CC BY
6
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион УДК 519.718
DOI 10.21685/2072-3040-2018-4-7
М. А. Алехина
РЕКУРРЕНТНЫЕ СООТНОШЕНИЯ ДЛЯ НЕНАДЕЖНОСТЕЙ СХЕМ ПРИ ОДНОТИПНЫХ КОНСТАНТНЫХ НЕИСПРАВНОСТЯХ ТИПОВ 0 И (к - 1) В БАЗИСЕ, СОСТОЯЩЕМ ИЗ ФУНКЦИИ ВЕББА, В Pr1
Аннотация.
Актуальность и цели. Увеличение сложности современных систем переработки, передачи и хранения информации выдвигает на первый план требование к надежности управляющих и вычислительных систем. Актуальной проблеме построения надежных схем, реализующих функции к -значной логики (к > 3), при однотипных константных неисправностях только типа 0 или только типа (к -1) на выходах базисных элементов, посвящена эта статья. Цель работы - найти метод синтеза надежных схем и получить рекуррентные соотношения для ненадежностей исходных и предлагаемых схем при названных неисправностях.
Материалы и методы. Используются известные методы теории синтеза надежных схем и комбинаторики.
Результаты. В каждом из двух случаев неисправностей базисных элементов найдены рекуррентные соотношения для ненадежностей исходных и предлагаемых схем. Полученные результаты могут быть использованы при синтезе надежных схем, получении верхних и нижних оценок ненадежности схем.
Ключевые слова: ненадежные функциональные элементы, надежность схемы, ненадежность схемы, неисправности на выходах элементов.
M. A. Alekhina
RECURRENT RELATIONSHIPS FOR UNRELIABILITIES
OF CIRCUITS WITH SINGLE-TYPE CONSTANT MALFUNCTIONS OF TYPES 0 AND (K-1) IN THE BASIS CONSISTING FROM A WEB FUNCTION, IN Pk
Abstract.
Background. The increasing complexity of modern systems for processing, transmitting and storing information highlights the requirement for the reliability of control and computing systems. This article is devoted to the actual problem of building reliable circuits that implement functions of k-valued logic (k > 3 ), with one-type constant failures of type 0 only or of type (k -1) on outputs of gates. The goal of the work is to find a method for synthesizing reliable circuits and to obtain recurrent relations for the unreliability of the original and proposed circuits with the above-mentioned failures.
1 Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований, проект 17-01-00451.
© Алехина М. А., 2018. Данная статья доступна по условиям всемирной лицензии Creative Commons Attribution 4.0 International License (http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/), которая дает разрешение на неограниченное использование, копирование на любые носители при условии указания авторства, источника и ссылки на лицензию Creative Commons, а также изменений, если таковые имеют место.
Materials and methods. The wor applied the methods of the theory of synthesis of reliable circuits and combinatorics.
Results. In each of the two cases of failures of functional gates, recurrent relations were found for the unreliability of the original and proposed circuits. The obtained results can be used in the synthesis of reliable circuits, obtaining the upper and lower estimates of the reliability of circuits.
Keywords: unreliable functional gates, reliability of circuits, unreliability of circuits, failures on outputs of gates.
Исследуется задача построения надежных схем из ненадежных элементов в полном базисе, состоящем из функции Вебба Vk (Xj, x2) = max(xj, x2} + +1(modk) при k > 3 . Ранее [1, 2] в этом базисе исследовались неисправности, при возникновении которых вероятность появления любого из неверных значений на выходе элемента одинакова. Для таких неисправностей найдены методы повышения надежности, рекуррентное соотношение, связывающее ненадежности исходной схемы и предлагаемой схемы, получены верхние оценки ненадежности схем.
В этой работе предполагается, что базисные элементы подвержены однотипным константным неисправностям только типа 0 или только типа (k — 1) на выходах. Эти неисправности (в отличие от рассмотренных ранее
[1, 2] и более удобных для вычислений) наиболее реально отражают неисправности элементов схемы, возникающие например, при охлаждении и перегреве аппаратуры. В рассматриваемом базисе однотипные константные неисправности элементов исследуются впервые. Цель работы - найти рекуррентные соотношения для ненадежностей схем при этих неисправностях элементов.
Необходимые понятия и определения можно найти в [3].
Считаем, что все базисные элементы ненадежны и независимо друг от друга с вероятностью е (ее (0,1 /2)) подвержены однотипным константным неисправностям только типа 0 (теорема 2) или только типа (k — 1) (теорема 3). Охарактеризуем эти неисправности элементов.
Пусть на входы базисного элемента подается набор a , Vk (a ) = т. Неисправность типа 0 на выходе элемента такова, что на нулевом наборе (т.е. при т = 0) элемент абсолютно надежен, а на остальных входных наборах (при т^ 0) с вероятностью £ (ее (0,1 /2)) выдает константу 0, с вероятностью (1 — е) - правильное значение т .
Аналогично определяется неисправность типа (k — 1) на выходе базис-
22
ного элемента, которая характеризуется тем, что на наборе a , Vk (a ) = k — 1, элемент абсолютно надежен, а на остальных входных наборах (т.е. при т^ k — 1) с вероятностью £ (ее (0,1 / 2)) выдает константу (k — 1), с вероятностью (1 — е) - правильное значение т .
Ненадежность и надежность схемы S также определены в [3].
Пусть f е Pk , S - схема, реализующая f . По схеме S построим схему ¥(S) [1], которая также реализует f . В схеме ¥(S) возьмем подсхему C ,
содержащую выход схемы и состоящую из (2k — 1) элементов. Ясно, что
Р(С) < (2к - 1)е< 2к е. Обозначим через g (хт) функцию, которую реализует подсхема С . Нетрудно проверить, что:
1) т = 2к;
2) при любом j е Ек верно равенство g(]т) = j ;
3) при изменении любой одной координаты набора ]т значение функции g не изменяется, равно j.
Теорема 1 [3]. Пусть любую функцию из Рк (к > 3) можно реализовать схемой ненадежности не больше р, пусть схема Sg реализует функцию
g (хт) е О с ненадежностью ), причем V (j е Ек) - вероятность ошиб-
о
ки схемы Sg на наборе ]т . Тогда любую функцию / можно реализовать схемой А, ненадежность которой
Р(А) < шах(у°,V1,.../-1} + mpP(Sg) + (2т -т -1)р2 .
Теорема 2. Пусть базисные элементы подвержены неисправностям типа 0, / е Рк, S - схема, реализующая / ; Р^) - ненадежность схемы S. Тогда схема ) реализует функцию / с ненадежностью
Р(¥(S)) < е + (22к-1 - 2к 1 е2 + 22кеР^) + (22 - 2к - ПР2(S).
Доказательство. Сначала оценим вероятности ошибок V0, V1,..., vk-1 на
выходе схемы С на наборах 0т,1т,...,к-1 соответственно, где т = 2к, а затем, применяя теорему 1, получим оценку ненадежности схемы ¥^) .
1. Пусть на входы схемы С поступил набор 0т . В этом случае ошибка ровно одного элемента схемы не приводит к ошибке на выходе схемы. Теперь рассмотрим случай, когда хотя бы два элемента схемы ошиблись, и будем считать, что это приводит к ошибке на выходе схемы. Вероятность этого со-
2к -1
бытия не больше X С к (е/ .
1=2
Нетрудно убедиться, что верно неравенство
2k -1 2k -1
I С2к-1 (е/ <е2 X С2к-1 =е2(22к-1 -2к 1=2 1=2
Обозначим 22 -1 - 2к как s(k). Тогда V0 < s(k)е2.
2. Пусть на входы схемы С поступил набор ]т (j Ф 0). В этом случае ошибка ровно одного элемента схемы приводит к ошибке на выходе схемы, вероятность этого не более е . Теперь рассмотрим случай, когда хотя бы два эле-
мента схемы ошиблись, и будем считать, что это приводит к ошибке на выходе схемы. Поэтому
2к -1
V* <е + £ С'к (е)' <е + s(k)г1, т.е. V* <е + я(к)е2.
'=2
Тогда шах^0, V1,..., Vк-1} <е + s(k )е2.
Применяя теорему 1, получим оценку ненадежности схемы ¥(S) : Р(¥(5)) < е + )е2 + (к -1) е • 2кР(5) + [22к - 2к -1 ^Р2 (5) <
<е + [22к-1 -2к^е2 +22кеР(5) + ^22к -2к-1^Р2(5). □
Теорема 3. Пусть базисные элементы подвержены неисправностям типа к -1, / е Рк, 5 - схема, реализующая / , Р(5) - ненадежность схемы 5. Тогда схема ¥(5) реализует функцию / с ненадежностью
Р(¥(5)) < 3е + [22к-1 - 2к ^е2 + 22кеР(5) + [22к - 2к -1 ^Р2 (5).
Доказательство (аналогично доказательству теоремы 2). Сначала оценим вероятности ошибок V0,V1,...,V1 -1 на выходе схемы С на наборах
7т 7т 5 \т тк 1
0 ,1 ,...,к -1 соответственно, где т = 2 , а затем, применяя теорему 1, получим оценку ненадежности схемы ¥(5) .
1. На входном наборе 0т только ошибка выходного элемента приводит к ошибке на выходе схемы, вероятность этого события не больше е . Пусть хотя бы два элемента схемы выдали неверные значения и это привело к ошибке на выходе схемы С . Вероятность этого не больше
2к -1 к
£ Ск- (е)' < s(k)е2 , где s(k) = 22 -1 - 2к . Поэтому V0 <е + s(k)е2. '=2
2. На входном наборе ]'т (у Ф 0, / Ф к -1) вероятность ошибки на выходе схемы при неисправной работе одного элемента не более 3е . Эту оценку дают ошибки трех элементов, расположенных в двух нижних ярусах, поскольку ошибки, появившиеся в ярусах с 1-го по (к - 2) -й, исправляются, не приводят к ошибке на выходе схемы. Теперь считаем, что ошибки двух и более элементов схемы приводят к появлению ошибки на выходе схемы, поэтому
2к -1
V < 3е+ £ С2к-1(е)' < 3е + s(k)е2.
'=2
-т
3. На входном наборе (к-1 ) вероятность ошибки на выходе схемы при неисправной работе одного элемента не более 2е (в этом случае выход-
ной элемент работает надежно, вероятность неправильного значения на выходе схемы C зависит только от неисправностей двух элементов предпоследнего яруса этой схемы). Считая, что ошибки двух и более элементов схемы приводят к появлению ошибки на выходе схемы, получим
2k -1
vk-1 < 2е+ X Ck (e)' < 2e + s(k)e2, т.е. vk-1 < 2e + s(k)e2.
i=2
Тогда
max{v0, v1,..., vk -1} < 3e + s (k )e2.
Применяя теорему 1, получим оценку ненадежности схемы ¥(S) :
P(4(S)) < 3e + s(k)e2 + (2k - 1)e • 2kP(S) + (22k - 2k -1)P2 (S) <
< 3e + (22k-1 - 2k )e2 + 22keP(S) + (22k - 2k -1)P2(S). □
Итак, доказаны рекуррентные соотношения для ненадежностей схем S и ¥(S) при неисправностях типов 0 и (k -1) на выходах элементов. Отметим, что главное слагаемое соотношения равно e при неисправностях типа 0 и 3e при неисправностях типа (k -1), т.е. не зависит от k , в то время как для рассмотренных ранее неисправностей [1] соответствующее слагаемое равно min{(2k - k - 3)e; 3,6k4e}.
Библиографический список
1. Алехина, М. А. О схеме, повышающей надежность в базисе, состоящем из функции Вебба, в Pk / М. А. Алехина // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки. - 2017. - № 4 (44). - С. 70-75.
2. Алехина, М. А. Верхняя оценка ненадежности схем в базисе, состоящем из функции Вебба / М. А. Алехина, О. Ю. Барсукова // Известия высших учебных заведений. Математика. - 2015. - № 3 - С. 15-27.
3. Алехина, М. А. Синтез схем из ненадежных элементов в Pk/ М. А. Алехина // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки. - 2015. - № 3 (35). - С. 3-10.
References
1. Alekhina M. A. Izvestiya vysshikh uchebnykh zavedeniy. Povolzhskiy region. Fiziko-matematicheskiye nauki [University proceedings. Volga region. Physical and mathematical sciences]. 2017, no. 4 (44), pp. 70-75. [In Russian]
2. Alekhina M. A., Barsukova O. YU. Izvestiya vysshikh uchebnykh zavedeniy. Matemat-ika [University proceedings. Mathematics]. 2015, no. 3, pp. 15-27. [In Russian]
3. Alekhina M. A. Izvestiya vysshikh uchebnykh zavedeniy. Povolzhskiy region. Fiziko-matematicheskiye nauki [University proceedings. Volga region. Physical and mathematical sciences]. 2015, no. 3 (35), pp. 3-10. [In Russian]
Алехина Марина Анатольевна
доктор физико-математических наук, профессор, заведующий кафедрой математики, Пензенский государственный технологический университет (Россия, г. Пенза, пр. Байдукова / ул. Гагарина, 1а/11)
E-mail: alekhina@penzgtu.ru
Alekhina Marina Anatol'evna Doctor of physical and mathematical sciences, professor, head of sub-department of mathematics, Penza State Technological University (1a/11 Baydukova lane/ Gagarina street, Penza, Russia)
УДК 519.718 Алехина, М. А.
Рекуррентные соотношения для ненадежностей схем при однотипных константных неисправностях типов 0 и (к - 1) в базисе, состоящем из функции Вебба, в Рк / М. А. Алехина // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки. - 2018. - № 4 (48). -С. 78-83. - БОТ 10.21685/2072-3040-2018-4-7.
