CC BY
48
I h2(nT) =
(Bo + 2)( BoN-2 -1)
(Bo2 -1)
(B -1)( BN-2 -1)
(Bf -1)
(11)
II\h](nT)] = 5^h2 (nT).
]=1 n=o n=o
Если А = А o, то выражение (9) упрощается:
А2
(Bo+2)( BoN -2 -1)
(B2 -1)
(B - 1)(BN-2 -1) (B2 -1)
Подставляя значения полюсов В0 и В1 в уравнение (12), при N > 1000 окончательно получим
А2 (5 + 4C + 3^1 + 8C) 2 (б + 5C)2
Величина собственного шума цифрового компенсатора первого порядка, мкВт, вычисленная в соответствии с выражением (6), при С = 0,5
2 А2 4
(15)
Для простоты выкладок при вычислении второго слагаемого выражения (9) будем полагать, что все импульсные реакции от у-го источника шума до выхода равны между собой и определяются величиной И(пТ). Тогда второе слагаемое выражения (9), с учетом неравенства Коши-Буняковского, будет
2 0,75
Для цифрового компенсатора второго порядка величина собственного шума, мкВт, будет
с2 < А2 6(5 + 2 + З\/5)
2 _ 2 З,52
Итак, мы видим, что о2 > о[. Полученный результат показывает, что ЦФВЧ-2 является более сложным.
(12)
(13)
(14)
Таким образом, найдено аналитическое выражение, позволяющее рассчитать величину собственного шума ОКМ-2. Это выражение показывает, что при использовании нелинейного относительного метода коррекции целесообразно применять компенсатор первого порядка.
Библиографический список
1. Малинкин, В. Б. Синтез относительного метода коррекции и анализ его характеристик / В. Б. Малинкин, А. А. Арен-даренко // АПЭП 2004. С. 122-124.
2. Петрович, Н. Т. Передача дискретной информации в каналах с фазовой манипуляцией / Н. Т. Петрович. М. : Сов. радио, 1965.
3. Малинкин, В. Б. Повышение помехоустойчивости модифицированных фильтров Калмана в относительных компенсационных методах : дис. ... д-ра техн. наук / В. Б. Малинкин. Омск, 2003.
V. B. Malinkin, D. N. Levin, S. S. Abramov, A. S. Guselnikov
MODIFIED KALMAN FILTERS IN TELECOMMUNICATION
n=o
X
2
X
The Organized analysis of the technical features of the relative method to correction first and the second order on base modified Kalman filter.
УДК 539.3
Н. В. Молокова
РЕШЕНИЕ ГЕОФИЛЬТРАЦИОННЫХ ЗАДАЧ СРЕДСТВАМИ МАТЕМАТИЧЕСКОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ
Рассматривается составление математической модели двухфазной фильтрации, учитывающей движение углеводородных загрязнителей и воздуха в грунте. Модель включает в себя систему уравнений в частных производных с дополнительными условиями. В число дифференциальных уравнений входит уравнение баланса массы в элементе пористой среды - уравнение неразрывности, а также дифференциальные уравнения движения. Для замыкания системы вводятся уравнения состояния рассматриваемого загрязнителя и среды. Начальные и граничные условия соответствуют фильтрационному процессу, начиная с поверхности грунта и начальной стадии разлива загрязнителя.
Хозяйственная деятельность человека, связанная с использованием нефти как основного источника энергии, привела к загрязнению окружающей среды. Как пра-
вило, жидкие углеводороды попадают в почву в результате утечек из трубопроводов, подземных хранилищ и других видов перерабатывающего и транспортного обору-
дования. Удержанные пористыми средами углеводороды представляют серьезную проблему для окружающей среды из-за их токсичности и потенциальной возможности служить длительно действующим источником загрязнения. Таким образом, возникает необходимость комплексно решать экологическую проблему определения уровня проникшей углеводородной жидкости в грунт и динамики ее впитывания [1].
Начиная с работ Дарси, механике пористых сред посвящено значительное число работ [2-7]. Изучение фильтрационных процессов в моделях пористых сред, наиболее адекватных к естественным условиям, является актуальным направлением, которое позволит прогнозировать формирование фронта загрязнения и давать оценку величины загрязненной зоны с целью предотвращения неприятных последствий хозяйствования [8; 9].
Одним из путей решения данной проблемы является применение математического моделирования, наиболее продуктивного в научных исследованиях, позволяющего получать достоверные результаты при относительно небольших временных и материальных затратах [10; 11].
В настоящее время сложилась вполне определенная технология решения геофильтрационных задач. Схематично этот технологический процесс выглядит следующим образом: от обследования изучаемого объекта моделирования - к его математической модели, далее, к численному алгоритму, программе, реализующей этот алгоритм на ЭВМ, к анализу полученных результатов и, наконец, к практическому использованию построенной модели.
Составление математической модели. Для описания двухфазного течения введем ряд основных понятий. Под геофильтрацией понимают движение жидкости в пористой среде. Пористыми материалами являются многие естественные и искусственные тела: ведро с песком, кусок хлеба, древесина, грунты, горные породы и т. д. Характерная особенность всех этих материалов - способность накапливать в себе жидкость и позволять ей двигаться под действием внешних факторов.
При построении математической модели загрязнения грунта при разливах углеводородов в целом используется очень большой объем информации об их свойствах и параметрах среды. Основными свойствами углеводородов являются вязкости м, плотности с. Перечисленные зависимости определяют в лабораторных условиях путем анализа проб жидкого загрязнителя. Пористая среда характеризуется двумя основными свойствами: пористостью т и проницаемостью k [3]. Пористость (эффективная) определяется соотношением
т=Уп /V,
фазовой проницаемости kl(s). Величина ее зависит не только от физических свойств пород, но также от степени насыщенности порового пространства жидкостями и газом. При исследовании возникает важный вопрос о том, какую часть пустот занимает каждая компонента. Насыщенность пористой среды определяется как относительная часть объема пустот среды, занятая этой фазой [12]. Отсюда, обозначая насыщенность через s получаем: s = V/V,
где V - объем среды, занятый данной компонентой; V - общий объем пустот среды.
Под скоростью фильтрации и понимают объем жидкости, протекающей в единицу времени через единичную площадку пористой среды, перпендикулярно направлению потока. Вектор скорости фильтрации направлен по нормали к той площадке, через которую происходит наибольший расход.
О к Ар
и = — = ——, р Ц 1
где и - скорость линейной фильтрации; 2 - объемный расход жидкости в единицу времени; ц - динамическая вязкость жидкости; Г - площадь фильтрации; Ар - внешний перепад давления; Ь - длина образца пористой среды.
Выше были рассмотрены основные свойства углеводородов, пористого пространства и динамические характеристики фильтрационных процессов. Эти важные понятия позволяют составить общие уравнения движения жидкостей в пористой среде.
Для формализации модели используем известные из нефтегазовой подземной гидромеханики законы и методы механики сплошной среды. Эти законы базируются на сохранении массы, момента и энергии. С учетом пористости закон сохранения массы в пористой среде или уравнение неразрывности в дивергентной форме и декартовой системе координат для однородной жидкости в недеформированном грунте имеет вид:
^ ............ (1)
т-------ЬсЛ'у(ри) = 0,
дг
где 5 - насыщенность пористои среды; т - пористость материала; р - плотность; и(их, и , и ) - вектор скорости фильтрации; их, и, иг- компоненты вектора фильтрации; х, у, г - координаты; г - время.
Закон сохранения (1) перепишем в виде:
д(р их ) + д(р иу ) + д (р ы2)
= 0.
(2)
где Уп - объем сообщающихся пор; V - общий объем пористой среды, таким образом, пористость величина безразмерная и изменяется в сравнительно узких пределах: 0,2...0,4. Другой макроскопической характеристикой грунта является проницаемость, характеризующая свойство грунта пропускать через себя жидкость. Проницаемость измеряется в единицах площади (м2). В процессе проникновения загрязнителей в грунт наблюдается многофазная фильтрация. Поэтому для характеристики проницаемости грунтов вводится понятие относительной
дх ду д2
Обобщение закона фильтрации (закон Дарси) для трехмерного течения имеет следующий вид:
. к (я)
=-к-
(3)
где k - проницаемость пористой среды; Ц - динамическая вязкость; р - давление; р - плотность; А:(^) - относительная проницаемость; g - вектор ускорения свободного падения.
Для описания многофазного течения используются законы Дарси в обобщенном виде:
иі =-к
к, (5)
<УРі~Рі8)
(4)
где k - проницаемость пористой среды; Ц - динамическая вязкость 1-й фазы; р1 - давление 1-й фазы; рг - плотность 1-й фазы; к^) - относительная фазовая проницаемость 1-й фазы; g - вектор ускорения свободного падения.
Процесс проникновения в почву слоя жидких углеводородов, разлитых на ее поверхности, исследуется на модельной задаче, описывающей двухфазное течение нефтегазовой смеси в пористой среде. Область, в которой протекает процесс фильтрации, имеет вид, показанный на рис. 1. Ввиду симметрии процесса, относительно вертикальной оси рассматривается только правая часть области.
д 5 Г д(р и ) д(р иу) д(р и )
т—+ х +-— + ^ 1
д і дх ду ді
д(1 -5) Гд(ри ) д(риу) д(ри )
т—------- + ^ х +-----— + ^ 1
д і дх ду ді
= 0,
,Л(5)/^ р Шл иі = - к--------(Ур-рі g ),
Мі
_к2(5)
ш
и2 = - к——(ур2 р2 g ) .
М2
(6а)
(66)
Начальные условия.
При г = 0: 5і = 52 , ^ = s0(x,у),р = р0 на Г1, (7)
^ = 0, р = р на Г.
7 Г Г атм 2
Начальное давлениер = //распределено по законам гидростатики. Изменением давления р2 можно пренебречь и принять его величину близкой к атмосферному давлению, так как плотность загрязнителя р1 значительно больше плотности воздуха р2.
Граничные условия.
На верхней границе рассматриваемой области граничное условие для я(х, у, г, г) и р(х, у, г, г) при г є (0, Т] имеет вид:
я = л0(х, у, г), р = ро (х, у, г) на Г1, (8)
Р = -Ратм, ~ = 0, п - вектор нормали к границе Г2. (9)
атм д п
На нижней границе рассматриваемой области граничное условие для я(х, у, г, і) ир(х, у, z, І) г є (0, Т] имеет вид:
у=1
=
д х
= ^ = 0 , (10)
=о д хх=1
-(^А-Р^ ) =0.
Рис. 1. Схема области исследуемого процесса:
Г1 - слой жидких углеводородов на поверхности;
Г2 - область, насыщенная воздухом;
Г3 - непроницаемая поверхность
Примем следующие допущения:
1) в качестве наиболее используемого и разработанного метода количественного описания фильтрационных процессов в подземной гидромеханике применяется макроскопический метод, в основе которого лежат гипотеза сплошности, законы и методы механики сплошной среды;
2) р = сош^ Ц = сош^ k = соnst, т = соnst;
3) боковые границы не влияют на процесс фильтрации;
4) сумма насыщенностей всегда равна единице
^ = 1, тогда для двухфазной фильтрации s1 + s2 = 1,
1=1
поэтому из двух насыщенностей независима только одна и вводится обозначение s = s1 - нефтенасыщенность, s2 = 1 - s;
5) при двухфазном течении несмешивающейся жидкости давления в каждой из фаз не равны между собой (р1 ф _р2),рс ^)= р2 -р, индексы 1, 2 относятся к загрязнителю и газу соответственно.
При этих предположениях для решения задачи двухфазного течения получим систему уравнений в частных производных с начальными и граничными условиями:
др _ др _ др
д _1 д у у_0 д у
кк1(з),
М1
Функция относительной фазовой проницаемости kl(s) отражает количественную потерю скорости фазы за счет того, что часть порового пространства занята другой фазой и является экспериментально измеряемой функцией насыщенности вытесняющей фазы. Проницаемость измеряется путем создания в образце одномерного потока и обработки результатов измерений при помощи соответствующей формы закона Дарси [12]. Типичный вид кривых зависимости относительных проницаемостей от насыщенности показан на рис. 2. Существуют предельные значения насыщенности вытесняющей фазы и*
такие, что при * < 5, и * > 5* соответствующие фазовые проницаемости k(s) обращаются в нуль. Из обобщенного закона Дарси тогда следует, что если 5 < 5,, то неподвижна вытесняющая фаза, если же 5 > 5*, то неподвижна вытесняемая фаза. При этом 5, называют остаточной нефтенасыщенностью, (1 - 5 ) - остаточной газонасы-щенностью. С точки зрения физичности процесса достижение предельных значений 5, и 5* соответствует нарушению сплошности соответствующей фазы. Когда s1 < 5,, первая фаза в суммарном течении присутствует лишь в виде отдельных островков, не связанных между собой. То же самое относится и ко второй фазе при s2 < (1 - 5*). При 5> 5* капиллярными эффектами можно пренебречь [12].
В задачах, представляющих практический интерес, часто удобно пользоваться эмпирическими формулами Викова-Ботсета или Чень-Чжун-Сяна [12-14]:
кі( 5) =
= 0, (5)
Ґ л3-5
5 - 5,
5. < 5 < 1
0 < 5 < 5,
(11)
k2(s) =
f , \3,5
s - s
(1 + 3s), О < s < s*
(12)
0, 5* < 5 < 1
Таким образом, математическая модель рассматриваемого процесса составлена (5-12).
Построенная модель, основанная на двухфазной фильтрации в физических переменных с учетом гравитационного влияния, позволяет определить:
-распределение скоростей фильтрации в грунте в любой момент времени;
- распределение давления в каждой из фаз р;
- насыщенности я.
Й(в)
Рис. 2. Типичный вид кривых зависимости относительных проницаемостей от насыщенности
Составленная модель фильтрации, в которой в качестве основного уравнения движения для каждой фазы используются обобщенные законы Дарси, кроме того, они включают законы сохранения массы и уравнения состояния, рекомендуется для решения практических задач, в том числе экологической направленности.
Библиографический список
1. Костерин, А. В. Моделирование загрязнения почв и грунтов органическими жидкостями / А. В. Костерин // Современные проблемы математического моделирования : тр. Всерос. школы-семинара. Ростов н/Д : РГУ 2001. С. 142-147.
2. Щелкачев, В. Н. Подземная гидравлика / В. Н. Щел-качев, Б. Б. Лапук. Ижевск : НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика». 2001.
3. Каневская, Р. Д. Математическое моделирование гидродинамических процессов разработки месторождений углеводородов / Р. Д. Каневская. М. ; Ижевск : Ин-т компьютерных исследований, 2002.
4. Азиз, X. Математическое моделирование пластовых систем / X. Азиз, Э. Сеттари. М. ; Ижевск : Ин-т компьютерных исследований. 2004.
5. Parker, J. C. Inverse modeling to estimate LNAPL plume release timing. / J. C. Parker, M. Islam // J. Contam. Hydrol. 2000. Vol. 45. P. 303-327.
6. Haggerrty, R. Modeling mass transfer processes in soil columns with pore-scale heterogeneity / R. Haggerrty, S. M. Gorelik // Soil Sci. Soc. Am. J. 1998. Vol. 62. P. 62-74.
7. Pruess, K. Alternative concepts and approaches for modeling flow and transport in thick unsaturated zones of fractured rocks / K Pruess, B Faybishenko, G. S. Bodvarsson // J. Contam. Hydrol. 1999. Vol. 38. P. 281-322.
8. Молокова, H. В. Математическая модель фильтрации загрязнения пористого грунта / H. В. Молокова // Вестн. Краснояр. гос. техн. ун-та. Красноярск, 2006. Вып. 23. Математические методы и моделирование / отв. ред. Б. С. Добронец. Красноярск : ИЦП КГТУ, 2006. С. 84-93.
9. Молокова, H. В. Математическое моделирование распространения загрязнения в пористой среде / H. В. Молокова // IV Всесибирский конгресс женщин-математиков (к дню рождения Софьи Ковалевской) = IV Siberian congress of women-mathematicians : материалы конф., 15-19 янв. 2006 г Красноярск, 2006. С. 130-138.
10. Ашихмин, В. H. Введение в математическое моделирование : учеб. пособие / В. H. Ашихмин и [др. ]; под ред. П. В. Трусова. М. : Интермет Инжиниринг, 2000.
11. Бахвалов, H. С. Численные методы задач математической физики / H. С. Бахвалов, Г. М. Кобельков, Ю. А. Кузнецов и др. // Современные проблемы вычислительной математики и математического моделирования. Т. 1. М. : Шука, 2005. С. 18-28.
12. Коновалов, А. H. Задачи фильтрации многофазной несжимаемой жидкости / А. H. Коновалов. М. : Шука, 1988.
13. Басниев, К. С. Подземная гидромеханика / К. С. Бас-ниев, И. H. Кочина, В. М. Максимов. М. : №дра, 1993.
14. Грищенко, А. И. Экология. №фть и газ / А. И. Грищенко, Г. С. Акопова, В. М. Максимов. М. : ВИИИЭГаз-пром, 1995.
N. V. Molokova
DECISION GEOFILTRATION TASKS MEANS MATHEMATICAL MODELING
It is covered a two-dimensional model of filtering, taking into account the movement of air and hydrocarbon pollutants into the porous soil. The model includes a system of partial differential equations with additional conditions. Among the differential equations are mass balance equation element in a porous medium - inseparability equation, and the differential equations of motion. For circuit system entered the equation of state before pollutant and the environment. Initial and boundary conditions correspond to the filtration process, beginning with the ground surface and initial stage of oil products ladling.
З4
