Решение терминальных задач для аффинных систем с векторным управлением на основе орбитальной линеаризации Текст научной статьи по специальности «Математика»

Математика к Математическое

моделирование

УДК 517.977

Ссылка на статью:

// Математика и математическое моделирование. МГТУ им. Н.Э. Баумана. Электрон. журн. 2015. №6. С. 17-31.

Б01: 10.7463/шаШш.0615.0828643

Представлена в редакцию: 25.11.2015 © МГТУ им. Н.Э. Баумана

Решение терминальных задач для аффинных систем с векторным управлением на основе орбитальной линеаризации

Л ^

Фетисов Д. А.1'

dfetisov@yandex.ru 1МГТУ им. Н.Э. Баумана, Москва, Россия

Рассматривается терминальная задача для многомерных аффинных систем, не линеаризуемых обратной связью. Предполагается, что после специальным образом выбранной замены независимой переменной исходная система преобразуется в такую аффинную нестационарную систему, которая гладкой невырожденной заменой переменных в пространстве состояний может быть приведена к регулярному каноническому виду. Предлагается новый метод решения терминальных задач для указанного класса систем. Приводится пример решения терминальной задачи для аффинной пятимерной системы с двумерным управлением, не линеаризуемой обратной связью ни на каком открытом подмножестве пространства состояний.

Ключевые слова: аффинная система; терминальная задача; орбитальная линеаризация

Введение

Линеаризация обратной связью широко используется для решения различных задач теории управления. Говорят, что аффинная система линеаризуема обратной связью, если существуют гладкая невырожденная замена переменных в пространстве состояний и обратимая замена управлений, которые преобразуют систему в линейную управляемую систему. Условия линеаризуемости обратной связью для аффинных систем хорошо известны [1,2].

Для систем, не линеаризуемых обратной связью, была разработана техника орбитальной линеаризации [3, 4, 5, 6, 7, 8], которая заключается в преобразовании системы в линейную управляемую систему после предварительного масштабирования времени — замены независимой переменной. Необходимые и достаточные условия орбитальной линеаризуемости аффинных систем можно найти в работах [4, 6].

В данной работе орбитальная линеаризация аффинных систем используется для решения задачи терминального управления. Различные подходы к решению терминальных задач рассматривались в работах [2, 9, 10, 11, 12]. В частности, в [12] был предложен основанный на технике орбитальной линеаризации метод решения терминальной задачи для аффинных

систем квазиканонического вида со скалярным управлением. В настоящей работе этот метод получает дальнейшее развитие и обобщается на случай аффинных систем с векторным управлением.

1. Постановка задачи

Рассматривается аффинная стационарная система с векторным управлением

ж = + X Ь (ж,уК- , ¿=1

у = а(х,У) + X ^ (х,У)

(1)

и

¿=1

где х = (х1,... ,ж„_1)т е Е 1, у е Е, и = («1,... ,ит )т, к(ж,у) = (^1 (х, у),..., кга-1(ж,у))т,

1(х,у) = (11,О^У^ — А-1,,(х,у)) , М^У^(ж,у),а(ж,у),6,-(ж,у) е ^^^ ^ = l, m,

г = 1, п — 1, не линеаризуемая обратной связью ни на каком открытом подмножестве пространства состояний, и терминальная задача для нее в следующей постановке: заданы состояния (ж0, уо) и (ж*, у*), причем у0 < у*; требуется найти такой момент времени ¿* и такие

управления и, (¿) е С[0,£*], ] = 1, т, что траектория ж(£), у(£), £ е [0, ¿*], замкнутой системы

ж = к(ж,у) + X ] (ж,УК ¿=1

у = а(ж,у) + X (ж,у)и,

¿=1

соединяет состояния

и

(ж,у) . п = (жо,уо)

4=0

(ж,у) _ = (ж*,у*).

4=4

(2)

(3)

Предположим, что хотя бы одна из функций Ь,(ж, у) не обращается в нуль в Ега. Для определенности будем считать, что это функция Ьт(ж,у). Выполним в системе (1) замену управлений по формулам

= и1,

_1 = ит_1, = а(ж,у) + ^ Ь, (ж, у)

и,

¿=1

Из условия Ьт(ж,у) = 0 в Е следует, что данная замена является невырожденной. Она преобразует систему (1) к виду

ж = / (ж,у) + Х & (ж,/Н-, ¿=1

(4)

У = ^

Н=

V

т

где

г = ^...^т^ / (Х,У) = (/1(х,у),...,/га_1(х,у))Т,

Исходная терминальная задача (2), (3) для системы (1) может быть переформулирована для системы (4) как задача определения такого момента времени ¿* и таких управлений

г^(¿) € С[0, ¿*], 3 = 1, т, что траектория ж(£), у(£), £ € [0, ¿*], замкнутой системы

т

ж = / (х,У) + X & (х,у) V

7 = 1

^ у = гт(^),

соединяет состояния (2) и (3).

Системе (4) в ее пространстве состояний взаимно однозначно соответствуют векторные поля

п—1 д п—1 д д п—1 д

Е = X /i(x, У^Т^—, С = X 04 ^^^ 3 = X Ст = ^ + X

дж» ¿=1 дж» ду ¿=1 дж»

2. Орбитальная линеаризация системы

Пусть Ц = {(ж, у, г): гт > 0}. Из последнего уравнения системы (4) вытекает, что если (ж(£), у(£), г(£)) € Ц, где г(£) — управление, а (ж(£),у(£)) — траектория системы (4), то функция у(£) возрастает, поэтому в области Ц каждому значению у = у(£) соответствует единственное значение ж = ж(£). В связи с этим в области Ц можем рассматривать у как независимую переменную. Дополняя постановку задачи условием положительности управления гт и переходя в области Ц к новой независимой переменной у, получим нелинейную нестационарную систему (п — 1)-го порядка

1 т— 1

ж

' = /(ж,у)--+ X &О*^ — + Ы^у), (5)

7=1 г

где штрих обозначает дифференцирование по у. Согласно терминологии, предложенной в работе [6], выполненная замена независимой переменной является интегрируемой заменой, зависящей от управления. Заметим, что дальнейшее рассмотрение системы (4) в области Ц правомерно и согласуется с неравенством у0 < у*, связывающим начальное и конечное значения переменной у. Заменой управлений т = Я(г), т = ..., тт)т, задаваемой соотношениями

г --1

т = —, 3 = 1, т—1, тт = —,

гт гт

система (5) преобразуется к аффинной нестационарной системе (п — 1)-го порядка

т— 1

= 0т(ж, у) + X & у)тЧ + /у)тт. (6)

4=1

Системе (6) в ее расширенном пространстве состояний взаимно однозначно соответствуют векторные поля

д П—1 , , д Л _ . ,_г Л „ П—1 „, , д

^ = От = — + Х д-, ^ = ^, 3 = ^ т - 1, Ст = Г = ^ /¿(Х,у) а-•

У г=1 г г=1 г

Для системы (6) рассмотрим терминальную задачу, состоящую в нахождении таких упра-

влений Wj = Wj (-) € С [-о, -*], 3 = 1, т, что

®т(—) > 0, — € [—0^^ (7)

и траектория х = а(—), — € [—0, — *], замкнутой системы

т—1

- = дт(х,У) + X дН'(—) + /(х,У)wm(—) j= 1

соединяет состояния

х(—о) = -о (8)

и

х(—*) = х* • (9)

Заметим, что в отличие от исходной терминальной задачи (2), (3) для системы (4) в задаче (7)-(9) для системы (6) интервал [—0, —*] времени управления фиксирован. Связь между решениями терминальных задач (2), (3) для системы (4) и (7)-(9) для системы (6) устанавливается в следующей теореме.

Теорема 1. Пусть управления w1(—), ..., wm(—) являются решением терминальной задачи (7)-(9) для системы (6), а х = а(—) — соответствующая траектория системы (6), соединяющая состояния (8) и (9). Если — = £(¿) — решение задачи Коши

— , —(0) = —о, (10)

то управления

Wj (£ (*))

являются решением терминальной задачи (2), (3) для системы (4), момент окончания ¿* задается соотношением

у*

и = I Wm(-) , (12)

У0

а х = а(£(£)), — = £(£) — соответствующая траектория системы (4), соединяющая состояния (2) и (3).

Доказательство. Решение £ (¿) задачи Коши (10) определяется неявно равенством

«

J Wm(-) = 1

у0

Сравнивая это соотношение с выражением (12), заключаем, что £(£*) = у*, поэтому функция у = £(£) удовлетворяет граничным условиям на переменную у в терминальной задаче (2), (3) для системы (4).

Поскольку х = а (у) — траектория системы (6), соединяющая состояния (8) и (9), то а(уо) = х0 и а (у*) = х*. Отсюда вытекает, что х(0) = а(£ (0)) = а(у0) = х0 и х(£*) = = а(£ (¿*)) = а (у*) = х*, поэтому вектор-функция х = а(£ (¿)) удовлетворяет граничным условиям на переменные х в терминальной задаче (2), (3) для системы (4).

Для завершения доказательства осталось показать, что вектор-функция х = а(£ (¿)), функция у = £(¿) и управления (11) на отрезке [0,£*] удовлетворяют системе (4). Это следует из цепочки равенств

в

-а(Ш) = а'(у)

т— 1

0т(а(у),у) + X & (а(у),у) ^ (у) + / (а(у),у)^т(у)

¿=1

=5(4)

= / (а(Ш),Ш) + Х ^ (а(£ (*)),£(*)) V (*) ¿=1

и из того, что по условию теоремы функция у = £ (¿) является решением уравнения у = 1 /ад (у). Теорема доказана.

Таким образом, для того чтобы решить терминальную задачу (2), (3) для системы (4), достаточно решить задачу (7)-(9) для системы (6). Если аффинная нестационарная система (6) линеаризуема обратной связью на всем пространстве состояний, то найти решение ад(у) = (ад1(у),..., адт(у))т терминальной задачи для этой системы можно, используя концепцию обратных задач динамики. Наличие в постановке задачи условия (7) потребует дополнительной проверки, является ли функция адт(у) положительной на отрезке [у0, у*].

Рассмотрим вопрос о том, существует ли гладкая невырожденная замена переменных (г, у) = Ф(х, у), задаваемая соотношениями г = Ф(х, у), у = у и преобразующая аффинную нестационарную систему (6) на множестве П С Кп расширенного пространства состояний к каноническому виду

(*1)'

(гП1-1)' = , )' = Р1(г,у) + £ ян(г,уН

¿=1

(13)

где

(*т)'

П1 + ... + Пт

(гП1-1)'

(Ст)' = Рт(г,у) + £ дт(г,уН, ¿=1

п — 1,

(г

) ,

№

гт )т

г = (г1 ,... )т е Ф(П), р(г, у), (г,у) е С~(Ф(П)), г, з = 1, т.

Условия существования такой замены переменных известны [13]. В их формулировке используются обозначения аёА В = В, аёА В = [А, аёА-1 В], к е М, где [А, В] — коммутатор

1

т

т

г

г

2

п

т

1

т

г

г

векторных полей А и В. С учетом равенств Е = От, О. = Gj, ] = 1, т — 1, От = Е теорема из работы [13] о преобразовании аффинной нестационарной системы (6) к каноническому виду (13) принимает следующий вид.

Теорема 2. Для того чтобы существовали переменные, в которых система (6) в области П С Кга имеет канонический вид (13), необходимо и достаточно, чтобы существовали функции ^(ж,у) € Сте(П), которые в П являются решением системы уравнений в частных производных

Gj^(ж,у) = 0, Е^(ж,у) = 0, к = 0, щ—2, i = 1, т, ^ = 1, т—1, (14)

а соотношения

г = Ф(ж,у), I 4 = От1^г(х,у), к = 1, щ, i = 1, т,

У = У \ У = У

задают в П гладкую невырожденную замену переменных (г, у) = Ф(ж, у). В этих переменных система (6) имеет канонический вид (13), причем

Рг(г,у) = От^г(ж,у) , i = 1, т,

д.(г,у) = С?От ^(ж, у) , i = 1, т, ? = 1, т— 1,

5гт(г,у)= ЕОт ^(ж,у) где (ж, у) = Ф_1(г, у) — обратная замена переменных.

, i = 1, т,

(ж,у)=Ф-1(г,у)

3. Решение терминальной задачи

Далее будем полагать, что система (6) на некотором множестве П, содержащем начальное (ж0,у0) и конечное (ж*,у*) состояния, преобразуется к каноническому виду (13), причем Ф(П) = Ега. Обозначим г0 = Ф(ж0,у0), г* = Ф(ж*,у*). Тогда терминальная задача (7)-(9) для системы (6) эквивалентна терминальной задаче для системы (13) с тем же ограничением (7) на управление и граничными условиями

г(уо) = го, г(у*) = г*, (15)

где

го = (го1 \ ..., -СУ, г0 = (г1 о,..., 4i = 1, m,

— (г1 , . . . , ) , — (г1*, . . . , ^П;,*) , i — 1 , т.

Пусть г1 = Л-Ду) € СП4 [у0, у*], i = 1, т, — любые функции, удовлетворяющие условиям

^М = о, = ^ ... , (уо) = 44,0,

^Ы = , = 4*, ..., (у*) = <■,*.

Обозначим

Ъ(у) = (Л1(у),Л1(у),..., й(п_1)(у)) , %) = (Му)Л(у),..., Ьт(у))

т

Вектор-функция г = Л,(у) € С 1[уо,У*] удовлетворяет граничным условиям (15) на переменные г в терминальной задаче для системы (13). Чтобы найти управление т = т(у), реализующее эту вектор-функцию в качестве решения системы (13), подставим г = Л,(у) в (13). В результате получим систему уравнений

й!га1)

(У) = Р1 (%), У) + х Яи (%), уН,

.7 = 1

й^т)(у) = Рт(%),у) + Х^(%),уН,

. =1

относительно управлений т1, .. ., тт, которую можно переписать в виде

Н (у) = Р (у) + д(у)т,

(16)

где Н(у) = (МП1)(у),...,^(у))т, Р(у) = (р (%),у), ...,рт(^(у),у))т, д(у) -(т х т)-матрица с элементами (Л,(у),у), г, ^ = 1, т. Если при всех у € [у0,у*] матрица ф(у) невырождена, то система (16) имеет единственное решение

/ т1(у) ^

т(У)

д-1(у)(н (у) - р (у)).

(17)

\ тт(у) /

Управление т(у) реализует вектор-функцию г = Л,(у) в качестве решения системы (13). Если дополнительно при всех у € [у0, у*] выполнено неравенство тт(у) > 0, то управление (17) является решением терминальной задачи (7)-(9) для системы (13). В этом случае управление (17) является также решением терминальной задачи (7)-(9) для системы (6). При этом х = Ф-1 (Л-(у), у), у € [у0, у*], — у-параметрическая траектория системы (6), соединяющая в фазовом пространстве этой системы состояния х0 и х*. Решение терминальной задачи (2), (3) для системы (4), момент окончания ¿* и соответствующую траекторию системы (4) можно найти, используя теорему 1.

4. Пример

Рассмотрим аффинную систему пятого порядка с двумерным управлением

-V! + (хз - х1) г>2,

х 1 х 2

^ хз

х 4 ^ у = г2

и терминальную задачу для нее с граничными условиями

х1(0) = -2, х2(0) = 12, хз(0) = 5, х4(0) = -2

—3х4 + (х1 - 3ух2х2 - Зух^) г2, -2х1г1 + (х4 + 2х1х3 - 2х3) г2, 1 + у(х2 + х3) гъ,

(18)

у(0) = 0,

х^*) = -4, х2 (¿*) = -26, хз(**) = 17, х4 (¿*) = 3, у(£*) = 1.

(19)

Покажем, что система (18) не линеаризуема обратной связью ни на каком открытом подмножестве пространства состояний. Системе (18) взаимно однозначно соответствуют векторные

поля

г = -3x4 £ + 5

5х,

О! = -Л - 2x1 д

д

5x1

дхз

д

дд

О2 = (хз -х-^) —--+ (XI - 3ух2Х4 - 3ух4)---+ (х4 + 2X1X3 - 2х^---+ у(х2 + х4)---+ —

5х

5х

5хз

5Х4 5у

Известно [1], что для линеаризуемости обратной связью системы (18) в некоторой окрестности точки х пространства состояний необходимо, чтобы размерность распределения

5 = Брап{О1, С2, аёр О1, аёр О2,..., аёр О1, аёр О2}

в точке х совпадала с размерностью системы, т.е. была равна 5. Вместе с тем непосредственные вычисления показывают, что

аёр О1 = 0, аёр О2

_3_ 5хз

и, следовательно, аёр О1 = 0 при всех к ^ 1, а аёр О2 = 0 при всех к ^ 2, поэтому размерность распределения Б в произвольной точке пространства состояний совпадает с размерностью распределения Б1 = врап{О1, О2, аёр О2}, которая, как нетрудно видеть, равна трем. Отсюда следует, что система (18) не линеаризуема обратной связью ни на каком открытом подмножестве пространства состояний.

Покажем, что тем не менее система (18) орбитально линеаризуема и терминальную задачу для нее можно решить предложенным методом. Будем далее рассматривать систему (18) в области Q = {(х, у, > 0}. Перейдем в этой области к новой независимой переменной у. В результате получим нелинейную нестационарную систему четвертого порядка

х

х

х

х

ь1 2

---+ хз - х1,

У2 1

—3х4— + х! — 3ух2х2 — 3ух4,

VI 3

—2х1--+ х4 + 2х1х3 - 2х3,

У2 1

--+ у(х2 + х4),

У2 4

которая заменой управлений и^ = = 1Д>2 преобразуется в аффинную систему

х1 = х3 - х| - и^, х2 = х1 — 3ух2х4 — 3ух4 — 3х2^2, х'3 = х4 + 2х1х3 — 2х1 — 2х1^1, х4 = у(х2 + х3) + ^2.

Для системы (20) получаем терминальную задачу с ограничением на управление

> 0

(20)

(21)

1

2

и с граничными условиями

х1(0) = -2, Ж2(0) = 12, Ж3(0) = 5, х4(0) = -2,

х1 (1) = -4, х2(1) = -26, х3(1) = 17, х4(1) = 3.

Соотношения

¿1 — х3 хь

х4, ^^ — х2 ++ х^

^ у = у

задают в К4 гладкую невырожденную замену переменных (г, у) = Ф(х, у), которая преобразует систему (20) к каноническому виду

(г1)' = г1, (г1)' = уг2 + и

(¿2)' = 4 (4)' = ^ - и.

Отображение Ф-1, обратное к Ф, описывается формулами

(23)

х1

х2 = - (г1)3, х3 = г} + (г22)2

х4

2, у = у.

(24)

Терминальная задача (21), (22) для системы (20) эквивалентна терминальной задаче для системы (23) с тем же ограничением (21) на управление и с граничными условиями

(0) = 1, ¿1(0) = -2, ¿2(0) = 4, ¿2(0) = -2,

(1) = 1, г21(1) = 3, ¿2(1) = 1, г2(1) = -4. В качестве функции Л^(у), удовлетворяющей условиям

^(0) = 1, ^1(0) = -2, ^(1) = 1, ^1(1) = 3,

выберем многочлен ^1(у) = у3 + у2 — 2у + 1, а в качестве функции Л,2(у), удовлетворяющей условиям

^2(0) = 4, й'2 (0) = -2, Л<2 (1) = 1, й'2(1) = -4, возьмем многочлен Л,2(у) = —у2 — 2у + 4. Соотношения

¿ч1 = Му) = у3 + у2 - 2у + 1, = (у) = 3у2 + 2у - 2, ¿2 = Му) = -у2 - 2у + 4, = ^(у) = —2у - 2

(25)

являются у-параметрическими уравнениями той кривой в пространстве состояний системы (23), которая соединяет начальное и конечное состояния системы. Подставляя в систему (23) соотношения (25) и выражая и, и2 из второго и четвертого уравнений системы, найдем управления, реализующие эту траекторию в качестве траектории системы (23):

и (у) = у3 + у2 - 2у + 3, и>2(у) = у3 + 2у2 + 2у + 2.

Функция и2(у) положительна на отрезке [0,1], поэтому найденные управления являются решением задачи для системы (23). Эти же управления являются решением терминальной

1

2

г

г

2

2

2

г

2

задачи (21), (22) для системы (20), а соотношения

= - 2у - 2, Х2 = -у2 - 2у + 4 - (3у2 + 2у - 2)3, х3 = у3 + у2 - 2у + 1 + (2у + 2)2, х4 = 3у2 + 2у - 2,

полученные из (25) с помощью равенств (24), задают кривую, соединяющую в пространстве состояний системы (20) граничные состояния (22).

Чтобы построить теперь решение терминальной задачи (19) для системы (18), воспользуемся теоремой 1. Задача Коши (10) для найденной функции и>2(у) принимает вид

1

у =

, у(0) = 0.

у3 + 2у2 + 2у + 2 Решение у = £ (г) этой задачи неявно задается равенством

12

1 £4 + 3 £3 + £2 + 2£ = *.

Из условия £(£*) = 1 находим, что = 47/12. Управления ^(г), "У2(£), являющиеся решением задачи (19) для системы (18), определяются выражениями

в1(<)=« • -2 (г)=« •

г е

0,47

. 12

а соотношения

Х1 = -2£(г) - 2, Х2 = -£2(г) - 2£(г) + 4 - (3£2(г) + 2£(г) - 2)3,

Х3 = £3(г) + £2 (г) - 2£(г) + 1 + (2£ (г) + 2)2, Х4 = 3£2 (г) + 2£(г) - 2, у = £ (г)

задают в пространстве состояний системы (18) ¿-параметрическую кривую, соединяющую граничные состояния (19).

Графики функций х1(г), х2(г), х3(г), х4(г), у(г), ^1(г), ^2(г) на отрезке [0,47/12] приведены на рис. 1-рис. 4.

Рис. 1. Графики функций х2(Ь)

0123401234

Рис. 2. Графики функций х3(£), х4(Ь)

Рис. 4. Графики функций г^), ю2 (£)

Заключение

Для аффинных систем с векторным управлением, не линеаризуемых обратной связью, предложен метод решения терминальных задач. Метод основан на орбитальной линеаризации системы, которая включает в себя выполнение замены независимой переменной и последующую линеаризацию обратной связью преобразованной системы. Предложенный метод использован для решения терминальной задачи для аффинной системы пятого порядка с двумя управлениями, которая не линеаризуется обратной связью ни на каком открытом подмножестве пространства состояний, но тем не менее допускает орбитальную линеаризацию.

Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (грант 14-07-00813) и Министерства образования и науки РФ (проект № 1711 государственного задания РФ).

Список литературы

1. Jakubczyk B., Respondek W. On linearization of control systems // Bull. Acad. Polon. Sci. Ser. Sci. Math. 1980. Vol. 28. P. 517-522.

2. Краснощеченко В.И., Крищенко А.П. Нелинейные системы: геометрические методы анализа и синтеза. М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2005. 520 c.

3. Li S.-J., Respondek W. Orbital feedback linearization for multi-input control systems // Int. J. of Robust and Nonlinear Control. 2015. Vol. 25, no. 9. P. 1352-1378. DOI: 10.1002/rnc.3147

4. Guay M. An algorithm for orbital feedback linearization of single-input control affine systems // Systems & Control Letters. 1999. Vol.38, no.4-5. P. 271-281. DOI: 10.1016/ S0167-6911(99)00074-2

5. Sampei M., Furuta K. On time scaling for nonlinear systems: Application to linearization // IEEE Transactions on Automatic Control. 1986. Vol.31, no. 5. P. 459-462. DOI: 10.1109/TAC.1986.1104290

6. Крищенко А.П. Орбитальная линеаризация аффинных систем // Доклады Академии наук. 2013. Т. 453, №6. С. 620-623.

7. Saito A., Sekiguchi K., Sampei M. Exact linearization by time scale transformation based on relative degree structure of single-input nonlinear systems // IEEE Conference on Decision and Control. Atlanta, USA. 2010. P. 5408-5413. DOI: 10.1109/CDC.2010.5717669

8. Respondek W. Orbital feedback linearization of single-input nonlinear control system // Proceedings of IF AC NOLCOS'98. Enschede, The Netherlands, 1998. P. 499-504.

9. Елкин В.И. Редукция нелинейных управляемых систем: дифференциально-геометрический подход. М.: Наука, 1997. 320 c.

10. Крищенко А.П., Фетисов Д.А. Терминальная задача для многомерных аффинных систем // Доклады Академии наук. 2013. Т. 452, №2. С. 144-149.

11. Крищенко А.П., Фетисов Д.А. Задача терминального управления для аффинных систем // Дифференциальные уравнения. 2013. Т. 49, № 11. С. 1410-1420.

12. Фетисов Д.А. Решение терминальных задач для аффинных систем квазиканонического вида на основе орбитальной линеаризации // Дифференциальные уравнения. 2014. Т. 50, № 12. С. 1660-1668.

13. Крищенко А.П. Преобразование многомерных аффинных управляемых динамических систем // Управляемые нелинейные системы: сб. статей. М.: ВНИИ Системных Исследований, 1991. №2. С. 5-14.

Mathematics i Mathematical Modelling

Electronic journal of the Bauman MSTU

Mathematics and Mathematical Modelling of the Bauman MSTU, 2015, no. 6, pp. 17-31.

DOI: 10.7463/mathm.0615.0828643

Received: 25.11.2015

© Bauman Moscow State Technical University

http://mathmjournal.ru

An Orbital Feedback Linearization Approach

to Solving Terminal Problems

for Affine Systems with Vector Control

"1 ^

Fetisov D. A.1'

dfetisov@yandex.ru 1 Bauman Moscow State Technical University, Russia

Keywords: affine system, terminal problem, orbital linearization

State-feedback linearization is widely used to solve various problems of the control theory. An affine system is said to be state-feedback linearizable if there are a smooth change of variables in the space of states and an invertible change of controls, which transform the system to the system of a regular canonical form. However if a system is not state-feedback linearizable it yet can be orbitally feedback linearized, i.e. the system can be transformed to a regular canonical form after a change of the independent variable.

The article solves the following terminal problem for multi-dimensional stationary affine systems: for given two states, find controls and a time T such that the corresponding trajectory of the system joins these states for the time T. We make an integrable change of the independent variable depending on controls. As a result, we obtain a non-stationary affine system, its dimension being one less than dimension of the original system. The new terminal problem with the restriction on controls is formulated for the transformed system. We prove the relation between solutions of the original terminal problem and solutions of the terminal problem for the transformed system. It is shown that to solve the original terminal problem it is sufficient to solve terminal problem for the transformed system. Then, we check whether the transformed system can be state-feedback linearized. For this purpose, we check the necessary and sufficient conditions of state-feedback linearization for non-stationary affine systems. If the conditions are met then we transform the system to a regular canonical form for which the concept of inverse dynamics problems can be used to solve terminal problems. However, due to the restriction on controls an additional check is necessary whether the found controls meet the restriction.

An example of the terminal problem for the five-dimensional affine system with two controls is given. We prove that the system in question is not state-feedback linearizable on any open subset of the state space. However, the system can be transformed to a regular canonical form after the change of the independent variable depending on controls. The proposed method allows us to solve the terminal problem.

References

1. Jakubczyk B., Respondek W. On linearization of control systems. Bull. Acad. Polon. Sci. Ser. Sci. Math., 1980, vol. 28, pp. 517-522.

2. Krasnoshchechenko V.I., Krishchenko A.P. Nelinejnye sistemy: geometricheskie metody analiza i sinteza [Nonlinear systems: geometrical methods of analysis and synthesis]. Moscow, Bauman MSTU publ., 2005, 520 p. (in Russian).

3. Li S.-J., Respondek W. Orbital feedback linearization for multi-input control systems. Int. J. of Robust and Nonlinear Control, 2015, vol. 25, no. 9, pp. 1352-1378. DOI: 10.1002/rnc.3147

4. Guay M. An algorithm for orbital feedback linearization of single-input control affine systems. Systems & Control Letters, 1999, vol.38, no.4-5, pp. 271-281. DOI: 10.1016/ S0167-6911(99)00074-2

5. Sampei M., Furuta K. On time scaling for nonlinear systems: Application to linearization. IEEE Transactions on Automatic Control. 1986. Vol.31, no. 5. P. 459-462. DOI: 10.1109/TAC.1986.1104290

6. Krishchenko A.P. Orbital linearization of affine systems. Doklady Akademii nauk, 2013, vol. 453, no. 6, pp. 620-623. (English version of journal: Doklady Mathematics, 2013, vol. 88, iss. 3, pp. 762-765. DOI: 10.1134/S1064562413060367).

7. Saito A., Sekiguchi K., Sampei M. Exact linearization by time scale transformation based on relative degree structure of single-input nonlinear systems. IEEE Conference on Decision and Control. Atlanta, USA, 2010, pp. 5408-5413. DOI: 10.1109/CDC.2010.5717669

8. Respondek W. Orbital feedback linearization of single-input nonlinear control system. Proceedings of IFAC NOLCOS'98. Enschede, The Netherlands, 1998, pp. 499-504.

9. Elkin V.I. Reduktsijanelinejnyh upravljaemyh sistem: differentsial'no-geometricheskijpodhod [Reduction of nonlinear control systems: differential geometric approach]. Moscow, Nauka publ., 1997. 320 p. (in Russian).

10. Krishchenko A.P., Fetisov D.A. Terminal problem for multidimensional affine systems. Doklady Akademii nauk, 2013, vol. 452, no. 2, pp. 144-149. (English version of journal: Doklady Mathematics, vol. 88, iss. 2, pp. 608-612. DOI: 10.1134/S1064562413050098).

11. Krishchenko A.P., Fetisov D.A. Terminal control problem for affine systems. Differentsial'nye uravnenija, 2013, vol.49, no. 11, pp. 1410-1420. (English version of journal: Differential Equations, vol. 49, iss. 11, pp. 1378-1388. 10.1134/S0012266113110062).

12. Fetisov D.A. Solution of terminal problems for affine systems in quasicanonical form on the basis of orbital linearization. Differentsial'nye uravnenija, 2014, vol.50, no. 12, pp. 16601668. (English version of journal: Differential Equations, vol. 50, iss. 12, pp. 1664-1672. DOI: 10.1134/S0012266114120106).

13. Krishchenko A.P. Transformation of multidimensional affine controlled systems. Upravlyae-mye nelineynye sistemy: sb. statey [Controlled non-linear systems: collect. articles]. Moscow, Research Institute of Systems Research, 1991, no. 2, pp. 5-14. (in Russian)