Решение краевой задачи установившейся ползучести для неосесимметричной толстостенной трубы Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 539.376

Е.В. Башкинова

РЕШЕНИЕ КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ УСТАНОВИВШЕЙСЯ ПОЛЗУЧЕСТИ ДЛЯ НЕОСЕСИММЕТРИЧНОЙ ТОЛСТОСТЕННОЙ ТРУБЫ

Предложен способ построения аналитических решений краевых задач установившейся ползучести с возмущенными граничными условиями для толстостенной трубы методом малого параметра. Рассмотрен случай плоского деформированного состояния и приведена полная схема расчета полей напряжений и скоростей деформаций для неосесимметричной толстостенной трубы.

Задача построения аналитических решений краевых задач ползучести для толстостенных труб реализована лишь в ряде простых случаев установившейся ползучести для труб с постоянной толщиной стенки [1]. В действительности же трубы в результате неизбежных отклонений при изготовлении оказываются разностенными, вследствии чего задача построения аналитических решений существенно усложняется. Преимущества аналитических моделей очевидны и в первую очередь связаны с возможностью функционального анализа влияния внешних воздействий и свойств материала на напряженно-деформированное состояние, решения задач оптимизации, учета различного рода случайных факторов и т.п.

В настоящей работе рассматривается способ построения аналитических решений для краевых задач установившейся ползучести толстостенных труб с возмущенными граничными условиями методом малого параметра.

В качестве основных реологических соотношений используются квазилинейные уравнения установившейся ползучести [1], записанные в традиционной цилиндрической системе координат:

8 - 3 v(; )= 8 _ 3 у(с; L 8 _ 3 Чс,■)- Y _ 3vfe) т m

8 г _ ~ — r , 8 е _ ~ —е , 8 z _ ~ — z , Y re _ 3 т re , (1)

2 с; 2 с; 2 с,. с,,

где 8г,8е,8z,yге - скорости компонент деформаций ползучести; _сг — с5г - компоненты

____1 „

девиатора напряжений, с _ 3сkk; с, - интенсивность напряжений;

- _ [r - се )2 + [r — -z )2 + (се — -z )2 + 6тг2е ]; (2)

у(с;) - функция напряжений, для которой принимается степенная аппроксимация вида

Чс,)_ А(с,)n, (3)

где A,n - const.

Ограничимся в настоящей работе случаем плоскодеформированного состояния. Тогда полагая 8 z _ 0 и учитывая соотношения (3), для скоростей деформации получаем

33

8г _ 4 A<-1 (сr -се), 8е _ 4 A<-1 (се -сr ), Yге _ 3 АсП-1тre . (4)

Линеаризуем компоненты тензоров напряжений и скоростей деформаций по малому параметру 5, ограничиваясь разложением 2-го порядка:

с и _< +к, +5 2 с;;, 8. _8 о. +58+5 2 8 ;. (5)

Для случая плоской деформации в полярной системе координат за начальное состояние принимается случай осевой симметрии, для которого т°е _ 0 .Если ввести в рассмотрение

функцию

( 3 ^n-1

K (r )_ 3 А

V3 I о со

----- с — с г,

2 1 r е

V У

(6)

то для первого приближения системы (4) с учетом (5) и (6) соответственно получаем

8' = 4К (г )п( -<), 8 е = 4К (г )п( -< ), У Ге = К (г )<е • (7)

В дальнейшем будем использовать условия несжимаемости материала:

¿r +se - O,

dú' + 1 dv' + ú' o dr r 5Є r ’

(8)

где (и,у) - вектор скорости перемещения.

По аналогии с [2] введем функцию к = к(г,е), такую, что соотношения

---LOk •' = .di

r Se ’ dr

(9)

и (8) удовлетворяется тождественно. Из (8) и (9) будем иметь

dú'

dr

_L дк-1 d2 i

r2 Se r dr de

1 f1 dú' d v ' v'

\

r de dr r

(10)

Подставив соотношения (10) в (7), получаем

1

2 K

d2 к 1 дк 1 д2 к

dr2

—cQ —

nK

r dr r2 de2

_L di—1 d2 к

r2 de r drde

(11)

Подставляя (11) в уравнения равновесия

de r 1 dx re

- + —

■ + -

dr r de

1 da e dx Гє

r de

+

dr

+

r 2t '

re

— 0;

— 0,

r

(12)

получаем

da'e

de

1

d_

dr ^ 2K (r)

da r

d2 к — ак — 1 э^к

dr2 dr r de2

2K (r )

d 3к 1 d3 к d2 к — 15к

dr3 r drde2 dr2 r dr

1

dr 2rK (r )

f d3 к

1 d3к^ d2к n + 8 8 1 дк

+ —5--------------------+-7—

drde nr n r de

vdr2de r2 de3,

(13)

Решение для функции к( ,0) ищется в виде

к(г,е)= гД(г )ф(0). (14)

Подставляя (14) в соотношения (13) и второе соотношение (11), найдем и приравняем смешан-

ные производные по

d2

от функций с ' ,с'е ,сГ - с Q . В результате получается дифференци-

drde

альное уравнение четвертого порядка в частных производных вида

1

4 ф R

2K(r) de4 r R d

+

1

K (r )

R n — 4

—2 +------

r n

2 и ''Л

1 dR + R

r dr dr2

+ -

//

dr

1

+ -

2 dr2

1 Ї d2ф Г 1 (

K (r )J de2 — [_ 2K (r X

1 d f 1 Y R dR n d2R „ 2 d3Rл

----+------+ 7r------- + 2r —-

r dr dr2 dr3

+---------

2 dr

K (r ).

R r2 + -

R

- +

K(r)J^ 2r dr n dr2

+

1dR d2R „ d3R 2d4RЛ

-----+ 5---- + 6r-- + r2—-

r dr dr2 dr3 dr4

+

1 d

2 (

2 dr2

1

Y R dR

— R + r------------+ r 2

dr dr

ф — 0. (15)

Из физических соображений очевидно, что ф(е)(0 < Q < 2п) является периодической функцией с максимальным периодом 2п . Поэтому положим

ф(е) = sin mQ (m = 1,2,...). (16)

В частности, для задачи об установившейся ползучести толстостенной трубы с несоосными центрами внутреннего и внешнего поперечного сечений можно положить m=1. Очевидно также, что функция K (г) является степенной функцией от радиуса и представима в виде:

K(r) = Lrs, (17)

re

4

1

где параметры Ь и 5 будут определены ниже.

Подставляя (16) и (17) в соотношение (15), получаем основное дифференциальное уравнение для функции Я (г) вида

R

4 ((- 2)+1 dR f 2 - 81(1 -,)+£* f 2 - 8

r r dr i n J dr I n

+

d R i 2 r ы R \ 2

+-----— (- 5 + 6s - 5)+ ~'0" '■

d3R ( 6) 2 d4R

r(2s - 6) - r

dr

4

R

r2

= 0.

(s2 - l)-1—(s2 - l)

r dr

(18)

dr2 v ' dr3

Частное решение для функции R(r) ищется в виде

R(r) = r ц (ц = const). (19)

Подстановка (19) в (18) дает уравнение четвертого порядка относительно ц . В рассматриваемом случае при m=1 оно имеет вид

(

ц

ц3 - 4| 1 - Пц2 + 4f-^— - - + 11ц +16 f1 -1

n n

\

= 0 .

(20)

Решение полученного алгебраического уравнения относительно ц не составляет труда [3]:

- s ±.

ц1 = 0. ц 2 =-s , ц 3,4 =■

s2 +

32

2

- s 1 2 32 - s 1

— ±-л s2 +— = — ±-1.

2 2 V n 2 2

(21)

I 32

где ^ = Л 52 +------. Зная корни ц 1 ( = 1,2,3,4), можно построить общее решение для функции

V п

к(г ,е):

к = г 81п(е)]Г Стг ц = г 81п(е)(сп + ( г-5 + С,3 г <-5+')/2 + См г <-5-')/2). (22)

/=1

Из соотношений (9) получаем компоненты скорости перемещения (и', V'):

u ' = - 1 ^ = ~(С^ + ( r+ С13 r (-s+t)/2 + C,4 r (-s-t)/2 )cos(e);

r de

' = |cu +(- s +1) r -s +

- s + t

+1 |C13 r(-s+t )/2 +

-s-t

+1 |C,4 r

(-s-t)/2

2 J i 2

Подставляя (23) и (24) в (10), находим компоненты скоростей деформаций:

sin(e).

(23)

(24)

8r =

C r - ■ -1 +(±^ C13 r1 - •+' >'2-

dr

2

1 + (- s -1) 2

Cr

14

(-s-t) / 2-1

8 e = -| - sC12 r-*-1 + (±Ь) C13 r (-s+t)/2-

1 + ( s t) C r (-s-t)/2-1

s2C12r-*-1 + ( s +t)2 C13r(-s+t)/2-

1 +(- s -1)2 C r( 4 C14r

-1J cos(e); (25)

| cos(e); (26)

-1 sin (e), (27)

а из соотношения (11) определяем

<e = L 2

s2C12r-1 +( s +t)2 C13r(s+t)/2-

1 1 (s +t) c r is-t)/2-1

sin(e);

(28)

-1 , (- s +t),

( -С0)=--Ь| -5С12г-1 +С,3г(5+')/2-1 + Ц-^Сиг(5-')/2-110С8(е) . (29)

п ^ 2 2 )

Для нахождения компоненты напряжения а г используем первое из уравнений равновесия (12):

n

2

2

1

4

4

4

а' =-1

2 п

s 2 1 + — 5 |С,2 ----------+

г 1 +(- 5+0Г(- 5+і)-IV

-1

2 ^ 4

(5-і) / 2-1

„(5+і) / 2-1

+ (-3-і) Г (-3-і) - 4 "с _г------------

2 ^ 4 п) (з - і)/2 -1

(5 + і) / 2 -1 008(0)+к(б)-

Компонента а0 вычисляется через соотношение (29).

В качестве примера рассмотрим толстостенную трубу с несоосными центрами поперечных сечений под действием внутреннего давления (рис.1). Тогда граничные условия на поверхности трубы при г=а принимают вид

Т ге = 0, а г = ^ . (31)

Линеаризуя (31), получим,

<е= 0, аг = 0. (32)

Уравнение внешнего контура трубы

с учетом возмущения 5 имеет вид

(рис.1)

(х -5)2 + у2 = Ь2 (33)

или в полярной системе координат -

Из (34) найдем

(

Г = 5 008 0 + Ь

(г 008 0 - 5)2 + Г 2 (8ІП 0)2 = Ь2.

1 52 ^ 5 2

1---------- (іп 0)2 + ... = Ь + 5 008 0-----------------------(іп 0)2 +...

2 а 2Ь

(34)

(35)

На внешнем контуре граничные условия известны для нормального напряжения ау и касательного напряжения ху и имеют вид

Ту = 0, ау = 0. (36)

Записывая данные граничные условия через компоненты основной системы координат и линеаризуя их, получим следующие граничные условия на внешней поверхности трубы:

а' +-

ёг

0; „48-00^)=

(37)

Функция ^(0) в силу ее зависимости только от угла, представима в следующем виде:

к(0) = с * 008(0) . (38)

Поэтому четыре уравнения (31), (36) и (37) позволяют определить константы С12, С13, С14, С * .

В явном виде эта система уравнений принимает вид

С13а(5+і)/2 +і5+і)

2

Сма

(5-і)/ 2

4

(5-і)/ 2-1

= о;

+ (-5-0 г(-5-о _ 4 ъ _а------------

2 ^ 4 п) (5 - і) / 2 -1

- С * = 0;

+

0

Г

5/ 2 + -5' С

-1

-— 1С

и+Г)/ 2-1

(5 +1)/ 2 -1

+ 5 С12 +

( 5+^) с ь (s+t)/2

Ь

521 + 45 |С

4

Ь-

С14 Ь

(5-t) /2 _

Ф0 (Ь)-ае (Ь))

аЬ

(- 5 +1) ( (- 5 +1) 4

2 п ) -1 2 \ 4

(- 5 - ^((- 5 - t) 4 V Ь(5-t)/2-1

--|С

Ь

(5+)/ 2-1

2

4

---|С

(5 -1)/2 -1

п ) "' (5 + Г)/2 -1

йЬ°(ь)

- С =

ёг

При ее решении за начальные значения напряжений аг ,а е, т е берутся решения для осесимметричной задачи (толстостенной трубы с постоянной толщиной стенки) [1]:

а 0 =-

Ч

1-

2

ае =-

-|п -1

1 -и -11(-

(

а0 =■

- г-1

2 Л

1 -1 - 1 1 -

V

т0°= 0:

(40)

где ч - внутреннее давление; а и Ь - внутренний и наружный радиусы трубы соответственно. Отсюда можно определить коэффициенты Ь и 5 для функции К (г) в явном виде:

Ь=3 А' (2

Ч

2(п-1)

-Ь

-1 -1

5 = -

2(п -1)

В качестве примера были получены первые приближения для трубы с параметрами а=11,5см; Ь=15см; п=5,3; А=3 • 10-660-п; ч=22,07МПа. Рассмотрены изменение напряжения в зависимости от радиуса г, давления 4, малого параметра 5 и различных значения угла е.

а

Ь

+

п

+

+

+

п

Ь

п

Ч

п

2

п \ г

г

а

а

Ч

п

2

а

п—1

и

2

п

а

Р и с. 2. Изменение окружной компоненты напря- Р и с. 3. Изменение окружной компоненты напря-

жения ае = а° +5ае при 5=0,05-:

жения ае = а° + 5ае при 5=0,05-:

1-е = 00; 3-е = 1800; 2,4-а = ст°,° = 00,180

1-е = 45°; 2-о° = ст°,° = 45

1 4 1

5

5

5 ' ■ *.. -. ■. .. -+..

'11 11,5 12 12 ,5 1 3 13 ,5 1 4 14 ,5 1 ' ' * 5 16,5 г,"мм

-0,01

-0,03

-0,05

-0,07

Т г0

МПа

Р и с. 4. Изменение окружной компоненты напря - Р и с. 5. Изменение касательной компоненты на-жения сте = ст д + 5стд при 5=0,016: пряжения т г6 при 5=0,016 и 9 = 90°

1-9 = 00; 3-9 = 180°; 2,4-сте =ст{)е9= 0°,1800

В качестве примера на рис. 2-5 представлены законы изменения напряжений сте и те с учетом первого приближения. Анализ данных позволил установить, что максимальное расхождение между решением краевой задачи для несоосной толстостенной трубы и решением краевой задачи [1] для симметричной толстостенной трубы для сте при 5=10% составляет не более 8%. Модельные вычисления были выполнены при следующих параметрах: внутренний радиус а=11,5см.; внешний радиус 6=15 см.; п =5,3 и 10,96; Л=1,12959Б-15 и 9,58Е-23; 5 = 5%,10%; внутреннее давление д=22,07, значения угла 9 принимаются равными 0о, 45о, 90о, 135о, 180о. Погрешность относительно невозмущенного состояния для сте приведена в табл.1 и 2.

Отношения

Т а б л и ц а 1 при и=5,3:

сте - сте + ^

Отношения

Т а б л и ц а 2 при и=10,96:

сте - сте + 5стЄ

X 0о 180о 90о о 5 4 135о

0,05 0,06 0,06 0 0,04 0,04

0,1 0,11 0,11 0 0,08 0,08

N1 0 180 90 45 135

0,05 0,03 0,03 0 0,02 0,02

0,1 0,06 0,06 0 0,04 0,04

а

е

0

ае _ае

ае - а

О

О

а

а

е

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. РаботновЮ.Н. Ползучесть элементов конструкций. М.: Наука, 1966. 752с.

2. Ивлев Д.Д., Ершов Л.В. Метод возмущений в теории упругопластического тела. М.: Наука, 1978. 208с.

3. КурошА.Г. Курс высшей алгебры. М.: Наука, 1975. 431с.