решения изучаемой задачи (1) — (3) с произвольной матрицей ограничений имеется возможность применять комбинацию процедур MTB и BSP. Рассмотрим алгоритм MTB приведения произвольной матрицы A задачи об упаковке множества (1) — (3) к блочному виду Hkr. Обозначим через s ограничение сверху на число столбцов в каждом блоке.

2.3 Алгоритм MTB

Шаг 1. Построить граф GA=(V, E) для матрицы A задачи, V: = 0.

Шаг 2. Выделить в GA последовательным добавлением вершин связный подграф GsA=(V, E), для которого |VS|<s. Для всех vSeVS , v. e V если (vS, v.)eE, то V: = Vu|f}. Удалить из G. все вершины множества

.A

VSuF. В оставшемся графе найти все компоненты связности и для каждой компоненты, размер которой больше s, повторить шаг 2.

Шаг 3. Исключить из графа GA все вершины множества V.

Шаг 4. В оставшемся графе найти все компоненты связности G,, ..., G,.

1 ' к

Шаг 5. Переупорядочить столбцы и строки исходной матрицы A так, чтобы связующие переменные в блочной структуре отвечали элементам множества V, а блоки были образованы переменными, соответствующими вершинам подграфов G1, ..., G .

Трудоемкость алгоритма MTB составляет O(n3). Он был реализован и апробирован в ходе вычислительного эксперимента, в котором были получены хорошие результаты с использованием комбинации алгоритмов MTB и BSP.

3. Вычислительный эксперимент. Экспериментальные исследования проводились с целью изучения алгоритма перебора L-классов BSP с учетом блочной структуры матрицы ограничений задачи об упаковке множества, сравнения его с алгоритмом

SP. Также была проанализирована эффективность решения задачи (1) — (3) при помощи последовательного применения алгоритмов MTB и BSP.

Все расчеты проводились на задачах со случайными исходными данными с использованием ПК Intel Pentium. 4 1,8 Гц/738Мб. Будем обозначать MI и MT среднее число итераций и времени счета в секундах алгоритмов соответственно.

Пусть элементы матрицы A задачи (1) — (3) являются случайными величинами, при этом P{a. = 1}=p, P{a.] = 0} = 1 — p. При создании тестовых примеров необходимо определить наиболее подходящее значение p. Обозначим через ptz значение вероятности, которая вместе с параметрами задачи удовлетворя-

п

ет условию тр%2 > 1п(п) В [7] доказано, что при решении задач об упаковке множества, для которых P{a..= 1}=ptz, среднее число итераций алгоритма LCE не превосходит 3n +1. В связи с этим были проведены дополнительные вычисления и установлен характер зависимости MI(LCE) от значения вероятности p. Экспериментально было показано, что наиболее сложными для LCE оказываются задачи, у

которых р « . Далее при генерации задач мы бу-

дем выбирать значение параметра p в соответствии с указанным результатом.

3.1 Экспериментальное исследование алгоритма BSP. В ходе проведения эксперимента решалась задача об упаковке множества (1) — (3) с матрицей вида (4). Тестовые задачи были распределены по пятнадцати сериям (S1—S15), число переменных и ограничений варьировалось от 50 до 500, количество связующих переменных выбиралось в промежутке 5—100, задачи содержали 5 — 20 блоков равного размера, вероятность p принимала значения от 5 до 30 %.

На рис. 1 представлена гистограмма для величин MI(SP) и MI(BSP) на сериях задач S1—S9. Ось ординат характеризует относительное отклонение MI(SP) и MI(BSP) от MI(LCE), т.е. чем больше высота столбца на гистограмме, тем лучше работает алгоритм. Число итераций, выполненных алгоритмом BSP при решении соответствующих задач на всех сериях, в абсолютном выражении значительно меньше, чем число итераций алгоритма SP. В табл. 1 представлены результаты вычислений алгоритмов для некоторых задач из серий S10 —S15. Записи Timeout(1) и Timeout(3) означают, что алгоритм был остановлен через 1 час или 3 часа после начала работы соответственно. В этих случаях им было найдено приближенное решение. Получаем, что для многих задач алгоритм, в котором учитывается блочная структура, находил решение быстро, в то время как

ОМСКИЙ НАУЧНЫЙ ВЕСТНИК № 1 (117) 2013 ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ НАУКИ

ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ НАУКИ ОМСКИЙ НАУЧНЫЙ ВЕСТНИК № 1 (117) 2013

Количество итераций

О ш о О о -і

100%

90%

80%

70%

60%

50%

40%

30%

20%

10%

0%

□ SP

□ BSP

S1

S2 S3

S4

S5 S6 S7 S8

S9

Рис. 1. Сравнение числа итераций для алгоритмов SP и BSP

□ Коп-во выигрышных результатов, %

□ Среднее относительное отклонение BSP от LCE по времени выполнения, %

Б1 Э2 БЗ Э4 Э5 Э6 Э7 БВ

Рис. 2. Сравнение двух схем решения задач об упаковке множества

90

80

70

60

50

40

30

20

10

п

алгоритм SP не получал оптимального решения после продолжительных вычислений. Это подчеркивает целесообразность учета блочной структуры и перспективность предложенного алгоритма.

3.2 Cравнение двух схем решения задачи об упаковке множества. Первый подход к решению задачи (1) — (3) заключается в применении алгоритма SP, а второй в последовательном использовании алгоритмов MTB и BSP. Рассматривалось восемь серий тестовых задач (S1— S8) с числом переменных от 200 до 500, количеством ограничений в промежутке 50 — 200, вероятность p принимала два значения — ЕМ_ и . Результаты эксперимента приведены

на рис. 2. Первый столбец характеризует количество выигрышных результатов в процентном соотношении от общего числа задач в серии. Под выигрышным будем понимать результат, при котором комбинация процедур MTB и BSP решает задачу с меньшими временными затратами. Второй столбец показывает, на сколько процентов в среднем использование блочной структуры сокращает время решения задачи. Можно сделать вывод, что применение второй схемы решения задачи во многих случаях уменьшает время счета.

Заключение. В работе проведено исследование задачи об упаковке множества с матрицей ограничений блочной структуры. Предложены гибридные алгоритмы ее решения, основанные на методе перебора L-классов с применением правильных отсечений и эвристики жадного типа. Экспериментальный анализ показал перспективность разработки процессов решения, учитывающих блочную структуру задачи.

Библиографический список

1. Авербах, И. Л. Целочисленные оптимизационные модели блочного типа / И. Л. Авербах, В. И. Цурков // Математическое моделирование. — 1990. — Т. 2, № 2. — С. 39 — 57.

2. Щербина, О. А. Элиминационные алгоритмы декомпозиции задач дискретной оптимизации / О. А. Щербина // Таврический вестник информатики и математики. — 2006. — № 2. - С. 28-41.

3. Колоколов, А. А. Регулярные разбиения и отсечения в целочисленном программировании / А. А. Колоколов // Сиб. журнал исследования операций. — 1994. — № 2. — С. 18-39.

4. Колоколов, А. А. Регулярные разбиения в целочисленном программировании / А. А. Колоколов // Методы решения и анализа задач дискретной оптимизации. — Омск : ОмГУ, 1992. — С. 67 — 93.

5. Колоколов, А. А. Регулярные разбиения в целочисленном программировании : учеб. пособие / А. А. Колоколов, М. В. Девятерикова, Л. А. Заозерская. — Омск : ОмГУ, 2007. — 60 с.

6. Заблоцкая, О. А. Нижняя оценка числа итераций для одного алгоритма лексикографической оптимизации / О. А. Заблоцкая // Дискретная оптимизация и численные методы решения прикладных задач. — Новосибирск : ВЦ СО АН СССР, 1986. — С. 21 — 27.

7. Заозерская, Л. А. О среднем числе итераций некоторых алгоритмов для решения задачи об упаковке множества / Л. А. Заозерская, А. А. Колоколов // Методы оптимизации и их приложения : тр. XIV Байкальской междунар. школы-семинара. — Иркутск, 2008. — Т. 1. — С. 388 — 395.

8. Колоколов, А. А. Исследование и решение задачи об упаковке множества блочной структуры / А. А. Колоколов, М. Ф. Рыбалка // Динамика систем, механизмов и машин : материалы VII Междунар. науч.-тех. конф. — Омск : ОмГТУ, 2009. — Кн. 3. — С. 55 — 59.

9. Колоколов, А. А. Анализ и решение одного класса задач об упаковке множества / А. А. Колоколов, М. Ф. Рыбалка // Дискретная оптимизация и исследование операций : материалы Рос. конф. — Новосибирск : Изд-во ИМ СО РАН, 2010. — С. 95.

10. Колоколов, А. А. Исследование алгоритмов целочисленного программирования с использованием регулярных разбиений и унимодулярных преобразований / А. А. Колоколов, Т. Г. Орловская, М. Ф. Рыбалка // Автоматика и телемеханика. — 2012. - № 2. - С. 178- 190.

11. Рыбалка, М. Ф. Анализ некоторых алгоритмов для задачи об упаковке множества с матрицей блочной структуры / М. Ф. Рыбалка // Методы оптимизации и их приложения : тр. XV Байкальской междунар. школы-семинара. — Иркутск, 2011. - Т. 4. - С. 197-202.

12. Емеличев, В. А. Многогранники, графы, оптимизация / В. А. Емеличев, М. М. Ковалёв, М. К. Кравцов. — М. : Наука, 1981. - 344 с.

КОЛОКОЛОВ Александр Александрович, доктор физико-математических наук, профессор, заведующий лабораторией дискретной оптимизации. КОРБУТ Мария Фёдоровна, программист, лаборатория дискретной оптимизации.

Адреса для переписки: kolo@ofim.oscsbras.ru, maria@korbut.pro

Статья поступила в редакцию 12.12.2012 г.

© А. А. Колоколов, М. Ф. Корбут

yAX 5191 V. V. KALASHNIKOV

V. A. BULAVSKY N. I. KALASHNIKOVA

Instituto Tecnolygico y de Estudios Superiores de Monterrey,

México Central Economics and Mathematics Institute (CEMI), Moscow Universidad Autynoma de Nuevo Leyn, San Nicolós de los Garza,

Mexico

CONSISTENT CONJECTURAL VARIATIONS EQUILIBROUM IN A MIXED OLIGOPOLY

In this paper, conjectured variations equilibrium states (CVEs) in a mixed oligopoly model are studied. The agents make conjectures concerning the variations of the clearing price as a dependence upon variations in their production volumes. The existence and uniqueness theorems are established for the conjectured variations equilibrium (called an exterior equilibrium) for any set of feasible conjectures. To introduce the notion of an interior equilibrium, the authors develop a consistency criterion for the conjectures (referred to as influence coefficients). Next, an existence theorem for the interior equilibrium (understood as a CVE with consistent conjectures) is proved.

Keywords: variational equilibrium, oligopoly model, production volumes, convergence.

Since recently, papers and monographs dealing with behavioral patterns of agents of mixed markets have become very common (see, e.g., [1 — 2] and references therein). A homogeneous commodity (oligopoly) market is calledmixed whenever a state-owned (public, domestic, etc.) welfare-maximizing agent (company) competes against profit-maximizing private (foreign) firms. The models studied mainly differ in the definition of the objective (utility) function maximized by the public firm. The previous papers by the authors [1—2] examined the mixed oligopoly where the public agent was interested in increasing domestic social surplus, which is almost uniformly accepted in the literature in the following form:

n

Zfff

Vi=1 .

Ь0Я0-^а0д%.

(1)

Consider (n+1) producers of a homogeneous good with quadratic cost functions f(qi) = l/2aiqf +biqi, i=0, 1,..., n, n> 2, where q>0 is the output by producer i. Consumers' demand is described by a (continuously differentiable) demand function G=G(p), whose argument p is the market price proposed by the producers. An active demand D is nonnegative and does not depend upon the price. At an equilibrium state, the following balance equality is assumed to be valid

G = Xq¡ + D.

(2)

¿=0

Private producer i, i=1,..., n, chooses his/her output volume q> 0 so as to maximize his/her profit function

ОМСКИЙ НАУЧНЫЙ ВЕСТНИК № 1 (117) 2013 ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ НАУКИ