CC BY
24
2.2. РЕШЕНИЕ ОБРАТНОЙ ЗАДАЧИ ДИФРАКЦИИ В УСЛОВИЯХ ОСТРОЙ ФОКУСИРОВКИ НА ОСНОВЕ ИТЕРАЦИОННОГО АЛГОРИТМА
Фидирко Никита Сергеевич, аспирант. Самарский национальный исследовательский университет имени академика С.П. Королёва, Самара, Россия; e-mail: xfocuse@gmail.com
Волотовский Сергей Геннадьевич, ведущий программист. Институт систем обработки изображения РАН - филиал Федерального государственного учреждения «Федеральный научно-исследовательский центр «Кристаллография и фотоника» Российской академии наук»; инженер НОЦ-403, Самарский национальный исследовательский университет имени академика С.П. Королёва, Самара, Россия; e-mail: sv@smr.ru
Аннотация: В данной работе рассматривается итерационный подход к решению обратной задачи дифракции в условиях острой фокусировки. Показано, что с его использованием можно получить комплексное распределение на входе фокусирующей системы, обеспечивающее формирование в фокальной плоскости определенного наперед заданного распределения интенсивности. В результате итерационного расчета было получено комплексное распределение поперечных компонентов входного поля, обеспечивающее фокусировку в световое пятно меньше дифракционного предела.
Ключевые слова: острая фокусировка, итерационный алгоритм, дифракционный предел.
2.2. ITERATIVE APPROACH TO SOLVE THE INVERSE DIFFRACTION PROBLEM UNDER SHARP FOCUSING CONDITIONS
Fidirko Nikita Sergeevich., postgraduate student. Russia Samara National Research University, Samara, Russia, e-mail: xfocuse@gmail.com
Volotovskiy Sergey Gennadyevich., lead developer. IPSI RAS - Branch of the FSRC «Crystallography and Photonics» RAS; engineer at NEC - 403; Russia Samara National Research University, Samara, Russia, e-mail: sv@smr.ru
Abstract: In this paper, we consider an iterative approach to solve the inverse diffraction problem under sharp focusing conditions. It is shown that using this approach we can obtain a complex distribution in the entrance of the focusing system that creates desired intensity distribution in the focal area. As a result of the iteration process we obtained a complex distribution of transverse components of the initial field that is focused in a light spot smaller than the diffraction limit.
Index terms: sharp focusing, iterative algorithm, diffraction limit.
ВВЕДЕНИЕ
В связи с уменьшением размеров оптических устройств большое внимание в последнее время уделяется описанию непараксиального распространения световых полей и разработке алгоритмов моделирования такого распространения [17]. При этом особое внимание уделяется разработке быстрых алгоритмов расчета, в том числе, с целью организации итерационного процесса расчета. Итерационный подход часто используется для оптимизации известных приближенных решений, а также для поиска локальных решений обратной задачи дифракции [8-15]. Заметим, что для задач, учитывающих непараксиальный характер распространения световых полей и их векторный характер, реализация итерационных алгоритмов существенно усложняется [16-22].
Для повышения разрешающей способности, а также управления распределением электромагнитного поля в фокальной области, фокусирующую систему можно дополнить аподизи-рующим оптическим элементом. Наиболее разнообразные возможности в амплитудной и фазовой аподизации обеспечивают дифракционные оптические элементы (ДОЭ) [14, 23].
Применение ДОЭ в острофокусирующих системах позволяет решать разнообразные задачи: улучшение разрешения как в поперечном [24-27], так и продольном [28-31] направлениях, выполнять поляризационные преобразования [32-36], формировать в фокальной области заданные распределения интенсивности [20, 37-39].
В данной работе рассмотрен итерационный подход к решению обратной задачи дифракции в условиях острой фокусировки. Предлагаемый в работе расчет пропускающей (аподи-зирующей) функции во входной плоскости фокусирующей системы позволяет выполнять оптимизацию как амплитудно-фазового распределения, так поляризационных составляющих электромагнитного поля.
1. Алгоритм итерационного расчета Предлагаемый алгоритм итерационного расчета основан на интегральном представлении острой фокусировки Ричардса-Вулфа [40]. Ниже приведены основные шаги на каждой итерации.
На первой итерации векторное поле на входе фокусирующей системы задается (в том числе случайно) для каждого компонента электрической составляющей светового поля в виде:
g(1) (е, ф) =
' (е Ф) ) (е Ф) ) (е Ф)
л
= G™ (е,ф)ex + G™ (е,ф)ey + G™ (е,ф)e
(1)
где (6, ф) - сферические угловые координаты на входе фоку-
сирующей системы, Gxyl (6,ф компоненты векторного поля.
■ соответствующие скалярные
Фидирко Н. С., Волотовский С. Г.
Также поле (1) может быть представлено в цилиндрической системе компонентов:
'Gr (0,ф Г 'Gx (0,ф ) cos ф + Gy (0,ф)sinф^
G (0, ф) = G(0,ф ) = Gx (0,ф ) sin ф -Gy(0,ф)cosф (2)
чGz (0,ф )> V Gz (0,ф) ,
Как правило, на входе фокусирующей системы г-компонента полагается равной нулю.
Шаг 1. Вычисление поля в плоскости фокуса (прямое интегральное преобразование).
Векторное поле в плоскости фокуса вычисляется с помощью интеграла [40]:
( Р (г), л
Ех (р, ф)
E( p)(P, Ф) =
= - f JJS(0, ф)С( p)(0, ф
(3)
К (р, ф) E'> (р, ф)
v /
х exp {г^р sin б cos^ - ф)} sin б d б d ф
где (р,ф) - полярные координаты в фокальной плоскости, S(6,ф) - матрица поляризационного преобразования для декартовых компонентов:
" (4)
s(0, ф) = T (0)
1 + cos2 ф(cos 0-1) sinфcosф(cos 0-1) cosфsin0 sinфcosф(cos 0-1) 1 + sin2 ф(cos 0-1) sinфsin0 — sin 0 cos ф - sin 0 sin ф cos 0
где t(0) - функция зрачка, связанная с геометрией фокусирующей системы (для апланатической системы T(0) = Vcos0 ), а = arcsin(NA¡n) , NA - числовая апертура, n - показатель
преломления среды, k = 2л / X - волновое число, X - длина волны излучения, f - фокусное расстояние.
Цилиндрические компоненты поля (3) можно вычислить аналогично (2).
Шаг 2. Наложение условий в плоскости фокуса.
На этом шаге производится наложение заданных условий или замена полученных компонент на желаемые:
Р)(р, ф) = Qo [e( р)(р, ф)] (5)
где Qo [□] - набор условий, касающихся как амплитудно-
фазового, так поляризационного распределения. В частности, можно наложить условие обнуления определенных компонентов или их максимизации, что будет соответствовать поляризационным преобразованиям. Можно наложить условие концентрации интенсивности в некоторой заданной области, в том числе с целью преодоления дифракционного предела.
Шаг 3. Вычисление поля на входе (обратное интегральное преобразование).
Для получения входного поля, соответствующего заданным в фокусе условиям, выполняется обратное интегральное преобразование. Чтобы соблюсти аналогию с (3), производится дополнительное преобразование полярных координат в фокальной плоскости в сферические:
G(p >(б, ф) = - j- JJS (т, ф)Е(р > (т, ф)х (6)
х exp {ik sin т sin б cos^ - ф)} sin т d т d ф
где Q.¡ [□] - набор условий, накладываемых на входное поле.
После этого происходит переход к шагу 1.
Остановка итерационного процесса происходит после выполнения заданного количества итераций. Причем векторные распределения полей на входе и выходе фокусирующей системы сохраняются на каждой итерации.
2. Результаты итерационного расчета.
В данном разделе приведены результаты итерационного вычисления входного поля, позволяющего получить в фокусе оптической системы с высокой числовой апертурой NA=0,99 светового пятна меньше дифракционного предела, размер которого по уровню полуспада от максимума интенсивности (full width at half maximum, FWHM) равен 0,5X.
В расчетах условия на входе q [□] включали в себя только
присутствие поперечных компонентов, а условия в фокальной плоскости Qo [□] содержали максимизацию продольной компоненты и концентрацию интенсивности внутри круга радиусом X.
В качестве начального распределения были выбраны фазовые вихревые функции первого порядка (6,ф) = ехр('ф) с равномерным амплитудным распределением.
Как видно из приведенных в Табл. 1 результатов, в ходе итераций происходит преобразование как фазового, так и амплитудного распределения входного поля. Причем это преобразование происходит не плавно, а скачками, что и потребовало сохранения всех промежуточных итерационных результатов.
Наиболее компактное фокальное пятно было получено на 9-ой итерации. А именно, размер центрального фокального пятна для z-компонента FWHMz = 0,277X, что существенно меньше дифракционного предела. Однако такое уменьшение размера центрального пятна произошло ценой перераспределения части энергии в периферийные кольца. Такая ситуация является обычной при попытках преодолеть дифракционный предел в области распространяющихся волн [21, 22]. Однако в результате влияния поперечных компонентов для полной интенсивности центральное пятно получилось немного большим -FWHM = 0,284X. Вид входного поля на последней итерации по фазовому распределению соответствует радиальной поляризации, а по амплитуде напоминает моду Лагерра-Гаусса первого порядка. Именно такие распределения предлагалось использовать для уменьшения размера фокального пятна в некоторых работах [41-43]. В данном случае оптимальная конфигурация была получена автоматически в результате итерационного процесса.
Используя описанный выше итерационный процесс можно получить входное поле, генерирующее наперед заданное распределение в фокальной области.
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
Было показано, что используя итерационный подход к решению обратной задачи дифракции в условиях острой фокусировки, можно получить желаемые наперед заданные распределения произвольной формы. В частности, были получены распределения с размером центрального фокального пятна для z-компонента FWHMz = 0,277X. Это существенно меньше дифракционного предела. При этом размер центрального пятна для полной интенсивности составил FWHM = 0,284X..
Табл. 1.
Результаты при концентрации энергии в круге радиусом X.
Благодарности
Работа выполнена при финансовой поддержке Министерства образования и науки Российской Федерации, а также Российского фонда фундаментальных исследований (грант 16-07-00825).
Список литературы:
1. K. Duan, B. Lu, A comparison of the vectorial nonparaxial approach with Fresnel and Fraunhofer approximations // Optik. - 2004. - Vol. 115, No. 5. -P. 218-222.
2. X. Wang, Z. Fan and T. Tang, Numerical calculation of a converging vector electromagnetic wave diffracted by an aperture by using Borgnis potentials. I. General theory // J. Opt. Soc. Am. A. - 2006. - Vol. 23, No. 4. - P. 872877.
3. Балалаев С.А., Хонина С.Н., Реализация быстрого алгоритма преобразования Кирхгофа на примере бесселевых пучков // Компьютерная оптика. - 2006. - Т. 30. - С. 69-73.
4. F. Shen and A. Wang, Fast-Fourier-transform based numerical integration method for the Rayleigh-Sommerfeld diffraction formula // Applied Optics. - 2006. - Vol. 45, No. 6. - P. 1102-1110.
5. K. Matsushima, T. Shimobaba, Band-Limited Angular Spectrum Method for Numerical Simulation of Free-Space Propagation in Far and Near Fields // Optics Express. - 2009. - Vol. 17, No. 22. - P. 19662-19673.
6. Хонина С.Н., Устинов А.В., Ковалев А.А., Волотовский С.Г., Распространение радиально-ограниченных вихревых пучков в ближней зоне: I. Алгоритмы расчёта // Компьютерная оптика. - 2010. - Т. 34, № 3. - С. 317-332.
7. Хонина С.Н., Волотовский С.Г., Минимизация светового и теневого фокального пятна с контролируемым ростом боковых лепестков в фокусирующих системах с высокой числовой апертурой // Компьютерная оптика. - 2011. - Т. 35, № 4. - С. 438-451.
8. R.W. Gerchberg, W.D. Saxton, A practical algorithm for the determination of phase from image and diffraction plane pictures // Optik. - 1972. -Vol. 35. - P. 237-246
9. Fienup J.R., Phase retrieval algorithm: a comparison // Applied Optics. -1982. - Vol. 21, No. 15. - P. 2758-2769.
10. Khonina S.N., Kotlyar V.V., Soifer V.A., Fast Hankel transform for fo-cusator synthesis // Optik. - 1991. - Vol. 88, No. 4. - P. 182-184
11. M. Bernhardt, F. Wyrowski, and O. Bryngdahl, Iterative techniques to integrate different optical functions in a diffractive phase element // Appl. Opt. - 1991. - Vol. 30. - P. 4629—4635
12. G.-Z. Yang, B.-Y. Gu, X. Tan, M.-P. Chang, B.-Z. Dong, and O. K. Ersoy, Iterative optimization approach for the design of diffractive phase elements simultaneously implementing several optical functions // J. Opt. Soc. Am. A. - 1994. - Vol. 11, No. 6. - P. 1632-1640
13. Павельев В.С. и Хонина С.Н., Быстрый итерационный расчет фазовых формирователей мод Гаусса-Лагерра // Компьютерная оптика. -1997. - Т. 17. - С. 15-20
14. Методы компьютерной оптики / А.В. Волков, Д.Л. Головашкин, ЛД. Досколович, Н.Л. Казанский, В.В. Котляр, В.С. Павельев, Р.В. Скида-нов, В.А. Сойфер, В.С. Соловьев, Г.В. Успленьев, С.И. Харитонов, С.Н. Хонина // под ред. В.А. Сойфера, Учебное пособие, М.: Физматлит. -2000. - 688 с.
15. Мухаметгалеев И.В., Хонина С.Н., Итерационный алгоритм расчета изображений, обладающих бездифракционными свойствами, на основе выделения узкого спектрального кольца // Вестник Самарского государственного аэрокосмического университета им. академика С.П. Королёва. - 2010. - №4(24). - C. 238-246
16. W C. Chew, C. C. Lu, and Y. M. Wang, Efficient computation of three-dimensional scattering of vector electromagnetic waves // J. Opt. Soc. Am. A. - 1994. - Vol. 11, No. 4. - P. 1528-1537
17. D. Macias, A. Vial, and D. Barchiesi, Application of evolution strategies for the solution of an inverse problem in near-field optics // J. Opt. Soc. Am. A. - 2004. - Vol. 21, No. 8. - P. 1465-1471
18. V.V. Kotlyar and R.V. Skidanov, A.G. Nalimov, Method for rapidly calculating the diffraction of laser radiation at microscopic objects // J. Opt. Technol. - 2005. - Vol. 72, No. 5. - P. 400-405
19. D.P. Levadoux, Stable integral equations for the iterative solution of electromagnetic scattering problems // C. R. Physique. - 2006. - Vol. 7. - P. 518-532
Фидирко Н. С., Волотовский С. Г.
20. T.G. Jabbour and S. M. Kuebler, Vectorial beam shaping // Opt. Express. - 2008. - Vol. 16. - P. 7203-7213
21. Khonina S.N., Volotovskiy S.G., Minimizing the bright/shadow focal spot size with controlled side-lobe increase in high-numerical-aperture focusing systems // Advances in Optical Technologies (Hindawi Publishing Corporation). - 2013. - ID 267684, 13pages, http://dx.doi.org/10.1155/2013/267684
22. Богданова Е.Ю., Хонина С.Н., Непараксиальный итерационный расчёт дифракционных оптических элементов, фокусирующих в субволновое световое пятно // Вестник Самарского государственного аэрокосмического университета им. академика С.П. Королёва. - 2014. -№3(45). - C. 122-129
23. J. Turunen and F. Wyrowski, Diffractive Optics for Industrial and Commercial Applications // Wiley, Jena. - 1998.
24. D.M. de Juana, J.E. Oti, V.F. Canales, and M.P. Cagigal, Design of super-resolving continous phase filters // Opt. Lett. - 2003. - Vol. 28. - P. 607-609
25. S.F. Pereira and A.S. van de Nes, Superresolution by means of polarization, phase and amplitude pupil masks // Opt. Commun. - 2004. - Vol. 234.
- P.119-124
26. Khonina S.N., Kazanskiy N.L., Volotovsky S.G., Vortex phase transmission function as a factor to reduce the focal spot of high-aperture focusing system, Journal of Modern Optics. - 2011. - Vol. 58, No. 9. - P. 748-760
27. Khonina S.N., Simple phase optical elements for narrowing of a focal spot in high-numerical-aperture conditions // Optical Engineering. - 2013. -Vol. 52, No. 9. - P. 091711-7pp
28. C.M. Blanca and S.W. Hell, Axial superresolution with ultrahigh aperture lenses // Opt. Express. - 2002. - Vol. 10. - P. 893-898
29. T. G. Jabbour and S. M. Kuebler, Axial field shaping under high-numerical aperture focusing // Opt. Lett. - 2007. - Vol. 32. - P. 527-529
30. Khonina S.N. and Golub I., Engineering the smallest 3D symmetrical bright and dark focal spots // J. Opt. Soc. Am. A. - 2013. - Vol. 30, No. 10. -P. 2029-2033
31. Khonina S.N., Ustinov A.V., Volotovsky S.G., Shaping of spherical light intensity based on the interference of tightly focused beams with different polarizations // Optics & Laser Technology. - 2014. - V. 60. - P. 99-106
32. H. Wang, L. Shi, B. Lukyanchuk, C. Sheppard and C. T. Chong, Creation of a needle of longitudinally polarized light in vacuum using binary optics // Nature Photonics. - 2008. - Vol. 2. P. 501-505.
33. Карпеев С.В., Хонина С.Н., Оптическая схема для универсальной генерации и конверсии поляризационно-неоднородного лазерного излучения с использованием ДОЭ // Компьютерная оптика. - 2009. - Т. 33, № 3. - С. 261-267
34. Хонина С.Н., Волотовский С.Г., Управление вкладом компонент векторного электрического поля в фокусе высокоапретурной линзы с помощью бинарных фазовых структур // Компьютерная оптика. - 2010.
- Т. 34, № 1. - С. 58-68
35. Хонина С.Н., Савельев Д.А. Высокоапертурные бинарные аксико-ны для формирования продольной компоненты электрического поля на оптической оси при линейной и круговой поляризации освещающего пучка // Журнал Экспериментальной и Теоретической Физики. -2013. - Т. 144, вып. 4(10). - С. 718-726
36. Khonina, S.N. and Degtyarev, S.A., A Longitudinally polarized beam generated by a binary axicon // Journal of Russian Laser Research. - 2015. -Vol. 36, No. 2. - P. 151-161
37. W. Chen, Q. Zhan, Three-dimensional focus shaping with cylindrical vector beams // Optics Communications. - 2006. -Vol. 265. -P. 411-417.
38. Фидирко Н.С., Хонина С.Н., Формирование трехмерных распределений интенсивности при дифракции лазерного излучения на кольцевых апертурах в условиях острой фокусировки // Известия Самарского научного центра РАН. - 2014. - Т.16, № 6. - С. 19-25
39. Хонина С.Н., Устинов А.В., Анализ интерференции радиально-поляризованных лазерных пучков, сформированных кольцевыми оптическими элементами с вихревой фазой в условиях острой фокусировки // Компьютерная оптика. - 2015. - Т. 39, № 1. - С. 12-25
40. B. Richards and E. Wolf, Electromagnetic diffraction in optical systems II. Structure of the image field in an aplanatic system // Proc. Roy. Soc. A 253, 358-379 (1959).
41. Y. Kozawa and S. Sato, Sharper focal spot formed by higher-order radially polarized laser beams // J. Opt. Soc. Am. A. - 2007. - V. 24. - P. 17931798
42. Khonina S.N., Alferov S.V., Karpeev S.V., Strengthening the longitudinal component of the sharply focused electric field by means of higherorder laser beams // Optics Letters. - 2013. - Vol. 38, No. 17. - P. 32233226.
43. Savelyev D.A., Khonina S.N., Golub I., Tight focusing of higher orders Laguerre-Gaussian modes // AIP Conference Proceedings. - 2016. - Vol. 1724. - P. 020021-8p.
РЕЦЕНЗИЯ
на статью «РЕШЕНИЕ ОБРАТНОЙ ЗАДАЧИ ДИФРАКЦИИ В УСЛОВИЯХ ОСТРОЙ ФОКУСИРОВКИ НА ОСНОВЕ ИТЕРАЦИОННОГО АЛГОРИТМА»,
авторы: Фидирко Н.С., Болотовский С.Г. Острая фокусировка лазерных пучков является актуальной задачей в области оптического манипулирования микро- и нанообъектами, в литографии и микроскопии. Поэтому фокусировка различных типов лазерный пучков с помощью высоко-апертурной оптической системы рассматривается во многих работах, особенно недавних. При этом, как правило, рассматривается какой-нибудь конкретный тип пучка, а также конкретное поляризационное состояние и выполняется сравнение характеристик этого пучка в фокальной плоскости с ранее исследованными. Таким образом, тема статьи является актуальной.
В данной работе предложен алгоритм, позволяющий абстрагироваться от типа исходного пучка, получив его комплексное распределение в качестве решения обратной задачи. Итерационный характер алгоритма позволяет наложить несколько условий на распределение как в фокальной плоскости, так и на падающий пучок с целью получения компромиссного решения. Это определяет новизну представленной работы.
В статье также представлен пример расчета входного распределения для фокусировки в очень компактное пятно (меньше дифракционного предела). В этом примере автоматически, т.е. в результате итераций получился результат, ранее рассмотренный в других публикациях как аналитическое решение. Таким образом, подтверждена работоспособность предложенного алгоритма. В связи с чем я оцениваю научный уровень статьи как высокий.
Статья хорошо оформлена, имеет большой обзор современных публикаций, алгоритм ясно изложен и проиллюстрирован. Я рекомендую статью к публикации в журнале «Computational Nanotechnology».
Ведущий научный сотрудник ИСОИ РАН - филиал ФНИЦ «Кристаллография и фотоника» РАН д-р физ.-мат. наук
Карпеев С. В.
