CC BY
104
ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ НАУКИ «ОМСКИЙ НАУЧНЫЙ ВЕСТНИК» № 1 (64)
%
ФИЗИКО-
МАТЕМАТИЧЕСКИЕ
НАУКИ
УДК 5198 Л. А. ЗАОЗЕРСКАЯ
А. А. КОЛОКОЛОВ
Омский филиал Института математики им. С. Л. Соболева СО РАН
Омский государственный технический университет
РЕШЕНИЕ ДВУХКРИТЕРИАЛЬНОЙ ЗАДАЧИ РАЗМЕЩЕНИЯ ЦЕНТРОВ ОБСЛУЖИВАНИЯ
Рассматривается задача оптимального размещения центров обслуживания. Представлена ее математическая модель в виде двухкритериальной задачи поиска доминирующего множества в графе. Анализируются свойства модели, предлагаются алгоритмы ее решения и приводятся результаты экспериментального исследования.
Введение
Задача оптимального размещения центров обслуживания (например, станций скорой помощи, предприятий сервиса и т.д.) может быть сформулирована как задача поиска доминирующего множества (ДМ) минимального веса в графе [1].
Данная задача представляет собой специальный случай задачи о наименьшем покрытии множества (ЗНП) [1]. Рассмотрим граф С=(У,Е) с множеством вершин У={у1,...,уп} и множеством ребер Е с {(у.,у.) | 1,]=1,...,п; 1Ф}}. Множество БсУ называется доминирующим, если для любого у.йБ существует вершина у.е Б такая, что (у, у.) е Е. Задача ДМ состоит
в поиске доминирующего множества минимальной мощности. Если каждой у. приписан положительный вес с., то получаем взвешенную задачу ДМ, в которой требуется найти доминирующее множество минимального суммарного веса.
В [2] нами была рассмотрена прикладная задача размещения центров телекоммуникаций (ТК) в регионе. Использование телекоммуникационных технологий играет важную роль в развитии экономики отдельных районов и закреплении в них населения. Для указанной задачи была предложена однокритериальная модель, представляющая собой некоторое обобщение задачи поиска оптимального доминиру-
ющего множества в графе, и на ее основе проведены расчеты для одного из архипелагов Эгейского моря.
В данной работе предлагается и анализируется новая модель оптимального размещения центров обслуживания в виде двухкритериальной задачи поиска доминирующего множества, в которой требуется минимизировать общую стоимость размещения центров и максимизировать уровень удовлетворения потребностей в услугах этих центров. Строится соответствующая модель целочисленного линейного программирования (ЦЛП), предлагаются алгоритмы ее решения и приводятся результаты экспериментальных исследований.
1. Постановка задачи
Пусть Р,...,Р — множество пунктов потребления услуг центров обслуживания, которые являются одновременно и пунктами возможного размещения этих центров. Обозначим через с. стоимость размещения центра в Р, а через и. — коэффициент эффективности такого размещения,7=1,..,л. Известны расстояния й.=й(Р/Р.) между пунктами Р., Р., 1,]=1,...,п, 1Ф} (например, в евклидовой метрике). Считаем, что задана верхняя граница & для расстояния, при котором возможно обслуживание каждого пункта хотя бы одним из центров. Необходимо разместить центры обслуживания, удовлетворив потребности всех пунктов, и при этом минимизировать общую стоимость создания центров и максимизировать их суммарную эффективность. Построим граф О=(У,Е) с множеством вершин У={Р1,...,Рп} и множеством ребер
Е с{(р,р) | I,] = 1,...,п; I Ф
причем ребро (Р ,,Р) содержится в Е , если d./<d. Пусть А — матрица смежности вершин графа О. Положим, а. = 1, 1=1,.,п. Тогда исходную задачу можно рассматривать как задачу поиска доминирующего множества в графе с двумя критериями. Введем булевы переменные:
1, если центр обслуживания размещается в пункте Р},
0, иначе,
где]=1,..,п. Функция эффективности в данной задаче имеет вид
fu (х) =Ёu
> max.
j=i
Заменим для этого критерия максимизацию на минимизацию и построим математическую модель в виде задачи ЦЛП
/i(x) = Zcjxj ^ min
j =1
при условиях
/2 (x) = -X ujxj ^ min j=1
Ea..x. > 1, i = 1,.., n,
4 1’
j=1
n
Ea..x. > 1, i = 1,..,n,
і1 i ’ ’ ’ ’
j=1
x. є Z, j = 1,..,n.
j
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
Далее будем предполагать, что с>0, и>0,]=1,..,п.
Отметим, что задача (1), (3) — (5) является моделью ЦЛП для взвешенной задачи о доминирующем множестве.
2. Анализ модели
Рассмотрим многокритериальную задачу дискретной оптимизации
F(х) = (fi(х),-, fm(х)) ^ min х е X,
где X — некоторое конечное множество из Rn и m>2.
Точка х е X называется Парето-оптимальным решением, если не существует х е X (х Ф х) такой, что
1) fk(х) > fk (х) , к=1,...,щ
2) fk (х) > fk (х) хотя бы для одного ke {1,..,m}.
Обозначим через X множество всех Парето-
оптимальных решений (ПМ), а через X0 — полное множество альтернатив (ПМА) (см., например, [4]). ПМА определяется как подмножество X0 с X минимальной мощности, такое, что F (X0 )= F (X), где
F (X ') = {F (х) | х е X'}, X 'с X.
Очевидно, что X0 с X с X.
Для многих задач дискретной оптимизации имеет место следующее свойство [4]: для любого множества X существуют такие значения параметров целевой вектор-функции F(x), что X0 = X = X .
Задача (1) — (5) обладает этим свойством. Например, легко видеть, что для целевых функций с коэффициентами c=u=2j'1, j=1,..,n любое допустимое решение является Парето-оптимальным. Мощность ПМА для случая произвольных c>0, j=1,...,n достигает 2n-1, а для случая c=1, j=1,..,n ее максимальное значение равно n.
В [3, 4] исследовались вопросы разрешимости многокритериальных дискретных задач с помощью алгоритма линейной свертки критериев (АЛС). Задача (1) — (5) относится к числу задач, неразрешимых с помощью АЛС. Примером задачи, для которой, используя АЛС, нельзя получить все элементы ПМ, является задача с целевыми функциями (1), (2) при n>3, c=2j-1, Uj=3j-1, j=1,..,n с ограничениями (4), (5) и
> 1. (6)
]=1
Для нее любая ненулевая булева точка x является Парето-оптимальным решением. Вместе с тем точка x'=(1,0,...,0,1) не может быть получена как оптимальное решение задачи минимизации функции
f % (х) = X (Xc] - (1 - X)u]) х]
]=1
при ограничениях (4), (6) для любого Хе[0,1].
Действительно, точка x' является оптимальным решением задачи, если коэффициенты функции fx удовлетворяют соотношениям: q1 = 2X -1 < 0,
q„ = X (2n-1 + 3n-1) - 3] -1 < 0,
qj = X(2]-1 + 3]-1) > 0, ] = 2,..., n -1.
Отсюда следует, что X<V2 и X >3/5, т.е. требуемого значения X не существует.
3. Методы решения задачи
Ввиду того, что получение всех элементов ПМ или ПМА для (1) — (5) может оказаться достаточно сложным, в качестве оптимальных решений часто используются лексикографические минимумы задачи [5, 6]. Для вектор-функции F(X)=(f1(x),...,fm(x)) Парето-оптимальное решение x‘ называется лексикографическим минимумом (ЛМ) задачи, если
F(x*)=lexmin {F(x) | x eX}.
Множество всех ЛМ задачи при различных порядках их компонент вектор-функции образуют лексикографическое множество. Для задачи (1) — (5) вектор-
«ОМСКИЙ НАУЧНЫЙ ВЕСТНИК» № 1 (64) ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ НАУКИ
ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ НАУКИ «ОМСКИЙ НАУЧНЫЙ ВЕСТНИК» № 1 (64)
функции Р(х)=^2, f¡) соответствует единственный ЛМ, а именно, решение (1,1,...,1). С практической точки зрения более интересным является ЛМ, отвечающий вектор-функции Р(х)=^, f). Рассмотрим способы его получения.
1) Алгоритм, линейной свертки критериев (АЛС) В этом случае от решения многокритериальной задачи переходят к однокритериальной задаче с целевой функцией, являющейся линейной сверткой критериев. Проблема нахождения ЛМ любой многокритериальной задачи с конечным множеством допустимых решений разрешима с помощью АЛС [5, 6]. Следуя [6], коэффициенты линейной свертки для задачи (1) — (5) можно определить таким образом:
X = а +1 , X2 = —, где а = X и] - [~0 ]+1 •
а + 2
а + 2
7=1
стоимость
Здесь и0 — оптимальное значение целевой функции задачи линейного программирования (ЛП):
n
Ей .x. ^ min
j j
j=i
при условиях (3), (4).
2) Метод последовательной оптимизации
При таком подходе от решения многокритериальной задачи переходят к решению последовательности однокритериальных задач. Учитывая особенности системы ограничений задачи, для поиска ЛМ задачи (1) — (5) методом последовательной оптимизации опишем модификацию гибридного алгоритма, предложенного для ЗНП [7]. Этот алгоритм базируется на алгоритме перебора L-классов и является конечным. Его основная идея состоит в просмотре элементов L-разбиения той части релаксационного множества задачи, для которой значение целевой функции не превосходит р—1. Здесь р — текущее значение рекорда целевой функции, которое изменяется, если найденный в процессе решения элемент разбиения является целочисленной точкой. Очередной элемент L-разбиения находится путем решения последовательности вспомогательных задач ЛП. Решение задачи (1) — (5) сводится к двум этапам.
Этап 1. Решается задача о покрытии (1), (3) — (5) гибридным алгоритмом из [6]. Обозначим через х‘ ее оптимальное решение. Положим,
с* = /i(x*), «* = Л(x*)-
Этап 2. Требуется решить задачу
n
L(x) = Xujxj ^max (7)
j=i
при условиях (3) — (5) и дополнительном ограничении
n
X cjxj = 4 (8)
j=i
Эта задача может быть решена одним из известных методов, применяемых для общей задачи целочисленного программирования (например, методом ветвей и границ, алгоритмами отсечения, перебора L-классов и др.). С другой стороны, можно использовать разложение данной задачи на основную оптимизационную (хорошо решаемую) и систему дополнительных ограничений. Например, задача (4), (5), (7), (8) является одномерной задачей о рюкзаке. Она достаточно эффективно решается алгоритмом перебора L-классов, так как в этом случае решения задач ЛП получаются аналитически. Поэтому текущую допустимую точку задачи (3) — (5), (7), (8) можно искать следующим обра-
Рис. 1. Парето-оптимальные решения в критериальном пространстве (n=250)
зом. Начиная с точки х‘, решаем алгоритмом перебора 1-классов задачу (4), (5), (7), (8). Обозначим через х' целочисленную точку, найденную алгоритмом. Если х' удовлетворяет ограничениям (3), то х' — допустимое решение указанной задачи. Далее осуществляется переход к очередному элементу 1-разбиения многогранника задачи (4), (5), (7), (8).
Второй вариант предлагаемого подхода выглядит следующим образом. Начиная с точки х*, алгоритмом перебора 1-классов решается задача о покрытии (1), (3) — (5) при значении рекорда, равном со +1. При этом идет перебор элементов 1-разбиения релаксационного многогранника (3) — (5), принадлежащих гиперплоскости (8). Пусть х' — целочисленная точка, найденная алгоритмом. Если х' удовлетворяет ограничению
п
X и]Х] > «о +1,
]=1
то х' — допустимая целочисленная точка задачи (3) — (5), (7), (8) и полагаем и0 := /и(х') . Затем, как обычно осуществляется переход к очередному элементу I-разбиения релаксационного многогранника задачи (1), (3) — (5).
Как указано выше, решение двухкритериальной задачи размещения центров обслуживания на основе поиска ЛМ приводит к единственному решению, что не всегда приемлемо в практических ситуациях.
Другим известным подходом к определению множества решений многокритериальной задачи является метод уступок, используя который можно поставить задачу нахождения некоторого подмножества Парето-оптимальных решений. В этом случае от двухкритериальной задачи (1) — (5) переходят к однокритериальной задаче Р:
п
/и (х) = Хи]Х] ^ таХ ]=1
при ограничениях (3), (4) и
п
XС]Х] - с0 + 8 . (10)
]=1
Здесь 8е— это величина уступки, а [ с0,с0 + 8 ] -допустимый интервал стоимости размещения центров обслуживания. Варьируя значение параметра 8, можно получать различные Парето-оптимальные решения исходной задачи. Заметим, что, если с=1, ]=1,..,п, то оптимальное решение задачи Р является Парето-оп-тимальным для (1) — (5) и удовлетворяет равенству
X ‘
7=1
В случае произвольных с. для определения Парето-оптимальных решений потребуется дополнительно решать задачу (1), (3) — (5) с ограничениями
п п
X сЛ' -с* +8 и X мл -м*-
j=i
j=i
Здесь Uo равно оптимальному значению целевой функции задачи P.
Очевидно, что описанный выше декомпозиционный подход может быть использован для решения задачи P [8]. В качестве начального значения рекорда р следует взять со + 8 +1 и он не меняется в процессе решения. Перебор L-классов начинается с лексикографически минимального элемента многогранника задачи P. Па-рето-оптимальные решения находятся, исходя из определения, среди полученных целочисленных точек.
4. Результаты вычислительного эксперимента
Нами решалась задача размещения центров телекоммуникаций для архипелага из 24-х островов Эгейского моря [1]. В расчетах использовались данные Греческой организации статистики (ESYE) и Греческой организации телекоммуникаций (OTE). Значение d изменялось в пределах от 50 до 150 км (min d.=20, max d.=526). В вычислительном эксперименте при формировании критерия эффективности размещения использовались данные об общем числе потребителей услуг центров ТК, числе студентов, школьников. Для значений с. рассматривались два варианта:
1) все с. =1, что соответствует размещению типовых центров ТК;
2) с. вычислялись как значения некоторой вогнутой функции от числа потребителей, j=1,...,n.
Проведенные исследования показали, что предложенная модель применима для поиска оптимального размещения центров обслуживания.
Кроме того, подход, включающий метод уступок и второй тип декомпозиции для решения двухкритериальной задачи о доминирующем множестве тестировался на сериях задач со случайными исходными данными. Тестирование проводилось на Pentium IV (3 GHz). Эксперименты выполнялись на сериях с n < 300, с., и. £ [1,100], j=1,...,n, вероятность появления ребра в графе равнялась 0,1. Значение 8 составляло 5% от оптимального значения со. Число полученных Парето-оптимальных решений для указанного значения 8 варьировалось от 3 до 11. Среднее время поиска решения составило около 4 минут, а увеличение значения целевой функции эффективности в среднем равнялось 14%. Время решения увеличивалось с возрастанием вероятности появления ребра в графе и (или) уменьшением верхней границы для с., j=1,..,n. На рис. 1 изображены в критериальном пространстве Парето-оптимальные решения для одной из задач с числом переменных n=250.
В заключение следует отметить, что полученные в статье результаты имеют практическое значение для решения задач оптимального размещения предприятий в регионе. Кроме того, они могут быть применены к более общему случаю — двухкритериальной задаче о наименьшем покрытии множества.
Библиографический список
1. Кристофидес Н. Теория графов. Алгоритмический подход. — М. : Мир, 1978. — 432 с.
2. Kitrinou E., Kolokolov A.A., Zaozerskaya L.A. The location choice for telecenters in remote areas. The case of the Aegean islands // Proceedings of Second International Workshop on Discrete Optimization Methods in Production and Logistics.
- Omsk, 2004. - P. 61-65.
3. Емеличев В.А., Кравцов М.К. О неразрешимости векторных задач дискретной оптимизации на системах подмножеств в классе алгоритмов линейной свертки критериев // ДАН, Математика. Т. 334. - 1994. - № 1. - C. 9-11.
4. Перепелица В.А. Многокритериальные задачи теории графов. Алгоритмический подход. - Киев : УМК ВЩ ЗГУ, 1989. - 67 с.
5. Емеличев В.А, Кравцов М.К, Янушкевич О.А. Лексикографические оптимумы многокритериальной задачи дискретной оптимизации // Математические заметки. Т. 58. - 1995. - Вып. 3. - C. 365-371.
6. Подиновский В.В., Гаврилов В.М. Оптимизация по последовательно применяемым критериям. - Москва : Советское радио, 1975. - 192 с.
7. Eremeev A.V., Kolokolov A.A., Zaozerskaya L.A. A Hybrid Algorithm for Set Covering // Proceedings of International Workshop on Discrete Optimization Methods Design. - Minsk, 2000. - P. 123-129.
8. Kolokolov A.A., Zaozerskaya L.A. A Bicriteria Problem of Optimal Service Centers Location // Proceedings of 12th IFAC International Symposium, St. Etienne, France, 17-19 May 2006.
- Elsevier, 2006. - Vol. 3 - P. 429-434.
ЗАОЗЕРСКАЯ Лидия Анатольевна, кандидат физикоматематических наук, старший научный сотрудник лаборатории «Дискретная оптимизация», Омский филиал Института математики им. С. Л. Соболева СО РАН, доцент кафедры прикладной математики и информационных систем ОмГТУ.
КОЛОКОЛОВ Александр Александрович, доктор физико-математических наук, профессор, заведующий лабораторией «Дискретная оптимизация», Омский филиал Института математики им. С. Л. Соболева СО РАН, профессор кафедры прикладной математики и информационных систем ОмГТУ.
Дата поступления статьи в редакцию: 08.04.2008 г.
© Заозерская Л.А., Колоколов А.А.
*
«ОМСКИЙ НАУЧНЫЙ ВЕСТНИК» № 1 (64) ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ НАУКИ
