Регрессионные модели производительности роторного бункерного загрузочного устройства для стержневых предметов обработки Текст научной статьи по специальности «Математика»

2. Проведенные испытания показали, что интенсивность напряжения для исследуемых материалов при проведении опытов на сжатие выше примерно на 8.. .9 %, чем при растяжении.

Список литературы

1. Бернштейн М. Л. Структура деформированных металлов. М.: Металлургия, 1997. 431 с.

2. ГОСТ 1497-84. Металлы. Методы испытания на растяжения.

3. ГОСТ 25.503-97. Методы испытания на сжатие.

4. Смирнов-Аляев Г. А. Сопротивление материалов пластическому деформированию. М.: Машгиз, 1981. 464 с.

5. Теория пластических деформаций металлов / Е.П.Унксов [и др.]. под ред. Е.П. Унксова, А.Г. Овчинникова. М.: Машиностроение, 1993. 598 с.

G. Zuravlov, Le Minh Duc

Effect of stress state on the mechanical characteristics of brass

The definition of the mechanical characteristics of brass alloys, which are necessary for the material’s calculation of plastic deformation process is shown. Some examples for calculating mechanical characteristics by using tests in ordinary stretching and compressing are proposed.

Keywords: tension, stress, deformation.

Получено 07.04.10

УДК 621.923

A.О. Ионов, асп., (4872)33-24-38, іопоу anton@mail.ru,

B.В. Прейс, д-р техн. наук, проф., (4872)33-24-38, preys@klax.tula.ru (Россия, Тула, ТулГУ)

РЕГРЕССИОННЫЕ МОДЕЛИ ПРОИЗВОДИТЕЛЬНОСТИ РОТОРНОГО БУНКЕРНОГО ЗАГРУЗОЧНОГО УСТРОЙСТВА ДЛЯ СТЕРЖНЕВЫХ ПРЕДМЕТОВ ОБРАБОТКИ

Рассматриваются регрессионные модели производительности роторного бункерного загрузочного устройства с вращающимися воронками для стержневых предметов обработки формы тел вращения.

Ключевые слова: регрессионная модель, роторная линия, система автоматической загрузки, бункерное загрузочное устройство, предмет обработки, производительность.

Экспериментальные исследования роторного БЗУ с вращающейся воронкой для стержневых предметов обработки показали, что относительная погрешность расчетных значений фактической производительности

роторного БЗУ, полученных из аналитической модели, по сравнению с экспериментальными значениями составляет ±50 %. Путем введения поправочных коэффициентов Й1..Л4, полученных на основе аппроксимации методом наименьших квадратов экспериментальных значений производительности теоретической функцией, удается снизить среднее значение относительной погрешности до ±15 %, однако адекватность аналитической модели экспериментальным данным недостаточно обоснована.

В связи с этим представляет научный и практический интерес применение методов планирования эксперимента и регрессионного анализа для построения регрессионных моделей производительности роторного БЗУ и обоснования их адекватности [2].

Регрессионные модели представляют, как правило, в виде полиномов различных степеней в зависимости от числа факторов и уровней их варьирования. Планирование эксперимента позволяет минимизировать общее число опытов при одновременном варьировании всеми переменными и оптимальном использовании факторного пространства и получать регрессионные модели, имеющие лучшие свойства по сравнению с математическими моделями, полученными на основе пассивного эксперимента.

Прежде чем проводить анализ экспериментальных данных, необходимо убедиться, что во взятых для наблюдения данных нет грубых ошибок, могущих привести к искажению всех последующих результатов. Грубые ошибки приводят к тому, что отдельные результаты измерений наблюдений по своей величине значительно отличаются от других. Если имеются данные, что такие наблюдения есть результат ошибки, то их необходимо отбросить, не подвергая статистическим оценкам (т.е. исключить из последующих вычислений). Если такой уверенности нет, то для определения того, являются ли резко выделяющиеся измерения результатом грубой ошибки или случайного отклонения, необходимо использовать метод В.И. Романовского. По этому методу при вычислении X и £ (здесь

X - среднее, а £ =

£( х- — X )2

1 - среднеквадратичное отклонение) реко-

п -1

мендуется предварительно исключить резко выделяющиеся наблюдения, а затем делать оценку величины: /р = (Хтах - X)/£ или /р = (Хт^п - X)/£.

Допустимые значения /р табулированы. При использовании метода

В.И. Романовского после получения подтверждения будет исключена необходимость повторного пересчета X и £ с исключением резко выделяющегося результата наблюдений. Условие исключения резко выделяющегося результата измерения: /р выч > /р табл.

Проведение машинного эксперимента по выяснению «механизма явления» содержит следующие основные этапы:

- выбор выходных переменных (откликов);

- уточнение области изменения входных факторов и их интервалов варьирования;

- выбор вида вторичной математической модели (ВММ), т.е. вида аппроксимирующих зависимостей для всех поверхностей отклика;

- выбор плана машинного эксперимента (матрицы планирования) в соответствии с выбранной моделью;

- реализация эксперимента, обработка экспериментальных данных, определение значимости коэффициентов уравнения регрессии и проверка адекватности ВММ.

Выходной переменной (функцией отклика) является фактическая производительность роторного БЗУ, а входными факторами - угловая скорость О о роторного БЗУ и угловая скорость ю о захватывающих воронок.

Остальные факторы и параметры разрядного контура принимались как условия опыта и при проведении машинного эксперимента не изменялись.

Поскольку влияние выбранных входных факторов носит существенно нелинейный характер, то для адекватного описания производительности роторного БЗУ в качестве приближенной математической модели воспользуемся полиномами высших степеней. Однако с увеличением показателя степени полинома повышается и количество уровней варьирования входных факторов, т.к. число уровней варьирования на единицу больше показателя высшей степени полинома, поэтому на первом этапе будем аппроксимировать экспериментальные данные полиномом четвертого порядка. ВММ четвертого порядка представляет собой условное математическое ожидание

М( У Xь...xk)=Ро+3^ + + Yвi¡x¡+Тв^у+

+Yв,jX,x2J +тв¡^+ЖXь (1)

где во, в-, в], в- - теоретические коэффициенты регрессии; X- - элементы матрицы значений независимых переменных (входных факторов) в натуральном масштабе; к - число факторов; у = {у-} - вектор наблюдений

ф 0.

X1 X

(отклик), при этом матрица произведения 2

Используя результаты экспериментов, можно оценить только выборочные коэффициенты регрессии Ьо, Ь-, Ьу, Ь-, которые являются лишь статистическими оценками теоретических коэффициентов регрессии во, в- , в ¡у, в-. Тогда уравнение регрессии, полученное на основании машинного эксперимента, в соответствии с (1) будет иметь вид

у=Ьо+^ + ТЬу ^ • Xj + ТЬи • Хи + ХЛу^2 Xj++

+Т bijX¡Xj +ТЬiiXf.

Несмещенной оценкой вектора коэффициентов регрессии по методу наименьших квадратов является

В = (XТ ■ X)-1 • XТ ■ У,

Т

где У = {у-} - вектор-столбец значений функции отклика.

Значимость параметров модели (коэффициентов уравнения регрессии) будем проверять по г -критерию Стьюдента

^ =1Ь-1 !^у , где Бу - среднеквадратичное отклонение параметра; dii - диагональный

-1 Т -1

элемент дисперсионной матрицы 2 = (X ■ X) .

В случае, если {р < г/'аб, --й коэффициент уравнения признается незначимым. Значения г/'аб определяется при заданном числе степеней свободы и уровне значимости.

Проверка значимости коэффициентов позволяет выяснить ранг факторов по их влиянию на параметр и, в частности, установить, влияние каких факторов можно считать практически не существенным.

Коэффициенты могут быть статистически не значимы в случаях:

- основной уровень фактора близок к точке экстремума;

- интервал варьирования фактора выбран слишком узким;

- данный фактор (или их произведение ) не имеет функциональной связи с выходным параметром;

- велика ошибка эксперимента из-за наличия неуправляемых или неконтролируемых факторов.

Гипотеза об адекватности представления результатов полиномом заданной степени проверяется на основании Р -критерия Фишера путем сопоставления расчетного и табличного значений. Расчетное значение Р -критерия

Р Р = Б 2 / Б 2

°неад' °у ’

а дисперсия неадекватности

Бнеад = Т(у- - у-)2/12 , где у- - предсказанное по модели теоретическое значение параметра в I -й точке плана; /2 - число степеней свободы эксперимента, /2 = N - (к +1); N - число экспериментов, равное числу строк в матрице планирования; к - число значимых коэффициентов в уравнении регрессии.

2

Дисперсия воспроизводимости Бу выходного параметра определяется по формуле

=Т(У- - у-)2/./ь

где у - выборочное среднее по всем результатам эксперимента; f1 - число

степеней свободы при определении дисперсии воспроизводимости.

В связи с тем, что натуральные значения факторов имеют разные размерности и широкий диапазон изменения, то от натуральных переменных обычно переходят к безразмерным кодированным переменным, изменяющимся в интервале [-1, +1].

Обозначим Qо через xi, а юо - через x2. Связь натуральных и кодированных значений факторов осуществляется по следующим формулам: Xi 0 = (Xi max + Xi min ) / 2; AXi = (Xi max — Xi min ) / 2;

Xi = (-i — -i0)/AXi; Xi = xi • AXj + X0.

где Xi о - значение фактора на основном уровне в натуральном масштабе; xi , Xi - значение факторов в кодированном и натуральном масштабах; AXi - интервал варьирования фактора в натуральном масштабе.

Рассмотрим построение регрессионных моделей производительности роторного БЗУ с вращающейся воронкой на примере стержневого предмета обработки типа стакана (/ = 39,58 мм; d = 9,97 мм; /ц = 12 мм;

ц = 0,3), для которого параллельно была разработана аналитическая модель производительности.

Уровни варьирования входных параметров:

Q0 = 0,30,40,50,60 об./мин; юо = 200,300,400 об./мин .

Таким образом, имеем двухфакторный эксперимент с 15 точками плана (табл. 1). В каждой точке плана было проведено по 10 опытов.

Поскольку первый фактор варьируется на трех уровнях, а второй -на пяти, для данных экспериментов регрессионная модель может быть выражена полиномом (уравнением регрессии) четвертой степени, представляющим собой условное математическое ожидание

M (y|X1,..., Xk ) = ß 0 + ß1X1 + ß 2X 2 + ß3 X1X 2 + ß 4 X12 + ß5 X 2 +

+ ß 6 X12 X 2 + ß 7 X1X 2 + ß8 X13 + ß9 X12 X 2 + ß10 X13 X 2 + ß11X14, (2)

где ß 0,..., ß11 - теоретические коэффициенты регрессии; X1 X 2 - элементы

матрицы значений независимых переменных (входных факторов) в натуральном масштабе; k - число факторов (в нашем случае k = 2).

Согласно данному плану машинного эксперимента была проведена серия опытов и после проверки значимости коэффициентов уравнений регрессии по t -критерию Стьюдента из этих зависимостей были исключены незначимые коэффициенты и произведен перерасчет. В результате перерасчета была получена регрессионная модель вида

Y = 100,830 + 24,740x1 + 28,516x2 — 20,195x? + 3,957 xf +15,508x? x2 —

— 20,785x1x22 — 22,358x3 x2 + 31,178 xf. (3)

Проверка однородности дисперсии по критерию Бартлета показала, что дисперсии однородны (Втабл > ВрЖц).

Таблица 1

План машинного эксперимента____________________

№ п/п Факторы в натуральном масштабе Факторы в кодированном масштабе

X1, об./мин X 2, об./мин *1 = ^ 0 *2 0

1 0 200 -1 -1

2 0 300 -1 0

3 0 400 -1 +1

4 30 200 0

5 30 400 0 +1

6 40 200 0,333

7 40 300 0,333 0

8 40 400 0,333 +1

9 50 200 0,667

10 50 300 0,667 0

11 50 400 0,667 +1

12 0 200 +1

13 0 300 +1 0

14 0 400 +1 +1

15 30 300 0 0

Проверка гипотезы об адекватности регрессионной модели проводилась по критерию Фишера. Поскольку Ррасч>Гтабл, то гипотезу об адекватности модели (3) следует отвергнуть. Полученные данные свидетельствуют о том, что представление результатов экспериментов полиномом четвертой степени оказалось неоправданным.

Попытка использования в качестве регрессионной модели полинома второй степени показала увеличение критерия Фишера, т.е. улучшение адекватности моделей, однако уровень значимости коэффициентов при квадратичных, кубических членах и членах четвертой степени уравнения регрессии не позволяет использовать модель меньшего порядка для описания этих экспериментов.

Поэтому с целью понижения степени полинома (2) оба фактора (Юд и О о) варьировались только на трех уровнях. Уровни варьирования входных параметров: О о = 0,40,50 об./мин; ю о = 200,300,400 об./мин.

В данном случае имеем 9 точек плана (табл. 2). Как и для предыдущих экспериментов, в каждой точке плана было проведено по 10 опытов.

Таблица 2

План машинного эксперимента___________________

№ п/п Факторы в натуральном масштабе Факторы в кодированном масштабе

X і, об./мин X 2, об./мин *1 = ° 0 *2 0

1 0 200 -1 -1

2 0 300 -1 0

3 0 400 -1 +1

4 40 200 0,6 -1

5 40 300 0,6 0

6 40 200 0,6 -1

7 50 200 +1 -1

8 50 300 +1 0

9 50 400 +1 +1

При проведении машинного эксперимента в ходе проверки значимости коэффициентов уравнений регрессии по ? -критерию Стьюдента из этих зависимостей был исключен один незначимый коэффициент и произведен перерасчет моделей. В результате перерасчета была получена следующая регрессионная модель:

У = 95,817 +11,233*! + 27,368х2 - 2,439х1х2 -15,417х?. (4)

Проверка однородности дисперсии по критерию Бартлета показала, что дисперсии однородны. Проверка гипотезы об адекватности модели по критерию Фишера показала, что гипотезу об адекватности регрессионной модели (4) следует считать верной.

На рисунке представлено графическое отображение зависимости фактической производительности однопозиционного роторного БЗУ от частоты вращения ®о захватывающей воронки и динамического параметра 25, полученной компьютерным моделированием в стандартной среде МмНСас1 по регрессионной модели (4).

Дифференцируя уравнение (4), приравнивая его нулю и решая относительно *1, получим выражение, определяющее экстремальные значения По частоты врашещения роторного БЗУ, при которой фактическая производительность БЗУ принимает максимальные значения для соответствующего значения частоты вращения воронки,

*1 = 0,364 - 0,079*2, или, переходя к факторам в натуральном масштабе, получим

[П0 ] = 41,157 - 0,00079 ю0. (5)

Используя (5), запишем выражение для экстремального значения безразмерного динамического параметра (см. [1]), при котором фактиче-

116

ская производительность БЗУ принимает максимальные значения для соответствующего значения частоты вращения воронки:

[Z5 ] = [П 0 ]2 Rolg = (41,157 - 0,00079 Ш0 )2 )/g, (6)

где R0 - радиус расположения захватывающей воронки на роторе, м.

П, шт/Мин

Графическое отображение зависимости фактической производительности однопозиционного роторного БЗУ от угловой скорости воронки <»о и динамического параметра 25

Из выражений (5) и (6) следует, что угловая скорость воронки в рассматриваемом диапазоне её варьирования не оказывает существенного влияния на экстремальное значение угловой скорости роторного БЗУ и безразмерного динамического параметра 25 .

Для рассматриваемого примера по выражению (6) определим, что экстремальное значение динамического параметра 25 = 0,47.

Таким образом, результаты компьютерного моделирования фактической производительности однопозиционного роторного БЗУ по регрессионной модели (4) подтверждают выводы, полученные при моделировании производительности БЗУ по аналитической модели [1], а именно, что при загрузке стержневых предметов обработки максимальные значения фактической производительности роторного БЗУ лежат в диапазоне изменения динамического параметра 0,4 < 25 < 0,6.

Следует отметить, что регрессионная модель (4) производительности роторного БЗУ с вращающейся воронкой для стержневых предметов обработки адекватно описывает зависимость фактической производительности БЗУ от частоты вращения воронки и ротора только в рассматриваемом диапазоне их варьирования. В соответствии с выражением (4) при ®о = 0

фактическая производительность БЗУ не обращается в ноль, т.е. вне диапазона варьирования входных факторов адекватность регрессионной модели не соблюдается. Это является общим недостатком регрессионных моделей, которые в отличие от аналитических моделей в подавляющем большинстве практических случаев не отражают физической природы явления.

Дальнейшее совершенствование математических моделей производительности роторных БЗУ с вращающимися воронками должно идти на основе комплексного подхода, органично сочетающего преимущества аналитических и регрессионных моделей.

Список литературы

1. Комаров Г.В., Прейс В.В. Роторные системы автоматической загрузки / Автоматическая загрузка технологических машин: справочник; под. ред. И.А. Клусова. М.: Машиностроение, 1990. С. 260 - 316.

2. Прейс В.В., Лучникова И.В., Гритченко Л.Н. Регрессионные модели производительности роторных бункерных загрузочных устройств // Известия ТулГу. Сер. Машиностроение. 2002. Вып. 7. С. 280 -288.

A. Ionov, V. Prejs

Regressing models of productivity of the rotor bunker loading device for rod subjects of processing

Regressing models of productivity of the rotor bunker loading device with rotating funnels for rod subjects of processing of the form of bodies of rotation are considered.

Keywords: регрессионная model, system of automatic loading, the bunker loading device, a processing subject, productivity.

Получено 07.04.10

УДК 620.172.21-047.43:539.42:669.018 Ха Хонг Куанг, асп., 8(953)4354681, hhq82vn@mail.ru (Россия, Тула, ТулГУ)

ОЦЕНКА КОЭФФИЦИЕНТА ИНТЕНСИВНОСТИ НАПРЯЖЕНИЙ В ПРОЦЕССЕ ДВУХОСНОГО РАСТЯЖЕНИЯ

Рассмотрены преимущества изучения поля напряжений при вершине трещины для расчета коэффициента интенсивности напряжения в программе ANSYS.

Ключевые слова: механика повреждаемости, разрушение, хрупкая деформация, модели сплошной среды, микромеханика.

Усталость приводит сначала к зарождению трещины, обычно в зоне концентрации напряжений или в зоне изначального повреждения поверхности детали. Затем зародившаяся трещина растет до полного разрушения детали. Для оценки скорости роста усталостных трещин необходимо опреде-

118