CC BY
24
Д.И.Пастухов, Е.Д.Пастухова
РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ Е
а
ДЛЯ УРАВНЕНИЯ ихх - и „ + — и, = 0
™ х + 7
В работе рассматривается постановка и решение задачи ^ а для уравнения в частных производных второго порядка, когда коэффициент при их. имеет специальный вид. Это уравнение, являясь рабочим уравнением для решения задач со смещением, позволяет проследить структуру решения. Установлено, что решение задачи ^ а как одной из видов задач со смещением существует и единственно при указанных условиях.
Уравнение ихх - иуу +
-и = 0
(1) в ха-
х + /
рактеристических координатах принимает вид 1
*(и)=иь + * 2 {и^ + ип)= 0.
Х+Л + 2/
(2)
[и(0,^X1+ 2/)]-и(!,!+ а) = ю(Х) |є[0,¥) (3)
и(1,л)=у(л) л є [0,1] (4)
и(Х,Х) = Ф(Х) |е[1,¥] (5)
ё) и (Х;л) удовлетворяет условию сопряже-
ния
Д“0(иХ- ил)=х^1Лт+0(иХ - ил)=у(Х) 0 <Х< 1 (6)
Функция при л > Х
и (Х,л)=
(8)
Для уравнения (2) на множестве Д = и Д,
1=1
где Д =(1,^:0 <% <Л<% + а};
А 2 = (%,^>% + а;Х> 0};
Д = (%,^:0 <ц<%< 1}, решается задача ^ а. Задача ^а: Найти функцию и(|,^) со следующими свойствами:
a) и(%,п)е С();
b) Ь(и) = 0 в областях Д, г = 1,2,3;
c) и(%,ц) удовлетворяет краевым условиям
а
2 2 XX + Л + 27
являющейся решением уравнения (1), удовлетворяет условию (7). ПоэтомуЮ принимая во внимание краевое условие (3), с учетом (8), приходим к интегральному уравнению типа Воль-терра
* (Х)-1а 2Х+ ()2.. = я Х),
(9)
X 2% + а + 27
где Я(%) = т(а%+ 2у)-т(%+ а)-2w(X) п* ХЫХ+гИХ
Считаем, в дальнейшем, что функция ^ (х) такова, что V % > 0
|г (%)£ к (10)
Решение уравнения (9) находим методом последовательных приближений
* (Х)=я (Х)+Е (Х).
(11)
Тогда при (10) имеет место следующая оценка
В дальнейшем будут указаны ограничения на функции со(%),ф(%),щ(г1).
Предварительно решаем вспомогательную задачу За- Найти решение и(%,ц) уравнения (1) на множестве Д и Д2,и(%,ц)е С (д и Д2) за исключением точки (1,1), удовлетворяющее краевым условиям (3) и
и(%,%) = т(%) % е (0,¥) (7)
,№ к
2Х + а + 2/ При а > 0 потребуем
0 < а < 1 а + 2/
\я /
< к
а + 2/
(12)
При условии (12) ряд (11) сходится равномерно и абсолютно при Х > 0.
Если а > 1, а ю(|)° ф(|)° 0, то
ВЕСТНИК ОГУ Г2001
95
X Яп (%)=/я (г)(2г + а + 27)-^ ( + 2% + 27)-32 аг. (13)
п=1 %
С учетом соотношений (9) и (13) имеем
п * (% )= Я (%)+ \ Я (0(2г + а + 27)12 (2% + а + 27)-32 а. (14)
Воспользовавшись тем, что при л<% уравнение (2) имеет решение
и (Х,л)=
Ь
;У(')й' (15)
„/ ч Р(л,') \ 2 + л + 2Я
где к (л, ')=^тУ; в(т/)=- '
р(л. 0=
В(л) і + 2/
2(1 + л + 2/)
і + 2/
2(1 +л + 2/)2 2(1 +л + 2/)'
(і + 2/) 0 (л,і)
2(1 +77 + 27)
К 0 (л,' )= (2' + а + 2/У2 (л + а + 2/)
й(л) =
2у,(л)
2 2 % % + л + 27
и краевым условием (4), получим
у(ч)=1Й±1М+2(+Л+2Г)\п'(г* ■ 06)
Продифференцируем обе части тождества (16) по Л и воспользуемся соотношением (14) и тем, что я (|)=т'(|Х| + 27). Тогда после ряда громоздких, но не трудных преобразований получаем уравнение Вольтерра второго рода относительно т(л).
т'(л)-\т'( )к Лл г )а = а(л), (17)
В(л)
а > 1, а + 2/> 0, у/(л)є [0,1]
При а > 1, а + 27 > 0, у'(л)е [0,1] (18)
ядро к (л, г) уравнения (16) является непрерывным в квадрате 0<г, л< 1. й(л) - непрерывная функция на сегменте [0,1].
Из теории интегральных уравнений следует, что уравнение (16) однозначно разрешимо в классе функций у'(л) = С[0,1]. Решение этого уравнения запишем в виде т'(л) = Р (л), где Р (л) - известная функция. Решение задачи Коши этого уравнения с начальным условием т(0) = 0 имеет вид
г(л)= Ь (' )й'
(19)
Таким образом, при выполнении условий (12), (17) и условий а > 1, со(%)°ф(%)° 0 задача Еа однозначно разрешима и определяется формулами (8), (14), (15), (19).
П
96
ВЕСТНИК ОГУ 1'2001
