CC BY
40
2016, Т. 158, кн. 3 С. 388-403
УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ КАЗАНСКОГО УНИВЕРСИТЕТА. СЕРИЯ ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ НАУКИ
ISSN 1815-6088 (Print) ISSN 2500-2198 (Online)
УДК 303.724.32+621.396.674.3
РЕГРЕССИОННЫЕ МОДЕЛИ ОСНОВНЫХ ПАРАМЕТРОВ ПРОВОЛОЧНОГО ДИПОЛЯ ТИПА КОХА
Д.Н. Тумаков1, Г.В. Абгарян1, Д.Е. Чикрин1, П.А. Кокунин1, А.С. Белов2
1 Казанский (Приволжский) федеральный университет, г. Казань, 420008, Россия 2АО «НПО «Радиоэлектроника» им. В.И. Шимко», г. Казань, 420029, Россия
Аннотация
Рассмотрено семейство симметричных проволочных диполей с геометрией плеч, подобной префракталу Коха первого порядка. Проведен корреляционный и регрессионный анализ параметров, определяющих геометрию рассмотренных антенн и их электродинамических характеристик. Получена высокая степень корреляции основной частоты и ширины полосы пропускания с длиной проволоки диполя. Построены регрессионные модели для ряда электродинамических параметров антенны. Показана возможность структурно-параметрического синтеза проволочной антенны с заданными свойствами на основе регрессионных моделей.
Ключевые слова: проволочная антенна, диполь типа Коха, регрессионная модель, параметры антенны
Введение
В современных телекоммуникационных системах широко используются антенны различных типов. Из них самыми распространенными и наиболее исследованными являются проволочные антенны [1]. Однако если простейшая проволочная полуволновая дипольная антенна является хорошо изученной [2], то антенны со сложной геометрией представляют собой отдельный предмет для исследования. Именно антенны со сложной геометрией являются на сегодняшний день наиболее перспективными устройствами, потому что, путем усложнения геометрии можно как минимизировать размеры самой антенны, так и улучшить ее электродинамические характеристики [3].
На практике используются различные формы изломанных симметричных диполей [1, 4, 5], но наиболее распространенным способом минимизации или улучшения заданных свойств антенн является их фрактализация [6—11]. Наиболее исследованная фрактальная антенна - это диполь, сконструированный на основе фрактала Коха. Достаточное количество работ посвящено исследованию и анализу основных характеристик как самого диполя и монополя Коха [12-14], так и его различных модификаций [15-17]. Для простейшего полуволнового диполя хорошо известны связи различных его параметров между собой [18].
Для анализа и синтеза антенн со сложной геометрией используются различные методы. Например, в [19] представлен метод исследования проволочных диполей, приводящий к системе из двух интегральных уравнений, которые приближенно решаются методом совпадения точек. В работе [13] методом моментов исследован диполь, сконструированный на основе фрактала Коха. Разбиение на бесконечно
малые диполи исходной проволочной антенны с дальнейшей оптимизацией расположения полученных диполей предложено в [20]. Решение задач дифракции электромагнитной волны на излучателях различной структуры [21, 22] с последующим определением плотностей тока является также одним из методов анализа антенн.
Можно использовать и различные методы оптимизации [23] для синтеза антенн. Так, например, широко применяются при проектировании антенн и генетические алгоритмы [24, 25]. При практическом синтезе антенн используется также статистический анализ для определения влияния одних параметров устройств на другие. В работе [26] методами регрессионного анализа исследована взаимосвязь между коэффициентом направленного действия щелевой антенны и шириной слотов, таким образом выявлена полиномиальная связь между соответствующими величинами. В [27] построена регрессионная модель, отражающая зависимость резонансной частоты спиральной антенны от количества её витков. В [28] эмпирически выявлена линейная зависимость между частотой меандрового излучателя и её геометрическими размерами. В [29] с помощью регрессионного анализа исследована текстильная антенна, получено уравнение множественной регрессии, определяющее зависимость ширины полосы пропускания от сдвига и деформации антенны.
Тем не менее, несмотря на достаточно большое публикаций по рассматриваемой тематике, общей теории проволочных антенн не существует. Целью настоящей работы является получение ряда результатов в этом направлении. Предполагается установить, насколько сильно электродинамические характеристики: основная (первая) резонансная частота, ширина полосы пропускания на этой частоте и коэффициент отражения рассмотренных в настоящей работе антенн - зависят от ряда параметров их геометрии, а также от диаметра проволоки.
В настоящей работе проведен парный корреляционный анализ относительно электродинамических характеристик антенны и геометрических параметров кривой, образующей симметричные плечи диполя. Проведен также множественный корреляционный анализ для выявления более тесной связи между различными параметрами антенны. Построены регрессионные модели для рассмотренных электродинамических параметров.
Очевидно, что понимание зависимостей электродинамических параметров антенны от ее геометрии является необходимым элементом в качественном проектировании антенны. После моделирования «оптимального» симметричного диполя представляется возможным еще больше улучшить его характеристики. Для этого можно использовать вращение плеч относительно друг друга в пространстве. Например, в работе [30] улучшают свойства диполя Коха поворотом плеч в плоскости антенны. В [5], также изменяя угол между плечами, получают так называемые У-образные антенны. Расположение плеч антисимметричным образом в некоторых случаях также улучшает характеристики диполя [31, 32]. Кроме изменения геометрии можно менять как тип запитки [33], так и количество и места запитки антенны [34], что также влияет на ее электродинамические характеристики.
1. Постановка задачи
Рассмотрим симметричный относительно точки запитки (0, 0) проволочный диполь с плечами, имеющими геометрию, схожую с префракталом Коха первого порядка (рис. 1). Кривые, образующие плечи, отличаются от классического фрактала Коха только положением вершины А. При этом координаты центральной вершины правого плеча А = (Ах,Ау) будем изменять в заданном интервале. Заметим, что А = (3.75 см, 2.475 см) соответствует классической кривой Коха. Вершину
у, см
Рис. 1. Симметричный проволочный диполь типа Коха
В = (— Ах,Ау) также будем изменять симметричным образом относительно А. Таким образом, получим семейство антенн, отличающихся друг от друга только положением вершин А и В.
Определим параметры, характеризующие геометрию антенны. Пусть это будет полудлина диполя: Ь (м), отношение боковых плеч при вершине А: /2//1 и угол при этой вершине: в (радиан). Эти выбранные параметры будем называть входными.
Теперь определим электродинамические характеристики антенны, которые будем исследовать. Это будет основная (первая) резонансная частота ш (МГц), ширина полосы пропускания (£ц < -10 дБ) на основной частоте ВШ (МГц), относительная пропускная способность, также соответствующая основной частоте ВШ/ш (%), и коэффициент отражения £ц (дБ). Выбранные характеристики будем называть выходными.
Исследуя рассмотренное семейство диполей типа Коха методом парного корреляционного анализа, установим зависимости выходных параметров от входных. Для построения более сильной связи между выходным параметром и набором входных параметров проведем также множественный корреляционный анализ.
Построим регрессионные модели выходных параметров диполя от входных. Все основные вычисления проведем для диаметра проволоки антенны 1 =2 мм. Определим также степень влияния 1 на корреляционные зависимости и выбранные электродинамические характеристики.
2. Корреляционно-регрессионный анализ
Приведем некоторые сведения касательно корреляционного и регрессионного анализа, необходимые в дальнейшем.
Две случайные величины X и У могут быть связаны либо функциональной зависимостью, либо статистической или быть независимыми. Строгая функциональная зависимость при решении практических задач реализуется редко, так как обе величины или одна из них могут быть подвержены действию случайных факторов. В таких случаях возникает статистическая зависимость, то есть зависимость, при которой изменение одной из величин влечёт изменение распределения другой. В частности, если при изменении одной из величин меняется среднее значение другой, статистическую зависимость называют корреляционной. Тесноту корреляционной связи определяют с помощью выборочного коэффициента корреляции тху, который определяется по формуле
п
Е ХУ - пХУ
гхг = ——^-, (1)
пах ау
где X, ах - выборочное среднее и выборочное среднее квадратическое отклонение соответственно. Известно [4], что 0 < |гху| < 1. При этом если |гху| = 0,
то величины независимы, а если |гху | = 1, то линейно зависимы. Таким образом, гху служит мерой линейной связи между X и У. Уравнение У = У (X) называют регрессионной моделью У по X, то есть регрессионная модель определяет функциональную зависимость между наблюдаемыми величинами. Например, регрессионная модель первого порядка определяется уравнением вида
У = 6с + 61Х,
где У есть предсказанное значение У для данного X. Обозначим
(2)
1 '
X = ^Е X
¿=1
1 '
У = Y¿,
п
¿=1
Бху = Ё X¿Y¿ - nX У, Бхх = Ё X,2 - nX2.
¿=1
¿=1
Тогда выражения для коэффициентов уравнения (2) можно представить в виде
6с
У - 6^, 61 = Бху/Бхх.
(3)
Кроме модели вида (2), также используют модели более высоких порядков относительно X:
У = 6с + 6^ + 62X2 + • • • + 6^п.
(4)
Если величина У зависит от нескольких величин X!,..., Xm, то используют модель множественной регрессии:
У = 6с + 61X1 + 62X2 + • • • + 6^«
(5)
Процедуру отбора независимых переменных Xl,... в модель (5) обычно осуществляют по следующему алгоритму [35]. Сначала отбирают переменную X¿ такую, что корреляция |гх4 у | > |гх3 у |, при ] = 1,...,т, ] = г. Затем добавляют следующие переменные по мере необходимости. Для сравнения моделей с разным числом независимых переменных будем использовать множественный скорректированный коэффициент детерминации
дК
1-
(п - 1)Е88 (п - т - 1)Т88'
(6)
где
ЕЭЭ = ^^(У - У№)), TSS^^(У¿ - У),
т - число независимых переменных. Можно показать [5], что 0 < ДК < 1. При этом ДК = 0 означает, что все точки наблюдений разбросаны относительно модели регрессии У, а ДК = 1 б что все точки соответствуют модели.
Кроме коэффициента детерминации (6) введем понятия средней квадратиче-ской погрешности
\
-]>>; - у (х,))2
¿=1
и средней относительной абсолютной погрешности
' = ПЕ
У, - у(X,) У,
• 100%,
(7)
(8)
с
где сумма в правой части берется для тех г, для которых У = 0. Погрешности (7) и (8) будем использовать для оценок полученных моделей.
Для параметров моделей целесообразно находить доверительные интервалы, [100(1 — а)]%-ный интервал для параметра £ определяется как
а ± ¿(V; 1 — а/2)е(£), (9)
где £ и е(С) соответственно оценка и ошибка оценки для параметра £, ¿(V; 1—а/2) -процентная точка £-распределения Стьюдента с V степенями свободы и уровнем значимости а. С помощью доверительных интервалов определяются доверительные границы для моделей, то есть границы, в которых изменяются коэффициенты моделей.
3. Корреляционный анализ параметров антенны
Выберем интервал изменения каждой из координат вершины А от 0.75 мм до 7.46 см с шагом 2.25 мм, получив, таким образом, 784 различные антенны. Заметим, что в предельных случаях, когда х-координата вершины А имеет минимальное значение х = 0.75 мм, получаемые антенны становятся близки к классическому полуволновому диполю и имеют резонансную частоту немного меньше 1 ГГц.
Проведем расчеты электродинамических параметров полученных антенн в программе ЕЕКО для различных диаметров проволоки 1 в частотном интервале от 100 МГц до 3 ГГц с шагом 14.5 МГц (считаем, что линия запитки имеет сопротивление П = 50 Ом). Определим коэффициент корреляции между заданным набором входных данных и полученными выходными параметрами по формуле (1). Полученные результаты при 1 =2 мм приведены в табл. 1.
Самую сильную связь электродинамические параметры антенны имеют с полудлиной Ь. Сильную связь они имеют также и с отношением плеч /2//1 . Коэффициенты корреляции с углом в имеют небольшие значения. Таким образом, получаем, что выходные данные наиболее зависимы от Ь и /2//1.
Можно сделать вывод, что при увеличении электрической длины Ь частота ш и ширина полосы пропускания ВШ пропорционально уменьшаются, в то время как £11 увеличивается. Другими словами, уменьшение главной частоты (за счет увеличения длины проволоки) приводит к сужению полосы пропускания и ухудшению согласования антенны. Выводы, сделанные для Ь, в меньшей степени справедливы и для отношения /2//1. Хотя связь между /2//1 и £ц является несильной.
Попробуем улучшить корреляционную связь между параметрами антенны. Для этого рассмотрим влияния сразу нескольких входных параметров на выходные. С этой целью вычислим скорректированные коэффициенты детерминации по формуле (6) для моделей 1-го порядка. Результаты вычислений приведены в табл. 2. Видно, что величины в и /2//1 вносят одинаковый вклад в значимость множественной регрессии.
Обобщая результаты, приведенные в табл. 1 и 2, можно, во-первых, прийти к выводу, что выходные параметры антенны ш и ВШ хорошо коррелируют с входными данными, в отличие от £ц . Во-вторых, добавление новых входных параметров практически не улучшает корреляцию электродинамических характеристик с длиной диполя.
Ниже построим регрессионные модели выходных параметров. Рассмотрение начнем с модели основной резонансной частоты.
Табл. 1
Парная корреляция входных и выходных параметров антенн
Яи ш БШ БШ/ш
ь 0.758 -0.975 -0.937 -0.899
12/11 0.659 -0.949 -0.844 -0.785
в -0.264 0.133 0.290 0.331
Табл. 2
Коэффициенты детерминации между входными и выходными параметрами антенны
Я11 ш БШ БШ/ш
ь 0.4566 0.9331 0.8388 0.7625
ь,12/11 0.4939 0.9419 0.8499 0.7963
ь,в 0.4948 0.9415 0.8521 0.7842
4. Модели основной резонансной частоты
Резонансная частота антенны является одним из важнейших параметров электродинамических устройств. Так как частота работы полуволнового диполя зависит от времени прохождения электромагнитной волны вдоль проводника, для обыкновенного диполя зависимость ш от Ь является известным результатом [1]. Известны и другие результаты для отдельных антенн. Например, в [36] получена приближенная формула для резонансной частоты диполей с плечами, отличающихся от кривой Коха углом при срединной вершине. Однако результаты относительно выражения частоты через длину антенны со сложной геометрией нам не известны.
Тем менее стоит ожидать, что приближенная связь между длиной проволоки, образующей антенны, и основной частотой имеется для любой геометрии плеч. Это подтверждают и результаты, представленные в табл. 1. Корреляция полудлины диполя Ь и основной частоты ш очень сильная и тху = -0.975. Построим линию регрессии ш на Ь, воспользовавшись формулами (2) и (3):
ш = 1201 - 36.48 Ь. (10)
Для полученной формулы средняя квадратическая погрешность е равна 35, а средняя относительная абсолютная погрешность 5 составляет 3.59%. Корреляционное поле и регрессионная прямая для данной модели приведены на рис. 2.
Найдём 90%-ные доверительные интервалы для параметров 6с, 61 по формуле (9) при уровне значимости а = 0.1. Получим
6с е (1192.79,1209.37), 61 е (-37.06, -35.91).
Построим уравнение множественной регрессии ш на Ь и /2//1 по формуле (5):
ш = 1153.53 - 26.99 Ь - 47.784 /2//1, (11)
при этом погрешности формулы имеют следующие значения: е = 32.6, 5 = 3.27%. Как следует из табл. 2, выражение (11) не дает лучших результатов, чем формула (10), поэтому основной регрессионной моделью будем считать модель (10).
Отметим, что варьирование диаметра проволоки в интервале ! е [1.6, 2.2] практически не изменяет резонансные частоты. Рассмотрим, что происходит с основной частотой при существенном увеличении диаметра. Для ! = 2.2 мм при минимальной длине проволоки антенны (когда антенна максимально приближена к полуволновому диполю) резонансная частота ш = 931 МГц; при ! = 4 мм - ш = 916 МГц,
ш, МГц
Табл. 3
Значения минимальных и максимальных ш для различных диаметров проволоки й
й, мм шт1п, МГц Штах, МГц Штах - Штт, МГц
2.2 479.0 931.0 452.0
4.0 493.5 916.0 422.5
8.0 522.5 901.5 379.0
а при ! =8 мм - ш = 901 МГц. Таким образом, имеем хорошо известное явление уменьшения частоты при увеличении диаметра проволоки [37, 38]. Этот эффект объясняется различием скоростей распространения волны в свободном пространстве и в антенне [39].
В случае же, когда антенны сильно изломаны (при этом они имеют большую длину), ситуация становится обратной: большим диаметрам соответствуют большие частоты. Значения минимальных и максимальных частот приведены в табл. 3.
Отметим также, что наибольший разброс значений ш (от 700 до 930 МГц) возникает при длине плеча Ь « 12 см.
5. Модели ширины полосы пропускания
Корреляция ширины полосы пропускания БШ и длины Ь также сильная: тху = -0.937 (см. табл. 1). Однако линейная регрессия не дает качественного результата. Анализ распределения точек в корреляционном поле, изображенном на рис. 3, приводит к выбору регрессионной кривой более высокого порядка. Построим регрессионную модель в виде полинома третьей степени:
БШ = -189 + 76.78 Ь - 6.56 Ь2 + 0.16 Ь3. (12)
Точность формулы (12) может быть оценена как е = 11.58 и 5 = 21.8%.
Для данной модели при уровне значимости а = 0.1 найдём 90%-ные доверительные интервалы для параметров Ъп по формуле (9):
Ъ0 € (-228, -150), Ъ\ € (67.77, 85.79),
Ъ2 € (-7.22, -5.89), Ъ3 € (0.14,0.18).
В1М, МГц
Рис. 3. Линия регрессии BW на Ь (й = 2 мм)
Рис. 4. Регрессионная поверхность BW на Ь, 0 (й = 2 мм)
Следует отметить, что значения ширины полосы пропускания зависят от уровня допустимого коэффициента отражения (в нашем случае < -10 дБ). На корреляционном поле (рис. 3) имеется большое количество точек со значениями БШ = 0 при Ь > 14 см. Если ослабить условие и выбрать, например, ^ц < —5 дБ, то количество «нулевых» точек существенно уменьшится, что приведет к изменению регрессионной кривой.
Добавим в регрессионную модель (12) параметр в. Построим следующую модель:
БШ = 116 — 7 в — 2.66 Ь + 2 вЬ — 0.17 вЬ2 +0.004 вЬ3, (13)
приближающая значения ширины полосы пропускания с погрешностями е = 10.69 и 6 = 15.1%. Регрессионная поверхность, описываемая формулой (13), и точки -значения БШ = 0 антенн - приведены на рис. 4.
Анализ корреляционных полей при различных диаметрах показывает, что максимальные значения для БШ возникают при малых значениях Ь. Для й = 2 мм наиболее широкие полосы пропускания (98 МГц) появляются при Ь « 12.5 см (при этом ^ц = —22.5 дБ, ш = 902 МГц, а ширина полосы пропускания составляет менее 11%). С другой стороны, при той же длине Ь для другой геометрии БШ < 50 МГц. С точки зрения регрессионного анализа увеличение диаметра провода приводит к увеличению полосы пропускания. Максимальные значения полосы
Табл. 4
Значения ширины полосы пропускания BW для различных диаметров проволоки й
й, мм BWo, МГц В^^тах, МГц В^^тах, %
2.2 88 105 11
4.0 101 125 14
8.0 125 170 19
5ц, дБ
пропускания БШтах и значения ширины полосы пропускания для обыкновенного диполя (для минимальных Ь) БШо приведены в табл. 4. Отметим также, что при изменении диаметра проволоки коэффициент корреляции остается неизменным.
Таким образом, можно сделать вывод о том, что хотя БШ и Ь сильно связаны, но поскольку регрессионная модель с одной переменной (12) дает недостаточно точную аппроксимацию (6 > 20%), стоит предпочесть модели (13) и (14).
6. Модели коэффициента отражения
В отличие от основной частоты и полосы пропускания, линейная связь коэффициента отражения ^ц и длины Ь менее значима (тху = 0.758). Построим регрессионную модель в виде полинома четвертой степени:
§и = 367 - 109.5 Ь + 10.9 Ь2 - 0.46 Ь3 + 0.007 Ь4. (14)
Для модели (14) средние погрешности имеют следующие значения: е = 5 и 6 = = 28.8%.
Приведем значения 90%-ных доверительных интервалов для Ьп:
Ь0 е (301.543, 433.457), Ь1 е (-129.98, -89.00), Ь2 е (8.59,13.22),
Ь3 е (-0.57, -0.34), Ь4 е (0.005,0.009).
Попробуем улучшить модель (14), рассмотрев множественную регрессию ^ц на Ь, 0:
§и = 0.98 + 2.40 - 1.71 Ь - 0.390Ь - 0.0070Ь2 +0.0029 0Ь3 - 8.2 • 10-40Ь4. (15)
5ц, дБ
20 ^ о
в, град.
Рис. 6. Регрессионная поверхность £ц на Ь, 0 (й = 2 мм)
Здесь £ = 4.9, 5 = 31.8%. При этом средняя квадратическая ошибка незначительно уменьшилась, а средняя относительная ошибка увеличилась. Корреляционное пространство и регрессионная поверхность, соответствующие формуле (15), приведены на рис. 6.
Сравнение погрешностей регрессионных моделей (14) и (15) свидетельствует о том, что стоит предпочесть модель (14) как более простую. Однако ни одна из моделей не дает хорошего приближения: средняя относительная абсолютная погрешность составляет около 30%.
Остановимся на вопросе о влиянии диаметра проволоки на значения коэффициента отражения. Как указано в [40], изменение диаметра меняет входное сопротивление дипольной антенны.
Анализ результатов расчетов для исследуемого семейства антенн показал, что при резонансной частоте для разных диаметров в широком интервале ! € [2, 8] значения коэффициентов отражения совпадают. Это подтверждается и выводами, сделанными в [38, с. 577], где указано, что полуволновые диполи с различными диаметрами достигают одинаковых значений коэффициента стоячей волны по напряжению на резонансных частотах, но при изменении частоты согласование более тонкой антенны ухудшается быстрее.
Таким образом, регрессионные модели для ^ц дают наихудшие приближения среди электродинамических параметров антенны. Однако формулу (14) можно рекомендовать для приближенного определения коэффициента отражения (5 <
Для проволочного диполя типа Коха исследованы зависимости основной резонансной частоты, ширины полосы пропускания и коэффициента отражения антенны на этой частоте от его геометрии. Сделан вывод о сильной зависимости резонансной частоты и полосы пропускания от длины проволоки, образующей антенну. Установлено, что согласованность антенны не сильно зависит от геометрических параметров антенны.
Получены регрессионные модели для рассмотренных электродинамических параметров диполя. Оценены погрешности построенных моделей. Указано влияние диаметра проволоки антенны на параметры моделей.
< 30%).
Заключение
Регрессионные модели могут быть использованы для построения функционала, минимизация которого дает «оптимальную» геометрию антенны с характеристиками, наиболее приближенными к требуемым параметрам. Таким способом, полученные (или построенные для другого класса антенн) модели можно применять при структурно-параметрическом синтезе антенн с заданными электродинамическими характеристиками.
Благодарности. Работа выполнена за счет средств субсидии, выделенной в рамках государственной поддержки Казанского (Приволжского) федерального университета в целях повышения его конкурентоспособности среди ведущих мировых научно-образовательных центров.
Литература
1. Balanis C.A. Antenna theory: analysis and design. - New Jersey: John Wiley & Sons, 1997. - 1072 p.
2. Poole I., Telenius-Lowe S. Successful wire antennas. - Abbey Court.: Radio Soc. G. B., 2011. - 237 p.
3. Singh K., Grewal V., Saxena R. Fractal antennas: a novel miniaturization technique for wireless communications // Int. J. Recent Trends Eng. - 2009. - V. 2, No 5. - P. 172-176.
4. Nasr M.H.A. Z-shaped dipole antenna and its fractal iterations // Int. J. Network Secur. Its Appl. - 2013. - V. 5, No 5. - P. 139-151. - doi: 10.5121/ijnsa.2013.5512.
5. Milligan T.A. Modern Antenna Design. - New Jersey: John Wiley & Sons, 2005. - 633 p. -doi: 10.1002/0471720615.
6. Gianvittorio J.P., Rahmat-Samii Y. Fractal antennas: A novel antenna miniaturization technique, and applications // IEEE Antennas Propag. Mag. - 2002. - V. 44, No 1. -P. 20-36. - doi: 10.1109/74.997888.
7. Baker J.M., Iskander M.F. Electrically small fractal antennas // Proc. IEEE Int. Symp. Antennas Propag. - 2015. - P. 1242-1243. - doi: 10.1109/aps.2015.7305010.
8. Karpukov L.M., Onufrienko V.M., Romanenko S.N. The properties of the fractal wire antennas // Proc. MMET Int. Conf. - 2002. - V. 1. - P. 310-312. - doi: 10.1109/mmet.2002.1106893.
9. Wagh K.H. A review on fractal antennas for wireless communication // Int. J. Rev. Electron. Commun. Eng. - 2015. - V. 32, No 2. - P .37-41.
10. Krzysztofik W.J. Fractal geometry in electromagnetics applications - from antenna to metamaterials // Microwave Rev. - 2013. - V. 19, No 2. - P. 3-14.
11. Beigi P., Mohammadi P. A novel small triple-band monopole antenna with crinkle fractal-structure // Int. J. Electronics and Communications. - 2016. - V. 70, No 10. - P. 1382?-1387. - doi: 10.1016/j.aeue.2016.07.013.
12. Baliarda C.P., Romeu J., Cardama A. The Koch monopole: A small fractal antenna // IEEE Trans. Antennas Propag. - 2000. - V. 48, No 11. - P. 1773-1781. - doi: 10.1109/8.900236.
13. Li Y., Mi Y., Wang Y., Li G. The analysis and comparison of the electromagnetic radiation characteristic of the Koch fractal dipole // Proc. ISAPE. - 2012. - P. 15-18. - doi: 10.1109/isape.2012.6408690.
14. Слюсар В. Фрактальные антенны. Принципиально новый тип «ломаных» антенн // Электроника: Наука, Технология, Бизнес. - 2007. - Т. 5. - С. 78-83.
15. Rani M., Haq R.U., Verma D.K. Variants of Koch curve: A review // Int. J. Comput. Appl. - 2012. - V. 2, No 4. - P. 20-24.
16. Vinoy K.J., Abraham J.K., Varadan V.K. Generalized design of multi-resonant dipole antennas using Koch curves // ACES J. - 2004. - V. 19, No 1a. - P. 22-31.
17. Karim M.N.A., Rahim M.K.A., Majid H.A., Ayop O, Abu M, Zubir F. Log periodic fractal Koch antenna for UHF band applications // PIER. - 2010. - V. 100. - P. 201-218. -doi: 10.2528/pier09110512.
18. Banerjee P., Bezboruah T. Theoretical study of radiation characteristics of short dipole antenna // Lec. Notes Eng. Comput. Sci. - 2014. - V. 2210, No 1. - P. 785-790.
19. Surutka J.V., Velickivic D.M. Symmetrical linear anntennas driven by two-wire lines // Serb. J. Electr. Eng. - 2003. - V. 1, No 1. - P. 27-60. - doi: 10.2298/sjee0301027s.
20. Sijher T.S., Kishk A.A. Antenna modeling by infinitesimal dipoles using genetic algorithms // PIER. - 2005. - V. 52. - P. 225 -254. - doi: 10.2528/pier04081801.
21. Гордеева А.Н., Тумаков Д.Н. Рассеяние электромагнитной волны на системе параллельных металлических экранов // Учен. зап. Казан. ун-та. Сер. Физ.-матем. науки. - 2008. - Т. 150, кн 1. - C. 38-55.
22. Tumakov D.N. Iterative method for solving the problem of scattering of an electromagnetic wave by a partially shielded conducting sphere // Appl. Math. Sci. - 2014. - V. 8, No 118. -P. 5887-5898. - doi: 10.12988/ams.2014.48657.
23. Kolda T.G., Lewis R.M., Torczon V. Optimization by direct search: New perspectives on some classical and modern methods //J. Soc. Ind. Appl. Math. - 2003. - V. 45, No 3. -P. 385-482. - doi: 10.1137/s003614450242889.
24. Rahmat-Samii Y., Michielssen E. Electromagnetic optimization by genetic algorithms. -New Jersey: John Wiley & Sons, 1999. - 512 p.
25. Haupt R.L., Werner D.H. Genetic algorithms in electromagnetics. - New Jersey: A John Wiley & Sons, 2007. - 318 p.
26. Iliya S.Z., Rahman T.A., Abdulrahman Y.A. Relationship for slots width, antenna directivity, and the 3dB HPBW of an RLSA antenna at 12.4GHz using regression analysis // ARPN J. Eng. Appl. Sci. - 2014. - V. 9, No 7. - P. 1107-1110.
27. Ansor M. Y., Idris S.S.H. Regression analysis of resonant frequency over number of turn of normal mode helical antenna // Proc. TENCON. - 2000. - V. 2. - P. 228-231. - doi: 10.1109/tencon.2000.888738.
28. Calla O.P., Singh A., Singh A.K., Kumar S., Kumar T. Empirical relation for designing the meander line antenna // Proc. Int. Conf. Microwave. - 2008. - P. 695-697. - doi: 10.1109/amta.2008.4762995.
29. Sundarsingh E.F., Ramalingam V.S., Kanagasabai M. Statistical analysis on the bandwidth of a dual frequency textile antenna // IET Microwaves, Antennas Propag. -2015. - V. 9, No 15. - P. 1683-1690. - doi: 10.1049/iet-map.2015.0223.
30. Ghatak R., Poddar D.R., Mishra R.K. A moment-method characterization of V-Koch fractal dipole antennas // Int. J. Electron. Commun. - 2009. - V. 63, No 4. - P. 279286. - doi: 10.1016/j.aeue.2008.01.010.
31. Das A.K., Gupta R.K., Pal M., Ghatak R. Resonance characteristics of asymmetric fractal shaped dipole antennas // IJECT. - 2015. - V. 6, No 1. - P. 91-94.
32. Chiu C.H., Lin C.C., Huang C.Y., Lin T.K. Compact dual-band dipole antenna with asymmetric arms for WLAN applications // Int. J. Antennas Propag. - 2014. - V. 2014. -Art. 195749, P. 1-3. - doi: 10.1155/2014/195749.
33. Su S. W., Chang F.S. Wideband rod-dipole antenna with a modified feed for DTV signal reception // PIER Lett. - 2009. - V. 12. - P. 127-132. - doi: 10.1109/aps.2010.5561190.
34. Khraisat Y.S.H., Hmood K.A., Al-Mofleh A. Analysis of the radiation resistance and gain of full-wave dipole antenna for different feeding design //J. Electromagn. Anal. Appl. -2012. - V. 4. - P. 235-242. - doi: 10.4236/jemaa.2012.46033.
35. Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика. - М.: Высш. шк., 2003. - 479 c.
36. Sengupta K., Vinoy K.J. A new measure of lacunarity for generalized fractals and its impact in the electromagnetic behavior of Koch dipole antennas // Fractals. - 2006. -V. 14, No 4. - P. 271-282. - doi: 10.1142/s0218348x06003313.
37. Ротхаммель К. Антенны. Т. 1. - М.: Энергия, 1967. - 272 с.
38. Furse C.M., Gandhi O.P. Lazzi dipole antennas // Furse C.M., Gandhi O.P. Gianluca Lazzi. - N. Y.: John Wiley, 2007. P. 1-11. - doi: 10.1002/047134608X.W1216.pub2.
39. Carr J.J. Practical antenna handbook. - New Jersey: McGraw-Hill, 2001. - 625 p.
40. Dennison M., Fielding J. Radio communication handbook. - Abbey Court.: RSGB, 2011. - 118 p.
Поступила в редакцию 21.06.16
Тумаков Дмитрий Николаевич, кандидат физико-математических наук, доцент кафедры прикладной математики
Казанский (Приволжский) федеральный университет
ул. Кремлевская, д. 18, г. Казань, 420008, Россия E-mail: dtumakov@kpfu.ru
Абгарян Гарник Владимирович, магистрант Института вычислительной математики и информационных технологий
Казанский (Приволжский) федеральный университет ул. Кремлевская, д. 18, г. Казань, 420008, Россия
Чикрин Дмитрий Евгеньевич, кандидат технических наук, доцент кафедры радиофизики
Казанский (Приволжский) федеральный университет
ул. Кремлевская, д. 18, г. Казань, 420008, Россия E-mail: dmitry.kfu@gmail.com
Кокунин Петр Анатольевич, кандидат технических наук, старший научный сотрудник НИЛ «Перспективные системы ориентации, навигации, связи» Казанский (Приволжский) федеральный университет
ул. Кремлевская, д. 18, г. Казань, 420008, Россия E-mail: pkokunin@mail.ru
Белов Андрей Сергеевич, первый заместитель генерального директора АО «НПО «Радиоэлектроника» им. В.И. Шимко» ул. Журналистов, д. 50, г. Казань, 420029, Россия
ISSN 1815-6088 (Print) ISSN 2500-2198 (Online) UCHENYE ZAPISKI KAZANSKOGO UNIVERSITETA. SERIYA FIZIKO-MATEMATICHESKIE NAUKI (Proceedings of Kazan University. Physics and Mathematics Series)
2016, vol. 158, no. 3, pp. 388-403
Regression Models of Koch Wire Dipole Performance
D.N. Tumakova*, G.V. Abgaryana, D.E. Chickrina**, P.A. Kokunina***, A.S. Belovb
aKazan Federal University, Kazan, 420008 Russia bAO NPO V.I. Shimko "Radioelektronika" Kazan, 420029 Russia E-mail: * dtumakov@kpfu.ru, ** dmitry.kfu@gmail.com, ***pkokunin@mail.ru
Received June 21, 2016 Abstract
A family of balanced wire dipoles with the geometry of arms similar to the first-order Koch pre-fractal is considered. Regression and correlation analysis is performed for parameters defining the geometry of the considered antennas and their electrodynamic characteristics. A high degree of correlation of the base frequency and bandwidth with the dipole wire length is obtained. Regression models are developed for some of the electrodynamic characteristics of the antenna. Possibility of structural and parametrical synthesis of the wire antenna with predefined properties on the basis of regression models is shown.
Keywords: wire antenna, Koch dipole, regression model, antenna performance
Acknowledgments. This work is performed according to the Russian government program of competitive growth of Kazan Federal University.
Figure Captions
Fig. 1. Symmetric Koch wire dipole.
Fig. 2. Line of regression w on L (d = 2 mm).
Fig. 3. Line of regression BW on L (d = 2 mm).
Fig. 4. Surface of regression BW on L, 6 (d = 2 mm).
Fig. 5. Line of regression Sn on L (d = 2 mm).
Fig. 6. Surface of regression Sn on L, 6 (d = 2 mm).
References
1. Balanis C.A. Antenna Theory: Analysis and Design. New Jersey, John Wiley & Sons, 1997. 1072 p.
2. Poole I., Telenius-Lowe S. Successful Wire Antennas. — Abbey Court., Radio Soc. G. B., 2011. 237 p.
3. Singh K., Grewal V., Saxena R. Fractal antennas: A novel miniaturization technique for wireless communications. Int. J. Recent Trends Eng., 2009, vol. 2, no. 5, pp. 172—176.
4. Nasr M.H.A. Z-shaped dipole antenna and its fractal iterations. Int. J. Network Secur. Its Appl., 2013, vol. 5, no. 5, pp. 139-151. doi: 10.5121/ijnsa.2013.5512.
5. Milligan T.A. Modern Antenna Design. New Jersey, John Wiley & Sons, 2005. 633 p. doi: 10.1002/0471720615.
6. Gianvittorio J.P., Rahmat-Samii Y. Fractal antennas: A novel antenna miniaturization technique, and applications. IEEE Antennas Propag. Mag., 2002, vol. 44, no. 1, pp. 20-36. doi: 10.1109/74.997888.
7. Baker J.M., Iskander M.F.Electrically small fractal antennas. Proc. IEEE Int. Symp. Antennas Propag., 2015, pp. 1242-1243. doi: 10.1109/aps.2015.7305010.
8. Karpukov L.M., Onufrienko V.M., Romanenko S.N. The properties of the fractal wire antennas. Proc. MMET Int. Conf., 2002, vol. 1, pp. 310-312. doi: 10.1109/mmet.2002.1106893.
9. Wagh K.H. A review on fractal antennas for wireless communication. Int. J. Rev. Electron. Commun. Eng., 2015, vol. 32, no. 2, pp. 37-41.
10. Krzysztofik W.J. Fractal geometry in electromagnetics applications — from antenna to metamaterials. Microwave Rev., 2013, vol. 19, no. 2, pp. 3—14.
11. Beigi P., Mohammadi P. A novel small triple-band monopole antenna with crinkle fractal-structure. Int. J. Electron. Commun., 2016, vol. 70, no. 10, pp. 1382—1387. doi: 10.1016/j.aeue.2016.07.013.
12. Baliarda C.P., Romeu J., Cardama A. The Koch monopole: A small fractal antenna. IEEE Trans. Antennas Propag., 2000, vol. 48, no. 11, pp. 1773-1781. doi: 10.1109/8.900236.
13. Li Y., Mi Y., Wang Y., Li G. The analysis and comparison of the electromagnetic radiation characteristic of the Koch fractal dipole. Proc. ISAPE, 2012, pp. 15-18. doi: 10.1109/isape.2012.6408690.
14. Slyusar V. Fractal antennas. Fundamentally new type of "broken" antennas. Elektron.: Nauka, Tekhnol., Biznes, 2007, vol. 5, pp. 78-83. (In Russian)
15. Rani M., Haq R.U., Verma D.K. Variants of Koch curve: A review. Int. J. Comput. Appl., 2012, vol. 2, no. 4, pp. 20-24.
16. Vinoy K.J., Abraham J.K., Varadan V.K. Generalized design of multi-resonant dipole antennas using Koch curves. ACES J., 2004, vol. 19, no. 1a, pp. 22-31.
17. Karim M.N.A., Rahim M.K.A., Majid H.A., Ayop O., Abu M., Zubir F. Log periodic fractal Koch antenna for UHF band applications. PIER, 2010, vol. 100, pp. 201-218. doi: 10.2528/pier09110512.
18. Banerjee P., Bezboruah T. Theoretical study of radiation characteristics of short dipole antenna.
Lec. Notes Eng. Comput. Sci, 2014, vol. 2210, no. 1, pp. 785-790.
19. Surutka J.V., Velickivic D.M. Symmetrical linear anntennas driven by two-wire lines. Serb. J. Electr. Eng., 2003, vol. 1, no. 1, pp. 27-60. doi: 10.2298/sjee0301027s.
20. Sijher T.S., Kishk A.A. Antenna modeling by infinitesimal dipoles using genetic algorithms. PIER, 2005, vol. 52, pp. 225 -254. doi: 10.2528/pier04081801.
21. Gordeeva A.N., Tumakov D.N. Diffraction of the electromagnetic wave on system of parallel metal screens. Uchenye Zapiski Kazanskogo Universiteta. Seriya Fiziko-Matematicheskie Nauki, 2008, vol. 150, no. 1, pp. 38-55. (In Russian)
22. Tumakov D.N. Iterative method for solving the problem of scattering of an electromagnetic wave by a partially shielded conducting sphere. Appl. Math. Sci., 2014, vol. 8, no. 118, pp. 5887-5898. doi: 10.12988/ams.2014.48657.
23. Kolda T.G., Lewis R.M., Torczon V. Optimization by direct search: New perspectives on some classical and modern methods. J. Soc. Ind. Appl. Math., 2003, vol. 45, no. 3, pp. 385-482. doi: 10.1137/s003614450242889.
24. Rahmat-Samii Y., Michielssen E. Electromagnetic Optimization by Genetic Algorithms. New Jersey, John Wiley & Sons, 1999. 512 p.
25. Haupt R.L., Werner D.H. Genetic Algorithms in Electromagnetics. New Jersey, John Wiley & Sons, 2007. 318 p.
26. Iliya S.Z., Rahman T.A., Abdulrahman Y.A. Relationship for slots width, antenna directivity, and the 3dB HPBW of an RLSA antenna at 12.4GHz using regression analysis. ARPN J. Eng. Appl. Sci., 2014, vol. 9, no. 7, pp. 1107-1110.
27. Ansor M.Y., Idris S.S.H. Regression analysis of resonant frequency over number of turn of normal mode helical antenna. Proc. TENCON, 2000, vol. 2, pp. 228-231. doi: 10.1109/tencon.2000.888738.
28. Calla O.P., Singh A., Singh A.K., Kumar S., Kumar T. Empirical relation for designing the meander line antenna. Proc. Int. Conf. Microwave, 2008, pp. 695-697. doi: 10.1109/amta.2008.4762995.
29. Sundarsingh E.F., Ramalingam V.S., Kanagasabai M. Statistical analysis on the bandwidth of a dual frequency textile antenna. IET Microwaves, Antennas Propag., 2015, vol. 9, no. 15, pp. 1683-1690. doi: 10.1049/iet-map.2015.0223.
30. Ghatak R., Poddar D.R., Mishra R.K. A moment-method characterization of V-Koch fractal dipole antennas. Int. J. Electron. Commun., 2009, vol. 63, no. 4, pp. 279—286. doi: 10.1016/j.aeue.2008.01.010.
31. Das A.K., Gupta R.K., Pal M., Ghatak R. Resonance characteristics of asymmetric fractal shaped dipole antennas. IJECT, 2015, vol. 6, no. 1, pp. 91-94.
32. Chiu C.H., Lin C.C., Huang C.Y., Lin T.K. Compact dual-band dipole antenna with asymmetric arms for WLAN applications. Int. J. Antennas Propag., 2014, vol. 2014, art. 195749, pp. 1-3. doi: 10.1155/2014/195749.
33. Su S.W., Chang F.S. Wideband rod-dipole antenna with a modified feed for DTV signal reception. PIER Lett., 2009, vol. 12, pp. 127-132. doi: 10.1109/aps.2010.5561190.
34. Khraisat Y.S.H., Hmood K.A., Al-Mofleh A. Analysis of the radiation resistance and gain of full-wave dipole antenna for different feeding design. J. Electromagn. Anal. Appl., 2012, vol. 4, pp. 235-242. doi: 10.4236/jemaa.2012.46033.
35. Gmurman V.E. Probability Theory and Mathematical Statistics. Moscow, Vyssh. Shk., 2003. 479 p. (In Russian)
36. Sengupta K., Vinoy K.J. A new measure of lacunarity for generalized fractals and its impact in the electromagnetic behavior of Koch dipole antennas. Fractals, 2006, vol. 14, no. 4, pp. 271-282. doi: 10.1142/s0218348x06003313.
37. Rothammel K. Antennas. Vol. 1. Moscow, Energiya, 1967. 272 p. (In Russian)
38. Furse C.M., Gandhi O.P. Lazzi Dipole Antennas. Gianluca Lazzi. Furse C.M., Gandhi O.P. N. Y., John Wiley, 2007, pp. 1-11. doi: 10.1002/047134608X.W1216.pub2.
39. Carr J.J. Practical Antenna Handbook. New Jersey, McGraw-Hill, 2001. 625 p.
40. Dennison M., Fielding J. Radio Communication Handbook. Abbey Court, RSGB, 2011. 118 p.
Для цитирования: Тумаков Д.Н., Абгарян Г.В., Чикрин Д.Е., Кокунин П.А., / Белов А.С. Регрессионные модели основных параметров проволочного диполя ти-\ па Коха // Учен. зап. Казан. ун-та. Сер. Физ.-матем. науки. - 2016. - Т. 158, кн. 3. -С. 388-403.
For citation: Tumakov D.N., Abgaryan G.V., Chickrin D.E., Kokunin P.A., Belov A.S. / Regression models of Koche-type wire dipole performance. Uchenye Zapiski Kazanskogo \ Universiteta. Seriya Fiziko-Matematicheskie Nauki, 2016, vol. 158, no. 3, pp. 388-403. (In Russian)
