Релейный оптимальный по точности регулятор угловой скорости синхронного реактивного двигателя Текст научной статьи по специальности «Электротехника, электронная техника, информационные технологии»

УДК 681.513

РЕЛЕЙНЫЙ ОПТИМАЛЬНЫЙ ПО ТОЧНОСТИ РЕГУЛЯТОР УГЛОВОЙ СКОРОСТИ СИНХРОННОГО РЕАКТИВНОГО

ДВИГАТЕЛЯ

И.И. Митрофанов

Рассмотрена процедура синтеза оптимального по точности закона управления скоростью вращения синхронного реактивного двигателя, работающего в режиме с постоянным углом тока. Приводятся результаты математического моделирования системы в программе $1ти11пк.

Ключевые слова: синхронный реактивный двигатель, функционал качества, поверхность переключения, скользящий режим.

Отсутствие каких-либо обмоток на роторе, постоянных магнитов или щёточных узлов делает синхронный реактивный двигатель (СРД) весьма привлекательным для создания электропривода с высокой отказоустойчивостью .

Математическая модель современного синхронного реактивного двигателя, лишённого пусковой обмотки, имеет вид

r> i did Т .

ud = R ' id + Ld~^ " zp ®r • Lqiq,

diq

uq = R ■ iq + Lq~^ + zp ' Ldid, (1)

J ■ ^ = Mэм - Mш dt

Мэм = 3zp {Ld - Lq )■ idiq, (2)

где ud, uq - напряжения питания статорных обмоток по продольной и поперечной оси соответственно; id, iq - токи статорных обмоток по продольной и поперечной оси соответственно; R - сопротивление статорной обмотки; Ld, Lq - индуктивности статорных обмоток по продольной и поперечной оси соответственно; юг - угловая скорость ротора; J - приведённый момент инерции; zp - число пар полюсов; Мэм - электромагнитный момент двигателя; Мн - момент нагрузки.

Поскольку первые образцы синхронных реактивных двигателей отличались плохими энергетическими характеристиками, разработчики при синтезе систем управления пытались обеспечить не только достижение задачи управления, но и оптимизировать различные показатели работы, такие, как КПД, коэффициент мощности и т.д. В [2] показано, что оптимизировать энергетические характеристики СРД можно путём рационального выбора величины угла тока а.

Угол тока а представляет собой угол между продольной осью d двигателя и обобщённым вектором тока Is. При tga = 1 обеспечивается режим работы с максимальным моментом (и максимальным КПД), при tga = ^LdjLq - режим работы с максимальным коэффициентом мощности, при tga = LdjLq - режим работы с наибыстрейшим изменением момента.

Из определения угла тока следует, что вышеперечисленные условия сводятся к виду

iq

tga = — = const, id

т.е. режим работы с постоянным углом тока обеспечивается, если токи id и iq пропорциональны друг другу. Из уравнения момента (2) следует, что для осуществления реверса двигателя (Мэм < 0) только один из токов должен менять свой знак. Таким образом, пропорциональная зависимость должна поддерживаться между модулями токов id и iq, а не их абсолютными значениями:

, tga = const.

ld

tga

(3)

С учётом (3) уравнения динамики синхронного реактивного двигателя (1) упрощаются и принимают вид

D . Т diq zpLd

un = R • in + L^--\--

q q q dt

d<$r

J

2zp {Ld — Lq )• idi,

dt

tga

q У idiq

q

Й,

(4)

М

н-

Задачу расчёта регулятора скорости сведём к задаче синтеза оптимального по точности регулятора [2].

Запишем математическую модель синхронного реактивного двигателя (1) в отклонениях:

X\

I,

q lq

X2 = ®r — ®r, U\ = Uq

u.

q--

(5)

где х1, х2 - отклонение от задания по току гч и угловой скорости юг соответственно; 1д , юг - задание по току токам ¡¿¡, ¡„ и скорости вращения юг соот-

*

ветственно; пч - оптимальное программное управление; и1 - отклонение от оптимального программного управления, обусловленное действием возмущений.

Подставляя (5) в (4) и относя все слагаемые с символом (*) ко внешним возмущающим воздействиям, получим математическую модель СРД в отклонениях:

*

dx\

dt d%2 dt

+ «12 |x\|X2 + b\\U\.

x\ |x\|5

(6)

где

all

L

a\2

q

L^ J_

Lq tga

zp, b\\

L

q

2 J

-z.

(Ld - Lq )

(7)

Поскольку уравнения СРД в режиме работы с a = const (6) содержат координату под знаком модуля, последующее аналитические расчёты будут затруднены. Для решения задачи рассмотрим отдельно работу двигателя с положительным и отрицательным моментом. Это позволяет разбить данную систему уравнений на две:

\) двигатель развивает положительный момент (iq > 0, id = iqjtga):

dx\ ,

— = a\\x\ + a\2 x\^2 + ЬЦ^ ,

dt dx2

dt

c ■ x\2,

2) двигатель развивает отрицательный момент (iq < 0, id dx\

dt dx2

a\\x\ — a\2 x\x2 + b\\u\,

dt

c ■ x\2.

(8)

q/ tga):

(9)

Поскольку при iq = 0 электромагнитный момент двигателя равен

нулю, данный случай может быть учтён в одном из вышеуказанных случаев введением нестрогого неравенства, например, iq > 0. Полученные законы управления следует объединить в одну формулу.

Рассмотрим работу СРД с положительным моментом. На основе системы (8) записываем основное функциональное уравнение [1]:

у + = £1*1 + g 2 *2. В соответствии со свойствами основного функционального уравнения принимаем £ 2 = 1 [1]. Тогда

у + = £1*1 + *2 = £ (а11х1 + а\2 ) + *2 ] + £1^11 • и\ = / + Ф • и\, (10)

где / = £1 (а11х1 + а12 Х1Х2 ) + х2, Ф = £1Ь11итах ■

Таким образом, задача поиска оптимального управления сводится к поиску функции g1, при которой выполняется условие управляемости [2]

Ф>|/|, Ф> 0 (11)

и которая позволяет проинтегрировать функцию у +. Примем

<

c

\

c

<

<

С

gl ---

аи

С учётом второго уравнения системы (8) У+ = [gi (anjci + ai2^1^2 ) + X2 ] + gl^ll • U1 =

ca12 2 —— xi x2

a11

c

a11

X1^11 • U1 .

Тогда скорость проникновения поверхности переключения

У+- g1X1 + X2 =—— X1 • X1 + X2, (12)

a11

условие управляемости

ca12 2 12 Xf x2

c

<--X1bn • UmaX . (13)

a11

a11

Из второго уравнения системы (8), следует, что

X2 = 2c • X1X1,

тогда выражение (12) можно привести к виду

c 1 ..

у+ ---X1 • X1 + X2 - - ~-X2 + X2 .

an 2an

Интегрируя данное выражение, получим уравнение поверхности переключения

X2 + X2. (14)

2a11

Определим, выполняется ли условие управляемости (13). Умножим правую часть неравенства (13) на - an/c > 0:

a12 X? X2 < X1b11Umax .

Поскольку в рассматриваемом случае двигатель развивает положительный момент (X1 > 0), условие управляемости приобретает вид

|a12X1X2 < b11UmaX, (15)

которое выполняется всегда, поскольку выражение в левой части неравенства представляет собой противоЭДС вращения, уравновешивающую напряжение питания (правая часть неравенства).

Рассмотрим работу СРД с отрицательным моментом. На основе системы (9) записываем основное функциональное уравнение [2]:

у- - g1X1 + g2X2 . В соответствии со свойствами основного функционального уравнения принимаем g 2 = 1 [1]. Тогда

У- - g1X1 + X2 -[g1(anX1 - a12 X1X2)+ X2 ]+ g 2^1 • u - f + ф^ U1,

где f - g1 (a11X1 - a12X1X2 ) + X2, Ф = g1b11Umax ■ Принимая

&1 =-х1

ап

и проводя вычисления, аналогичные вышеизложенным, получим уравнение поверхности переключения

V— =

1

2а

X + х2,

(16)

11

полностью совпадающее с (14), и условие управляемости

\а12Х1Х2\ < Ь\1итах,

аналогичное (15).

Таким образом, уравнение поверхности переключения не зависит от знака электромагнитного момента двигателя. Возвращаясь к исходным обозначениям (5), (7), получим искомый закон управления

иЧ = -итах ' ^ёАу] = —итах '

х3

1

2а

~х3

~ итах '

Ь

юг — юг +

Ч

с1 (ю* — Юг )

21

2Я

Ж

(17)

Управляющее воздействие, вырабатываемое регулятором скорости, не зависит от угла а и является общим для всех вышеперечисленных оптимизационных алгоритмов управления СРД.

Структурная схема системы, реализующей закон (17), представлена на рис. 1. Регуляторы скорости юг и тока 1Ч включаются по принципу подчинённого регулирования.

Г7.

система управления

РЕГУЛЯТОР СКОРОСТИ

Рис. 1. Структурная схема оптимального по точности синхронного

реактивного привода

*

На рис. 2, 3 представлены графики переходных процессов в данной

системе, построенной на базе синхронного реактивного двигателя мощно*

стью 1,1 кВт. Задание по скорости юг =170 рад/с.

Рис. 2. Переходный процесс по скорости в приводе без ограничений тока: 1 - режим работы с максимальным моментом; 2 - режим работы с максимальным коэффициентом мощности; 3 - режим работы с наибыстрейшим изменением момента

! 1

/ _3_

г < 1

Рис. 3. Переходный процесс по скорости в приводе с ограничением тока: 1 - режим работы с максимальным моментом; 2 - режим работы с максимальным коэффициентом мощности; 3 - режим работы с наибыстрейшим изменением момента

Из приведённых графиков видно, что наибольшее быстродействие в системе без ограничения тока показывает СРД в режиме с наибыстрейшим изменением момента (рис. 2). В системе с ограничением тока (в данном примере - не более двухкратного превышения номинальной величины) наибольшее быстродействие показывает СРД в режиме работы с максимальным коэффициентом мощности (рис. 3). СРД в режиме работы с максимальным моментом (максимальным КПД) показывает наименьшее быстродействие.

Список литературы

1. Аналитическое конструирование регуляторов, оптимальных по точности и быстродействию/ В.В. Сурков [и др.]. Тула: ТулГУ, 2005. 300 с.

2. Kazmierkowski M.P., Krishnan R., Blaabjerg F. Control in power electronics: selected problems. San-Diego: Academic Press, 2002. 544 p.

Митрофанов Игорь Игоревич, аспирант, dr.fatum@yandex.ru, Россия, Тула, Тульский государственный университет

RELAY OPTIMAL ACCURACY CONTROLLER BY ANGULAR SPEED OF SYNCHRONOUS RELUCTANCE MOTOR

I.I. Mitrofanov

The procedure of synthesis optimal accuracy control by angular speed of synchronous reluctance motor with constant current angle is proposed. Results of mathematical modeling in Simulink are presented.

Key words: synchronous reluctance motor, quality functional, sliding surface, sliding

mode.

Mitrofanov Igor Igorevich, postgraduate, dr.fatum@yandex.ru, Russia, Tula, Tula State University