CC BY
18Математика к Математическое
моделирование
i ете
h (tp: I Arrai hme I pub. г и
inoe издашь
ISSN 2412-591 i
Ссылка на статью:
// Математика и математическое моделирование. 2018. № 06. С. 1-10
DOI: 10.24108/шаШш.0618.0000149
Представлена в редакцию: 01.11.2018
© НП «НЕИКОН»
УДК 517.93
Решение задачи о наклонной производной для уравнения Лаврентьева - Бицадзе в полуплоскости
Копаев A.B.1'* ''Кораеу^Ьташи
1МГТУ им. Н.Э. Баумана, Москва, Россия
Уравнение Лаврентьева — Бицадзе решается в полуплоскости. При этом областью эллиптичности также является полуплоскость, а областью гиперболичности - полоса. На одной из прямых, ограничивающих полосу, задана наклонная производная, а на другой прямой -границе раздела полосы и полуплоскости - решения сопрягаются краевыми условиями четвертого рода. Решение найдено в виде суммы функционального ряда.
Ключевые слова: уравнение Лаврентьева — Бицадзе, наклонная производная, краевые условия четвёртого рода
Введение
Многие проблемы прикладного характера (например, проблемы околозвукового течения сжимаемой среды) сводятся к решению дифференциальных уравнений смешанного типа (уравнению Трикоми, уравнению Чаплыгина и др.). Важной моделью уравнения смешанного типа является уравнение Лаврентьева-Бицадзе [1]. Решению различных краевых задач для этого уравнения посвящено огромное количество статей (см., например, [2], [3, 4, 5, 6, 7]). Поэтому и решение задачи о наклонной производной для уравнения Лаврентьева-Бицадзе представляется весьма актуальным. Здесь мы продолжаем исследование, начатое нами в работе [8]. В указанной работе была задана производная в направлении, составляющем с границей полуплоскости угол — . Здесь мы задаем производную в
направлении, составляющим с границей полуплоскости произвольный острый угол. В работе [8] решение задачи о наклонной производной сводилось к решению сингулярного интегрального уравнения, которое в свою очередь сводилось в краевой задаче Римана, решение которой хорошо известно [9]. В настоящей работе решение задачи о наклонной производной сводится к решению сингулярного интегрального уравнения, которое в свою очередь сводится к краевой задаче Римана со сдвигом [10], решение которой в общем случае неизвестно. Возникшую в нашем случае краевую задачу Римана со сдвигом мы свели
к решению двух функциональных уравнений для аналитических функций (в верхней и нежней полуплоскостях на комплексной плоскости), которые удалось решить (решения представлены в виде сумм функциональных рядов).
1.Обозначения
Введём следующие обозначения:
Iа = { (х ;у) £ Е2 : у = а} — прямая, параллельная оси Ох;
Б а = { (х ;у) £ Е2:у > а} и БД = { ( х ;у) £ Е2:у < а} — полуплоскости, на которые прямая I а разбивает плоскость Е2 .
В полуплоскости Б( Л > 0 ) рассмотрим уравнение Лаврентьева — Бицадзе
^XX 8§П 00 иуу = 0 (1)
В полуплоскости Б + — области эллиптичности уравнения (1) — положим
{/(х;у) = и+(х;у),
а в полосе С = Б Д П Б+й = { ( (х ;у) £ Е2: — Л < у < 0 ) } — области гиперболичности уравнения (1) — положим
и(х;у) = и~(х; у).
2. Задача о наклонной производно
Пусть q ( х) — функция, удовлетворяющая на числовой прямой условию Гёльдера (включая бесконечно удаленную точку) вместе с производной р (х) = q ' (х) [9, с. 20] и
пусть <р £ ^ 0 ; ^ ^ (<р — острый угол). Рассмотрим следующую задачу.
Найти функцию и+( х ;у) , гармоническую и ограниченную в полуплоскости Б + и функцию , ограниченную и удовлетворяющую в полосе уравнению
U XX Uyy 0
по краевому условию
dU~ dU~
—— (х; —К) cos (о---— (х; —К) sin ю = р(х)
ох ду
(по заданной на прямой I_h наклонной производной в направлении, образующим с границей области угол ф ) и по условиям сопряжения функций U+( х ;у) и U _( х ;у) на оси О х
U _ (х ; 0 ) = U + (х ; 0 ) , ^ (х; 0) = к ^ (х; 0 ) (2)
где к > 0 — положительное число.
Решим эту задачу. Представим функцию U _( х ;у) по формуле Даламбера
U~(x;y) = /(х + у) + д(х - у) где f (х) и д (х) — дважды непрерывно дифференцируемые функции.
Имеем
dU-
(х; у) = /'(х + у) + д'(х - у),
дх dU~
—- (х; у) = /'(х + у) - - У).
at/- dt/—— (х; —/i) cos <z>---— (x; —Л) sin <р
(I X ду
= (/'(x — Л) + g'(x + h)) cos <p — (/'(x — h) — g'(x + h)) sin <p =
= /'(x — /i)(cos<p — sin<p ) + g'(x + /i)(cos<p + sin<p) = p(x).
Проинтегрируем полученное равенство (по х ). Получим
/(х — /i)(cos <р — sin <р ) + g(x + /i)(cos <р + sin ср ) = q(x) + S
где S — произвольная постоянная. Отсюда получаем
q(x) + S + /(х — /i)(sin<p — cos <р )
g(x + h) =-:-.
со scp + sin<p
Введем обозначения
sin ср — cos ср tg ср — 1 1
Л = -:-= -г (И < И = -:-■
cos(p + sm(p tg ср + 1 cos<p + sin<p
Тогда
д(х) = [i q(x — К) + [i S + Л /(х — 2К), U~ (х; у) = /(х + у) + Я /(х — у — 2h) + [i q(x — у — h) + [i 5, U~ (x; 0) = /(x) + Я /(x - 2/i) + ц q(x - К) + ц 5,
dU~
(x; y) = /'(x + y) - Я /'(x - у - 2h) - 11 p(x - у - /i), (x; 0) = /'(x) - Я /'(x - 2h) -\i p(x - /i).
ay
dU
ду
Так как функция является гармонической и ограниченной в верхней полу-
плоскости, то в этой полуплоскости она представима интегралом Пуассона
+ 00
и (х;у) = - -—--Т---йЕ +
17 7Г ] (^ -х)2 + у2 ъ
— 00
Отсюда получаем
+ 00
(х;у) = -
л" 7
dU+ 1 [ (/(О + Л/g - 2/1) + - /Q)((f - х)2 - y2)df
ду {Х'У) тс J (((-х)2+У2)2 '
Применим к последнему интегралу формулу интегрирования «по частям»:
+ 00
dU+ If, ч / -<А~х) \
■ (X; у) = - J (/(О + m - 2Л) + ц? tf - h))a í vs ' *
ду ' л J v y — x)2 + y2/
— 00
= - ^ (/(0 + № - 2ft) + - ft)) + y2 I +
, (ПО + - 2/1) + Hptf - /0)а -
if
(( - хУ + у2
Так как функция и+( х ;у) ограничена в полуплоскости Б+, то первое слагаемое в правой части последнего равенства равно 0. А тогда
dU+ = 1 г+ю (Г(0 + - 2/1) + - ЪЩ -ду ' и J_œ (( - х)2 + у2 '
ди+ 1 +оо (fl(0 + _ 2К) + ^ _
1 Г
(х;0) = -
П J-с
ду п ]_т %-х
Здесь мы должны предположить, что функция / ' ( х) удовлетворяет на числовой прямой условию Гёльдера (включая бесконечно удалённую точку). Теперь в силу условий сопряжения (2) для нахождения неизвестной функции / ' ( х) получаем сингулярное интегральное уравнение
+ 00
Пх) _ ЛПх _ 2к) _ №(х _ Л) л [
л } $ - X
— оо
Рассмотрим два интеграла типа Коши
-Г
2т J_
Ç-z lF~(z), Imz < О,
и
+ 00
1 Г p(QdÇ = (P+(z), Im z > О,
2т J (-z ~ \Р (z),\mz < 0.
— 00
Применяя формулы Сохоцкого для интеграла типа Коши [9, с.47 ]
+ 00
F+(x) - F~(x) = f'(x), F+(x) + F~(x) = Л f
m J
P+(x) - P-(x) = p(x),P+(x) + P-(x) = Л f
m J_
nodf
f-x '
+œp(Od(
(-x '
получим задачу о скачке на действительной оси:
Р+(х) - р-(х) - ЯР+(х - 2Л) + ЯР~(х - 2Л) - цР+(х - Л) + цР_(х - К) =
= /а(р+(х) + р-(х) + ЯР+(х - 2Л) + ЯР~(х - 2Л) + цР+(х - Л) + цР~(ж - Л)).
или
Р+(х)(1 - /с/) - ЯР+(х - 2/0(1 + /с/) - цР+(х - /0(1 + /а) = = Р~(х)(1 + Ы) - ЯР~(х - 2/0(1 - /а) - цР_(х - Л)(1 - /с/)-Отсюда заключаем, что в верхней полуплоскости
- Ы) ~ ЯР+(г - 2/0(1 + Ы) - \1Р+(г - Л)(1 + /а) = К,
где — произвольная комплексная постоянная, а в нижней полуплоскости
Р~00( 1 + /а) - ЯР_(г - 2Л)(1 - Ы) - цР-^ - Л)(1 - /а) = К.
Отсюда получаем, что в верхней полуплоскости
1 + ki ^ 1 + ki ^ К
F (z) - Л--— F (z - 2К) = ц--— P+(z - /1) +
1 — ki 1 — ki 1 — ki а в нижней полуплоскости
1 - ki 1-ki К
F-(z) - Я--- F~(z - 2h) = ц--- p-(z - /1) + --
1 + ki 1 + ki 1 + ki
1+ki „ . 1+ki „ , , 1+ki /,/, Так как - =1. а ф = a rg-= 2 a rete k . то-= el
i-feí ^ b i-feí b i-ki
Теперь мы можем записать, что в верхней полуплоскости
F+(z) - le^F+(z - 2 /1) = це^Р+(z - /1) + (3)
А в нижней полуплоскости
F- (z) -1 е- ¿ ^ F- (z - 2 /) = це- ¿ ^ Р-( z - /) + (4)
Для любого целого неотрицательного числа m умножим обе части равенства (3) на
, а вместо подставим . Получим
AmeimiPF+(-z _ 2тК) _ Am+lei(m+l)iPF+(-z _ 2(m + Щ) =
= цЯт e¿ (m+1 Wp+(z - ( 2 m + 1 ) /) + Ят e¿m^ (5)
Сложим первые N равенств (5) (m = 0, 1,... ,N - 1 ) . Получим:
F+(z) - AVw^F+(z - 2JV/i) =
W-l N-1
= Ц ^ ime¿(m+l)^p + (z _ (2rn + 1)/!) + —— ^ .
m=0 m=0
Переходя в последнем равенстве к пределу при N — оо , получим, что в верхней полуплоскости
00
F+(z) = ц ^ Amei(m+1)^P+(z - (2m + 1)Л) + _ * _ Ае
т=0
Рассуждая аналогично, умножим обе части равенства (4) на Ят е- а вместо z подставим z - 2 m/i (где m — целое неотрицательное число. Затем сложим первые N полученных равенств и перейдем к пределу при . Получим, что в нижней полуплоскости
00
к
F"(z) = ц ^ - (2m + l)/i) +
(1 + /с/)(1-Яе-^)'
т=0
Теперь мы можем найти функцию f (х) = F+(х) - F -(х) :
00
fix) = ц ^ Ят cos(m + 1 )гр(Р+(х - (2т + l)/i) -Р~(х- (2т + 1)Л) +
т=0
00
+¿H ^ sin(m + l)i/>(P+(x - (2т + l)h) + Р~(х - (2т + l)h) +
т=О
¿1К(к — кАсоэгр + А эту) V-1
+ ——-—--—--= ц > Лт соз(т+1)грр(х - (2т+1)Ь) +
(1 + к/)(1 — 2 Я соб гр + Я/) ¿—I
т=О
00 +со
+ ;ХЛт«вСт + 1» I (-(Х-Рт + 1Ж> +
т=0
2 (/Кг — К2) (к — кЛ соб гр + А эт гр)
+ -
(1 + /с2)(1 — 2Я соб гр + Я2)
Так как — действительнозначная функция, то . А так как функция
(первообразная для функции ) ограничена, то и . Окончательно,
00
/'(х) = ц ^ Ят соз(т + 1)1/; р(х - (2ш + 1)Л) +
т=0
+ * Е » _ 0 Ят 5 1 п (т + 1 ) ф /+00 , , Р (Р * ^ (6)
Проинтегрируем последнее равенство по . Получим:
00
/(х) = [I ^ Ат соб(т + 1)^ д(х — (2т + 1)Л) +
т=0
+ £ Е т=0^т 5 1 п ( т + 1) ф/_+> ( О 1п I { — (х — ( 2 т + 1 ) Л) | й{ + Т ( 7) (7)
где — произвольная (вещественная) постоянная. Здесь мы должны предположить, что р ( 00 ) = 0 и
А
1р(х)| (а > 1,|х| >Е).
Проинтегрируем каждый из интегралов в правой части равенства (7) «по частям»:
00
/(х) = [I ^ Ат соб(т + 1)1/; д(х — (2ш + 1)Л) +
т=О
00
+ - У Ят 5т(ш + 1)1/; (о(П 1п|£ - (х - (2т + 1)Л)|
7Г
+ 00
Г__)+г.
7 £ - (х - (2т + 1)ЛУ
-00
т=О
+ 00
Так как функция удовлетворяет в бесконечно удаленной точке условию Гель-дера, то
00
/(х) = [I ^ Ят соБ(т + 1)1/; д(х — (2т + 1)Л) +
т=О
00
+ - У Ятзт(т+1)1/; [ г , ^ . + Т.
тс ¿—I ^ ) % - (х - (2т + 1)Л)
т=0 -оо
Теперь мы можем найти искомую функцию U ( х; у) :
00
U~(x;y) = [i ^ Хт соs(m + 1 )ip q(x + у — (2т + l)h) +
т=О
+[i ^ Хт cos mijj q(x — у — (2т + l)h) +
т= О
+ 00
+ - У Ámsm(rn + l)xp [ ——--—— +
п ¿-i r J % - (х + у - (2т + l)h)
т=О
00 +оо
+ — > Amsin тхр -—--—-—— + С.
п Lu J ( — (х — у — (2т + 1)Л)
т= 1 -оо
где С = ( 1 + Я) Т + — произвольная постоянная. Теперь для решения задачи о наклонной производной остается найти функцию по краевому условию U+( х ; 0 ) = U _ ( х ; 0 ) (интегралом Пуассона).
7Г
Рассмотрим еще частный случай задачи о наклонной производной при = —. В
4
этом случае
1 1
cos<p = sin<p = — ,Я = = —, л/2 л/2
_ 1 - к2 cosxp = cos(2arctg к) = 2 cos (arctg/c) — 1 =
sin ip = 2 sin(arctg /с) cos(arctg /с) =
1 + к2' 2 к
1+ к2'
1 ( 1 - к2
и (х;у) = — I 1+ д(х + у — к) + ц(х-у-К) +
+ 00
2к Г д(Оа(
п (1 + к2) ] (-(х + у-Ну '
— 00
Отметим, что эта формула была получена нами ранее в работе [8].
Заключение
Таким образом, в работе решена задача о наклонной производной для уравнения Лаврентьева-Бицадзе в полуплоскости, при этом область эллиптичности также является полуплоскостью, а область гиперболичности - полосой. Наклонная производная задана на одной из прямых, ограничивающих полосу, а на другой прямой, ограничивающей полосу и разделяющей ее с полуплоскостью эллиптичности, выполняются краевые условия четвертого рода. Показано, что при сделанных предположениях относительно заданных функций задача имеет единственное решение (с точностью до произвольной действительной постоянной). И это решение получено в виде суммы функционального ряда.
Список литературы
1. Бицадзе А.В. К проблеме уравнений смешанного типа // Тр. МИАН СССР. 1953. Т. 41. С. 3-59. Режим доступа:
http://www.mathnet.ru/links/5d1c1eebdcdf52b9229df55c10eca823/tm1177.pdf (дата обращения 5.12.2018).
2. Моисеев Е.И. О задаче Трикоми для уравнения Лаврентьева-Бицадзе // Дифференциальные уравнения. 1981. Т. 17. № 2. С. 325-338. Режим доступа:
http://www.mathnet.ru/links/a5e9d0e59c9822672ab22cd6b3760cca/de4197.pdf (дата обращения 5.12.2018).
3. Митюшев В.В. Решение одной задачи с нелокальными условиями для уравнения Лаврентьева-Бицадзе // Дифференциальные уравнения. 1992. Т. 28. № 8. С. 1461-1463. Режим доступа: http://www.mathnet.ru/links/912caa027706c9cda80905a0fc557eca/de7897.pdf (дата обращения 5.12.2018).
4. Моисеев Е.И., Зарубин А.Н. Задача Трикоми для уравнения Лаврентьева-Бицадзе с запаздывающим аргументом // Дифференциальные уравнения. 2001. Т. 37. № 9. С. 1212-1215.
5. Солдатов А.П. О задачах типа Дирихле для уравнения Лаврентьева-Бицадзе // Тр. Матем. ин-та им. В.А. Стеклова РАН. 2012. Т. 278. С. 242-249. Режим доступа: http://www.mathnet.ru/links/d60b8ad0f959a6d3ec91478b0388fe8c/tm3402.pdf (дата обращения 6.12.2018).
6. Моисеев Е.И., Моисеев Т.Е., Вафодорова Г.О. Об интегральном представлении задачи Неймана-Трикоми для уравнения Лаврентьева-Бицадзе // Дифференциальные уравнения. 2015. Т. 51. № 8. С. 1070-1075. DOI: 10.1134/S0374064115080105
7. Сабитов К.Б., Новикова В.А. Нелокальная задача А.А. Дезина для уравнения Лаврентье-ва-Бицадзе // Изв. высш. учеб. заведений. Математика. 2016. № 6. С. 61-72. Режим доступа: http://www.mathnet.ru/links/ca57f1 ed070d7a3e0f6093a516181123/ivm9124.pdf (дата обращения 6.12.2018).
8. Алгазин О.Д., Копаев А.В. К задаче о наклонной производной для уравнения Лаврентье-ва-Бицадзе в полуплоскости // Математика и математическое моделирование. МГТУ им. Н. Э. Баумана. Электрон. журн. 2016. № 2. С. 1-8. DOI: 10.7463/mathm.0216.0843737
9. Гахов Ф.Д. Краевые задачи. 3-е изд. М.: Наука, 1977. 640 с.
10. Литвинчук Г.С. Краевые задачи и сингулярные интегральные уравнения со сдвигом. М.: Наука, 1977. 448 с.
Mathematics I Mathematical Modelling
Electronic bur nul
h trp:/Arra|hine I pLib.ru
ISSN 2412-591 i
Mathematics and Mathematical Modeling, 2018, no. 06, pp. 1-10.
DOI: 10.24108/mathm.0618.0000149
Received: 01.11.2018
© NP "NEICON"
Oblique Derivative Problem Solution for the
Lavrentyev-Bitsadze Equation in a Half-Plane
1 *
A.V. Kopaev1'
KflpaeYigbmstuju
:Bauman Moscow State Technical University, Moscow, Russia
Keywords: the Lavrentyev-Bitsadze equation, oblique derivative, boundary conditions of the fourth kind
The paper solves the boundary value problem of an oblique derivative for the Lavrent'ev -Bitsadze equation in a half-plane. The Lavrent'ev - Bitsadze equation is an equation of mixed (elliptic-hyperbolic) type. Mixed-type equations arise when solving many applied problems (for example, when simulating transonic flows of a compressible medium).
In the paper, the domain of ellipticity is a half-plane, and that of hyperbolicity is its adjacent strip. On one of the straight lines bounding the strip, an oblique derivative is specified (in the direction that forms an acute angle with this straight line), and on the other straight line, which is the interface between the strip and the half-plane, the solutions are matched by boundary conditions of the fourth kind. In the hyperbolicity strip, the solution is represented by the d'Alembert formula, and in the half-plane, where the equation is elliptic, the bounded solution is represented by the Poisson integral with unknown density. For this unknown density of the Poisson integral, a singular integral equation is obtained, which is reduced to the Riemann boundary value problem with a shift for holomorphic functions. The solution of the Riemann problem is reduced to the solution of two functional equations. Solutions of these functional equations and the Sokhotsky formula for an integral of Cauchy type allowed us to find the unknown density of the Poisson integral. This allowed us to find a solution to the oblique derivative problem as the sum of a functional series (up to an arbitrary constant term).
References
1. Bitsadze A.V. On the problem of equations of mixed type. Trudy MIAN SSSR [Proc. of the Steklov Institute of Mathematics], 1953, vol. 41, pp. 3-59. Available at: http://www.mathnet.ru/links/5d1c1eebdcdf52b9229df55c10eca823/tm1177.pdf, accessed 5.12.2018 (in Russian).
2. Moi seev E.I. The Tri comi problem for the L avrent'ev-Bitsadze equation. Differentsial'nye uravneniia [Differential Equations], 1981, vol. 17, no. 2, pp. 325-338. Available at:
http://www.mathnet.ru/links/a5e9d0e59c9822672ab22cd6b3760cca/de4197.pdf, accessed 5.12.2018 (in Russian).
3. Mityu shev V.V. Solution of a problem with nonlocal condition s for the Lavrent'ev-Bitsadze equation. Differentsial'nye uravneniia [Differential Equations], 1992, vol. 28, no. 8, pp. 14611463. Available at:
http://www.mathnet.ru/links/912caa027706c9cda80905a0fc557eca/de7897.pdf, accessed 5.12.2018 (in Russian).
4. Moiseev E.I., Zarubin A.N. The Tricomi problem for the Lavrent'ev-Bitsadze equation with retarded argument. Differential Equations, 2001, vol. 37, no. 9, pp. 1271-1275.
DOI: 10.1023/A:1012573829387
5. Soldatov A.P. On Dirichlet-type problems for the Lavrent'ev-Bitsadze equation. Proc. of the Steklov Institute of Mathematics, 2012, vol. 278, no. 1, pp. 233-240.
DOI: 10.1134/S0081543812060223
6. Moiseev E.I., Moiseev T.E., Vafodorova G.O. On an integral representation of the Neumann-Tricomi problem for the Lavrent'ev-Bitsadze equation. Differential Equations, 2015, vol. 51, no. 8, pp. 1065-1071. DOI: 10.1134/S0012266115080108
7. Sabitov K.B., Novikova V.A. Nonolocal Dezin's problem for Lavrent'ev- Bitsadze equation. Russian Mathematics, 2016, vol. 60, no. 6, pp. 52-62. DOI: 10.3103/S1066369X16060074
8. Algazin O.D., Kopaev A.V. Towards the oblique derivative problem for the Lavrentyev-Bitsadze equation in the half-plane. Matematika i matematicheskoe modelirovanie [Mathematics and Mathematical Modelling], 2016, no.2, pp. 1-8. DOI: 10.7463/mathm.0216.0843737
rd
9. Gakhov F.D. Kraevye zadachi [Boundary problems]. 3 ed. Moscow: Nauka Publ., 1977. 640 p. (in Russian).
10. Litvinchuk G.S. Kraevye zadachi i singuliarnye integral'nye uravneniia so sdvigom [Boundary problems and singular integral equations with shift]. Moscow: Nauka Publ., 1977. 448 p. (in Russian).
